定义新运算教案上课讲义
四年级奥数教案
第一讲
第一课时
教学时间：
教学内容：认识定义新运算。定义新运算的基本题型。
教学目标：1、让学生了解定义新运算的基本模式。
2、让学生学会解决简单定义新运算的基本题型。
教学重点：使学生学会运用定义新运算解决基本题型。
教学难点：掌握定义新运算的解题方法。
教学过程：
一、导入
我们学过的常用运算有：+、－、×、÷等，在这一讲中，我们将定义一些新的运算。对这些新的运算符号同学们可能会感到陌生，但是解题时只在抓住新运算的运算法则，问题就迎刃而解了。
二、新授
1、教学例1。
【例1】定义一种运算△：a△b=3×a－2×b,
(1)求3△2，2△3；
（2）这个运算“△”有交换律吗？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）这个运算“△”有结合律吗？
【分析】解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符前面的3倍减去运算符号后面数的2倍。
【解】（1）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5
2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0
（2）由（1）的运算结果可知“△”没有交换律。
（3）要计算（17△6）△2 ，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39
再计算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113
对于17△（6△2）可同样计算:
6△2=3×6－2×2=14
17△14=3×17－2×14=23
所以17△（6△2）=23
(4)由(3)的运算结果可知“△”也没有结合律。
2、学习例2。
【例2】定义新的运算a◎b=a×b＋a＋b
（1）求6◎2，2◎6；
（2）求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）；
（3）这个运算有交换律和结合律吗？
1、同桌之间互相交流，找出运算法则。
2、学生在练习本上尝试练习。
3、集体订正。
【分析与解】
（1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20
2◎6＝2×6＋2＋6＝20
（2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3
＝5◎3
＝5×3＋5＋3
＝23
1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2）
＝1◎11
＝1×11＋1＋11
＝23
（3）由（1）的运算结果6◎2＝2◎6＝20，可知◎满足交换律。
由（2）的运算结果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎满足结合律。
三、巩固练习。
1、对于数a、b定义运算“※”为a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）
的值。
2、对于数x、y定义两种运算“＃”及“□”如下：
x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。
四、课堂小结：通过这节课的学习，你有什么新的收获，和你的同学交流一下。
五、作业《思维训练》第10页的1—3题。
教学后记：
第二课时
教学时间：
教学内容：定义新运算（二）
教学目标：在上一节课的基础上进一步学习了解有关定义新运算，使学生明白一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
重、难点：
重点：使学生明白对应法则不同就是不同的运算。
难点：通过法则让学生理解每个法则都有一个惟一确定的数与它们对应
教学过程：
一、复习
设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。
（1）求4△3，3△4。这个运算“△”有交换律吗？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。这个运算“△”有结合律吗？
二、新授
1、学习例3
【例3】对于任意的两个整数a、b，定义两种运算“※”，“◎”：
a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，计算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。
（1）引导学生审题。分析题意。
（2）同桌之间互相交流，在练习本上尝试练习。
（3）师详细讲解。
【解】4◎［（6※8）※（3※5）］
＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］
＝4◎[13※7]
＝4◎[13+7-1]
＝4◎19
＝4×19－1
＝75
【例4】定义x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是几？
1、让学生读题，理解题意。
2、让学生根据定义新运算的基本模式和解题方法试着解答。
3、详细讲解
【解】根据题意，
5*6＝5×a＋2×6=5a＋12
6*5=6×a＋2×5=6a＋10
且5a＋12=6a＋10
可以解出a=2
四、巩固练习。
定义运算“*”为a*b=a×b－(a＋b)求：
（1）5*7，7*5
（2）12*（3*），（12*3）*4
（3）这个运算“*”有交换律、结合律吗？
五、课堂小结：这节课你有什么收获？
六、作业：《思维训练》的第10页5～7题。
教学后记：
第三、四课时
教学时间：
教学内容：巩固练习
教学目的：使学生正确熟练地解决新运算定义问题，培养学生理解能力的多样化和解题的灵活性。
教学过程：
一、专项练习。
一、专项练习。
1、对于数a、b定义运算“※”为a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。
2、对于数x、y定义两种运算“＃”及“□”如下：
x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。
3、定义运算“*”为a*b=a×b－(a＋b)求：
（1）5*7，7*5
（2）12*（3*），（12*3）*4
（3）这个运算“*”有交换律、结合律吗？
4、设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。
（1）求4△3，3△4。这个运算“△”有交换律吗？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。这个运算“△”有结合律吗？
（3）如果已知5△b=5，求b。
5、设a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
最新六年级定义新运算
六年级定义新运算 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定a ☉b = a b b a -,则2☉(5☉3)之值为 . 2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 3 2b a += ,若6※x 322=,则x = . 3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则 <><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, . 4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成 [4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= . 5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= . 6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= . 7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>= 2.1.1找规律及定义新运算讲义·学生版 page 1 of 18 板块一、找规律 模块一、代数中的找规律 【例 1】⑴点 1A 、 2A 、 3A 、…、 n A (n 为正整数都在数轴上.点 1A 在原点O 的左边,且 1 1AO =;点 2A 在点 1A 的右边, 且 212A A =; 点 3A 在点 2A 的左边, 且 323A A =; 点 4A 在点 3A 的右边, 且434A A =; ……, 依照上述规律,点 2008A 、 2009A 所表示的数分别为( . A . 2008、 2009- B . 2008-、 2009 C . 1004、 1005- D . 1004、 1004- ⑵如图, 点 A 、 B 对应的数是 a 、 b , 点 A 在 3-、 2-对应的两点 (包括这两点 之间移动, 点 B 在 1-、 0对应的两点(包括这两点之间移动,则以下四式的值,可能比 2008大的是( . A . b a - B . 1b a - C . 11a b - D . 2( a b - 【巩固】⑴ (2008 北京中考一组按规律排列的式子:2-b a , 52b a , 83-b a , 11 4b a ,… (0≠ab ,其中第 7个式 子是 ,第 n 个式子是 (n 为正整数 . ⑵(2008年陕西中考搭建如图①的单顶帐篷需要 17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串 7顶这样的帐篷需要 根钢管 . ①②③ 【例 2】⑴(2010年北京中考右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A B C D , , , 。请你按图中箭头所指方向 (即... A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式从 A 开始数连续的正整数1, 2, 3, 4… ,当数到 12时,对应的字母是 C 第 201次出现时,恰好数到的数是 ;当 中考要求 找规律及定义新运算 2.1.1找规律及定义新运算讲义·学生版 page 2 of 18 字母 C 第 2n +1次出现时 (n 为正整数 ,恰好数到的数是 (用含 n 的代数式表示。 ⑵(2010河北中考将正方体骰子(相对面上的点数分别为 1和 6、 2和 5、 3和 4放置于水平桌面上,如图 1.在图 2中,将骰子向右翻滚 90?,然后在桌面上按逆时针方向旋转 90?,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图 1所示的状态,那么按上述规则连续完成 10次变换后,骰子 定义新运算 1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。 2 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如： 4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算，18△12等于几？ 3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(2 6 9) 4等于几？ 4 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式： [(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。 5 对于数a，b，c，d，规定〈a，b，c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。 6 规定：6* 2=6＋66=72， 2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。 求7*5。 7 如果用φ(a)表示a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？ 8 如果a△b表示(a-2)×b，例如 3△4=(3-2)×4=4， 那么当( a△2)△3=12时，a等于几？ 10 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”： a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？ 11 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A?B，输入1后，经过A?B，输出3。 (1)输入9，经过A?B?C?D，输出几？ (2)经过B?D?A?C，输出的是100，输入的是几？ (3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？ 第2讲定义新运算 例1、已知M*N=(M+N)÷2，求(2008*2010)*2009=？ 解 2008*2010=(2008+2010)÷2=2009。 2009*2009=(2009+2009)÷2=2009。 例2、若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例3、规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例4、如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（5※3）×5。 分析通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。 解（5※3）×5。 ＝（5＋55＋555）×5 ＝3075 学生练习 1、规定A▽B=A×K＋BA×B,且5▽6=6▽5，求2▽1－1▽2的值。 2、若3□4=3＋4＋5＋6=18，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。 （1）计算1995□5 （2）若95□x=585,求x （3）若x□3=5973,求x. 3、按如下规则：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6…… （1）计算5！=？ （2）x!=5040，求x=? 第16讲定义新运算 教学目标 学会理解新定义的内容； 理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目； 学会自己总结解题技巧。 知识梳理 一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求8 ★ 5 。 【解析】该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a ◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2） =6◎[9×2-（9+2）] =6◎7 =6×7-（6+7） =42-13 =29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。 求6Δ5。 【解析】仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位 数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定?2=1×2×3，?3=2×3×4，?4=3×4×5，…… 计算（21?-31?）×3 2??。 【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为?X=（X-1）×X×（X+1）。由 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 （ 21?-31?）×3 2?? = 21?×32??-31?×3 2?? =31?-31?×3 2?? =31?（1-3 2??） = 4321??×（1-432321????） 教师： 学生： 时间: 年 月 日__________段 小升初定义新运算复习 在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。 例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？ 例2：如果A#B 表示3 B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3：规定Y X XY Y X +=? 求2Δ10Δ10的值。 例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N （1） 计算（14 *10）*6 （2） 计算 （58*43） *（1 *2 1） 例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假设2¤X=1求X 例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？ 依米教育个性化辅导授课教案 例7：规定X*Y= XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？ 例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++= ?11 已知3 211212112=+++=?））（（A 那么20088▽2009=？ 巩固练习 1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推 （1） 3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X 的值 2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7 计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4） 3、如果A*B=3A+2B ，那么 （1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4） 4、如果A>B ，那么｛A ，B ｝=A ；如果A 【精选】小学三年级奥数__定义新运算一 一、拓展提优试题 1．50个学生解答A、B两题，其中没答对A题的有12人，答对A题的且没答对B题的有30人．那么A、B两题都答对的有人． 2．用3、0、8这三个数字可以组成个数字不重复的三位数． 3．如图，式中不同的字母表示不同的数字，那么ABC表示的三位数是． 4．有甲乙两桶酒，如果甲桶倒入8千克酒，两桶酒就一样重，如果从甲桶取出3千克酒倒入乙桶，乙桶的酒就是甲桶的3倍，甲原来有酒千克，乙千克． 5．五个连续的自然数的和是2010，其中最大的一个是． 6．时钟2点敲2下，2秒钟敲完．12点敲了12下，秒可以敲完．7．有A，B，C三人，他们分别是工人、教师、工程师．A的年龄比工人大，C 和教师的年龄不同岁，教师的年龄比B小，那么工程师是． 8．红星小学组织学生参加演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了． 9．古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来， 三边形数：1，3，6，10，15，…… 四边形数：1，4，9，16，25，…… 五边形数：1，5，12，22，35，…… 六边形数：1，6，15，28，45，…… 按照上面的顺序，第8个三边形数为__________． 10．定义运算：a⊙b＝（a×2+b）÷2．那么（4⊙6）⊙8＝11． 11．下面算式中，A、B、C、D、E各代表哪个效字？ A＝，B＝，C＝，D＝，E＝． 12．你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？ （1）密码是一个八位数； （2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数； （3）这个密码在20000000 到30000000 之间； （4）百万位与十万位上的数字相同； （5）百位数字比万位数字小2； （6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25． 依据上面的条件，推理出这个密码应该是（） A．25526250B．26650350C．27775250D．28870350 13．一个不透明的布袋中有黑、白、黄三种颜色的筷子各10根，最少拿出根筷子就能保证有一双是同样颜色的筷子． 14．甲、乙、丙、丁获得了学校的前4名（无并列），他们说： 甲：“我既不是第一，也不是第二”；乙说：“我既不是第二，也不是第三”； 丙：“我的名次和乙相邻”；丁：“我的名次和丙相邻”． 现知道，甲、乙、丙、丁分别获得第A、B、C、D名，并且他们都是不说谎的好学生，那么四位数＝． 15．在如图的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法算式成立，乘积等于． 【参考答案】 一、拓展提优试题 1．解：50﹣12﹣30＝38﹣30＝8（人）； 答：A、B两题都答对的有8人． 故答案为：8． 2．解：用3、0、8可以组成的不重复数字的三位数有： 308，380，803，830； 一共是4个． 【例1热身】 十秒钟巧算：25×4＝50×4＝ (★★★) 3×25×125×4×8＝______ (★★★) ⑴526×99 ⑵2004×25 (★★★★) 80×1995－3990＋1995×22＝_______ (★★★★) (26÷25)×(27÷17)×(25÷9)×(17÷39) (★★★★) 9张扑克牌，点数分别为1，1，1，2，2，3，4，5，10，狗老大从中取了5张，发现乘积是80。蛋蛋兔也从中取了5张，发现乘积是120。如果两人所取的扑克牌只有一张是相同的，这张扑克牌的点数是什么？ 测试题 1．算式51×25×8×125×4的结果是( ) A．5100 B．51000 C．5100000 D．510000000 2．算是368×99的结果是( ) A．36432 B．36852 C．38512 D．38962 3．算式3852×78＋7704＋20×3852的结果是( ) A．254138 B．269540 C．368402 D．385200 4．算式(38÷29)×(57×26)÷(38×57)×(87÷26)的结果是( ) A．3 B．26 C．28 D．30 5．9张扑克牌，点数分别为1，1，2，2，2，3，4，5，8，甲从中取了5张，发现乘积是160，乙也从中取了5张，发现乘积是192。如果两人所取的扑克牌只有一张是相同的，这张扑克牌的点数是( )点。 A．1 B．3 C．4 D．8 测试题 1、 1. A 300000 2. B 30000 3. C 3200 4. D 400000 、 5. A 1230， 23400， 25600 6. B 1107， 23166， 2559744 7. C 1229， 23399， 2559991 8. D 1109， 23166， 2559743 定新运算 一、知要点 定新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意，从而解答某些算式的一种运算。 解答定新运算，关是要正确地理解新定的算式含，然后格按照新定的算程序，将数代入，化常 的四运算算式行算。 定新运算是一种人的、性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如： * 、△、⊙等，是与四运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 新定的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有化前，是不适合于各种运算定律的。 二、精精 【例 1】假 a*b=(a+b)+(a-b) ，求 13*5 和 13* （ 5*4 ）。 【思路航】的新运算被定：a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。里的“ * ”就代表一 种新运算。在定新运算中同定了要 13*5=（13+5）+（ 13-5 ） =18+8=26 先算小括号里的。因此，在13*（ 5*4 ） 5*4=（5+4） +（5-4 ） =10 中，就要先算小括号里的（5*4 ）。 13* （ 5*4 ）=13*10=（ 13+10）+（13-10 ）=26 1： 1.将新运算“ *”定： a*b=(a+b) × (a-b). 。求 27*9 。 2.a*b=a2+2b ，那么求 10*6 和 5* （ 2*8 ）。 3. a*b=3a － b× 1/2 ，求（ 25*12 ） * （ 10*5 ）。3△(4 △ 6) 【例 2】 p、q 是两个数，定： p△q=4× q-(p+q) ÷ 2。求3△ (4 △ 6) 。＝3△【 4× 6－（ 4+6）÷ 2】＝3△19 【思路航】根据定先算 4△6。在里“△”是新的运算符号。＝4×19－（ 3+19）÷ 2 ＝76－11 ＝65 2： 1． p、 q 是两个数，定p△ q＝ 4× q－（ p+q）÷ 2，求 5△（ 6△ 4）。 2． p、 q 是两个数，定p△ q＝ p2+（ p－ q）× 2。求 30△（ 5△ 3）。 3． M、 N 是两个数，定M*N＝ M/N+N/M，求 10*20 － 1/4 。 【例 3】如果 1*5=1+11+111+1111+11111 ， 2*4=2+22+222+2222 ，3*3=3+33+333 ， 4*2=4+44 ，那么7*4=________ ； 210*2=________ 。 【思路航】察，可以本的新运算“* ”被定。因此 3：7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420 1．如果 1*5=1+11+111+1111+11111 ， 2*4=2+22+222+2222 ， 3*3=3+33+333 ，??那么 4*4=________ 。 2．定，那么 8*5=________ 。 小学数学奥数基础教程(五年级) 本教程共30讲 定义新运算（一） 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求10△6的值。 3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算， <1，2，3，x>=2， x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。 分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上 的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120， 6！=1×2×3×4×5×6=720， …… 由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0。 所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。 例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。 求3¤（4¤6）¤12的值。 解：3¤（4¤6）¤12 =3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12 =3¤19¤12 =[4×19-（3+19）÷2]¤12 =65¤12 《定义新运算》教案 教学内容：五年级下 教学目标： 1、让学生认识新运算，掌握新运算。 2、开拓学生的思维，让学生学会用新的思维考虑问题 教学重点：在定义新运算的问题中，让学生认真审题，明确“新运算”的定义，严格遵照规定的法则来完成计算。 教学难点：让学生正确理解新运算的定义。 教学方法：自主探究、合作交流。 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、快速抢答：（课件出示） 1、我们以前学过哪些运算符号？加、减、乘、除、括号 2、那些符号有什么运算法则？ 在四则运算中，有括号先算括号里面的，再算乘除，最后算加减 二、导入新课： 1、导入新课，板书课题。 我们以前学过加减乘除，也学会了它们的运算法则，同学们很熟练的掌握了，可是今天老师跟你们带来了一种新的运算符号，相信大家很期待老师给大家展示一下，今天我们就来学习一下这个新的运算符号及规律。 教师板书课题：定义新运算。 2、什么是定义新运算？ “定义新运算”是针对已有的常规运算而言的，例如常见的加、减、乘、除运算，有一定的运算定义，一定的运算符号，一定的运算法则，这些都是约定俗成的；而定义新运算是指人为规定用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新运算的定义是题目规定的，只能在对应的题目里有效，相同的符号在不同的题目里面可能会有不同的含义 解答这类问题时，要认真审题，根据题目的具体特点，仔细分析，深入思考，灵活、辨证地选择解法。 三、自主探究（一）： 1、出示例1：【例1】已知a&b=( a+b)-( a-b),求5&2 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 4、交流汇报，教师点拨。 思路点拨：这是一道比较简单的定义新运算题，我们只要把5和2运算式，把定义中的a,b分别换成5和2可以了。 【解】a&b=( a+b)-( a-b)= ( 5+2)-（5-2）=7-3=4 四、巩固练习： a&b=(a+2b) ÷2，求18&10 答案：a&b=(a+2b) ÷2=（18+2×10）÷2=38÷2=19 五、自主探究（二）： 1、出示例2：【例2】定义新运算A!B=A×A-B×B,求8！5 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 4、交流汇报，教师点拨。 思路点拨：8！5中的8和5分别相当于新运算中的A和B,我们只需要将新运算中的A、B分别换成8和5即可。 【解】A!B=A×A-B×B =8×8-5×5=39 六、巩固练习： 定义新运算A&B=A×A-2B,计算15&10 答案：A&B=A×A-2B=15×15-2×10=205 七、自主探究（三） 1、出示例3【例3】P,Q表示两个数，P!Q=(P+Q) ÷2,计算9！（10!12） 2、引导学生读题，分析题意： 第七周定义新运算+找规律 1.【第10届中环杯初赛第一、2题】 找规律179278377476（）（）773872 2.【第13届中环初赛第6题】 在平面上画212条直线，这些直线最多能形成（）个交点。 3.【第10届小机灵杯初赛第2题】 如图所示，从上往下，每个方框中的数都等于下方两个方框所填数的和。则最上层方框中两个数的和是（）。 4.【第11届中环杯决赛第一、2题】 规定一种运算符号“*”，M*N=(M+N)÷5，那么X*5=10中X的值是（）。 5、【第13届中环杯初赛第2题】 若A*B表示(A+2B)×(A－B)，则7*5=()。 解析： 1.【考点】找规律填数 【解析】通过观察可以发现每个数的百位上依次是1、2、3、4...每个数的十位上都是7,每个数的个位上依次是9、8、7、6...所以可以得到括号中的数应该为575和674。 2.【考点】找规律；数列 【解析】 013=1+26=1+2+3 1条线：0 2条线：0+1 3条线：0+1+2 4条线：0+1+2+3 . . . 212条线：0+1+2+3+4+……+211 等差数列求和（0+211）×212÷2=211×106=22366（个） 3.【考点】找规律填数 【解析】根据题意得：A=448-137=311；B=716-448=268；C=268-137=131；D=131+895=1026； E=1026+268=1294；和=1294+716=2010。 4、【考点】定义新运算 【分析】M*N=(M+N)÷5=10，那么X=10×5-5=45. 5.【考点】定义新运算 【解析】A*B表示（A+2B）×（A-B），7*5=（7+2×5）×（7-5）=17×2=34 六年级奥数专题讲义：定义新运算 一、知识要点 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些算式的一种运算. 解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算. 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算符号,如：*、△、⊙等,这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的. 新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的.但它在没有转化前,是不适合于各种运算定律的. 二、精讲精练 【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）. 【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差.这里的“*”就代表一种新运算.在定义新运算中 同样规定了要先算小括号里的.因此,在13*（5*4）中,就要先算小括号 里的（5*4）. 练习1： 1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b)..求27*9. 2.设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*（2*8）. 3.设a*b=3a －b ×1/2,求（25*12）*（10*5）. 【例题2】设p 、q 是两个数,规定：p △q=4×q-(p+q)÷2.求3△(4△6). 【思路导航】根据定义先算4△6.在这里“△” 是新的运算符号. 练习2： 1．设p 、q 是两个数,规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2,求5△（6△4）. 2．设p 、q 是两个数,规定p △q ＝p2+（p －q ）×2.求30△（5△3）. 3．设M 、N 是两个数,规定M*N ＝M/N+N/M,求10*20－1/4. 【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么7*4=________；210*2=________. 【思路导航】经过观察,可以发现本题的新运算“*”被定义为.因此 练习3： 1．如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,……那么4*4=________. 2．规定, 那么8*5=________. 3．如果2*1=1/2,3*2=1/33,4*3=1/444,那么（6*3）÷（2*6）=________. 【例题4】规定②=1×2×3,③=2×3×4 ,④=3×4×5,⑤=4×5×6,……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A,那么,A 是几？ 【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a －1）×a ×（a ＋1）,据此,可以求出1/⑥ －1/⑦ 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420 A =（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦ =（1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥－1 定义新运算（二） 1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= . 2.如果a △b 表示（a-2）×b,例如3△4=(3-2)×4=4,那么,当a △5=30时, a= . 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1 4.根据上面定义的运算,18△12= . 4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a + b -1,2-=?ab b a ,那么[]=?⊕⊕?)53()86(4 . 5.x 为正数, 9.规定一种新运算“※”: a ※b = )1()1(-+?????+?b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么 x = . 10.对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x (m ≠0),则m 的数值是 . 二、解答题 11.设a ,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22. (1)计算(4△3)+(8△5)的值; (2)计算(2△3)△4; (3)计算(2△5)△(3△4). 20XX最新小学三年级奥数__定义新运算 一、拓展提优试题 1．电力公司在公路两旁埋同样多的电线杆共402根，每相邻两根之间的距离是20米．后来全部改装，只埋了202根．改装后每相邻两根之间的距离是米． 2．学校体育室买来一些足球和篮球，小强数了一数，足球的个数是篮球的3倍多4个；再数一遍，发现足球的个数还比篮球的4倍少2个．足球一共买了个． 3．小华、小俊都有一些玻璃球．如果小华给小俊4个，小华的玻璃球的个数就是小俊的2倍；假如把小俊的玻璃球给小华2个，那么小华的玻璃球的个数就是小俊的11倍．小华原来有个玻璃球，小俊原来有个玻璃球．4．★+■＝24，■+●＝30，●+★＝36，■＝，●＝，★＝． 5．切一个蛋糕，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，照这样切下去，切5刀最多切成块． 6．定义运算：a⊙b＝（a×2+b）÷2．那么（4⊙6）⊙8＝11． 7．六个数的平均数是24，加上一个数后的平均数是25，加上的这个数是． 8．观察下列图形，“？”位置对应的图形是（） A．B．C．D． 9．祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先4颗红珠，接着3颗黄珠，再2颗绿珠，最后1颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第2000颗龙珠是（） A．红珠B．黄珠C．绿珠D．白珠10．（12分）2个樱桃的价钱与3个苹果价钱一样，但是一个苹果的大小却是一个樱桃的12倍，如果妈妈用买1箱樱桃的钱买同样大小箱子的苹果，能买（）箱． A．4B．6C．18D．27 11．○○÷□＝14…2，□内共有种填法． 12．长方形的周长是48厘米，已知长是宽的2倍，长方形的长是（）A．8厘米B．16厘米C．24厘米 13．有一颗神奇的树上长了46个果子，第一天会有1个果子从树上掉落，每天掉落的果子数量比前一天多1个，但如果某天树上的果子数量少于这一天本应掉落的数量时，那么这一天它又重新从掉落1个果子开始，按原规律进行新的一轮．如此继续， 那么第天树上的果子会都掉光． 14．如图，薷薷家的菜园是一个由4块正方形的菜地和1个小长方形的水池组成的大长方形．如果每块菜地的面积都是20平方米且菜园的长为9米，那么菜园中水池（图中阴影部分）的周长是米． 15．在一根绳子上依次穿入5颗红珠、4颗白珠、3颗黄珠和2颗蓝珠，并按照此方式不断重复，如果从头开始一共穿了2014颗珠子，那么第2014颗珠子的颜色是色． 【参考答案】 一、拓展提优试题 1．解：（402÷2﹣1）×20＝4000（米）， 202÷2＝101（根）， 4000÷（101﹣1）＝40（米）； 小学数学奥数基础教程（五年级） 定义新运算（一） 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算就是数学中最基本得 运算，它们得意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别得运算 吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新得运算及其符号，在中、小学课本中没有 统一得定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后得学习都大有 益处。 例1对于任意数a, b,定狡运算“*” : a*b=aXb-a-bo 求12*4得值。 分析与解:根扌居题目定爻得运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。 例2己知aAb 表示a 的3倍减去b 的-,例如：1A2 = 1X 3-2 X - = 2. 根据以上得规定，求10A6得值。 解：1OA6=1OX3-6X - = 30-3 = 27O A 例 3 对于数乳 b, C, d,规定 < a, b, c, d >= 2ab ?—o 己知 vl, 2, c 3, x>=2,求X 得值。 分析与解:按照定艾得运算, <1,2, 3, x>=2. x=6o 由上而三例瞧出，定义新运算通常就是用某些特殊符号表示特定得运算意狡。新 运算使用得符号应避免使用课本上明确定艾或已经约定俗成得符号，如+,-，X,三，V, >等，以彷止发生混淆，而表示新运算得运算意义部分■应使用通常得四则运算符号。 本教程共30讲 C, 如例1中，a*b二aXb-a-b,新运算符号使用”，而等号右边新运算得意义则用四则运算来表示。 例他b表示两个数，规定目Ob = ￥ C1) 20 CjOy) =7 2 1 1 (2)-0-0x=-,求送=7 4 t> 厶 分析与解:按新运算得定狡，符号表示求两个数得平均数。 ⑴因为20 c|o|）中的C ）没有被重新定义，所以其意义与 四则运算中得意义相同，即先进行小括号中得运算■再进行小括号外而得运算。 l^r（I十扌）叫茅2€， 2。（|鸥）=旳护伽挣O诛 （2）因为衽舟?2。龙中没有重新规定运算次序，所以应 4 6 按通常得规则从左至右进行运算。 3J Z 3 1、C 11 討糾二护汁诘+卄2。 由嗚+孩八"扌，解徵誌 例5 规定；4?2 = 4+44 2十3二2+22+222 , 求3? 5二? 分析与解：从已知得三式来瞧，运算“十”表示几个数相加,每个加数各数位上得数都就是符号前面得那个数，而符号后面得数就是几，就表示几个数之与，其中第1个数就是1位数，第2个数就是2位数.第3个数就是3位数……按此规定，得 黄冈思维数学四年级B册 第一讲 定义新运算 教学内容：定义新运算 教学目标：1、认识定义新运算型试题的特点，掌握定义新运算型试题的解法，尝试自编定义新运算型试题。 2、能将新定义运算转化为熟悉的运算问题进行解答，使学生创新能力和应用意 识得到增强。 3、情感目标：培养学生的探究意识、提高应对新生问题的心理素质。 重点难点：1、定义新运算型试题的特征、本质及其解法，如何编拟定义新运算型试题及注意问题。 2、理解定义新运算型试题的本质，能根据已知条件将新运算转化为熟悉的运算。教学流程： 一、情景导入： 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等，例如，2+3=5，2×3=6。都是2和3，为什么运算结果不同的呢？主要是运算法则和方式不同，实际对应法则不同就是不同的运算，当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应，只要符合这个要求，不同法则就是不同的运算。在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”、“×”、“÷”运算不相同。 二、探究新知： 1、展示课题：定义新运算 2、出示例题1：设a※b表示a的3倍减去b的2倍，即a※b=3a-2b。 例如，当a=5时，b=4时，5※4=5×3－4×2=7 （1）计算：7※8 （2）计算：8※7 教师引导这类题关键是抓住定义的本质，找出这道题规定的运算法则是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。这样就可以把 新定义运算转化成我们已学过的普通运算 。 解 (1)7※8 =3×7－2×8 =21－16 =5。 （2）8※7 =3×8－2×7 =24－14 =10 3、出示例题2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b+a+b。试计算6⊕3 教师引导同例1一样首先找出这道题规定的运算法则本质，不难发现运算符号“⊕”两边的两个数的积加上这两个数，即为运算结果。 解6⊕3 定义新运算练习题（三年级奥数） 1.规定：a※b = (b+a)×b，那么：(2※3)※5得多少 2.规定：a⊙b = a/b-b/a，则：2⊙(5⊙3)得多少 3.规定：a※b = (a+2b)/3，若6※x = 22/3，则x是多少 4.如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4 = (3-2)×4 = 4，当a△5 = 30时，那么a 是多少 5.已知a，b是任意有理数，我们规定：a⊙b = a+b-1，a⊙b = ab-2，那么4⊙【(6⊙8)(3⊙5)】是多少 6.如果a⊙b表示3a-2b，例如4⊙5 = 3×4-2×5 = 2，当x ⊙5比5 ⊙x大5时，那么x 是多少 、b均为自然数，且a⊙b = a+2a+3a+……+ab，若x⊙10 = 110，那么x 是多少 8.规定新运算※：a※b = 3a-2b，若x※(4※1)= 7，则x 是多少 9.对数a、b、c、d规定 六年级数学奥数讲义练习第1讲定义新运算（全国通用版, 含答案） 一、知识要点 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些算式的 一种运算。 解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新 定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算 符号,如：*、△、⊙等,这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的。但它在没有转化前,是不适合 于各种运算定律的。 二、精讲精练 【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【思路导航】这题的新运算被定 两数之差。这里的“*”就代表一种 新运算。在定义新运算中同样规定 了要先算小括号里的。因此,在13*（5*4）中,就要先算小括号里的（5*4）。 练习1： 1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。 2、设a*b=a 2 +2b,那么求10*6和5*（2*8）。 3、设a*b=3a －b ×1/2,求（25*12）*（10*5）。 【答案】1.648 2.112、65 3.193.25 【例题2】设p 、q 是两个数,规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。 【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。 练习2： 1、设p 、q 是两个数,规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2,求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数,规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数,规定M*N ＝M/N+N/M,求10*20－1/4。 【答案】1.36 2.902 3.4 12 【例题3】如果 1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么7*4=________；210*2=________。 【思路导航】经过观察,可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此 练习3： 1、如果 1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,……那么 3△(4△6) ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=2104202[1].1.1找规律及定义新运算.讲义学生版(精)
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