高等代数与空间解析几何期末试卷

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浙江大学城市学院

2010 — 2011 学年第 二 学期期末考试试卷 《 高等代数与空间解析几何（II ） 》答题卷

开课单位： 计算分院 ；考试形式：闭卷；考试时间：_2011_年_6_月_26_日； 所需时间： 120 分钟 一．___填空题__(本大题共___10__空，每空___2__分，共___20__分。)

1. 2.

3. 4. 5.

二．问答题（本大题共_ 4_题，每题_5_分，共_20_分。）

2.

3.

4.

2.

五．__证明题_(本题6分。)

浙江大学城市学院

2010 — 2011 学年第 二 学期期末考试试卷 《 高等代数与空间解析几何（II ） 》试题卷

注：答案及过程写入答题卷中才有效。

一．___填空题__(本大题共___10__空，每空___2__分，共___20__分。)

1．σ是3R 上的一个线性变换，则σ保持向量的 运算和 运算. 2．设[][][]

1

231

3

1,2

5

1,2

6

T

T

T

αααλ===， 则λ

=

时，

123

,,ααα线性相关，且极大无关组可以取为 ，其余向量被此极

大无关组线性表示的表示式为 .

3．设矩阵0100010

0A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，那么齐次线性方程组0

A X

=的通解为.

4.已知3阶方阵A 的特征值为1,3,a ，且

9

A =，则,a

=2

24A A E --=

.

5. 矩阵1

000

200

3A ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

所对应的二次型为，且此二次型的秩为

.

二．问答题（本大题共_ 4_题，每题_5_分，共_20_分。）

1．集合{

}123123123,,1,,,T

V x x x x x x x x x =++=⎡⎤⎣⎦

其中均为实数

是线性空间吗？请

说明理由.

2．已知向量组[][][]

1

2311,121,31,2,4T T

T

ααα=-=-=，，，，以及[]

3,5,2T

β=，则

β

能否由123,,ααα线性表示，请说明理由.

3．请写出一个与[]3P x 同构的线性空间并说明理由.

4.若矩阵1

232

10

3x ⎡⎤

⎢

⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

能对角化，则x 取何值？请说明理由.

三．__简单计算题_(本大题共_6_题，每题均5分，共_30_分。只写答案无过程不得分。)

1.已知22

P

⨯中，1231

1011

2,,012232A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，求123,,A A A 的秩.

2.设V 是3维向量空间，向量组(I)：123,,ααα和（II ）：123,,ηηη均是V 的基，且基

(I)到基（II ）的过渡矩阵1

222122

2

1A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，求123

2γ

ηηη=+-在基（I ）下的坐标.

3.已知向量组[]

1

1,1,0T

α=,[]21,1,1T

α=，[]

32,3,1T

α=是线性空间3R 的一组基，

ψ

是

3

R

上的一个线性变换，且()

[]()[]

121,0,1,2,1,3,T

T

ψεψε==

()[]31,1,2T

ψε=--，求ψ关于此基的矩阵.

4.已知3阶实对称矩阵A 三个特征值为1,2,2--，

[]

11,2,3T

ξ=是A 的属于1的特征向

量.求A 的属于2-的全部特征向量.

5.已知二次型222

123121323

25444f x x x x x x x x x =+++++，请用配方法将此二次型

化为标准形.

6.t 满足什么条件二次型222

1231213

2(1)22f x x t x tx x x x =++-++是正定的.

四．__计算题_(本大题共_ 2_题，每题_12_分，共_24_分。只写答案无过程不得分。)

1. 已知矩阵

1

23

A x ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

与

400B y ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

相似，（1）求

,x y

；（2）若

()12

11

43A A

A A E

ϕ

=

-+-,求()A ϕ的特征值以及()A ϕ.

2. 设二次型2

2

2

12312

2236f x x x x x =+++，求一正交变换：X

U Y

=，将此二次型

化为标准形，并写出标准形.

五．__证明题_(本题6分。)

已知A 是正定矩阵.证明：（1）1A -是正定矩阵；（2）A 的伴随矩阵A *是正定矩阵.