北京市八区2018届中考二模数学分类汇编：一元二次方程(含答案)
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．3．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．4．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋6，x 2＝1－6(2) x 1＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32. ∴x －1＝±32＝±6. ∴x 1＝1＋6，x 2＝1－6. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m 时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【解析】 【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论． 【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ， 根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
北京市东城区普通中学2018年1月初三数学中考复习 一元二次方程 专项练习题 含答案
北京市东城区普通中学2018年1月初三数学中考复习一元二次方程 专项练习题1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝03．用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝54．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和25．若(a ＋b)(a ＋b －2)－8＝0，则a ＋b 的值为( )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－2 6．用换元法解方程x 2－2x ＋7x 2－2x ＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整式方程是( )A ．y 2＋8y －7＝0B ．y 2－8y －7＝0C ．y 2＋8y ＋7＝0D ．y 2－8y ＋7＝07．解一元二次方程：(x －1)2＝48. 解方程：x 2＋4x －2＝09. 解方程：x(x－2)＝x－210. 解方程：x2－2x－1＝011. 解方程：(x－2)2－3(2－x)＋2＝0.12．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋10，x2＝－2－10.我们称晓东这种解法为“平均数法”．(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝△.上述过程中“□”“○”“☆”“△”表示的数分别为________，________，________，________．(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.13. 解方程2x 2＋43x ＝22，有一位同学解答如下：∵a ＝2，b ＝43，c ＝22，∴b 2－4ac ＝(43)2－4×2×22＝32，∴x ＝－43±3222＝－6±2， ∴x 1＝－6＋2，x 2＝－6－2.请你分析以上解答有无错误，如果有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答过程．答案：1---6 CCADC D7. x 1＝3，x 2＝－18. x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 69. x 1＝2，x 2＝110. x 1＝1＋2，x 2＝1－ 211. x 1＝0，x 2＝112. (1) 4 2 －1 －7(2) 原方程可变形，得[(x －1)－2][(x －1)＋2]＝5，整理，得(x －1)2－22＝5，(x －1)2＝5＋22，即(x －1)2＝9，直接开平方并整理，得x 1＝4，x 2＝－213. 解：以上解答有错误，c ＝22错误，正确的是c ＝－2 2.原方程化为2x 2＋43x －22＝0，∵a ＝2，b ＝43，c ＝－22，∴b 2－4ac ＝(43)2－4×2×(－22)＝48＋16＝64，∴x ＝－43±6422＝－6±22，∴x 1＝－6＋22，x 2＝－6－2 2。
北京市各区2018年初三数学中考二模《选择第8题》汇编.docx
北京市各区2018 年初三下学期数学二模试题分类汇编2018 昌平二模8．一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离 y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲乙两地相距1200 千米B．快车的速度是80 千米∕小时C．慢车的速度是60 千米∕小时D．快车到达甲地时，慢车距离乙地100 千米y（千米）600O410x（小时）2018 朝阳二模8.如图，矩形ABCD 中， AB＝ 4， BC＝ 3， F 是 AB 中点，以点 A 为圆心， AD 为半径作弧交AB 于点 E，以点 B 为圆心， BF 为半径作弧交BC 于点 G，则图中阴影部分面积的差S1-S2为13（ A ）129（ B）12413（ C）64（ D） 62018 东城二模8.有一圆形苗圃如图 1 所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃e O的直径，且 AB?⊥CD. 入口 K 位于AD中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进时间为 x，与入口 K 的距离为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图行进的路线可能是A. A→O→DB.C→ A→O→BC. D→O→CD. O→ D→ B→C.设该园丁行进的2所示，则该园丁2018 房山二模8.一列动车从 A 地开往 B 地，一列普通列车从 B 地开往 A 地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y （千米），如图中的折线表示 y 与x之间的函数关系 . 下列叙述错误的是．．A． AB两地相距1000 千米B．两车出发后 3 小时相遇C．动车的速度为1000 km / h32000千米到达 A D．普通列车行驶t 小时后，动车到达终点 B 地，此时普通列车还需行驶3地2018 丰台二模8．某移动通讯公司有两种移动电话计费方式，这两种计费方式中月使用费y（元）与主叫时间 x（分）的对应关系如图所示：（主叫时间不到 1 分钟，按 1 分钟收费）下列三个判断中正确的是①方式一每月主叫时间为300 分钟时，月使用费为88 元②每月主叫时间为350 分钟和 600 分钟时，两种方式收费相同③每月主叫时间超过600 分钟，选择方式一更省钱（ A ）①②（B）①③（ C）②③（D）①②③y/元138方式一方式二8858O200 400 600x/分2018 海淀二模8．“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值 .右图描述了某次单词复习中M , N , S,T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数 x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是A ．M B．N C．S D ．TyMNS TO x北京市各区2018 年初三下学期数学二模试题分类汇编2018 平谷二模8.右图所示是一个三棱柱纸盒 .在下面四个图中，只有一个展开图是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是A． B． C． D．2018 石景山二模8．甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线 OBCD．则下列说法正确的是（A）两人从起跑线同时出发，同时到达终点（B）跑步过程中，两人相遇一次（C）起跑后 160 秒时，甲、乙两人相距最远（D）乙在跑前 300 米时，速度最慢S(米 ) A D800C600300Bt(秒)O70160200北京市各区2018 年初三下学期数学二模试题分类汇编2018 西城二模8．如图 1 所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s 和 v(m/s)，起初甲车在乙车前 a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y 与 x 的函数关系如图 2 所示．有以下结论：①图 1 中 a 的值为 500；②乙车的速度为35 m/s；③图 1 中线段 EF 应表示为 500 5x ；④图 2 中函数图象与x 轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A ．①④ B．②③C．①②④ D．①③④2018 怀柔二模A. ①B. ②④C.④D. ③④8.依据国家实行的《国家学生体质健康标准》，对怀柔区初一学生身高进行抽样调查，以便总结怀柔区初一学生现存的身高问题，分析其影响因素，为学生的健康发展及学校体育教育改革提出合理项建议.已知怀柔区初一学生有男生840 人，女生 800 人，他们的身高在150≤ x＜175 范围内，随机抽取初一学生进行抽样调查．抽取的样本中，男生比女生多 2 人，利用所得数据绘制如下统计图表：根据统计图表提供的信息，下列说法中①抽取男生的样本中，身高在155≤ x＜ 165 之间的学生有18 人；②初一学生中女生的身高的中位数在 B 组；③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；④初一学生身高在160≤ x＜ 170 之间的学生约有800 人 .其中合理的是A ．①②B ．①④C．②④ D ．③④北京市各区2018 年初三下学期数学二模试题分类汇编2018 顺义二模A P8．已知正方形ABCD的边长为 4cm，动点 P 从 A 出发，沿 AD 边以1cm/s 的速度运动，动点 Q 从 B 出发，沿 BC， CD边以 2cm/s的速度运动，点 P， Q 同时出发，运动到点 D 均停止运动，设运动时间为 x（秒），△ BPQ的面积为 y（ cm2），则 y 与 x 之间的函数图象大致是BQ2018 门头沟二模8. 某中学举办运动会，在1500 米的项目中，参赛选手在 200 米的环形跑道上进行，下图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中代表的是最快的选手全程的跑步时间， y 代表的是这两位选手之间的距离，下列说不合理的是A．出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次；B．出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比第二次相遇的用时短；C．最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415 米未跑；D．跑的最慢的选手用时4′46″.D Cxy（4′46″，15 ）O A B Cx。
2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题9 一元二次方程及其应用试题(含解析)
一元二次方程及其应用一.选择题1.（2018•江苏淮安•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，解得k=0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2.（2018•江苏苏州•3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=，则k的值为（）A．3 B．2 C．6 D．12【分析】由tan∠AOD==可设AD=3A.OA=4a，在表示出点D.E的坐标，由反比例函数经过点D.E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【解答】解：∵tan∠AOD==，∴设AD=3A.OA=4a，则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE=2BE，∴BE=BC=a，∵AB=4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y=经过点D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a=或a=0（舍），则k=12×=3，故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D.E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．3.（2018•内蒙古包头市•3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．4.（2018•上海•4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．5. （2018•乌鲁木齐•4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．6. （2018•嘉兴•3分）欧几里得的《原本》记载.形如的方程的图解法是：画，使,,,再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（）A. 的长.B. 的长C. 的长D. 的长【答案】B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得：∵∴∴AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.6. （2018•贵州安顺•3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，即，，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．7. （2018•广西桂林•3分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A. B. C. 2或3 D. 或【答案】A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．详解：∵方程有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=．故选：A．点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．8. （2018•广西南宁•3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．9. （2018·黑龙江龙东地区·3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x ﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．10.（2018•福建A卷•4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11.（2018•福建B卷•4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12.（2018•广东•3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．1.. （2018•广西北海•3分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为ρ则可列方程为A. 80(1 + ):= 100B. 100(1 −):= 80C. 80(1 + 2) = 100D. 80(1 + :) = 100【答案】 A【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则2017 年蔬菜产量为80(1 + )吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + ) (1 + )吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，即80(1 + )(1 + ) =100，即80(1 + ):= 100.故选 A.【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思，找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程.14.（2018•广西贵港•3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．15.（2018•贵州铜仁•4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．【解答】解：x2﹣4x+3=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，故选：C．16.（2018•贵州遵义•3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】直接利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，进而求出答案．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，则x1+x2﹣3x1x2=5，﹣b﹣3×（﹣3）=5，解得：b=4．故选：A．16.（2018年湖南省娄底市）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．17.（2018湖南湘西州4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．4【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．18.（2018•上海•4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．19. （2018•乌鲁木齐•4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．二.填空题1. （2018·湖南郴州·3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 2 ．【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．2. （2018·湖南怀化·4分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．3.（2018•江苏徐州•3分）若x1.x2为方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则x1+x2= ﹣1 ．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．4.（2018•江苏淮安•3分）一元二次方程x2﹣x=0的根是x1=0，x2=1 ．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．5.（2018•江苏苏州•3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6.（2018•山东烟台市•3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是3＜m≤5．【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（A.B.c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．7.（2018•山东聊城市•3分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，∴，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．8. （2018•达州•3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为．【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．∴1+﹣=0．∴﹣﹣1=0，又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．∴m+=2．∴=m+1+=2+1=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．9.（2018•资阳•3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．11.（2018•贵州黔西南州•3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是13 ．【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8=0，（x﹣2）（x﹣4）=0，x﹣2=0，x﹣4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，故答案为：13．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．12.(2018湖南省邵阳市)（3分）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是0 ．【分析】设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【解答】解：设方程的另一个解是n，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0．故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．13.2018湖南长沙3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m=3，解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键14. （2018湖南张家界3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ±2．【分析】根据题意可得△=0，进而可得k2﹣4=0，再解即可．【解答】解：由题意得：△=k2﹣4=0，故答案为：±2．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．15. （2018•达州•3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为．【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．∴1+﹣=0．∴﹣﹣1=0，又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．∴m+=2．∴=m+1+=2+1=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．16. （2018•资阳•3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．三.解答题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．2. （2018·湖北随州·7分）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+=﹣1，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3.x1x2=k2，结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，解得：k＞﹣．（2）∵x1.x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴+==﹣=﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．又∵k＞﹣，∴k=3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+=﹣1找出关于k 的分式方程．3.（2018•江苏苏州•8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．【解答】解：（1）由x2﹣4=0得，x1=﹣2，x2=2，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣2，0），∵直线y=x+m经过点A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，∴点D的坐标为（0，2），∴AD==2；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，y=x2+bx+2=（x+）2+2﹣，则点C′的坐标为（﹣，2﹣），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4，∴2﹣=﹣﹣4，解得，b1=﹣4，b2=6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键．4.（2018•山东东营市•8分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A 是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，∴sin2A=，∴sinA=或，∵∠A为锐角，∴sinA=；（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，∴﹣（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2≤0，又∵（k﹣2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5 ∵sinA=，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=．∴△ABC的周长为；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA=，∴A D=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周长为16，综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．5. （2018•遂宁•8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．6. （2018•杭州•10分）设一次函数（是常数，）的图象过A（1，3），B（-1，-1）（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值；（3）已知点C（x1， y1），D（x2， y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数的图象所在的象限，说明理由。
2018年中考数学试题分类汇编：一元二次方程
2 x -2x - k-1 = 0有两个不相等的实数根，则实
C. k . 2 D . k 0 【答案】C
【解析】由题可知，△> 0,即卩（-2）2-4（k-1） >0,解得k V 2
【知识点】一元二次方程跟的判别式，解不等式
2. （ 2018安徽省，7, 4分）若关于X 的一元二次方程x （x+1）+ ax=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（
）
A. -1
B.1
C. -2或 2
D. -3或 1
【答案】A 【解析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△ =0即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论. 解：原方程可变形为 x 2 + （a+1） x=0.
•••该方程有两个相等的实数根，
/•△ = （a+1） 2 - 4 X 1 X 0=0 ,
解得：a= - 1.
故选：A .
【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况
A. k 三-4
B. kv — 4
C. k 乞 4 、选择题 数k 的取值范围是（
）
3. （2018甘肃白银，7, 3）
关于X 的一元二次方程 2 x 4x k = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是（ 1. （2018四川泸州, 9题，3分）已知关于x 的一元一次方程
A. k^2
D. kv 4。
中考数学一元二次方程-经典压轴题含答案
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得： ﹣ = 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x= （不合题意，舍去）．
（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
(3)2018-2020年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(3)——分式、二次根式参考答案
解得，x ，
故选：A．
二．填空题（共 22 小题） 10．【解答】解：由题意，得
x＝0 且 x﹣1≠0， 解得 x＝0， 故答案为：0．
11．【解答】解：代数式 i 有意义的 x 的取值范围是 x≠1， 故答案为：x≠1．
12．【解答】解：原式
i
ᖛ
o ᖛ To i T ᖛ
＝2（m﹣n），
∵m＝n+4，
所以原式
݇i ݇ ݇i ݇
݇ ݇
，
故答案为： ．
i i
，
20．【解答】解：∵n2﹣2n﹣4＝0， ∴n2﹣2n＝4， i 原式 ᖛ • o ᖛ To i T ᖛ• ＝n（n﹣2） ＝n2﹣2n ＝4， 故答案为：4．
21．【解答】解：由题意，得 3﹣x≥0，且 x≠0， 解得 x≤3 且 x≠0， 故答案为：x≤3 且 x≠0．
故答案为：4．
17．【解答】解：（x+1ᖛ i ）÷ i
o ᖛ To i Tᖛ o i T i
iᖛ oiT i
oiT i
＝2x，
故答案为：2x．
18．【解答】解：∵a2+1＝3a，
∴aᖛ 혨
혨 혨
ᖛ혨
혨ᖛ 혨
故答案为：3．
혨 혨
3．
19．【解答】解：原式 o
i ᖛ To
i T•（2m+n）
设
k，
则 m＝3k、n＝2k，
뻀 뻀
뻀 혨ᖛ
뻀，
当 a﹣2b＝0 时，即 a＝2b，
原式
뻀 뻀Biblioteka ．35．【解答】解：原式 i ᖛ o i T i
＝3．
36．【解答】解：原式
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2018年九年级中考数学汇编：一元二次方程 (含解析)
2018中考数学一元二次方程课时练一．选择题1．（2018•泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜02．（2018•包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．4．（2018•嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长D．CD的长二．填空题5．（2018•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为．6．（2018•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=．7．（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．8．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n 的值为．9．（2018•绵阳）已知a＞b＞0，且++=0，则=．10．（2018•泰州）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为．三．解答题11．（2018•绍兴）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1．（2）解方程：x2﹣2x﹣1=0．12．（2018•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．13．（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？14．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？15．（2018•内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．答案提示1．【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．3．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣、αβ=﹣3，将其代入+=中即可求出结论．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，∴α+β=﹣，αβ=﹣3，∴+====﹣．故选：C．4．【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．5．【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018故答案为：20186．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案为：﹣2．7．【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．8．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，∴4n2﹣4mn+2n=0，∴4n﹣4m+2=0，∴m﹣n=．故答案是：．9．【分析】先整理，再把等式转化成关于的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0，整理得：2（）2+﹣1=0，解得=，∵a＞b＞0，∴=，故答案为．10．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3=0，解得a=3．故答案是：3．11．【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后再计算加减即可；（2）首先计算△，然后再利用求根公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式=2﹣2﹣1+3=2；（2）a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，x===1，则x1=1+，x2=1﹣．12．【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3或x2=．13．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x1=35，x2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．14．【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理，得x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．15．【分析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则，可得结论；（2）根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小时，x+2≥2，分别解出即可；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【解答】解：（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°=，∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=，∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则，∴x的取值范围为：，故答案为：，；（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3，②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，原等式变为：2×2=x+4，x=0，③当x+2≥2时，即x≥0，原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，综上所述，x的值为﹣3或0；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}=y A=y B，此时x2=9，解得x=3或﹣3．。
一元二次方程(解析版)数学2018全国中考真题-1
2018年数学全国中考真题一元二次方程（试题一）解析版一、选择题1. （2018四川泸州，9题，3分）已知关于x 的一元一次方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2k ≤B. 0k ≤C.2k <D.0k < 【答案】C【解析】由题可知，△＞0，即 (-2)2-4(k-1)＞0，解得k ＜2 【知识点】一元二次方程跟的判别式，解不等式2. （2018安徽省，7，4分）若关于的一元二次方程x (x +1)+ax =0有两个相等的实数根,则实数a 的值为（ ）A. B.1 C.22-或 D. 3-或1【答案】A【解析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：原方程可变形为x 2+（a+1）x=0． ∵该方程有两个相等的实数根， ∴△=（a+1）2﹣4×1×0=0，解得：a=﹣1． 故选：A ．【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况3. （2018甘肃白银，7，3） 关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A.4k ≤-B.4<k -C. 4k ≤D.4<k【答案】C【解析】:∵方程有两个实数根，∴2244410=b ac k ∆-=-⨯⨯≥，解得：4k ≤。
故选C【知识点】一元二次方程根的判别式。
一元二次方程有两个不相等的实数根，则240b ac ->，一元二次方程有两个相等的实数根，则240=b ac -，一元二次方程没实数根，则240<b ac -。
这里题干中说有两个实数根，则x 1-根的判别式应是大于或等于0.这是不少同学易错之处。
4. （2018湖南岳阳，11，4分）关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ＜1.【解析】解：∵一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根， ∴△=22-4k ＞0，解得k ＜1. 故答案为k ＜1..【知识点】一元二次方程根的判别式的应用5. （2018山东潍坊，11，3分）已知关于x 的一元二次方程2(2)04mmx m x -++=有两个不相等的实数根x 1，x 2．若12114,m x x += 则m 的值是（ ） A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．不存在 【答案】A【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，从而求出m 的取值范围，结合一元二次方程根与系数的关系代入12114,m x x +=求出m 的值，再根据取值范围进行取舍即可. 【解题过程】解：由题意得:2[(2)]44404mm m m ∆=-+-⋅⋅=+>, 解得：m ＞－1.121212211414m x x m m x x x x +++===.解得：m 1=2，m 2=－1(舍去) 所以m 的值为2，故选择A.【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系6.（2018江苏泰州，5，3分）已知1x 、2x 是关于x 的方程220x ax --=的两根，下列结论一定正确的是( ) A.12x x ≠B.120x x +>C.120x x ⋅>D.10x <，20x <【答案】A 【解析】∵△=280a+>，∴无论a 为何值，方程总有两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”得122x x =-，∴12x x 、异号，故选A.【知识点】根的判别式，根与系数的关系7. （2018江苏省盐城市，8，3分）已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一根为1，则k 的值为（ ）． A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4【答案】B【解析】把x ＝1代入一元二次方程，得12＋k －3＝0，解得k ＝2．故选B ． 【知识点】一元二次方程的根8. （2018山东临沂，4，3分）一元二次方程2304y y --=配方后可化为( ) A ．2112y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．21324y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．21324y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】由y 2－y －43=0得y 2－y =43，配方得y 2－y ＋41=43＋41，∴(y －21)2=1，故选B. 【知识点】一元二次方程的解法 配方法9.（2018四川省宜宾市，4，3分）一元二次方程x 2–2x=0的两根分别为x 1和x 2 , 则为x 1 x 2为（ ） A.-2 B.1 C.2 D.0 【答案】D【解析】根据根于系数的关系可知x 1+x 2=ca=0，故选择D. 【知识点】一元二次方程根于系数的关系1. (2018山东菏泽，5，3分)关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．0k ≥B ．0k ≤C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤且1k ≠-【答案】D【解析】△=b 2－4ac=(－2)2－4(k+1)≥0，解得k≤0，又∵k+1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1．故选D ． 【知识点】一元二次方程根的判别式2. （2018贵州遵义，9题，3分）已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+bx-3=0的两根，且满足x 1+x 2-3x 1x 2=5，那么b 的值为A.4B.-4C.3D.-3 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3，又因为x 1+x 2-3x 1x 2=5，代入可得-b-3×(-3)=5，解得b=4，故选A【知识点】一元二次方程根与系数的关系3. （2018江苏淮安，7，3） 若关于x 的一元二次方程x 2-2x-k+1=0有两个相等的实数根，则k 的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B【解析】分析： 本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式为零，进而可得k 的值.解：由一元二次方程x 2-2x-k+1=0有两个相等的实数根所以根的判别式44(1)0k ∆=--+=，解得：k=0故选：B ．【知识点】一元二次方程；一元二次方程根的判别式4. （2018福建A 卷，10，4）已知关于x 的一元二次方程21210a x bx a 有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( ) A ．1一定不是关于x 的方程20x bx a 的根 B.0一定不是关于x 的方程20xbx a 的根 C.1和-1都是关于x 的方程20xbx a 的根D. 1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于a 、b 的等式，再逐一判断20x bx a 根的情况即可. 解：由关于x 的方程21210a x bxa 有两个相等的实数根，所以△=0，所以224410ba ，110b a b a ，解得10a b 或10a b ，∴1是关于x 的方程20x bx a 的根，或-1是关于x 的方程20x bx a 的根；另一方面若1和-1都是关于x 的方程20xbx a 的根，则必有11a b a b，解得1a b ，此时有10a ，这与已知21210a x bx a 是关于x 的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根，故选D.【知识点】一元二次方程；根的判别式5. （2018福建B 卷，10，4）已知关于x 的一元二次方程21210a x bx a 有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( ) A ．1一定不是关于x 的方程20x bx a 的根 B.0一定不是关于x 的方程20xbx a 的根 C.1和-1都是关于x 的方程20xbx a 的根D. 1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于a 、b 的等式，再逐一判断20x bx a 根的情况即可. 解：由关于x 的方程21210a x bxa 有两个相等的实数根，所以△=0，所以224410ba ，110b a b a ，解得10a b 或10a b ，∴1是关于x 的方程20x bx a 的根，或-1是关于x 的方程20x bx a 的根；另一方面若1和-1都是关于x 的方程20x bx a 的根，则必有11a b a b，解得1a b ，此时有10a ，这与已知21210a x bx a 是关于x 的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根，故选D.【知识点】一元二次方程；根的判别式6.（2018河南，7，3分）下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是（A ）2690x x ++= （B ）2x x = （C ）232x x += （D ）2(1)10x -+= 【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式Δ=b 2-4ac;当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根.选项A ：Δ=b 2-4ac=62-4×1×9=0；选项B ：先将原方程转化为一般式：x 2-x =0，则Δ=b 2-4ac=（-1）2-4×1×0=1>0；选项C ：将原方程转化为一般式：x 2-2x +3=0，则Δ=b 2-4ac=（-2）2-4×1×3= -8 < 0；选项D ：将原方程转化为一般式：x 2-2x +2=0，则Δ=b 2-4ac=（-2）2-4×1×2= -4 < 0.故选项B 正确.【知识点】一元二次方程根的判别式7. （2018四川凉山州，7，4分）若n （n ≠ 0）是关于x 的方程220x mx n ++=的一个根，则m ＋n 的值是（ ）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【解析】∵n （n ≠ 0）是关于x 的方程220x mx n ++=的一个根，∴220n mn n ++=，∴20n m n ++=()， ∵n ≠ 0，∴20m n ++=，∴2m n +=-.故选择D. 【知识点】方程的根，因式分解.二、填空题1.（2018四川泸州，题，3分） 已知1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两实数根，则12112121x x +++的值是 .【答案】6【解析】由韦达定理可得x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，6122)1(42221)(242)(2)12)(12(12122121212121=+⨯+-⨯+⨯=+++++=+++++=x x x x x x x x x x 原式【知识点】韦达定理，分式加减2.（2018山东滨州，17，5分）若关于x ，y 的二元二次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a ，b 的二元一次方程组3()()5,2()()6a b m a b a b n a b +--=⎧⎨++-=⎩的解是___________．【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】根据题意，对比两个方程组得出方程组12a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【知识点】整体思想，二元一次方程组加减消元法3. （2018四川内江，15，5）关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ≥－4【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0有实数根，∴△＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－k )≥0，解得k ≥－4．【知识点】一元二次方程根的判别式4. （2018四川内江，22，6）已知关于x 的方程2ax ＋bx ＋1＝0的两根为1x ＝1，2x ＝2，则方程()21a x +＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为 ． 【答案】1【思路分析】将方程()21a x +＋b （x ＋1）＋1＝0中的（x ＋1）换元成y ，原方程化为ay 2＋by ＋1＝0，再由方程2ax ＋bx ＋1＝0的两根为1x ＝1，2x ＝2，可知ay 2＋by ＋1＝0的两根也分别为1和2，将y 换回(x ＋1)就可以求出原方程的两个根，从而得出两根之和．【解题过程】解：令（x ＋1）＝y ，则原方程变形为ay 2＋by ＋1＝0，∵方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为1x ＝1，2x ＝2，∴1y ＝1，2y ＝2，即x ＋1＝1，x ＋1＝2，∴1x ＝0，2x ＝1，∴1x ＋2x ＝1． 【知识点】一元二次方程根与系数关系5. （2018四川绵阳，17，3分） 已知a ＞b ＞0，且0312=-++a b b a ，则ab = 【答案】231+- 【解析】解：由题意得：2b (b -a )+a (b -a )+3ab =0， 整理得：2(a b )2+ab 2-1=0， 解答ab =231±-，∵a ＞b ＞0， ∴ab =231+-故答案为231+- 【知识点】分式的加减法，解一元二次方程6.（2018山东聊城，13，3分）已知关于x 的方程2(1)230k x kx k --+-=有两个相等的实根，则k 的值是 . 【答案】34【解析】∵关于x 的方程2(1)230k x kx k --+-=有两个相等的实根，∴2(2)4(1)(3)=010k k k k ⎧----⎨-≠⎩， 解得34k =. 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法7. （2018四川省南充市，第14题，3分）若2(0)n n ≠是关于x 的方程2220x mx n -+=的根，则m n -的值为 ． 【答案】12【解析】解：∵若()02≠n n 是关于x 的方程0222=+-n mx x 的根，∴()022222=+⨯-n n m n ，原方程整理得：02442=+-n mn n ，∴()01222=+-m n n ，∵n ≠0，∴0122=+-m n 即122-=-m n ，∴21=-n m .故答案为：12. 【知识点】一元二次方程的概念；因式分解8. （2018湖南长沙，17题，3分）已知关于x 的方程x 2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。
中考数学 一元二次方程 综合题含详细答案
【解析】
【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可．
【详解】
当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；
当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，
【详解】
解： 依题意得 ，
，
又 ，
的取值范围是 且 ；
解：不存在符合条件的实数 ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程 的两根分别为 ， ，
由根与系数的关系有： ，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
，
，
由 知， ，且 ，
不符合题意，
因此不存在符合条件的实数 ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3= =6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a= 线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．
【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
6．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？
（探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2= =3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．
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【东城二模】20. 已知关于x的一元二次方程2610kxx有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围；
(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根.
20. 解：（1） 依题意，得20,640kk＞，
解得kk＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分
(2) ∵k是小于9的最大整数，
∴=8k .
此时的方程为28610xx.
解得11=2x，21=4x. ---------------------------------------------------------------------5分
【西城二模】
本次未考此类问题
【海淀二模】
20．关于x的一元二次方程2(3)30xmxm.
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个m的值，使方程的两个根中只有．．一个根小于4.
20．
（1）证明：依题意，得22[(3)]413(3)mmm.
∵2(3)0m，
∴方程总有实数根.
(2) 解：∵原方程有两个实数根3，m，
∴取4m，可使原方程的两个根中只有．．一个根小于4.
注：只要4m均满足题意.
【朝阳二模】
20. 已知关于x的一元二次方程03)1(222mxmx有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值.
20. 解：（1）)3(4)1(222mm168m.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴0.
即 0168m.
解得 2m. …………………………………2分
（2）∵2m，且m为非负整数，
∴0m或1m. ……………………………3分
① 当0m时，原方程为0322xx，
解得 31x，12x，不符合题意.
② 当1m时，原方程为022x，
解得 21x，22x，符合题意.
综上所述，1m. ……………………………5分
【丰台二模】
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-4x+2m-1与x轴交于点A，B.（点A在
点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标．
20．解：（1）∵抛物线y=x2-4x+2m-1与x轴有两个交点，令y=0.
∴x2-4x+2m-1=0. ∵ 与x轴有两个交点，∴方程有两个不等的实数根.
∴Δ>0.
即Δ=(-4)2-4•(2m-1)>0
∴m<2.5.………………………2分
（2） ∵m<2.5，且m取最大整数，
∴m=2.………………………3分
当m=2时，抛物线y=x2-4x+2m-1= x2-4x+3.
令y=0，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3.
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A（1，0），B（3，0）. ……………5分
【石景山二模】
20．已知关于x的一元二次方程220xxm．
（1）当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；
（2）在（1）的条件下，求方程的根．
20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴0. …………… 1分
∴440m.
即1m. …………… 2分
又m为非负整数,
∴0m. …………… 3分
（2）当0m时，原方程为220xx，
解得：10x，22x． …………… 5分
【昌平二模】
20.已知关于x的一元二次方程03)3(2nxnx．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此
时方程的根．
20．（1）
解：2(3)12nm
2
(3)n
．………………………………………1分
2
(3)0n
∴方程有两个实数根…………………………………
2分
（2）答案不唯一
例如：
方程有两个不相等的实根
∴
3n
0n
时，方程化为230xx…………………………………………3分
因式分解为：(3)0xx
∴10x，23x……………………………………………………………………5分
【房山二模】
20.已知:关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。是整数）.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值.
20.解：（1）
2
2
=4143321kkkk
……………………………………1′
∵k为整数
∴2210k＞
即0＞
∴方程有两个不相等的实数根…………………………………………………2′
（2）由求根公式得，41212kkxk
∴13x，2111kxkk………………………………………………3′
由题意得，1k或1…………………………………………………………5′