清华大学数学实验报告9

数学实验报告9约束优化

一、实验目的

1.掌握数据的参数估计、假设检验的基本原理、算法，及用MATLAB实现的方法；

2. 练习用这些方法解决实际问题。

二、实验内容

题目1

【问题描述】

据说某地汽油的价格是115美分/gal，为了验证这种说法，一位司机开车随机选择了一些加油站，得到某年1月和2月的数据如下：

1月

2月

(1)分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性；

(2)分别给出1月和2月汽油价格的置信区间(

)；

(3)分别给出1月和2月汽油价格差的置信区间(

)。

【分析与解】

检验数据是否服从正态分布，在Matlab中编程如下：

format compact

clear;

clc;

x1 = [119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118];

x2 = [118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125];

h1 = jbtest(x1)

h2 = jbtest(x2)

h11 = lillietest(x1)

h12 = lillietest(x2)

运行以上代码，得到如下结果：

h1 =

h2 =

h11 =

h12 =

结果说明数据服从正态分布，所以可以使用正态分布的相关性质进行假设检验。

为验证上述说法，在Matlab中编程如下：

clc

mean1 = mean(x1)

mean2 = mean(x2)

[mm1 ss1 mmm1 sss1] = normfit(x1,0.05)

[mm2 ss2 mmm2 sss2] = normfit(x2,0.05)

运行以上代码，得到如下结果：mean1 =

115.1500

mean2 =

120.7500

mm1 =

115.1500

ss1 =

3.8699

mmm1 =

113.3388

116.9612

sss1 =

2.9430

5.6523

mm2 =

120.7500

ss2 =

3.7116

mmm2 =

119.0129

122.4871

sss2 =

2.8227

5.4211

分析以上结果可知，第一月汽油价格的平均值为115.15，置信区间为[113.34,116.96]，第二月汽油价格的平均值为120.75，置信区间为

[119.01,122.49]，一二月份的价格差的置信区间为[3.17,8.03]。

【结论】

(1)说法不可靠，可以认为一月份的汽油价格是115美分/gal，2月份汽油价格应该是120美分/gal；

(2)1月汽油价格的置信区间为[113.34,116.96] ，2月汽油价格的置信区间为[119.01,122.49]；

(3)1和2月汽油价格差的置信区间为[3.17,8.03]。

题目2

【问题描述】

甲方向乙方成批供货，甲方承诺合格率为90%，双方商定置信概率为95%。现从一批货中抽取50件，43件为合格品，问乙方是否应该接受这批货物？你能为乙方不接受它出谋划策吗？

【分析与解】

(1)对于检验样本用X=0表示合格品，用X=1表示废品，则X服从0-1分布。设废品率为p，则X的期望

，方差

。

对其做单边检验：

则当

时接受

，反之则拒绝原假设。

因为

所以应该接受这批产品。

(2)若使得乙方拒绝这批产品，可以通过以下几种方式：

<1>增大抽样数量：

为求解使得乙方拒绝这批产品抽样数量的最小值，在Matlab中编程如下：format compact

clear

clc

x = 43/50;

p0 = 0.9;

n = 50;

z = (x-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n)

u = norminv(0.05,0,1)

function f = nfunc(n,x,p0,u)

f = (x-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n)-u;

end

n0 = fzero(@nfunc,100,[],x,p0,u)

运行以上代码，得到如下结果：

n0 =

152.1868

【结论】当抽样数量的最小值大于等于153时，可以拒绝这批产品。

<2>提高要求的合格率：

为求解使得乙方拒绝这批产品所要求的合格率的最小值，在Matlab中编程如下：

function f=pfunc(p,x,n,u)

f=(x-p)/sqrt(p*(1-p)/n)-u;

end

p=fzero(@pfunc,0.9,[],x,n,u)

运行以上代码，得到如下结果：

p =

0.9223

【结论】当要求的合格率大于92.23%时，可以拒绝这批产品。

<3>修改样本的置信率

为求解使得乙方拒绝这批产品的样本的置信率的最大值，在Matlab中编程如下：

b=1-normcdf(z)

运行以上代码，得到如下结果：

b =

0.8271

【结论】当样本的置信率小于等于降低0.8271时，可以拒绝这批产品。

题目3

【问题描述】

为研究胃溃疡的病例医院做了两组人胃液成分的试验，患胃溃疡的病人组与无胃溃疡的对照组各取30人，胃液中溶菌酶含量如下表所示。

(1)根据这些数据判断患胃溃疡病人的溶菌酶含量与正常人有无显著差别；

(2)若下表患胃溃疡病人组的最后5个数据有误，去掉后再作判断。

胃溃疡病人和正常人(各30人)的溶菌酶含量

1.5 8.8 1.5 9.1 1.9 10.3

2.0 15.6 2.4 16.1

2.5 16.5 2.8 16.7

3.6 20.0

4.8 20.7 4.8 33.0

【分析与解】

本题所列的模型为方差未知的假设检验，对其做双侧检验：

。

对于假设进行t检验，在Matlab中编程如下：

clear;

clc;

ywky1 = [0.2 10.4 0.3 0.4 10.9 11.3 1.1 2.0 12.4 16.2 2.1 17.6

18.9 3.3 3.8 20.7 4.5 4.8 24 25.4 4.9 40 5 42.2 5.3 50

60 7.5 9.8 45];

wwky = [0.2 5.4 0.3 5.7 0.4 5.8 0.7 7.5 1.2 8.7 1.5 8.8 1.5 9.1

1.9 10.3 2 15.6

2.4 16.1 2.5 16.5 2.8 16.7

3.6 20

4.8 20.7

4.8 33];

[hh1,sigma1,cc1] = ttest2(ywky1,wwky)

ywky2 = [0.2 10.4 0.3 0.4 10.9 11.3 1.1 2.0 12.4 16.2 2.1 17.6

18.9 3.3 3.8 20.7 4.5 4.8 24 25.4 4.9 40 5 42.2 5.3];

[hh2,sigma2,cc2] = ttest2(ywky2,wwky)

运行以上代码，得到如下结果：

hh1 =

1

sigma1 =

0.0251

cc1 =

0.9886 14.3114

hh2 =

sigma2 =

0.1558

cc2 =

-1.5035 9.1528

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