高考数学真题分类汇编平面解析几何专题(综合题)

高考数学真题分类汇编平面解析几何专题（综合题）

1.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

2.已知抛物线的准线与轴交于点，过点做圆的两条切线，切点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线是讲过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过定点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.

3.如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．

（1）求椭圆标准方程；（2）求证：直线PQ的斜率为定值；

（3）求△OPQ的面积的最大值．

4.已知椭圆的短轴长为2 ，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．

（1）求这个椭圆的标准方程；

（2）如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．

5.已知椭圆+ =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的一个短轴

端点及两个焦点构成的三角形的面积为，圆C方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=（）2．

（1）求椭圆及圆C的方程；

（2）过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若• =﹣2，求直线l的方程．

6.已知圆F1：（x+1）2+y2=r2与F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共

点的轨迹为曲线E

（1）求E的方程；

（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点，点M，N是直

线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

7.已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．

8.抛物线的焦点为F，斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足．（1）求直线l的斜率；

（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的面积的最小值．

9.已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点作直线，交椭圆于，两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．

10.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，

）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

11.如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面

是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接

在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为8m，镜深1m．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；

（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度．

12.已知椭圆的长轴长为4,且椭圆与圆:

的公共弦长为.

（1）求椭圆的方程

（2）椭圆的左右两个顶点分别为,直线与椭圆交于两点,且满足,求的值.

答案

1. （1）设椭圆的标准方程为

，

∴

∴

∴

所以，椭圆的标准方程为.

（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程

消去得，

，，

，

又，

由得，

即，，∴，

∴，

∴.解得：

，，且均满足，

当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，直线的方程为，直线过定点.

②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线：，

：，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，

也过定点

综上所述，直线恒过定点

2.（1）解：由已知得设与轴交于点，由圆的对称性可知，. 于是，所以，所以，所以.故抛物线的方程为

（2）解：设直线的方程为，设，

联立得，则.

设，同理得，

则四边形的面积

令，则

是关于的增函数，

故，当且仅当时取得最小值

3.（1）解：设椭圆方程为，

∵椭圆经过点（﹣2，1），∴，

∵，∴，∴椭圆方程为

（2）证明：设直线AP方程为y=k（x+2）+1，则直线AQ的方程为y=﹣k（x+2）+1 由可得（1+2k2）x2+4k（2k+1）x+8k2+8k﹣4=0，△＞0，

设P（x1，y1），由A（﹣2，1）可得，∴P（，），

同理可得Q（，），

∴k PQ=﹣1

（3）由（2），设PQ的方程为y=﹣x+m，代入椭圆方程得：3x2﹣4mx+2m2﹣6=0．令△＞0，得﹣3＜m＜3，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

∴

设原点O到直线的距离为d，则，

∴，

当时，△OPQ面积的最大值为

4. （1）解：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，

∵2b＝2 ，c＝1，∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1

（2）解：联立方程组消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.

若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，

即m2＜7，解得－＜m＜.

即m的取值范围是(－，)．

5.（1）解：由题意可得：，= ，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c= ．∴椭圆的标准方程为：=1．

圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4

（2）解：C（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l的斜率存在，设直线AB的方程为：y=kx，联立，化为：（1+k2）x2﹣（4+2k）x+1=0，

△=（4+2k）2﹣4（1+k2）＞0，解得：．∴x1x2= ，x1+x2= ，

∵• =﹣2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=﹣2，

又y1=kx1，y2=kx2，∴（1+k2）x1x2﹣（2+k）（x1+x2）+7=0，

∴（1+k2）× ﹣（2+k）× +7=0，

化为：3k2﹣4k=0，

解得k=0，k= ．∴直线l的方程为y=0，或y=

6.（1）解：设⊙F1．⊙F2的公共点为Q，

由已知得|F1F2|=2，|QF1|=r，|QF2|=4﹣r，

故|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，

∴曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，

且b2=a2﹣c2=3，