1-2-2-2同步检测
概率同步练习答案1-2章
第一次1设A,B,表示三随机事件，表示下列随机事件 （1）A 出现，B ，C 不出现（2）A ，B 都出现，C 不出现（3）三事件都出现（4）三事件至少有一个出现（5）三事件都不出现（6）不多于一个事件出现（7）A ，B ，C 中恰好有两个出现解 （1）{A 出现，B ，C 不出现}C B A = （2）{A ，B 都出现，C 不出现}C AB = （3）{三事件都出现}ABC =（4）{三事件至少有一个出现}C B A ++= （5）{三事件都不出现}C B A =（6）{不多于一个事件出现}C B A C B A C B A C B A +++= （7）{A ，B ，C 中恰好有两个出现}C AB C B A BC A ++=2 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个班的数学考试平均成绩（2）同时抛三个骰子，记录点数之和 （3）10件产品中有3件次品，每次从中取一件（不放回）直到将三件次品取出，记录抽取次数 （4）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 ，（5）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解 （1） }1000|{1≤≤=x x S （2）}18...5,4,3{2=S （3）}10,...5,4,3{3=S（4） ...}13,12,11,10{4=S （5）}1|),{(225≤+=y x y x S3 随机抽查三件产品，A={三件中至少有一件废品} B={三件中至少有二件废品} C={三件正品}，问 A ， B C A C A B A - 各表示什么事件（用文字描述） 解 A ----- 三件产品全为正品 B -----三件中至多一件废品S C A = Φ=C A B A -----恰有一件废品4 下列各式是否成立 （1）（A-B ）+B=A （2） （A+B ）-C=A+（B-C ） 解 如图（1）B A B B A +=+-)( （2）)()(C B A C B A -+⊆-+ 5 下列各式说明什么关系？（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A解 （1）AB=A B A ⊂⇒ (2) A+B=A A B ⊂⇒(3) A+B+C=A A B ⊂⇒且A C ⊂⇒第二次1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2黑子1白子 （3）至少有一颗黑子解 A={全是白子} B={2白子1黑子} C={至少有一颗黑子}（1） 3831214()=55C P A C = （2） 218431228()=165C C P B C = （3） 3831241()1()1=55C P C P A C =-=-2 从1至200的正整数中任取一数,求此数能被6或8整除的概率 解 A={此数能被6整除} B={此数能被8整除} )()()()(AB P B P A P B A P -+=+20082002520033-+==41= 3 设21)(=A P ，31)(=B P 试求下列三种情况下)(B A P -的值 （1）φ=AB （2）B A ⊃ （3）41)(=AB P解 （1）φ=AB A B A =- ， 21)(=-⇒B A P（2）B A ⊃ 613121)()()(=-=-=-B P A P B A P（3）41)(=AB P 414121)()()()(=-=-=-=-AB P A P AB A P B A P4 袋中有9红球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1个白球的概率(2) 其中至多有2个白球的概率解 A={至少有1个白球} B={至多有2个白球}5951237()1()1=44C P A P A C =-=- 323951221()1()1=22C C P B P B C =-=-5设A,B 为两个事件,且5.0)(=A P , 4.0)(=B P ,8.0)(=+B A P 求 (1) )(B A P + (2) )(AB P解 （2）)()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 1.0)(=∴AB P（1） 如图 AB A B A +=+Φ=)(AB A)()()(AB P A P B A P +=+∴=1-0.5+0.1=0.68.0)(=C B P ，6若C A B A ⊃⊃,，且P （A ）=0.9 ，求 )(BC A P -解 如图：BC S C B -= 2.0)(1)(=-=C B P BC P7.02.09.0)()()(=-=-=-BC P A P BC A P 参考题 设 21)()(==B P A P , 求证 )()(B A P AB P = 证明 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+)(1)(AB P B A P -=+∴)(1)(1)(B A P B A P B A P -=+-=+ )()(B A P AB P =∴第三次1 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取一个,求(1) 第二次取红的概率 (2) 已知第一次取白球,求第二次取红球的概率 解 A i ={第i 次取红球} （i=1，2）（1） )|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=5343524253=⨯+⨯= （2） )|(12A A P 43=2 袋中有3红球2白球,抽取3次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出与取出的球颜色相同的两个球, 求 连续3次取白球的概率 解 A i ={第i 次取白球} （i=1，2，3） )|()|()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =746352⨯⨯=435= 3 10件产品中有7件正品，3件次品（1）不放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 （2）有放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 解 A i ={第i 次取次品} （i=1，2，3）（1） 1231213123211()()(|)(|)=1098120P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯ （2） 12312131233327()()(|)(|)=1010101000P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯ 4 100件产品中有10件次品90件正品，每次取1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率解 A i ={第i 次取正品} （i=1，2，3）123121312109909()()(|)(|)=10099981078P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯ 5某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,买股票的概率为0.28,两项同时投入的概率为0.19, 求(1)已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率 (2) 已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率解 A={买基金} B={买股票} （1）)()()|(A P AB P A B P =0.190.58= （2）)()()|(B P AB P B A P =28.019.0=6某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的25%, 35% 40%,次品率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 产品为次品的概率 (2) 若抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率解 A i （i=1，2，3）B={任取一件产品为次品}(1))|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=25%5%35%4%40%2%=0.0345=⨯+⨯+⨯(2))()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==35%4%0.40625%5%35%4%40%2%⨯=≈⨯⨯+⨯第四次1设 4.0)(=A P ,7.0)(=+B A P 在下列条件下求)(B P (1) A,B 互不相容 (2) A,B 独立 解 (1) A,B 互不相容 则7.0)()()(=+=+B P A P B A P 3.0)(=⇒B P(2)A,B 独立 则)()()()(AB P B P A P B A P -+=+7.0)()()()(=-+=B P A P B P A P5.0)(=⇒B P2设 3.0)(=A P ,6.0)(=+B A P 在下列条件下求)(B P (1) A,B 互不相容 (2) A,B 独立 (3) B A ⊂解 (1) A,B 互不相容 则6.0)()()(=+=+B P A P B A P 3.0)(=⇒B P(2)A,B 独立 则)()()()(AB P B P A P B A P -+=+6.0)()()()(=-+=B P A P B P A P73)(=⇒B P (3) B A ⊂ B B A =+ 6.0)()(==+∴B P B A P3两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ， 从中各取一粒，设花籽发芽独立，求（1）两颗都发芽的概率 （2）至少有一颗发芽的概率（3）恰有一颗发芽的概率 解 A={第一种花籽发芽} B={第二种花籽发芽}（1） ()()()0.80.9=0.72P AB P A P B ==⨯（2） )()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+=+ 0.80.90.80.9=0.98=+-⨯（3） )()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=+ 0.80.10.20.9=0.26=⨯+⨯ 4 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是21,31,41,求密码被破译的概率 解 A={密码被甲破译} B={密码被乙破译} C={密码被丙破译} {密码被破译}=A+B+C)(1)(1)(C B A P C B A P C B A P -=++-=++11131(1)(1)(1)=2344=----5 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独立,求加工出来的零件为次品的概率解 A i ={第i 道工序出次品} ( i=1,2,3,4) B={加工出来的零件为次品} B=A 1+A 2+ A 3+A 4)(1)(1)()(432143214321A A A A P A A A A P A A A A P B P -=+++-=+++= 12341()()()()1(12%)(13%)(14%)(15%)0.133P A P A P A P A =-=-----≈ 6 3次独立重复试验,事件A 至少出现一次的概率为6463,求A 在一次试验中出现的概率 解 A 在一次试验中出现的概率为pX 表示3次实验中A 出现的次数 ,则X~B(3,p)6463)1(1)0(1)1(3=--==-=≥p X P X P 43=⇒p 第五次1解 等比数列求和公式为q q a S nn --=1)1(1 143511)51(153limlim ≠=--=∞→∞→nn n n S 所以上述表不是分布表2已知离散型随机变量的分布律如下,求常数a=?(1) 5}{am X P == m=1,2,3…25 (2) !}{m am X P == m=0,1,2,3…解 (1)1255=⨯a 51=⇒a (2) 注意到: e n =++++++...!1...!31!21!1111...!...!3!2!1==++++++ae n a a a a a ea 1=⇒3 袋中有2红球4白球,取3球,求取到的红球数X 的分布律 解4 某人有6发子弹,射击一次命中率为0.8 ,如果命中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数Y 的分布律解 8.02.0}{1⨯==-i i Y P i=1,2,3,4,5652.08.02.0}6{+⨯==Y P5患某种病的死亡率为0.002，试求2000名患者中死亡人数大于8的概率 解 X-----2000患者中死亡的人数 则X~B(2000,0.002) 4np λ==8200020000{8}1{8}10.002(10.002)10.97860.0214ii ii P X P X C -=>=-≤=-•-≈-=∑6一本合订本100页，平均每页上有2个印刷错误，假定每页上的错误服从泊松分布,计算合订本各页错误都不超过4个的概率解 A={合订本各页错误都不超过4个}i X -----合订本第i 页错误, 则 2=λ )2(~P X i223442222202222(4)20.9473!2!3!4!k i k e P X e e e e e k ------=≤==++++=∑ 100()0.94730.004454P A =≈第六次1 若a 在(1,6)上服从均匀分布，求x 2+ax+1=0有实根的概率解 012=++ax x 有实根的充分必要条件是： 042≥-=∆a 即 2-≤a 或 2≥aa 在(1,6)上服从均匀分布， 则其概率密度函数为： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其余06151)(a x p aP{2-≤a 或 2≥a }= 5451}6P{262==≤≤⎰dx a2设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=101000)(x x Cx x x p(1) 求常数C (2) P{0.4<X<0.6} (3) 若4.0}|5.0{|=<-a X P ,求a (4) 若}{}{b X P b X P <=>,求b 解 (1) c=2(2) }6.04.0{<<X P =⎰6.04.02xdx 220.60.40.2=-=(3) 4.0}5.05.0{}|5.0{|=+<<+-=<-a X a P a X P 显然 0<0.5- a<x<0.5+a<1 =⎰+-aaxdx 5.05.024.0)5.0()5.0(22=--+=a a2.0=⇒a(4) }{}{b X P b X P <=> 显然 0<b<15.02}{0==<⎰bxdx b X P 22=b 3 已知)4,5.1(~N X 求 (1)}5.3{<X P , (2)}5.35.2{<<X P (3) {3}P X ≥ （4）}3|{|<X P解 (1) 8413.0)1()25.15.3(}5.3{=Φ=-Φ=<X P (2) )5.0()1()25.15.2()25.15.3(}5.35.2{Φ-Φ=-Φ--Φ=<<X P1498.06915.08413.0=-=（3）()3 1.5{3}1{3}110.750.22662P X P X -⎛⎫≥=-≥=-Φ=-Φ= ⎪⎝⎭(4) 3 1.53 1.5{||3}()()(0.75)( 2.25)22P X ---<=Φ-Φ=Φ-Φ- 7612.019878.07734.01)25.2()75.0()]25.2(1[)75.0(=-+=-Φ+Φ=Φ--Φ=4设投影仪的寿命X 服从参数为20001=λ的指数分布 (1) 投影仪能正常使用500小时的概率(2) 若投影仪已经正常使用500小时,求它还能至少使用500小时的概率解 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-02000100)(20001x e x x x ϕ记号(1) 41200012000150050020001}500{---∞+=∞+-==≥⎰e e dx e X P x x(2) 记}500{≥=X A }1000{≥=X B )()()()()|(A P B P A P AB P A B P ==2120001200011000100020001}1000{)(---∞+=∞+-==≥=⎰e e dx e X P B P x x414121)()()()()|(---====e e eA PB P A P AB P A B P 5 ),(~2σμN X ,且 975.0}9{=<X P 062.0}2{=<X P求 }6{>X P 解 975.0)9(}9{=-Φ=<σμX P 96.19=-⇒σμ062.0)2(}2{=-Φ=<σμX P 显然02<-σμ062.0)2(1=-Φ-σμ , 938.0)2(=-Φσμ 54.12=-⇒σμ 2=σ 08.5=μ6772.0)46.0()208.56()6(}6{=Φ=-Φ=-Φ=<σμX P 3228.0}6{=>X P6 设最高洪水水位X 有概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1210)(3x x x x f今要修建河堤能防100年一遇的洪水(即:遇到的概率不超过0.01),河堤至少要修多高?解 设河堤至少要修H 米 则 01.012}{23≤==>⎰+∞H dx x H X P H10≥⇒H第7次1 X -12 4 P41 21 41求X 解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=414243214110)(x x x x x F2设随机变量X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≥+-<=-0)1(100)(x ex x x F x求 (1) 概率密度函数 (2) (1)}1{≤X P , (3)}12{≤≤-X P解 (1) ⎩⎨⎧≥<=-000)(x xex x f x(2) 121)1(}1{--==≤e F X P(3) 121)2()1(}12{--=--=≤≤-e F F X P3设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<=202121000)(x x x x x x x p(1) 求X 的分布函数F(x),并绘图 (2) )21(F )23(F （3）{1 1.5}P X -<< 解 注意F(x)连续且1)(,0)(=+∞=-∞F F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<≤+<==⎰2121121210210022121210210)()(22332221x x x x x x x x c x c x x x c x x c dx x p x F81)21(=F 87)23(=F 7{1 1.5}8P X -<<= 4求下列随机变量的分布律（１）||1X Y = （２） )2cos(2π+=X Y5 设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31323212314110)(x x x x x F求 X 的分布律 解6设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0)1(200)(2x x x x p π求X Y ln =的概率密度解法一 )(}{}{ln }{)(yX y Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=)1(2)(])([)()(2yyyyX yX Y Y e e e e p e F y F y p +=•='='=π )(+∞<<-∞y解法二 x y ln = 单调上升 ，其反函数为y e x = )(+∞<<-∞y ， ye x =')1(2)()(2yyyyX Y e e e e p y p +=•=π )(+∞<<-∞y 第10次1求（１）)1(+-X E （２）)(2X E解 （1）)1(+-X E 1+-=EX 321)4121211615.0610311(=+•+•+•+•+•--= （2）)(2X E 2435412121161)5.0(61031)1(22222=•+•+•+•+•-= 2设随机变量X 的概率密度为 )(21)(||+∞<<-∞=-x e x p x ,求（１）EX （２） )(2X E解 021||==⎰+∞∞--dx e x EX x202221202||22=∞+---===---∞+-∞+∞--⎰⎰x x x x x e xe e x dx e x dx e x EX3设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=414040)(x x xx x F求 （１）EX （２） )53(+X E解 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4040410)(x x x x f 24140==⎰dx x EX )53(+X E 1153=+=EX4 对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间[a,b]内,求圆面积的期望解 X-----直径 则X~U[a, b])(12)(31)(414)2(33322a b a b a b x a b dx a b x X E ES b a --=•-=-==⎰ππππ 5 按规定某车站每天8:00---9:00, 9:00---10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,(1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解则344.0=⨯（分）(2)8.3008.09008.0=⨯+（分）第11次1 求（１）)(X D - （２）)32(+X D解 4.22.044.031.022.011.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX4.72.044.031.022.011.00222222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX 64.1)(22=-=EX EX DX64.1)(==-DX X D 56.64)32(==+DX X D2设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其余020cos )(πx x k x p ,求（１）?=k （２） }30{π<<x P （２） EX ,DX（3） )23(+X E )23(+-X D解 (1)102sin cos 20==⎰ππx k xdx k 1=⇒k (2) 2303sin cos }30{30===<<⎰πππx xdx x P(3) 1202cos sin cos 20-=+==⎰πππx x x xdx x EX2402cos sin cos 22022-=+==⎰πππx x x xdx x EX3)12(24)(2222-=---=-=πππEX EX DX（3） 12323)23(-=+=+πEX X E 2799)23(-==+-πDX X D3设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}求 ,EX ,DX 解 }2{}1{===X P X P !2!12λλλλ--=e e 2=⇒λ2=EX , 2=DX4 设随机变量)9,2(~N X 求 X Y 3=的概率密度函数 解 )9,2(~N X 则X Y 3=也是正态分布,且 EY=6 DY=81即)9,6(~32N X Y = 29621291)(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴y Y e y f π5 设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<=其余04220)(x b cx x axx p ,已知2=EX ,43}31{=<<X P 求??,?,===c b a 解 2356638)(4220=++=++=⎰⎰c b a dx b cx x xaxdx EX (1)432523)(}31{3221=++=++=<<⎰⎰c b a dx b cx axdx X P (2)16223)()(4221=++=++=⎰⎰⎰+∞∞-c b a dx b cx axdx x p (3)11,1,44a b c ===-。
人教A版高中数学必修二2-1-1课时同步检测习题(含解析)
2-1-1同步检测一、选择题1．下列说法中正确的是()A．镜面是一个平面B．一个平面长10m，宽5mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的2．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α3．如果a⊂α，b⊂β，l∩α＝Q，l∩b＝B，那么下列关系中成立的是() A．l⊂αB．l∈αC．l∩α＝A D．l∩α＝B4．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个5．下列命题中正确的是()A．空间三点可以确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形6．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线的条数是() A．一条B．两条C．三条D．一条或三条7．三条直线两两相交，可以确定平面的个数为()A．1 B．1或2C．1或3 D．38．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④9．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()10．下图中正确表示两个相交平面的是()二、填空题11．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．12．(1)经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作________个平面．(2)“若A、B在平面α内，C在直线AB上，则C在平面α内．”用符号语言叙述这一命题为________________________ ________________________．(3)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是________________．13．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点？14．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)AC∩BD＝________；(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.三、解答题15．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于P A，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.16．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．17．根据本节所学知识，怎样用两根细绳检查一张课桌的四条腿的下端是否在同一个平面内？[分析]四条腿的下端看成四个点，判断这四个点是否共面．详解答案1[答案] D[解析]镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.2[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3[答案] A[解析]由公理1或画图可知：l⊂α.4[答案] D[解析]当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．5[答案] B[解析]由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C 中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组以边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．6[答案] D7[答案] C[解析]三条直线共点时，可以确定三个或一个平面，三条直线不共点时，确定一个平面，∴选C.8[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.9[答案] A10[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．11[答案]P∈l[解析]∵m∩n＝P，m⊂α，n⊂β，∴P∈α，P∈β，又α∩β＝l，∴P∈l.12[答案](1)无数，无数，一(2)A∈α，B∈α，C∈AB⇒C∈α(3)∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上13[答案]1个[解析]若l与α有两个不同的公共点，则由公理一知l⊂α，又B∈l，∴B∈α与B∉α矛盾，∴l与α有且仅有一个公共点A.14[答案](1)O(2)A1B1(3)B115[解](1)符号语言：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图1.(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD＝AC.图形表示如图2.16[解析]图(1)平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β，b∩AB＝M 图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝A，A∈CD.17[解]检查方法：将桌子四条腿朝上放平，用两条细绳拉紧分别按在对角的两腿的下端，如果这两条细绳相交于一点，那么这四条腿的下端就在同一平面内，否则不在同一平面内．。
高二数学选修2-1第三章同步检测3-2-2
3.2第2课时 向量法在空间平行关系中的应用一、选择题1．l ，m 是两条直线，方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若l ∥m ，则( )A ．x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2B ．x 1＝kx 2，y 1＝py 2，z ＝qz 2C ．x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0D ．x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2[答案] D[解析] 由向量平行的充要条件可得．2．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM →＝AB →，则点B 应为( )A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)[答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →＝(7,2,3)．故选B.3．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定 [答案] A[解析] 由v 1∥v 2故可判断α∥β.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2 [答案] C[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ， ∴k ＝4，故选C.二、填空题5．若AB →＝λCD →＋uCE →(λ，u ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．[答案] AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1,1)，C (3，λ，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于________．[答案] 145三、解答题7．如图，已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM MA ＝BN ND ＝5 8.求证：直线MN ∥平面PBC .[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513PA →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .8．用向量证明两个平面平行的性质定理．[证明] 如图α∥β，γ与α、β分别相交于直线a 、b .设a 、b 的方向向量为a 、b ，设平面α的法向量为n ，∵α∥β，∴n ⊥β，由条件知，n ·a ＝0，n ·b ＝0，若a 、b 不共线，则n ⊥γ，这样γ∥α矛盾，∴a 、b 共线，∴a ∥b .9．已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，它们不在同一平面上，点M 、N 分别为对角线BD 、AE 上的点，且AN ＝25AE ，BM ＝25BD .证明：直线MN ∥平面CDE . [证明] MN →＝AN →－AM →＝25AE →－(AB →＋BM →) ＝25(AD →＋DE →)－DC →－25BD →＝25AD →＋25DE →－DC →－25(CD →－CB →) ＝25AD →＋25DE →－DC →＋25DC →＋25CB → ＝25DE →－35DC →，∴MN →与DE →、DC →共面， ∵MN ⊄平面CDE ，∴MN ∥平面CDE .10．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，且PE ED＝2，求证：BF ∥平面AEC . [解析] ∵BF →＝BC →＋12CP → ＝AD →＋12CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE → ＝AD →＋12AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →， ∴BF →、AE →、AC →共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .11．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱PA 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥平面ABC .[证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－PA →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－PA →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e 与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .12．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG ∥平面HMN .[证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0. 令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN .。
新课标高二数学文同步测试（9）（选修1-2第四章）
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（9）（1-2第四章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．192．有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒（）A．21 B．24 C．27 D．303．“对于大于2的整数，依次从2～n 检验是不是n的因数，即整除n的数。
若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数”，对上面流程说法正确的是（）A．能验证B．不能验证C．有的数可以验证，有的不行D．必须依次从2～n－1检验4．“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下大将，他英勇善战，谋略超群，为建立汉朝立下不朽功勋。
据说他在一次点兵的时候，为保住事秘密，不让敌人知道自己里的事实力，采用下述点兵方法：先令士兵1~3报数，结果最后一个士兵报2；又令士兵1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样韩信很快算出自己士兵的总数。
士兵至少有多少人（）A．20 B．46 C．53 D．395．注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．“烧开水泡壶茶喝”是我国著名数学家华罗庚教授作为“统筹法”的引子，虽然是生活中的小事，但其中有不少的道理。
金版学案高中数学选修1-2人教A版2.2.1同步辅导与检测课件.ppt
当 ab＜0 时，有 3 b＞3 a，即 b＞a. 所以选 D. 答案：D
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5．直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和
m⊥γ，那么必定有( )
A
A．α⊥γ且l⊥m
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1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最 根本的方法：综合法和分析法．
2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程， 会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这 两种证明方法的特点，认识证明的重要性．
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(2)用Q表示要证明的结论，那么分析法可用框图表示为：
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
得到一个明显成立的 条件
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3．分析综合法．
(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到 _中__间__结__论_Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到 _中__间__结__论_P．假设由P可以推出Q成立，就可以证明结论成 立．这种证明方法称为分析综合法．
3．综合法和分析法是直接证明中最根本的两种证明方法， 也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点 的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、 放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分 析法的延续与补充．
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(人教A版)高中数学选修2-1(全册)同步单元检测卷汇总
（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步单元检测卷汇总第一章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．答案：B2．下列命题是真命题的是()A．实数的绝对值是正数B．一切自然数都有倒数C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．偶数的平方是4的倍数解析：实数的绝对值是非负数，不是正数，A不正确；0没有倒数，B不正确；垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，C不正确．答案：D3．[2014·保定高二检测]下列命题是真命题的是()A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题；B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题；C．若x>1，则x>2；D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．答案：D4．已知命题s为“p∧q”是真命题，那么命题“p∨q”及命题¬s的真假是()A．真、真B．假、假C．真、假D．以上都不对解析：p∧q为真，则p、q均为真．所以p∨q为真，¬s为假．答案：C5．若“p∧q”与“(¬p)∨q”均为假命题，则()A．p真q假B．p假q真C．p与q均真D．p与q均假解析：“p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“(¬p)∨q”为假，则¬p，q均为假．∴p 真，q假．答案：A6．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：“a＝1”时两直线垂直，两直线垂直时a＝1，故为充要条件．答案：C7．[2014·湖南师大附中月考]“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A. ∃x0∈R，使得f(x0)>0成立B. ∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C. ∀x∈R，使得f(x)>0成立D. ∀x∈R，f(x)≤0成立解析：本题主要考查特称命题．“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)>0成立”，故选A.答案：A8．命题：“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是()A．∃x∈R，x2－x＋2≥0B．∀x∈R，x2－x＋2≥0C．∃x∈R，x2－x＋2<0D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋2<0解析：全称命题的否定是特称命题，“≥”的否定是“<”． 答案：C9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A. x <0 B. x ≥0 C. x ∈{－1,3,5} D. x ≤－12或x ≥3解析：∵2x 2－5x －3≥0的解集为{x |x ≥3或x ≤－12}，∴x ∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件． 答案：C10．[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A. (¬p )∨(¬q )B. p ∨(¬q )C. (¬p )∧(¬q )D. p ∨q解析：¬p 表示甲没有降落在指定范围，¬q 表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.答案：A11．[2013·四川省成都七中月考]已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A. λ1＝λ2＝－1B. λ1＝λ2＝1C. λ1λ2＝1D. λ1λ2＝－1解析：本题主要考查向量中三点共线的条件．依题意，A ，B ，C 三点共线 ⇔AB →＝λAC→⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λλλ2＝1，故选C.答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1x |，x ≠00，x ＝0，则关于x 的方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A.－12<a <0且c >0B. a ≥－12且c <0C.－12<a <0且c ＝0D. a ≥－12且c ＝0解析：本题主要考查含参数的函数方程解的个数问题以及充要条件的知识．令t ＝f (x )，则方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0可转化为at 2＋t －2c ＝0.令g (t )＝at 2＋t －2c ，因为|x ＋1x |≥2且原方程有5个不同实数解，所以方程g (t )＝at 2＋t －2c ＝0应该有一个大于2的根与一个零根，则⎩⎪⎨⎪⎧－12a >0g (2)＝4a ＋2－2c >0c ＝0，解得－12<a <0且c ＝0，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________． 解析：该命题为全称命题，“不大于”即“≤”． 答案：∀x ≤0，x 3≤014．命题：“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是__________． 解析：“都不为零”的否定是“至少一个是零”． 答案：若a ，b 至少有一个为零，则a ·b 为零15．“对顶角相等”的否定为__________，否命题为__________________________． 解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等16．已知命题p ：|x －1|<c (c >0)；命题q ：|x －5|>2，且p 是q 的既不充分也不必要条件，则c 的取值范围是__________．解析：由|x －1|<c ，得1－c <x <1＋c ，∴命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}， 同理命题q 对应的集合B ＝{x |x <3或x >7}， 若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧7>1－c 3<1＋c ，即c >2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题． 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题． 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定并判断真假： (1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0； (4)有些质数不是奇数．解：(1)所有自然数的平方是正数，假命题； 否定：有些自然数的平方不是正数，真命题． (2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题； 否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题． (3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题； 否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题． (4)有些质数不是奇数，真命题； 否定：所有的质数都是奇数，假命题．19．(12分)如右图所示的电路图，设命题p ：开关K 闭合，命题q ：开关K 1闭合，命题s ：开关K 2闭合，命题t ：开关K 3闭合．(1)写出灯泡A 亮的充要条件； (2)写出灯泡B 不亮的充分不必要条件； (3)写出灯泡C 亮的必要不充分条件． 解：(1)灯泡A 亮的充要条件是“p ∧q ”；(2)灯泡B 不亮的充分不必要条件是“¬p ”，或“¬s ”； (3)灯泡C 亮的必要不充分条件是p ，或t .20．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ， ∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2 ＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0， 又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋3b 24≠0，只有a ＋b ＝1. 综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.21．(12分)已知p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真时：x 2－a ≥0即a ≤x 2. ∵x ∈[1,2]时，上式恒成立，而x 2∈[1,4]，∴a ≤1.q 为真时：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0 即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题． ∴a ＝1或a ≤－2. 即实数a 的取值范围是 {a |a ＝1或a ≤－2}． 22．(12分)已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若“¬p ”是“¬q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由p ：|1－x －13|≤2，解得－2≤x ≤10，∴“¬p ”：A ＝{x |x <－2或x >10}． 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 解得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴“¬q ”：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}． 由“¬p ”是“¬q ”的充分而不必要条件可知：A B ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0<m ≤3.∴满足条件的m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．第一章 单元综合检测(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列语句中，不能成为命题的是( ) A ．指数函数是增函数吗？ B ．2010>2011 C ．若a ⊥b ，则a ·b ＝0 D ．存在实数x 0，使得x 0<0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D 是命题，且是个特称命题． 答案：A2．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：A 显然是真命题；对于B ，由x 2＝1，得x ＝±1，故B 是假命题；对于C ，令x ＝y ＝－1，则x ，y 无意义，故C 是假命题；对于D ，令x ＝－3，y ＝－1，则(－3)2>(－1)2，故D 是假命题．故选A.答案：A3．命题“若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．∵它的逆命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1，是假命题，∴它的否命题也是假命题，故选B.答案：B 4．下列命题：①至少有一个实数x 0使x 20－x 0＋1＝0成立； ②对于任意的实数x 都有x 2－x ＋1＝0成立；③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；④存在实数x0使x20－x0＋1＝0不成立．其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由全称命题的定义知②③为全称命题．答案：B5．[2013·重庆高考]命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A. 存在x0∈R，使得x20<0B. 对任意x∈R，都有x2<0C. 存在x0∈R，使得x20≥0D. 不存在x∈R，使得x2<0解析：本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x0∈R，使得x20 <0，故选A.答案：A6．已知条件p：m>3，条件q：点P(m,1)在圆x2＋y2＝4外，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对q：m2＋1>4，∴m2>3，即m>3或m<－3，∴p⇒q反之q p.答案：A7．设p：x2－x－2<0，q：1＋x|x|－2<0，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：x2－x－2<0⇔－1<x<2，q：1＋x|x|－2<0⇔x<－2或－1<x<2.显然p是q的充分不必要条件．答案：A8．[2014·人大附中月考]下列命题的否定为假命题的是()A. ∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B. 任意一个四边形的四个顶点共圆C. 所有能被3整除的整数都是奇数D. ∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析：本题主要考查特称、全称命题的真假性判断，以及命题与其否定之间的真假关系．A中，当x∈R时，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，所以A中命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以A不是；B中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，所以其否定是真命题，所以B不是；C中，由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以C不是；D中，由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题，所以D是，故选D.答案：D9．[2013·湖北省襄阳五中月考]已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是()A. ¬pB. ¬p∨qC. ¬q∧pD. q解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题和特称命题的真假性判断，以及指数函数．很明显命题p为真命题，所以¬p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以¬q是真命题．所以¬p∨q为假命题，¬q∧p为真命题，故选C.答案：C10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，x30>x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数”的充要条件解析：“负数的平方是正数”即为“∀x <0，x 2>0”，是全称命题，所以A 不正确；因为全称命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定为“∃x 0∈N ，x 30≤x 20”，所以B 不正确；因为f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，当最小正周期为π时，有2π|2a |＝π，则|a |＝1⇒a ＝±1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C 不正确，故选D.答案：D11．(2011·湖北高考)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 解析：由a 2＋b 2＝a ＋b ，可得a 2＋b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a ＋b ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a ≥0，b ≥0反之亦可推，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件． 答案：C12．下列命题正确的是( )A. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 则a >b 是cos A <cos B 的充要条件B. 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0C. 已知p ：1x ＋1>0，则¬p ：1x ＋1≤0D. 存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立解析：对于选项A ，在△ABC 中大边对大角，由a >b 得A >B ，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A <cos B ；又由A ，B ∈(0，π)，cos A <cos B 时得A >B ，故a >b ，所以选项A 正确．对于选项B ，命题p 的否定¬p 应为：存在实数x ∈R ，使x 2＋x ＋1≤0，故选项B 不对． 对于选项C ，p ：1x ＋1>0⇔p ：x >－1，故¬p 为x ≤－1而不是1x ＋1≤0，故C 不正确．对于选项D ，cos x ＋sin x 的最大值为2，小于π2，因而选项D 也不正确．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是________．解析：据否命题的定义知，命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是“若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0”．答案：若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠014．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }．若a ＝1，则B ＝{x |b －1<x <b＋1|且A ∩B ≠∅，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1，b －1<1⇒－2<b <2.答案：(－2,2)15．[2013·人大附中月考]等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．解析：本题考查数列问题中充要条件的判断．由S n ＋1>S n (n ∈N *)⇔(n ＋1)a ＋n (n ＋1)2d >na＋n (n －1)2d (n ∈N *)⇔dn ＋a >0(n ∈N *)⇔d ≥0且d ＋a >0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a >0.答案：d ≥0且d ＋a >0 16．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x |x |＋ax ＋m 是奇函数的充要条件是m ＝0； ②若函数f (x )＝lg(ax ＋1)的定义域是{x |x <1}，则a <－1； ③若log a 2<log b 2，则a >b 一定成立；④圆：x 2＋y 2－10x ＋4y －5＝0上任一点M 关于直线ax －y －5a ＝2的对称点M ′也在该圆上．所有正确命题的序号是__________． 解析：①f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x ) ⇔－x |－x |＋a (－x )＋m ＝－x |x |－ax －m ⇔m ＝－m ⇔m ＝0.∴①正确． ②由已知x <1时，ax ＋1>0恒成立． 显然当a ≥0时，上式不成立． 当a <0时，只需a ＋1>0，∴a >－1. ∴－1<a <0，∴②不正确．③当0<a <1<b 时，log 2a <0，log 2b >0，log a 2<log b 2成立，但是a >b 不成立．∴③不正确．④∵圆的圆心为(5，－2)，直线ax －y －5a ＝2过定点(5，－2)．∴圆上任一点M 关于直线的对称点M ′仍在该圆上． ∴④正确． 答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．18．(12分)某人投篮，设命题p ：第一次投中；q ：第二次投中．试用p ，q 及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：(1)两次都投中； (2)两次都没有投中； (3)恰有一次投中； (4)至少有一次投中． 解：(1)两次都投中：p ∧q . (2)两次都没有投中：(¬p )∧(¬q )． (3)恰有一次投中：(p ∧(¬q ))∨((¬p )∧q )． (4)至少有一次投中：p ∨q .19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题；(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．20．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.解：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要是a＋b＋c＝0.21．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且¬p是¬q的必要非充分条件，求a的取值范围．解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}＝{x|3a<x<a(a<0)}B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵¬p是¬q的必要非充分条件，∴¬q⇒¬p，且¬p¬q.则{x|¬q}{x|¬p}，而{x|¬q}＝∁R B＝{x|－4≤x<－2}，{x|¬p}＝∁R A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4a <0， 即－23≤a <0或a ≤－4.22．(12分)已知条件p ：5x －1>a 或5x －1<－a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件p 即x <1－a 5或x >1＋a5，条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．第二章 单元综合检测(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B.43 C.54D.32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝ca ＝32＋423＝53.答案：A4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6. ①由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知ba ＝3， ② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案：B5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A. xy －2x －4y ＝0B. xy ＋2x ＋4y ＝0C. xy －2x ＋4y ＝0D. xy ＋2x －4y ＝0解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x ，y )，A (x －m ，y －n )，B (x ＋m ，y ＋n )，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )2＋2(y －n )2＝a (x ＋m )2＋2(y ＋n )2＝a k AB ·k PM ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m＝－x －2y －2 ⇒x 2y ＝x －2y －2，即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程，故选D. 答案：D6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫34π，π B.⎝⎛⎭⎫π4，34π C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫π2，34π解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D7．[2013·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A. 1＋3B. 1－ 3C.1＋32D. 1－32解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选A.答案：A8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125 B.65 C ．2D.55解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125. 答案：A9．[2013·湖南省雅礼中学期中考试]如图，定点A ，B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A ，B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一条直线，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点解析：本题主要考查曲线的特征分析．由PB ⊥α，得PB ⊥AC ，又PC ⊥AC ，所以AC ⊥平面PBC ，从而AC ⊥BC .由于A ，B 是平面α内的两个定点，则AB 为定长，因此，动点C 在以AB 为直径的圆周上，但不包含A ，B 两个点，故选B.答案：B10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：若设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ·40,2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x . 选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．方程不同主要是因为讨论的焦点不同． 答案：C11．[2013·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 3x ±4y ＝0B. 3x ＋5y ＝0C. 5x ±4y ＝0D. 4x ±3y ＝0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D.答案：D12．[2013·广东省中山一中月考]已知点A (2,0)，在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B ，C ，使∠BAC ＝60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A. (x ＋2)2＋y 2＝4B. x 2＋(y －2)2＝4C. (x －2)2＋(y ＋2)2＝4D. (x －2)2＋y 2＝4解析：本题主要考查求曲线的方程．设H (x ，y )，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD ＝∠EAC ，所以△CBD 与△HAD 相似，则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |⇒|AH |＝|AD |·|BC ||BD |，而∠BAC ＝60°，得|AD ||BD |＝33.又∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，OB ＝OC ＝2，所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23，得|AH |＝23×33＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是__________．解析：由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.答案：直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点__________．解析：直线x ＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．解析：由题意，得b2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12＝22. 答案：2216．[2013·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为____．解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p2)，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p ，x 1·x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝36(x 1＋x 2＋p )(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3，故抛物线的方程为y 2＝23x .答案：y 2＝23x三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2， 代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．(12分)[2013·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x ＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为y 2－3x 2＝k (k ≠0)， 当k >0时，a 2＝k ，b 2＝k 3，c 2＝4k 3，此时焦点为(0，±4k 3)， 由题意得3＝4k 32，解得k ＝27，双曲线方程为y 2－3x 2＝27，即y 227－x 29＝1；当k <0时，a 2＝－k 3，b 2＝－k ，c 2＝－4k3，此时焦点为(±－4k3，0)， 由题意得3＝－4k 2，解得k ＝－9，双曲线方程为y 2－3x 2＝－9，即x 23－y 29＝1.∴所求双曲线方程为y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.19．(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1， 所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 线段的中点为M (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为(－95，15)．20．(12分)[2013·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P (－2,2)、Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线P A 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：如图，∵线段AB 在直线l ：y ＝x 上，且线段AB 的长为2，设M (x ，y )，A (t ，t )，B (t ＋1，t ＋1)(t 为参数)，则直线P A 的方程为y －2＝t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠－2)，①直线QB 的方程为y －2＝t －1t ＋1x (t ≠－1)．②∵M (x ，y )是直线P A 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0. ③ 当t ＝－2时，P A 的方程为x ＝－2，QB 的方程为3x －y ＋2＝0，此时的交点为M (－2，－4)．当t ＝－1时，QB 的方程为x ＝0，P A 的方程为3x ＋y ＋4＝0，此时的交点为M (0，－4)． 经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.21．(12分)如右图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2＝4x 的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点．(1)求抛物线的方程； (2)求|AB |＋|CD |的值．解：(1)由圆的方程x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4可知，圆心为F (2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F (2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |， ∵|BC |为已知圆的直径，∴|BC |＝4，则|AB |＋|CD |＝|AD |－4. 设A (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，∵|AD |＝|AF |＋|FD |，而A 、D 在抛物线上， 由已知可得，直线l 的方程为y ＝2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)， 消去y ，得x 2－6x ＋4＝0.∴x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝6＋4＝10. 因此，|AB |＋|CD |＝10－4＝6.22．(12分)设A ，B 是椭圆3x 2＋y 2＝λ上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点．(1)当λ＝3时，过点P (0,1)且倾斜角为π3的直线与椭圆相交于E 、F 两点，求|EF |的长；(2)确定λ的取值范围，并求直线CD 的方程． 解：(1)当λ＝3时，椭圆方程为x 2＋y 23＝1，直线EF 方程为：y ＝3x ＋1. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，3x 2＋y 2＝3，∴3x 2＋3x －1＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－33，x 1x 2＝－13.∴|EF |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2153.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋3， 代入3x 2＋y 2＝λ，得(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2－λ＝0.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3，且Δ＝4[λ(k 2＋3)－3(k －3)2]>0.② 由N (1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2＝2. ∴k (k －3)＝k 2＋3解得k ＝－1代入②得λ>12.∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD 的方程为x －y ＋2＝0.第二章 单元综合检测(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知A (0，－5)，B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线解析：当2a <|AB |时，表示双曲线的一支；当2a ＝|AB |时表示一条射线，故选D. 答案：D2．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)，故选A. 答案：A3．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 225＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1 D.x 25＋y 225＝1 解析：双曲线x 23－y 22＝1中a 21＝3，b 21＝2，则c 1＝a 21＋b 21＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a ＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. 答案：B4．若P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝－32x 上一点，点F 为抛物线的焦点，则|PF |＝( )A ．x 0＋8B ．x 0－8C ．8－x 0D ．x 0＋16解析：由题意可知抛物线开口向左，且p ＝322＝16，因此抛物线的准线方程为x ＝8，因此|PF |＝8－x 0.答案：C5．[2014·贵州遵义一模]椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A. 916B. 932C. 964D. －932解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 219＝1， ①x 2216＋y229＝1， ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，又∵弦中点为M (－1,2)， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4， ∴－2(x 1－x 2)16＋4(y 1－y 2)9＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝932.答案：B6．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )A. 48B. 24C. 243D. 12 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝8.又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1||PF 2|＝12×6×8＝24.答案：B7．[2014·清华附中月考]如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A. (2＋3)a 万元B. (23＋1)a 万元C. 5a 万元D. 6a 万元解析：本题主要考查抛物线的实际应用．依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km ，∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.答案：C8．[2014·湖北省黄冈中学月考]已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A. (1,2)B. (1，2)C. (1,3)D. (1，3)解析：本题考查双曲线离心率的求法和数形结合思想的应用．∵△ABE 为等腰三角形，可知只需∠AEF <45°即可，即|AF |<|EF |⇒b 2a <a ＋c ，化简得e 2－e －2<0，又e >1，∴1<e <2，∴该双曲线的离心率e 的取值范围为(1,2)，故选A.答案：A9．[2014·山东省济南一中月考]线段CD 的两端点分别在射线OA ，OB 上，若OA ，OB 的方程分别为y ＝3x (x ≥0)和y ＝－3x (x ≥0)且|CD |＝43，则CD 的中点P 的轨迹方程是( )A. 3x 2＋y 23＝12 B. 3x 2－y 23＝12 C. 3x 2＋y 23＝12(3≤x ≤2) D. 3x 2－y 23＝12(3≤x ≤2) 解析：本题主要考查由曲线求方程．设P (x ，y )，C (x －m ，y －n )，D (x ＋m ，y ＋n )，由C ，D 分别在OA ，OB 上，及|CD |＝43，得⎩⎨⎧y －n ＝3(x －m )y ＋n ＝－3(x ＋m )2m 2＋n 2＝43⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－3x m ＝－13ym 2＋n 2＝12⇒3x 2＋y 23＝12且3≤x ≤2，故选C. 答案：C10．如右图所示，共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3解析：由椭圆、双曲线的离心率范围知0<e 1，e 2<1<e 3，e 4.由椭圆①②的圆扁情况知e 1<e 2；由双曲线③④的开口大小情况知e 4<e 3.故选C.答案：C11．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于( )A.32 B ．2 C.52D ．3解析：依题意k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 2＋x 1＝－12，且⎝⎛⎭⎫x 2＋x 12，y 2＋y 12 在直线y ＝x ＋m 上， 即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ， y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ，∴2(x 22＋x 21)＝x 2＋x 1＋2m ，2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ，2m ＝3，m ＝32.答案：A12．[2014·陕西省西安铁一中月考]已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆C 的圆心的横坐标为( )A. －aB. －bC. －cD. a ＋b －c解析：本题考查双曲线中基本量之间的关系和三角形内切圆的性质．设△PF 1F 2的内切圆C 与三边PF 1，PF 2，F 1F 2分别切于点A ，B ，D ，由双曲线定义有|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即|PB |＋|BF 2|－(|P A |＋|AF 1|)＝2a ，由圆的切线性质知|P A |＝|PB |，|AF 1|＝|DF 1|，|BF 2|＝|DF 2|，所以|DF 2|－|DF 1|＝2a ，又|DF 2|＋|DF 1|＝2c ，故|DF 2|＝a ＋c ，圆心C 的横坐标为x 0＝－a ，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于__________．解析：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.答案：25514．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝__________. 解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得(p2＋2)2＋(－3)2＝5.解得p ＝4. 答案：415．[2014·福建省厦门一中期末考试]已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.解析：本题综合考查直线、双曲线与圆．设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，所以|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝－12|PF ′|＋|MF |－|FN |＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.。
1-2-2 数轴(课件)-七年级数学上册同步辅导微课(人教版)
例5.填空题： (1)数轴上表示-2的点在原点的 左 侧, 距离原点_2_个__单__位__长__度__,
表示4的点在原点的 右 侧,距离原点_4_个__单__位__长__度___.
(2)在数轴上表示数6的点在原点_右___侧，到原点的距离是_6__
个单位长度,表示数-8的点在原点的__左__侧,到原点的距离
1.选择题：
(1)数轴的三要素( C )
A.数轴、原点、正方向
B.正方向、原点、箭头
C.正方向、原点、单位长度 D.负方向、原点、单位长度
(2)数轴上到原点距离5个单位长度的点表示的数是( C )
A.+5
B.-5
C.
D.无法确定
(3)如图,A、B、C所表示的数是（ B ）
C
AB
●
0
●
●
A.A、B、C都表示正数 B.A、B表示正数，C表示负数
分析:把原点O向负方向移动1.5个单位,则点A仍然在原点左边,并且距 离原点2.5个单位长度,所以这时点A表示的数为-2.5.
答:新数轴上点A表示的数是-2.5
例8.你知道在数轴上距原点3个单位长度的点表示什么数吗？
答:在数轴上距原点3个单位长度的点表示的数为±3.
-3
3
-2 -1 0 1 2
注意:在数轴上与原点距离相等的点所表示的数互为相反数.
(9)一个点从数轴的原点开始,先向左移动3个单位长度,再向
右移动6个单位长度,这个点最终所对应的数是( C ).
A．+6 B．-3 C．+3
D．-9
2.写出数轴上点A、B、C、D、E、F表示的数：
（1）
C FBA D
E
－3 －2 －1 0 1 2 3
六年级最新英语下册单元测试题六年级英语下学期同步检测题带图文答案解析100篇1-2单元测试试题1
Unit 1-Unit 2测试试题（答题时间：60分钟）听力部分一、听录音，选出你所听到的单词。
( ) 1. A. think B. thin C. thing( ) 2. A. cold B. cool C. cloud( ) 3. A. matter B. mother C. meter( ) 4. A. head B. hand C. hear( ) 5. A. sore B. short C. small( ) 6. A. fever B. feel C. few( ) 7. A. tail B. test C. tall( ) 8. A. study B. sick C. stay二、听问句选择答句。
( ) 1. A. Yes, I did. B. Yes, I am. C. Yes, I was.( ) 2. A. No, she doesn’t. B. Yes, she does. C. Yes, she did.( ) 3. A. I feel sad. B. I am tired. C. I felt excited.( ) 4. A. She saw elephants. B. She sees elephants. C. She seed elephants.( ) 5. A. He reads books. B. He is reading books. C. He read books.( ) 6. A. I went to Harbin. B. I went by plane. C. Last holiday.( ) 7. A. Yes, he’s going on a trip. B. He feels bored. C. No, he didn’t.三、根据录音的对话内容,判断下列句子的正误,对的打“ ”,错的打“ ”。
( ) 1.Amy didn’t walk to school yesterday.( ) 2. Lingling got up at six yesterday.( ) 3. Amy watched TV yesterday.( ) 4. I’m taller than my older brother.( ) 5. Last weekend was our National Day.( ) 6. Sam didn’t play football yesterday. He played with his toys.( ) 7. Susan painted a picture yesterday morning.四、听录音，写词。
同步解析与测评数学选修2-1电子版
同步解析与测评数学选修2-1电子版 本电子版包含：同步解析与测评数学选修1-2至3、同步解析与测评数学选修2-1至3。首先，需要了解这两门课程的学习目标。我们知道，所有的数学课程都是以学生为中心，并以学生为本的课；其次，这门课程的学习过程是基于学生在学习过程中的学习意愿为基础的；最后如果我们不能让学生产生“自主学习”的意识，那这种学习方式也是不可取的。那么该如何培养学生的自主学习意识呢？其实很简单。本版学习目标的设定是：学生将在本学期开始学习下一学期所学的数学知识和基本技能。 一、使学生知道如何利用自己的掌握的数学知识解决日常生活中的一些实际问题，从而培养学生的实际应用能力。 在“同步解析与测评数学选修2-1”中，学生可以通过两个问题：A.如何让学生设计“两个问题”：第一个问题：如果让4个人穿同样的衣服，哪一个人可以走到第一个问题最后，哪个人能走到最后？第二个问题：请同学们先说出“服装”这个词对不对？我们先来看一个故事：几个孩子在路上玩游戏，有个小孩想要一件新衣服新裤子，但是衣服穿了一周都没穿过，男孩想要给她买一件新衣服，女孩想要一件新裤子新衣服。当男孩问女孩买衣服需要多少钱时，女孩说：只要10元，男孩问女孩：需要多少钱？女孩听了说:10元，男孩继续问：需要多少钱？ 二、使学生学会从实践中获取数学知识。 教学实践的目的在于：通过学生的实际操作，使学生认识到学习的重要性和必要性，使学生形成自主学习的意识。因此，我们在教学中必须把帮助学生获得真正意义上的“自主学”放在第一位。但同时也要注意：“自主学”不是“一成不变、机械、死板”地去重复“灌输”，而是要让学生“自主学”。因此，对于“自主学”的教学，我们必须有针对性地进行教学改进，尤其是要注意“鼓励学生通过探究使知识真正形成”；其次，要以学生为主体，以问题为主线展开教学；最后，必须坚持自主与合作、思考与探究等学习方法。例如我们在教学“二等分数问题”时，我们会首先引导学生看懂分数对应的条件（如已知分数、相同分数和不同分数、不同的时间、不同等级学生等),然后让学生通过小组讨论、教师讲解等方式来逐步解决问题（如“二等分数问题”可先由学生分析并提出三个问题“三求相同分数是多少”及相应条件）。 三、使学生初步掌握使用多媒体软件进行数学计算的基本技能（特别是在求积分算法时）。 从目前的教学现状来看，很多学生对多媒体软件产生了兴趣，但是由于使用的软件都是多媒体或者是软件之间都是互相独立的代码，所以学生对软件之间也并不了解（尤其是对于同一计算问题的两个计算步骤）。所以让学生自行学习并不是一件很容易的事情。所以让学生自主学习首先要了解软件背后的原理。在实际教学中，可能有些学生会因为自己没有做过实验而觉得这是一个不需要做实验就可以得到结果了。所以我们在平时教学过程中应该要让他们明白这样不行。那我们怎么才能让学生真正了解并掌握用多媒体软件进行数学计算？这就需要我们充分发挥多媒体软件在数学计算中“帮助”作用了。 四、使学生知道数学的应用和拓展不仅局限于学习数学中有意义的知识，而是可以从生活中感受到数学带给我们的快乐和便利。 在本学期中，学生将开始学习数学的基本应用知识，同时要学习一些新出现的数学概念和新拓展练习题。学生在学习这些知识的过程中，将不再只是单纯地理解这门课或知识点，而是真正地体会到了数学与我们的生活的密切联系。本学期，我将让学生对一些简单的生活问题进行分析设计（如：如何判断人是否是真的胖还是假胖?)、应用问题（如：用一只青蛙解决一个问题）、总结与反思这些题目。因此我在教学过程中会尝试着采用下面这几种方式进行学习。首先给学生一个明确“为什么”的目的；其次也可以让学生总结一种方法来判断自己是否是真胖还是假胖；第三通过观察周围景物，来达到寻找生活中的数学应用场景和知识目的。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-1-4
[解析] 当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，∴①②③均错，④对． 4．水平放置的矩形 ABCD 长 AB＝4，宽 BC＝2，以 AB、AD 为轴作出斜二测直观图 A′B′C′D′，则四边形 A′B′C′D′的面积为( A．4 2 B．2 2 C．4 D．2 [答案] B [解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线， ∴四边形 A′B′C′D′为平行四边形， ∠D′A′B′＝45° ，A′B′＝4， 1 A′D′＝ ×2＝1， 2 ∴D′E＝1×sin45° ＝ 2 ， 2 2 ＝2 2. 2 )
∴S 四边形 A′B′C′D′＝A′B′· D′E＝4×
5．如图，正方形 O′A′B′C′的边长为 a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的 直观图，则它的原图形 OABC 的周长是( )
A．8a cm B．6a cm C．(2a＋2 2a) cm D．4a cm [答案] A [解析] 由斜二测画法的规则可知， 在原图形中 OB＝2 2a，OA＝a，且 OA⊥OB，∴AB＝3a， ∴OABC 的周长为 2(a＋3a)＝8a cm. 6．已知正△ABC 的边长为 a，以它的一边为 x 轴，对应的高线为 y 轴，画出它的水平 放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( A. B. 3 2 a 4 3 2 a 8 )
根据太阳光平行的特征有
x 3 ＝ ， 1.5 1.6
x≈2.81,2.81m＋3m＝5.81m>5m， 所以小鹏的身影会在小昆的脚下．
[答案] ② 三、解答题 13．如图所示，有一灯 O，在它前面有一物体 AB，灯所发出的光 使物体 AB 在离灯 O 为 10 m 的墙上形成了一个放大了 3 倍的影子
A′B′，试求灯与物体之间的距离． [解析] 如图所示，作 OH⊥AB 于 H，延长 OH 交 A′B′于 H′，则 OH 即为所求． 由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB∽△OA′B′， ∴ AB OH AB 1 ＝ ，∵ ＝ ，且 OH′＝10 m. A′B′ OH′ A′B′ 3
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1-2-2-2同步检测
一、选择题
1．给出下列四个命题：
(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；
(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．(2011～2012瓮安一中周测试题)下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射
的是( )
A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|
B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)
x
D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→
x
2
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3．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能看做从
M到P
的映射的是( )
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝
1
3
x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
1
6
x
4．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}则从A到B可以建立不同的映射个数为( )
A．5 B．6
C．8 D．9
5．已知f(x)＝
x2＋3 x
＞0，
1 x＝0，
x＋4 x
＜0.
则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4
C．3 D．－3
6．(2012·山东临沂)设函数f(x)＝ 1－x2，x≤1，x2＋x－2，x>1，则f(1f2)的值为( )
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A.1516 B．－
27
16
C.89 D．18
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合f(m)＝
3.71，0
其中[m]表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地
通话5.2分钟的话费是( )
A．3.71 B．4.24
C．4.77 D．7.95
8．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8
元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的
函数图象大致为下列图中的( )
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二、填空题
9．(2010·陕西文，13)已知函数f(x)＝ 3x＋2，x<1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实
数a＝________.
10．函数f(x)＝ x－2x≤－1x2＋1－1
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(3,1)，则f(1f3)的值等于________．
三、解答题
12．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20 g重付邮资80分，超过20 g重而
不超过40 g重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(g)
的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
13．作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
14．已知函数f(x)＝
－2x＋1x<1，
x2－2xx
≥1.
(1)试比较f[f(－3)]与f[f(3)]的大小；
(2)求使f(x)＝3的x的值．
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15．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ x－1，x≥0，2－x，x<0.求f[g(x)]和g[f(x)]．
详解答案
1[答案] B
[解析] 对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应
法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
2[答案] A
[解析] 对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0∉N*，
∴不是映射，故选A.
3[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝6时，y＝6，当6∉P，故选C.
4[答案] C
[解析] 用树状图写出所有的映射为：
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a→d b→d c→dc→eb→e c→dc→e a→e
b→d
c→d
c→e
b→e
c→d
c→e
共8个．
5[答案] B
[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，
∴f(f(－4))＝f(0)＝1，
f(f(f(－4)))＝f
(1)＝12＋3＝4.故选B.
6[答案] A
[解析] f(2)＝4，1f2＝14，故f(1f2)＝f(14)＝1－(14)2＝1516.
7[答案] C
[解析] f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.
8[答案] B
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[解析] 由已知得y＝ 50
9[答案] 2
[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
10[答案] 2
[解析] 当x≤－1时，x－2＝3，∴x＝5(舍)，
11[答案] 2
[解析] f(3)＝1，f(1)＝2，∴f(1f3)＝2.
12[解析] y＝ 0 x＝080 0＜x≤20，160 20＜x≤40定义域为[0,40]，图象如下
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13[解析] f(x)＝
－3 x≥2
1－2x－1＜x＜2
3 x≤－1
如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．
14[解析] (1)∵－3<1，∴f(－3)＝7，
又∵7>1，∴f[f(－3)]＝f(7)＝49－14＝35.
∵3>1，∴f(3)＝32－2×3＝3，∴f[f(3)]＝f(3)＝3.
∴f[f(－3)]>f[f(3)]．
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(2)当f(x)＝3时，有
－2x＋1＝3，x<1⇒
x
＝－1，
x
<1
⇒x＝－1.
或
x2－2x＝3，x≥1⇒
x1＝3或x
2
＝－1，
x
≥1
⇒
x
＝3.
∴使f(x)＝3的x的值为－1或3.
15[解析] f[g(x)]＝
x－12－1，x
≥0，
2－x2－1，x<0.
∴f[g(x)]＝
x2－2x，x
≥0，
x2－4x＋3，x
<0.
g[f(x
)]＝
x2－1－1，x
2
－1≥0，
－x2＋1＋2，x2－1<0.
∴g[f(x)]＝
x2－2，x≥1或x
≤－1，
－x2＋3，－1