线性代数选择填空试题

一． 填空题（每小题3分，共15分）

1. 设

4512312

1231

22,x x x D x x x

x

=

=

则的系数

2. 设10243 2 0201

3,,,A R(A)=B ??

???=??

????

是矩阵且A 的秩而

=R(AB)则 2

3. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B

则= 288

4. 齐次线性方程组1231231

230

0 , 0

,x x x x x x x x x λλλ++=??++=??++=?只有零解则满足 λ=0或2

5. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n

二． 选择题（每小题3分，共15分）

1. 设

0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )

(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量11

2200 2

(,,,,),,,T T A E B E α

αααα==-=+L 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )

(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T

αα

3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )

(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=

(c)

00A B ==或 (d) 0A B +=

4.s 维向量组12,,,n αααL

(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )

(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k L

, 使得11220n n k k k ααα+++≠L

(b) 12,,,n αααL 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n αααL 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n αααL

中任意两个向量都线性无关

5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,

则

0Ax =的通解为( AB )

(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+

1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100?????????

? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+

（C ）

1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+

3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则

1(2)A E -+=（ ）

(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1

()

3A E +

4．设

A 为n m ?矩阵，则有（ ）。

（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；

（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；

（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0

（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

1．

01

2

0n n

-O

2．

A 为3阶矩阵，且满足

=

A 3,则

1

-A =______，

*3A =

。

3．向量组1111α?? ?= ? ???，2025α?? ?= ? ???，3247α?? ?= ? ???，

4120α?? ?= ?

???是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234η?? ? ?= ? ? ???，

234444ηη??

? ?

+= ? ? ???，则方程组Ax b =的通解为 。

5．设

23111503A a -??

??=??

????，且秩(A )=2，则a = 。

1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与1α，2α

，3α

等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。由052=-+E A A ?()2

232()3A A E E A E A E E

+-=?+-=，

()1

12()

3A E A E -?+=-)。

4．选D 。A 错误，因为n m <，不能保证()(|)R A R A b =；B 错误，0=Ax 的基础解系含有

()A R n -个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+，b Ax =无解；D 正确，因为()R A n =。

5．选A 。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得11

12(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--==L ，

因此

,A B 都相似于同一个对角矩阵。

三、1．

()!11

n n +-（按第一列展开）

2．

31；53（*A 3=23

3A ）

3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。

124,,ααα。因为3122ααα=+，124| |0A ααα=≠。

4．

()()

T

T

k 42024321--+。因为

()3=A R ，原方程组的导出组的基础解系中只含

有一个解向量，取为

1322ηηη-+，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5．6=a

（())02=?=A A R

×××大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若

02

2

1

501

31

=---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵

n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵???

?

?

??=3231

2221

1211

a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

1. 设

A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）

。 ① n

2 ② 1

2

-n

③ 1

2

+n ④ 4

2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关

② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，

，Λ21中不含零向量

3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设

A ，

B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若

A ，

B 均可逆，则 A B 可逆

③ 若B A +可逆，则 B A -可逆

④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可

逆

5. 若4321νννν，，，是线性方程组

0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的

（ ）

① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解

④ A 的行向量

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

1. 计算行列式

x a

b c d a x b c d a b x c d a

b

c

x d

++++。

一、填空题 1. 5 2. 1≠λ

3. n n s s ??，

4. 相关

5. E A 3-

三、单项选择题 1. ③ 2. ③

3. ③

4. ②

5. ①

四、计算题 1.

(0000000

01)(1111

)

(c b a x x

x x d

c b

d c b a x d x c

b d

c x b

d c b x d

c b

d c b a x d x c

b

d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c

b

a

d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=

++++

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若

02

2

1

501

31

=---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵

n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵???

?

?

??=3231

2221

1211a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵

A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

1. 设

A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）

。 ① n

2 ② 1

2

-n

③ 1

2

+n ④ 4

2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关

② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，

，Λ21中不含零向量

3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设

A ，

B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若

A ，

B 均可逆，则 A B 可逆

③ 若B A +可逆，则 B A -可逆

④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可

逆

5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的

（ ）

① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解

④ A 的行向量

一、1. 5 2. 1≠λ

3. n n s s ??，

4. 相关

5.

E A 3-

1. ③

2. ③

3. ③

4. ②

5. ①

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

1．已知

1

1

1

11321

--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________．

应填：1．

2．已知矩阵?

?

???

????

???=k k k k 111

111111

111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ___________． 应填：3-． 3．已知线性方程组

??

?

??=+=+-=+a y x y x y x 25320 有解，则=a

___________．

应填：1-

4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()

1

*2-A 必有一个特征

值是_________________． 应填：

A

2λ．

5．若二次型()32212

3222132122,

,

x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围

是

______________．应填：22<<-a

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设

????? ??=3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a A ， ????

?

??+++=133312

3211

31131211

23

2221

a a a a a a a a a a a a B ， ????? ??=1000010101P ， ????

?

??=1010100012P ，

则必有【 】．

()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12．

2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式

0=A ，则A 中【 】

．

()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；

()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合；

()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．

3．设A 是65?矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】． ()A . A 的列向量线性无关；

()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关； ()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关；

()D . 线性方程组B AX =有唯一解．

4．设矩阵A 是三阶方阵，0λ是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ()T

2,3,1-，

()

T

3,1,4-，

()

T

0,0,0；

⑵ ()

T

1,1,1，

()

T

0,1,

1，

()

T

1,0,

0；

⑶ ()T

2,1,1-，

()T

4,2,2-，

()

T

6,3,3-；

⑷

()

T

0,0,

1，

()

T

0,1,

0，

()

T

1,0,0；

肯定不属于0λ的特征向量共有【 】．

()A . 1组； ()B . 2组； ()C . 3组； ()D . 4组．

应选：

()B ．

5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．

()A . BAB ； ()B . ABA ； ()C . ()2AB ； ()D . 2AB ．

三． 填空题（每小题3分，共15分）

6. 设4512312

1231

22,x x x D x x x

x

=

=则的系数

7. 设10

243 2 02010

3,,,A R(A)=B ?????=??????

是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 2

8. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B

则= 288

9. 齐次线性方程组1231231

230

0 , 0

,x x x x x x x x x λλλ++=??

++=??++=?只有零解则满足 λ=0或

2

10. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n

四． 选择题（每小题3分，共15分）

1. 设

0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )

(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量11

2200 2

(,,,,),,,T T A E B E α

αααα==-=+L 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )

(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T

αα

3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )

(a)

00A B ==或 (b) 0A B += (c) 00A B ==或 (d)

0A B +=

4.s 维向量组12,,,n αααL

(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )

(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k L

, 使得11220n n k k k ααα+++≠L

(b) 12,,,n αααL 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n αααL 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n αααL

中任意两个向量都线性无关

5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,

则

0Ax =的通解为( AB )

(a) 1k α (b) 2k α (c) 1

2()k αα- (d) 12()k αα+

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

1．已知

1

1

1

11321

--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________．

应填：1．

2．已知矩阵?

?

???

????

???=k k k k 111

111111

111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ___________． 应填：3-． 3．已知线性方程组

??

?

??=+=+-=+a y x y x y x 25320 有解，则=a

___________．

应填：1-

4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()

1

*2-A 必有一个特征

值是_________________． 应填：

A

2λ．

5．若二次型()32212

3222132122,

,

x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围

是

______________． 应填：22<<-

a ．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设

????? ??=3332

31

232221

131211a a a a a a a a a A ， ????

?

??+++=133312

3211

31131211

23

2221

a a a a a a a a a a a a B ， ????? ??=1000010101P ， ????

?

??=1010100012P ，

则必有【 】．

()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12．

应选：

()C ．

2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中【 】

． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；

()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合；

()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．

应选：

()C ．

3．设A 是65?矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】． ()A . A 的列向量线性无关；

()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；

()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关；

()D . 线性方程组B AX =有唯一解．

应选：

()B ．

4．设矩阵A 是三阶方阵，0λ是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴

()

T

2,3,1-，

()

T

3,1,4-，

()

T

0,0,0；

⑵ ()

T

1,1,1，

()

T

0,1,

1，

()

T

1,0,

0；

⑶ ()T

2,1,1-，

()T

4,2,2-，

()

T

6,3,3-；

⑷

()

T

0,0,

1，

()

T

0,1,

0，

()

T

1,0,0；

肯定不属于0λ的特征向量共有【 】．

()A . 1组； ()B . 2组； ()C . 3组； ()D . 4组．

应选：

()B ．

5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．

()A . BAB ； ()B . ABA ； ()C . ()2AB ； ()D . 2AB ．

应选：

()A ．

一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题

目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 11

1221

22=m ，a a a a 13

1123

21=n ，则行列式a a a a a a 11

1213

21

2223

++等于（ ）

A. m+n

B. -(m+n)

C. n -m

D. m -n

2.设矩阵A =100020003?? ??

?

??，则A -1等于（ ）

A. 13000

12000

1??

??

??????

B. 100012000

13?? ??

?????? C. 130********??

?

??????

D. 12000130001??

?

?

?

????

?

3.设矩阵A=

312

101

214

-

-

-

?

?

?

?

?

?

?

，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

A. –6

B. 6

C. 2

D. –2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A. A =0

B. B≠C时A=0

C. A≠0时B=C

D. |A|≠0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ

1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0

D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.1

2

η1+

1

2

η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

A.秩(A)

B.秩(A)=n-1

C.A=0

D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向

量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）

A. k≤3

B. k<3

C. k=3

D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

B.|A|必为1

C.A-1=A T

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）

A.A与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

A.

23

34

?

?

?

?

? B.

34

26

?

?

?

?

?

C.

100

023

035

-

-

?

?

?

?

?

?

?

D.

111

120

102

?

?

?

?

?

?

?

第二部分非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

错填或不填均无分。

15.111

356

92536

=.

16.设A=

1

1

1

1

1

1

-

-

?

?

?

?

?，B=

1

1

2

2

3

4

--

?

?

?

?

?.则A+2B= .

17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .

18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.

23.设矩阵A=

0106

133

2108

--

-

?

?

?

?

?

?

?

，已知α=

2

1

2

-

?

?

?

?

?

?

?

是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

1.D

2.B

3.B

4.D

5.C

6.D

7.C

8.A

9.A 10.B

11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15. 6

16.

337 137 --

?

?

?

?

?

17. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1

24. z z z z 12223242++-