第五章频域分析法
自动控制原理第五章频域分析
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
第五章线性系统的频域分析法
(o)
动画续看
90
0 0.1
1
-90
10 ω
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图
• G(s)=Ts+1， 频率特性G( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
ω
ω=0
0
1
图5.10 一阶微分环节幅相曲线
➢振荡环节 G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
() -arctgT
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
(dB)
20
0 0.1
-20
1/T 1
20dB/dec
10 ω -20dB/dec
L( ) 20lg 1 2T 2 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之ω对=∞应，幅值与ω=0相角在复 平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时0，相-45应o 向量1 的矢端
就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线
(即极坐标图)。 动画演示
ω=1/T
幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横 坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝， 记作dB；对数相频曲线的单位是度。
0
j ω=∞
ω=0
G( j )
1
1
2 n2
j2
n
ζ=0.2—0.8 -0.5
番茄花园-五章线系统的频域分析法
二、奈氏判据
闭环稳定
闭环所有极点位于S左半平面
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法， 它反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性 可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频 率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对 象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时， 可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品 质。其次，应用频率特性法分析系统可以得出定 性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应 用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表 及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很 方便的。
j
2
Im [G( j)]
90 Re
0 0
积分环节
微分环节
3、一阶惯性环节
G(s)
1 Ts
1
G(
j
)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 2 2
Im
[G( j)]
0
G( j1)
45
G( j1)
0.707
1
Re
0
1
1
5、对数相频曲线绘制：将各典型环节相角叠 加，用描点法绘制。
例题：系统开环传递函数为
G(s)
K
s(s 1)(0.1s 1)
试绘制系统的对数幅频渐近特性曲线。
解：
交接频率： （1）1=1时： 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec （2） 2=10时： 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec 低频段，斜率-20dB/dec， =1，20lgK=20lg20=26dB 过（1，26dB）点 相频特性
第5部分频域分析法-精品
0.1 1
－
1 ＝ lg 1 0 / s－ 1
图5-5 对数相频特性的坐标系
第5章 频域分析法
例5.3 绘制例5.1中RC电路的对数坐标频率特性图 （T＝1s）。
解 RC电路的频率特性为
G(j)1R 1C j 11Tj
所以有
L()20lgG(j) 20lg 1 12T2
L(ω)=20 lgA(ω)=20 lgω=20μ,
φ(ω)=90°
（5-1６）
可见， 微分环节的对数幅频特性L(ω)是μ（即lgω） 的一次线性函数， 其直线斜率为20 dB/dec， 直线在 ω=1时与横轴相交, φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于 横轴的直线， 如图5-９(ｂ)所示。
第5章 频域分析法
Δμ=lg10ω-lgω=1
第5章 频域分析法
(2) 纵轴： L=20 lgA(ω), 单位为分贝, 记作dB。 2) 对数相频特性的坐标系 对数相频特性的坐标系如图5-5所示。 (1) 横轴： ω轴对数分度， 即μ=lgω。 (2) 纵轴： φ(ω)线性分度。
第5章 频域分析法
( ) /2
第5章 频域分析法
第5章 频域分析法
5.1 频率特性 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性图的绘制 5.4 稳定判据 5.5 开环频率特性与时域指标的关系 习题
第5章 频域分析法
5.1 频率特性
5.1.1 频率特性的概念 频率特性又称频率响应， 它是系统（或元件）对
不同频率正弦输入信号的响应特性。 设线性系统G(s) 的输入为一正弦信号r(t)=Ar sinωt， 在稳态时， 系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数， 但其振幅和相位 一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而 变化， 即cs(t)=Ac sin(ωt+φ)， 如图5-1所示。
第五章1-连续LTI系统频域分析
连续时间LTI系统的频域分析 离散时间LTI系统的频域分析 信号的幅度调制和解调
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，
任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而系统零 状态响应yzs(t) = x(t)*h(t)。 由单位冲激函数δ (t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
H ( j) F[h(t)] 1 1 j 1 j 2
1
( j)2 3( j) 2
只有当连续系统是稳定的LTI系统时，才存在H(j), 且可以由h(t)计算出H(j)。
电路系统的频率响应：
分析电路系统的频率响应，主要有两种方法。
H ( j) Yzs ( j)
( j) 3
X ( j) ( j)2 3( j) 2
在实际应用中， 只有当连续系统是稳定的LTI系统时，
才存在H(j),且频响函数才有意义。
例 已知某LTI系统的冲激响应为
h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。
vR (t) RiR (t)
VR ( jw) R IR ( jw)
ZR
VR ( IR(
jw) jw)
R
vL
(t)
L
diL (t) dt
VL ( jw) jwLIL ( jw)
ZL
VL ( jw) IL ( jw)
jwL
iC
(t)
C
d
vC (t) dt
IC ( jw) jwCVC ( jw)
例 已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，
第五章频域分析法
精确曲线 +20 0 渐近线 -20
φ (ω )
1 T2 10 1 T2
+20dB/dec
ω
90°
90° 0° 0.1 1 45°
10 100 1000
ω
0°
1 T2
10
1 T2
ω
纯微分环节伯德图
一阶微分环节伯德图
6．延时环节
- 131 -
控制工程基础（第二版）
L (ω )
ζ = 0.707
A(ω )
第五章 频域分析法
5－1 频率特性
频域分析法(简称频率法)是研究自动控制系统的一种工程方法，不进行大量繁复的计 算，而要求能够比较简单、迅速地分析出系统各参数对动态性能的影响，以及应该如何调整 各参数，来满足对控制系统提出的各项性能指标，因而获得了广泛的应用。另外，频率特性 可以由实验确定，这在难以写出系统动态数学模型时更为有用。
一、由奈魁斯特图确定闭环频率特性
右图的奈魁斯特图上， ω1 为 A 点处的频 率，矢量 OA 表示 G ( jω1 ) ，OA 的幅值为 OA ，OA 的相角为 角度ϕ 0 。 由（-1，j0）点到 G ( jω ) 轨迹线的矢量 PA 表示 [1 + G ( jω1 )] 幅值为长度 PA ，相角 因此， OA 与 PA 之比就表示闭环 为角度 θ 。 频率特性：
10
φ (ω )
100
1000 ω
1
ω =0 ω
Re
0° 1 − 10°
10
100
1000 ω
−j
−20°
图 5-16 放大环节伯德图
图 5-15 延迟环节幅相图
- 129 -
控制工程基础（第二版）
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
第五章 频域分析
第五章 线性系统的频域分析法单元测试题（A ）一、填空题：1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是_ __。
2、控制系统中的频率特性反映了 信号作用下系统响应的性能。
3、已知传递函数ss G 10)(=，其对应的幅频特性A(ω)=_ _，相频特性φ(ω)=___ ___。
4、常用的频率特性图示方法有极坐标图示法和_ _图示法。
5、对数频率特性曲线由对数 曲线和对数 曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。
6、0型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
7、I 型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
8、Ⅱ型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
9、除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于 。
10、传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于 0dB 线对称，对数相频曲线关于 线对称。
11、惯性环节的对数幅频渐进特性曲线在交接频率处误差最大，约为 。
12、开环幅相曲线的起点，取决于 和系统积分或微分环节的个数。
13、开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中 和 的阶次和。
14、当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的 。
15、复变函数F(s)的零点为闭环传递函数的 ，F(s)的极点为开环传递函数的 。
16、系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为 。
17、系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为 。
18、延时环节的奈氏曲线为一个 。
19、ω从0变化到＋∞时，惯性环节的频率特性极坐标图在__ _象限，形状为___ ___。
20、比例环节的对数幅频特性L(ω)＝ dB二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。
）1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是( )。
A.脉冲函数B.斜坡函数C.阶跃函数D.正弦函数2、比例环节的频率特性相位移θ(ω)=( )。
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
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5.1频率特性 5.2频率特性的图示方法之一
幅相频率特性曲线（奈氏（Nyquist）曲线、极坐标曲线）
5.3频率特性的图示方法之二
对数频率特性曲线（伯德（Bode）图）
5.4最小相位系统
1
研究的问题仍然是系统的
稳定性、动态性能、稳态性能
但在时域分析中：独立 变量 t ,
1t 为基本输入信号 而在频域分析中：独立 变量 ，
频率特性与传递函数具有相似的形式
j
： G ( j ) G ( s) s j
p
p d dt
s
p
微分 方程
传递 函数
系统
频率 特性
s j
14
例 求
K G j j T1 j 1T2 j 1
K
j arctan T1 arctan T2 2
A s2 2
则系统输出为 （假设系统稳定）
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm A A n C ( s ) G ( s ) R( s ) G ( s ) 2 2 s a1s n 1 an 1s an s 2 2 s
（3）高阶系统，不易看出系统结构、参数对其动
态性能的影响；当动态性能不满足要求时，难以指
出改善系统性能的途径。
3
引言
频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典的
实用工程方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解
方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频域法用 于分析和设计系统有如下优点： （ 1 ）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法
5
§5.1 频率特性
C ( s ) b0 s m b1s m1 bm1s bm n 设系统的传递函数为： G ( s) s a1s n 1 an 1s an R( s)
已知输入 r (t ) A sin(t )
其拉氏变换为
R( s )
j
幅频特性
相频特性
jV 1
G j G j 1
A 1
任何复数都可用模和辐角表示： G(jω) 的模对应幅频特性；G(jω)的相角对 应相频特性。 0
1
U 1 12
G j A e
j
X o j X i j
jt
ce
jt r (t ) A sin(t )
R( s )
A s2 2
拉氏变换 C ( s) G( s) A 2
b c 2 S S j S j
A A A b G(s) 2 2 (s j ) s j G( j ) (s j ) s j G( j ) s (s j )(s j ) 2j
2j
[ cos((t ())) j sin((t ()))]}
A = G ( jw) [ j sin(t ( )) ( j sin(t ( )))] 2j
A G ( jw) 2 j sin(t ( ) 2j
G( jw) A sin(t ( ))
就可研究系统的稳定性。使用方便、便于掌握。频域分析法主 要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，具有形象直观和 计算量少的特点。
4
引言
（ 2 ）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有
明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列 写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。
（ 3 ）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的 系统和部分非线性系统的分析。 （ 4 ）用频率法设计系统，可以方便的设计出 能有效 抑 制噪声的系统。 （ 5 ）频率特性可反映系统的结构、参数与性能的关系。 由频率特性可了解如何通过改变结构参数来改善系统的性能。
A
X o j X i j
X o j X i j
13
在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率特性。
1 G( s) 1 RCs
1 1 G ( j ) 1 RCj 1 Tj
奈氏曲线最初是在极坐标系中定义的，所
以也称极坐标曲线。 将极坐标重合在直角坐标系中（极点→原 点，极轴→实轴），因频率特性G(jω )可分 解为实频特性和虚频特性， G(jω )的实部和 虚部都是ω 的函数，幅频特性A(ω )和相频 特性φ (ω )也都是ω 的函数。故ω 值不同 时， G(jω )的向量长度和相位角不同。当 ω 从0变化到+∞时，G(jω )的矢端的连线， 称为幅相频率特性曲线。
的幅频特性和相频特性
G j
1 T1
2
1 T2
2
e
A
K
1 T1 1 T2
2
2
arctan T1 arctan T2 2
15
7 例 某系统传递函数为 , 3s 2 1 2 当输入为 sin t 45 时， 求系统稳态输出。 7 3 1 2 又有 x i t sin t 45 7 G s 7 3 3s 2 1 2 1 7 2 则 A 7 G j 7 3 7 2 2 4 3 j 2 9 4 3 7 A 2 3 2 2 45 arctan 45 0 3 4 3 2 3
19
（三）典型环节的极坐标图（奈氏图）
1、比例环节
G j K
jVBiblioteka G j KG j K
G j 0
0
U
20
2、惯性环节
1 G j 1 jT G j 1 1 T
2
jV
G j
0 1 U
Im G ( j ) G( j ) arctg Re G( j ) G ( j ) e j
8
G ( j ) G ( j ) e
j j
G ( j ) G ( j ) e
G ( j ) e
j
A A b G ( j ) G ( j ) e j 2j 2j A A c G ( j ) G ( j ) e j 2j 2j
0 2
G j
22
4、微分环节
G j j
jV
G j
G j
G j
2
0
0
0
G j arctan T
G j 10
0
1 T
1 G j 4 2 G j 0
2
21
3、积分环节
1 G j j G j 1
jV
G j
U
0
（ 1）
系统的地时间响应为
c(t ) ai e be
pi t i 1
n
jt
？
ce
jt
瞬态响应（t 趋向于零）
稳态响应Css(t)
是不是对（1）反拉氏？
那么，当
t c(t ) be
jt
ce
jt
上式就是正弦函数作用下的系统稳态响应。
7
c(t ) be
A
R( ) 幅相（频率）特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 G( j ) A( )e j ( )
11
频率特性函数G(jω )的表示
频率特性
实频特性 虚频特性
G j U jV A e
2 2 A G j U V V G j arctan U
3 arctg 2
2 2 xo t sin t 4 3 16
5.2 频率特性的图示方法之一
频率特性可用解析式或图形来表示。 （一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标) ： 三角函数形式： 实频-虚频形式：
10
c(t ) be
jt
ce
jt
G( jw) A sin(t ( ))
一、基本概念
Ac sin(t ( ))
1、频率响应: 在正弦输入信号作用下，系统输出的 稳态值称为系统的频率响应, 记为css(t) 2、频率特性 幅频特性A(): 稳态输出正弦信号的幅值与输入信 号的幅值之比: A( ) Ac G ( j ) 相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差（相位差）: ( ) G( j ) arctg I ( )
当传递函数所有极点P1，P2…,Pn各不相同时
an a1 a2 b c C (S ) ...... SP S P2 S Pn S j S j 1
6
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9
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