概率统计模拟试题及答案1

一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案

（本题共32分，每小题各4分）

1． 已知二维随机变量()Y X ,的概率密度为???≤≤≤≤+=其它,02

0,10),(),(y x y x a y x f ,

其中a 为常数； 则有{}P X Y ≥= 。

A. 1

6

； B.a ； C.13； D. 12 。

2. 设总体X 的概率密度为 1,

0(,)0,

x f x θθθ

?≤≤?=???其它

, （0θ

>）

又n x x x ,,,21???为来自于总体X 的样本值, 则参数θ的极大似然估计=θ? 。 A ．12min{,,

,}n x x x ； B.

12max{,,,}n x x x ；C. x ； D.

1

x

。 3．设随机变量1~(0,1)X N ，2

2~(3,2)X N ，且1X 与2X 相互独立，

()x Φ为1X 的分布函数，X 的分布函数为3

()()(

)2

x F x a x b -=Φ+Φ， 其中常数,0,1a b a b >+=， 下列表述中正确的结论是 。

A ． 22~(3,4)X N b a b + ； B. 12X aX bX =+； C.

3

2EX b =； D. 3EX b =。

4.设321,,X X X 为来自总体X 的一个简单样本, 总体均值EX μ=，

总体方差2DX σ=，下列几个总体均值μ的无偏估计量中，方差最小的是 。

A.123131?5102X X X θ=++；

B. 123

111?326X X X θ=++； C. 123111?333X X X θ=++； D. 123

131?3412X X X θ=+- 。

5.设二维随机变量)0;3,2;,3(~),(22σσ-N Y X ,则下列各式中成立的是 。

A ．21}1{=

-≤+Y X P , B.21}1{=-≤-Y X P , C. 21}72{=≤+Y X P , D.2

1

}72{=≤-Y X P 。

6．设随机变量),(Y X 的概率密度为(,)f x y ，且函数(,)f x y 连续，

22Y X Z +=的概率密度为()Z f z ，记222:r C x y r +=，

则有当0z >时，()Z f z = 。 A

．

C (,)r

f x y dsdr ；

B.

(,)f x y ds ?

；

C

．

(,)f x y ds ?

； D.(,)z

C f x y ds ? 。

7.设总体),0(~2σN X ,1521,,,X X X 为总体X 的一个样本, 则下列各式中正确的是 。

A.

)1,0(~1

15

1

N X

i i

∑=σ

, B.

)10,5(~2

1

15

6

25

12F X

X j j

i i

∑∑==,

C.

)10,5(~215

625

12

F X X j j i i ∑∑==, D. )15(~215

1

2χ∑=i i X 。

8.已知二维随机变量),(Y X 的分布函数为???

??>>->≤≤-=--其它,00,1),1(0,10),1(),(y x e y x e x y x F y y ,

则 ),min(Y X Z =的分布函数()Z F z = 。

A ．(1),01()(1),10,0

z z Z z e z F z e z z --?-≤≤?=->??

； B. ,01()1,10,0z z z F z z z ≤≤??

=>??

C ．(1),0()0,0z

Z e z F z z -?-≥=?

()(1),011,1

z z Z z F z e ze z z --

=-+≤≤??>?

。

二、 填空题（本题满分32分，每小题4分）

1.掷两颗匀称的骰子,观察出现的点数.设X 为第一颗骰子出现的点数,

Y 为第二颗骰子出现的点数,设Z X Y =+，

则{}P Z k =的最大值在k = 处达到。

2.设12,

,

,n X X X 为取正值的相互独立随机变量，且服从相同分布，

i X 的概率密度函数为()i f x 。则1212(

)k

n

X X X E X X X +++=+++ ，(1)k n ≤≤。 3．设甲、乙两人的射击水平相当,约定比赛规则如下:双方对同一目标轮流射击,

若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止，首先命中目标一方 为该轮比赛的优胜者。甲、乙两人每次命中的概率均为p , 失利的概率为q )1,10(=+<

记A =“甲胜”，B =“乙胜” 。 假如第一枪由甲射击，则()P A = 。 4．已知事件

C B A ,,相互独立,且3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P ,

则{()}P C A B --= 。

5．设随机变量n X 的概率密度为221

()1n n f x n x

π=+, +∞<<∞-x ,(1,2,)n =。

则成立||

lim 1||

n n n X E

X →∞

=+ 。

6.设随机变量X 在]2

,2[π

π-

上服从均匀分布,则X Y cos =的分布函数()Y F y = 。 7．三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹)。设击中敌舰一发炮弹、二发炮弹、

三发炮弹的概率分别为0.3、0.5、0.2,而敌舰中炮弹一发、二发、三发时被击沉的概率分别为0.2、0.6、0.9。则敌舰被击沉的概率为 。 8.设总体2~(,)X N μσ,

n x x x ,,,21 为来自X 的样本，(2)n ≥；

记 11n i i x x n ==∑ ， 2

21

1()1n i i s x x n ==--∑ 。 如果给定20σ，检验假设0H :220σσ=时，

选取检验用的统计量及服从的分布是 。

三、（满分8分）设一袋中有n 个白球与m 个黑球,现在从中无放回接连抽取N

个球,设=i A “第i 次取时得黑球”, (m n N i +≤≤≤1).

试求：（1）()i P A ； （2）试说明（1）的结果对认识实践的指导意义。

四、（满分8分）设袋中装有m 个颜色各不相同的球，有返回的摸取n 次，

设摸取到的n 个球中的颜色种类数为X ，试求EX 。

五、（满分20分）（此题学《概率统计A 》的学生做，学《概率统计B 》的学生不做） 设随机过程()cos()X t X t ω=+Θ,),(+∞-∞∈t ,其中(0)ω≠

是实常数,

X 服从(1,1)N 分布，Θ服从区间(,)ππ-上的均匀分布,且X 与Θ相互独立。 试求：（1）写出Θ的概率密度()f θ；

(2)[()]E X t ； （3）[()()]E X t X t τ+；

（4）1(,)2lim l

l

l X e t dt l

-→+∞?； （5）1(,)(,)2lim l l l X e t X e t dt l τ-→+∞+? 。

[五]、（满分20分）（此题学《概率统计B 》的学生做；学《概率统计A 》的学生不做）

设??????,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列,且n X 的分布律为

{n P X ==

{n P X ==

{0}1n P X == ),2,1(???=n ；

记∑==n

i i n X n Y 1

1,),2,1(???=n 。

试求：（1）n EY ；（2）n DY ；（3）lim n n DY →∞

；（4）试证{}n Y 依概率收敛于0 。

答案及评分细则 （2016-01-19）

A 卷

一、单项选择题（每小题4分，满分32分）

1、A ；

2、B ；

3、D ；

4、C ；

5、D ；

6、B ；

7、C ；

8、D.

二、填空题（每小题4分，满分32分）

1、7； ；

2、

k

n

； 3、11()12P A q p ==+-； 4、0.656； 5、0； 6、0,02()(arccos ),012

1,1Y y F y y y y ππ

=-≤

；

7、0.54； 8、()2

22

0(1)~1n s W n χσ-=- 。

B 卷

一、单项选择题（每小题4分，满分32分）

1、C ；

2、B ；

3、D ；

4、A ；

5、D ；

6、C ；

7、B ；

8、D.

二、填空题（每小题4分，满分32分）

1、()2

22

0(1)~1n s W n χσ-=

- 。2、7； ； 3、k n

；

4、11

()12P A q p

=

=+-； 5、0.656； 6、0； 7、0,02()(arccos ),012

1,1Y y F y y y y ππ

??

=-≤

； 8、0.54；

三、（满分8分）

解 （1）设=i A “第i 次取时得黑球”,显然 m

n m

A P +=

)(1, m n m A A A A P N m

n m

N m n i +=

=+--+111)(, (m n N i +≤≤≤1).………………… 4分 （2） 本题表明,摸得黑球的概率与摸球的先后次序无关，第几次取球得黑球的

概率都一样，没有必要在取球的先后次序上计较，不必再排取球顺序。

例如 抽签，抓庵等现象。购买彩票时,抽到某个彩票的概率,与购买的先后次序无关,没有出现争先恐后的购买彩票现象。………………………………………………8分 四、（满分8分）解

设 1,

0k X ?=?

?取到第k 种颜色的球，没有取到第k 种颜色的球

，1,2,,k m =???，………………………2分

则 1

m

k

k X X

==

∑,………………………………………………4分

而 (1){0}n k n m P X m -==,(1){1}1{0}1n

k k n m P X P X m -==-==-

所以 1{1}0{0}k k k EX P X P X =?=+?=(1)1n

n

m m

-=-,…………6分 故11

()m

m

k k k k EX E X EX ====∑∑(1)[1]n

n

m m m -=- 。………………………8分

五、（满分20分）（此题学《概率统计A 》的学生做，学《概率统计B 》的学生不做）

解 （1）1

,()20,f πθπ

θπ?-<

；……………………………………2分

（2）221,1,()2EX DX EX DX EX ===+=；……………………………………4分

=)]([t X E [cos()][cos()]E X t EX E t ωω+Θ=?+Θ

cos()()EX t f d ωθθθ+∞

-∞

=+?1

cos()

02t d π

πωθθπ

-=+=? ；……8分 （3）[()()][cos()cos(())]E X t X t E X t X t τωωτ+=+Θ?++Θ

21

[(cos(()2)cos )]2EX E t t ωωτωτ=+++Θ+

1

2[cos(()2)cos ]2

E t t ωωτωτ=?+++Θ+

1[cos(()2)cos ]

2t t d π

π

ωωτθωτθπ

-=++++? cos ωτ=；……………………………………12分

（4）时间均值 ?-+∞→==l

l

l dt t e X l

t e X t X ),(21),()(lim

1cos()2lim

l l l X t dt l ω-→+∞

=+Θ?1sin()|2lim l

l l X t l ωω

-→+∞=?+Θ sin()sin()

2lim

l X l l l

ωωω→+∞

+Θ--+Θ=0=，………………………16分

（5）时间相关函数

?-+∞

→+=+=+l

l l dt t e X t e X l

t e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim

τττ

1cos()cos[()]2lim

l

l l X t X t dt l

ωωτ-→+∞

=+Θ?++Θ? 2

cos cos[(2)]

22

lim l

l

l X t dt l

ωτωτ-→+∞+++Θ=? 2cos 2

X ωτ=.……………………………20分

[五]、（满分20分）（此题学《概率统计B 》的学生做；学《概率统计A 》的学生不做） 解 由条件，由数学期望和方差的性质及条件,可知

（1

）00n EX =+=,…………………2分

222(0n EX =+=4分

2n n DX EX ==6分

)1(1∑==n i i n X n E EY 011

==∑=n

i i EX n ,…………………………………………8分

（2）2

11

11

()n n

n i i

i i DY D X DX n n

====∑

∑21

1

n

i n ==∑………………………10分

(3)

因为2

1

1

n

n i DY n

==

∑2112n n ≤

=

, 所以有 lim 0n n DY →∞

=,…………………………………………………………14分 （4）对任意

0>ε,由契比雪夫不等式,得

}|{|1ε<≥n Y P }|{|ε<-=n n EY Y P 2

1n

DY ε

≥-

,

于是成立 1}|{|lim

=<∞

→εn n Y P ，

即得 {}n Y 依概率收敛于0. …………………………………………………20分