高考数学专题训练试题15
高考数学小题标准练(十五)
高考小题标准练(十五)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)1．如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(U S)D．(M∩P)∪(U S)【解析】选C.图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S 的补集，即是U S的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(U S).2．若复数z满足z＝a1－i(i为虚数单位，a∈R)，且z的虚部为－1，则a＝() A．1 B．2 C．－2 D．－1【解析】选B.因为z＝a1－i ＝a（1＋i）（1－i）（1＋i）＝a＋a i2＝a2＋a2i，所以z ＝a 2 －a2 i ，根据z 的虚部为－1，故－a2 ＝－1，可得a ＝2.3．已知A 是锐角三角形的最大的内角且sin 2A ＝429 ，则tan A 的值为( ) A ．2 B ．22 C ．5 D ．3【解析】选B.因为A 是锐角三角形的最大的内角，所以60°≤A <90°， 所以sin A >cos A ，因为sin 2A ＝2sin A cos A ＝429 ，所以sin A cos A ＝223 ×13 ，所以sin A ＝223 ，cos A ＝13 ，所以tan A ＝22 . 4．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log 1a⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 (a >0且a ≠1)的部分图象可能是( )【解析】选A.当a ＞1时，幂函数f (x )＝x a 在(0，＋∞)递增且过(0，0)，由0<1a <1，得g (x )＝log 1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 (a >0且a ≠1)在(－12 ，＋∞)是减函数，且g (0)＝log 1a12 >0；当0＜a ＜1，幂函数f (x )＝x a 在(0，＋∞)递增且过(0，0)，由1a >1，得g (x )＝log 1a(x ＋12 )(a >0且a ≠1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 是增函数，且g (0)＝log 1a12 <0.当x →＋∞时，幂函数f (x )＝x a 在a ＞1时比在0＜a ＜1时增长的快．只有A 符合题意．5．设{a n }的公比为q 的等比数列，其前n 项和为S n ，且2 022S 3＝S 2＋2 021S 4，则q ＝( ) A ．－12 021 B ．－12 022 C ．12 021D ．12 022【解析】选C.若q ＝1，则2 022×3S 1＝2S 1＋2 021×4S 1，矛盾，所以q ≠1. 由前n 项和公式得2 022a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－q 2）1－q ＋2 021a 1（1－q 4）1－q ，解得q ＝12 021 .6．函数f (x )＝2sin 2x ＋3sin x ＋cos x ，x ∈(－π4 ，34 π)上的最小值为( )A ．22B ．2C ．1D ．22【解析】选A.设t ＝sin x ＋cos x ＝2 sin (x ＋π4 )，因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，34π ，所以t ∈(0，2 ]，由t ＝sin x ＋cos x 两边平方得t 2＝1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，所以sin 2x ＝t 2－1.所以y ＝2t 2＋1t ≥22 ，当且仅当t ＝22 时取等号， 所以所求函数的最小值为22 .7．某校开展流行感冒知识竞赛活动，按照分层随机抽样方法抽取了高一40人，高二50人的答题数据，高一的平均分为90分，标准差为15，高二的平均分为81分，标准差为10，用样本估计总体，估计全校高一、高二两个年级的平均分、标准差分别为(精确到0.1)( ) A ．85.5分，12.5 B ．85.0分，15.0 C ．81.0分，13.0 D ．85.0分，13.2【解析】选D.平均分为40×90＋50×8140＋50＝85.0(分)，标准差为40×[152＋（90－85）2]＋50×[102＋（81－85）2]40＋50≈13.2.8．在平面直角坐标系中，A (1，2)，B (3，0)，点P 为圆(x －3)2＋(y －2)2＝1上任意一点，若OP→ ＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R )，则λ＋μ的最大值为( ) A ．5－23 B ．5＋23 C ．53D ．－53【解析】选B.设P (x ，y )，则由OP → ＝λOA → ＋μOB → 得⎩⎨⎧x ＝λ＋3μy ＝2λ，代入圆的方程得(λ＋3μ－3)2＋(2λ－2)2＝1，设λ＋μ＝t ，则μ＝t －λ，代入上式整理得8λ2－4(3t －1)λ＋9t 2－18t ＋12＝0，因为λ∈R ，所以判别式Δ＝[4(3t －1)]2－4×8(9t 2－18t ＋12)≥0，解得5－23 ≤t ≤5＋23 ，所以λ＋μ的最大值为5＋23 .二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －a x 7 的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有( )A ．a ＝1B ．展开式中二项式系数之和为256C ．展开式中常数项为－560D ．展开式系数的绝对值的和为37【解析】选AD.令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为(2－a )7，所以(2－a )7＝1，则a ＝1，故A 正确；展开式中二项式系数之和为27＝128，故B 错误；展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 27－r C r 7 x 7－2r，令7－2r ＝0，得r ＝72 ∉N ，故展开式中无常数项，故C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 7 展开式系数的绝对值的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 7 的展开式各项系数之和，令x ＝1得(2＋1)7＝37，故D 正确．10．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f (x )的最大值为2C ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 上单调递增D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 为偶函数 【解析】选BD.由已知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12 ＝π，所以ω＝2πT ＝2，A 错； 由五点法得2×5π12 ＋φ＝k π，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝π6 ，f (0)＝A sin π6 ＝1，A ＝2，B 正确，所以f (x )＝2sin (2x＋π6 )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 时，2x ＋π6 ∈[－2π3 ，π3 ]，2x ＋π6 ＝－π2 时，f (x )min ＝－2，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 上不单调，C 错；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6 ＝2sin (2x ＋π2 )＝2cos 2x 是偶函数，D 正确． 11．若a ＝log 52，b ＝12 ln 2，c ＝15 ln 5，则( ) A ．a >b B ．b >c C ．c >a D ．a >2b【解析】选AB.对于A ：a ＝log 52＝1log 25 ，b ＝12 ln 2＝12 ×1log 2e ＝1log 2e 2 ， 又e 2>5，且y ＝log 2x 为增函数，所以log 25<log 2e 2，所以1log 2e 2 <1log 25 ，即a >b .故A 正确；对于B ：b ＝12 ln 2＝ln 2 ，c ＝15 ln 5＝ln 55 ，因为(2 )10＝25＝32，(55 )10＝52＝25，y ＝ln x 为增函数，所以b >c ；故B 正确； 对于C ：因为a >b ，b >c ，所以a >c ，故C 错误；对于D ：因为b ＝12 ln 2，所以2b ＝ln 2＝1log 2e ，而a ＝log 52＝1log 25 ，又e<5，所以log 2e<log 25，所以1log 2e >1log 25 ，所以2b >a ，故D 错误．12．已知曲线C ：x 29 ＋y 2m ＝1，F 1，F 2分别为曲线C 的左右焦点，则下列说法正确的是( )A ．若m ＝－3，则曲线C 的两条渐近线所成的锐角为π3 B ．若曲线C 的离心率e ＝2，则m ＝－27C ．若m ＝3，则曲线C 上不存在点P ，使得∠F 1PF 2＝π2D ．若m ＝3，P 为C 上一个动点，则△PF 1F 2面积的最大值为32【解析】选ABD.对于A 选项，当m ＝－3时，曲线C ：x 29 －y 23 ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为y ＝±33 x ，故渐近线的倾斜角分别为π6 ，5π6 ，所以曲线C 的两条渐近线所成的锐角为π3 ，故A 选项正确；对于B 选项，离心率e ＝2，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，a ＝3，e ＝2，故c ＝6，所以－m ＝c 2－a 2＝36－9＝27，所以m ＝－27，故B 选项正确；对于C 选项，若m ＝3，则曲线C ：x 29 ＋y 23 ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，此时a 2＝9，b 2＝3，c 2＝6，设椭圆C 的短轴的一个顶点坐标为M (0，3 )，则cos ∠F 1MF 2＝a 2＋a 2－4c 22a 2 ＝－618 ＝－13 <0，故∠F 1MF 2为钝角，所以线C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝π2 ，故C 选项错误；对于D 选项，若m ＝3，则曲线C ：x 29 ＋y 23＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，此时a 2＝9，b 2＝3，c 2＝6，P 为C 上一个动点，则△PF 1F 2面积的最大值为S max ＝12 ×2c ×b ＝12 ×26 ×3 ＝32 ，故D 选项正确．三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin (log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝________.【解析】因为由正数组成的等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3π，所以a 34 ＝3π，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝ log 3(a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7)＝log 3a 74＝7log 3a 4＝7π3 ，所以sin (log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝sin 7π3 ＝sin (2π＋π3 )＝sin π3 ＝32 . 答案：3214．已知曲线y ＝1＋x 1－x e x 在点P (0，1)处的切线为l 1，直线l 2过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 且与l 1垂直，则直线l 2与坐标轴围成的封闭图形的面积为________. 【解析】因为y ′＝e x －x 2＋3（1－x ）2，所以切线l 1的斜率为k 1＝3， 所以l 2：y －23 ＝－13 (x －1)，即y ＝－13 x ＋1.所以直线l 2与坐标轴围成的封闭图形的面积为12 ×3×1＝32 . 答案：3215．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|P A ||PB | ＝2 ，则|P A |2＋|PB |2的最小值________.【解析】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为|AB |＝2，所以A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，因为|P A ||PB | ＝2 ，所以（x ＋1）2＋y 2 ＝2 ·（x －1）2＋y 2 ， 整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0，所以|P A |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(6x －1)＋2＝12x ， 因为x 2＋y 2－6x ＋1＝0可化为(x －3)2＋y 2＝8， 所以(x －3)2≤8，解得3－22 ≤x ≤3＋22 ， 因此|P A |2＋|PB |2＝12x ≥12×(3－22 )＝36－242 . 即|P A |2＋|PB |2的最小值为36－242 . 答案：36－24216．已知表面积为12π的球O 1内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1(球O 1与正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切)，则这个正三棱柱的表面积为________，若这个正三棱柱的顶点都在球O 2的球面上，则球O 2的体积为________．【解析】设球O 1，O 2的半径分别为r ，R ，正三棱柱的底面边长为a ，因为球O 1的表面积为12π，所以4πr 2＝12π，所以r ＝3 .由正三棱柱及球的截面性质可得3r ＝32 a ，R ＝5 r ，所以a ＝6，R ＝15 ，正三棱柱的高为A 1A ＝2r ＝23 ，所以这个正三棱柱的表面积为3a ·A 1A ＋2×34 a 2＝3×6×23 ＋2×34 ×62＝543 ，球O 2的体积为4π3 R 3＝4π3 ×(15 )3＝2015 π. 答案：543 2015 π关闭Word文档返回原板块。
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-6-2
4．(2014· 合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随 机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)＝3，则 D(X) 等于 8 A.5 4 C.5 解析 6 B.5 2 D.5 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是 p＝ 3 ，满足二项分布， 3＋m ( )．
因此可求得期望 E(ξ)＝1. 答案 D
3 3．(2014· 温州模拟)某人射击一次击中的概率为5，经过 3 次射击，此人至少有两 次击中目标的概率为 54 A.125 81 C.125 解析 27 B.125 108 D.125 该人 3 次射击，恰有两次击中目标的概率是 ( )．
32 2 5 · ， P1＝C2 3· 5 33 5 . 三次全部击中目标的概率是 P2＝C3 3· 所以此人至少有两次击中目标的概率是 33 81 2 32 2 5 · ＋C3 P＝P1＋P2＝C3 · . 35 ＝ 5 125 答案 C
P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2； P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)； P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)； P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2. 7 ∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝6. 7 1 即 0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝6，解得 a＝3. 答案 1 3
8．袋中有大小、质地相同的 5 个球，2 白 3 黑，现从中摸球，规定：每次从袋
中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个 白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋， 连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为 X，则 X 的数学期望为 __________． 解析 首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为 2,3,4.
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-5-2
答案
A
x2 4．(2014· 福建卷)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 A．5 2 C．7＋ 2 解析 B. 46＋ 2 D.6 2 ( )．
设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r＝ 2，
点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α， sin α)的距离|CQ|＝ 10cos α2＋sin α－62 ＝ 46－9sin2 α－12sin α ＝ 2 50－9sin α＋32≤ 50＝5 2，
x2 2)＝0，即 x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆．又双曲线a2－ y2 b 2a b ＞ 0) 的渐近线方程为 y ＝ ± x ， 即 bx ± ay ＝ 0 ， 由题意， 可得 2＝1(a＞0， b a a2＋b2 2a c ＞1，即 c ＞1，所以 e＝a＜2，又 e＞1，故 1＜e＜2. 答案 (1,2)
＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆 2b2 焦点的弦中，通径最短，即 a ＝3，可求得 b2＝3，即 b＝ 3. 答案 D
3．(2014· 湖北卷)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 π 点， 且∠F1PF2＝3， 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．
b 则直线 y＝ 3x 应在两渐近线之间，所以有a≤ 3， 即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2， c2－a2≤3a2，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1＜e≤2. 答案 B
x2 y2 2．已知椭圆 4 ＋b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交椭 圆于 A，B 两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是 A．1 3 C.2 解析 B. 2 D. 3 由椭圆的方程， 可知长半轴长为 a＝2； 由椭圆的定义， 可知|AF2|＋|BF2| ( )．
高考数学专题训练：数列大题50题(含答案和解析)
1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
高考数学经典常考题型第15专题求函数的单调区间
第15专题训练 函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质单调性是函数的一个重要性质,,对函数作图起到决定性的作用对函数作图起到决定性的作用,,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
要学会一些方法和技巧。
一、基础知识一、基础知识: :1、函数的单调性、函数的单调性::设()f x 的定义域为D ,区间I D Í,若对于1212,,x x I x x "Î<,有()()12f x f x <,则称()f x 在I 上单调递增上单调递增,,I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x "Î<,有()()12f x f x >,则称()f x 在I 上单调递减上单调递减,,I 称为单调递减区间。
称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系、导数与单调区间的联系(1)(1)函数函数()f x 在(),a b 可导可导,,那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ，此结论可以这样理解此结论可以这样理解::对于递增的函数对于递增的函数,,其图像有三种类型其图像有三种类型: ,: ,: ,无无论是哪种图形论是哪种图形,,其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况等号成立的情况::一是单调区间分界点导数有可能为零一是单调区间分界点导数有可能为零,,例如例如::()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，,而()'00f =,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,,典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0,0,但是但是()0,0位于单调区间内。
高三数学专项训练(40分钟小题训练十五)
专项训练（40分钟小题训练十五）数学备课组一、选择题1．x ∈C R(P ∪Q)的充要条件是（ ）A ．x ∈C R PB ．x ∈C R Q C ．x ∈C R P 且x ∈C R QD ．x ∈C R P 或x ∈C R Q 2．已知向量)sin 3,cos 3(),sin 2,cos 2(ββαα==→→b a ；若直线021sin cos =+-ααy x 与圆1)sin ()cos (22=++-ββy x 相切；则→a 与→b 的夹角为 （ ）A. 30B. 60C. 90D. 1203．已知f (2x+1)是偶函数；那么函数f (2x)的图象的对称轴为（ ） A ．x=-1 B ．x=1 C ．x=-21 D ．x=21 4．在直角三角形ABC 中；∠C=900；那么sinAcos 2(450-2B )-sin 2A cos 2A （ ） A ．有最大值41和最小值B ．有最大值41但无最小值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值21但无最小值 5．在资料室中存放着书籍和杂志；任一读者借书的概率为0．2；而借杂志的概率为0．8．设每人只借一本；现有5位读者依次借阅；则5人中有2人借杂志的概率是（ ）A ．0．0512B ．0．05216C ．0．9488D ．0．947846．若P 是双曲线32x -y 2=1的右支上的动点；F 是双曲线的右焦点；已知A （3；1）；则PA +PF 的最小值为（ ）A ．2B ．26C ．3D ．26-237．已知a =（x-2；y+3）；直线l ：x-2y-3=0与曲线C ：a 2=9交于P ；Q 两点；则△POQ （O 是原点）的面积等于（ ）A ．23B ．43 C ．553 D ．556 8．设P 是△ABC 内任意一点；S △ABC 表示△ABC 的面积；1λ=ABC PBC S S ∆∆；2λ=ABC PCA S S ∆∆；3λ=ABC PAB S S ∆∆；定义f (P)=( 1λ；2λ；3λ)．若G 是△ABC 的重心；f (Q)=(21；31；61)；则（ ） A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内 D ．点Q 与点G 重合9．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中；若E ；F 分别为棱AB ；CC 1的中点；AB=BC=AA 1；∠ABC=900；则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角的正切值是（ ）A ．714B ．22C ．1155D ．1111 10．设奇函数f (x)在[-1；1]上是增函数；且f (-1)=-1．若函数f (x )≤t 2-2at+1对所有的x ∈[-1；1]都成立；则当a ∈[-1；1]时；t 的取值范围是（ ）A ．-2≤t ≤2B ．-21≤t ≤21C ．t ≤-2或t ≥2或t=0D ．t ≤-21或t ≥21或t=0 二、填空题11．集合A ⊆B ；A ⊆C ；B={0；1；2；3；4；7；8}；C={0；3；4；7；9}；则A 的个数是 ．12．已知数列{a n }的通项公式a n =log 221++n n (n ∈N *)；设前n 项和为S n ；则S n ＞-2的解集为 ． 13．a 1+2a 2+3a 3+……+na n =2C 32+n ；则a n = ．14．已知抛物线x y C 42=：；F 是C 的焦点；过点F 的直线l 与C 相交于B A 、两点；设λ=；若]9,4[∈λ；则直线l 在y 轴上的截距的变化范围为____________________.15. 对正整数n ；设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ；则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 ___ ______16．多面体上；位于同一条棱两端的顶点称为相邻的；如图；正方体的一个顶点A 在平面α内；其余顶点在α的同侧；正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1；2和4；P 是正方体的其余四个顶点中的一个；则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________。
2020年高考数学 大题专项练习 数列 二(15题含答案解析)
2020年高考数学大题专项练习数列二1.已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（）在函数的图象上.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，，求证：.2.设等差数列{a n}满足，，（1）求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的前项和为，求满足成立的值。
3.设数列A：， ,… (N≥2)。
如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。
记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(2)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）≠；(3）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。
4.设数列的前项和为，且.(1) 求的值，并用表示；(2) 求数列的通项公式；(3) 设，求证：.5.已知在数列{a n }中，a 1=1，a n a n ＋1=n .(12)(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项的和为T 2n ，令b n =(3－T 2n )·n·(n ＋1)，求数列{b n }的最大项． 6.单调递增数列{a n }的前项和为，且满足．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足，求数列{b n }的前项和7.已知等差数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.8.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.9.已知数列的前项和为，，且满足（1）求及通项公式；（2）若，求数列的前项和.10.各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数的图象上，且．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知数列{b n}满足b n=4﹣n，设其前n项和为T n，若存在正整数k，使不等式T n＞k 有解，且（n∈N*）恒成立，求k的值．11.在等差数列中，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.12.在数列{a n}中，，（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；（2）证明这个数列的通项公式.13.数列{a n}的前项和为.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前项和.14.为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（I）求；（II）求数列的前1 000项和.15.已知数列的前n项和S n=3n2+8n，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和T n.答案解析1.解：2.3.解：4.5.解：(1)证明：由题意可得a 1a 2=，则a 2=.1212又a n a n ＋1=n ，a n ＋1a n ＋2=n ＋1，∴=.(12)(12)an ＋2an 12∴数列{a 2n －1}是以1为首项，为公比的等比数列；12数列{a 2n }是以为首项，为公比的等比数列．1212(2)T 2n =(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )=＋=3－3·n .1－(12)n 1－1212[1－(12)n ]1－12(12)∴b n =3n(n ＋1)n ，b n ＋1=3(n ＋1)(n ＋2)n ＋1，∴=，(12)(12)bn ＋1bn n ＋22n∴b 1<b 2=b 3，b 3>b 4>…>b n >…，∴数列{b n }的最大项为b 2=b 3=.926.7.8.（1）..（2）.9.10.11.12.13.（1）；（2）数列的前项或前项的和最大；（3）．14.解：15.。
专题15 抛物线中的三类直线与圆相切问题-高中数学必备考试技能之二级结论提高速度原创精品(解析版)
的垂线,垂足分别为A1,B1,E AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-p2为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.1,0时，．在平面直角坐标系()(1OC tOM t ON t =+-∈R (1)求证:;OA OB ⊥(2)在x 轴上是否存在一点(P m 求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由()(1OC tOM t ON t R =+-∈()()13314x --=-，即y x =-化简得212160x x -+=，设C 的轨迹与抛物线24y x =的交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1212x x +=，1216x x =，()()()121212124441616y y x x x x x x =--=-++=- ， 因为121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=所以OA OB ⊥，（2）假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，其方程为x ny m =+， 代入24y x =得2440y ny m --=，此时124y y n +=，124y y m =-，计算两直线的斜率之积， 所以121222121212164144OA OB y y y y k k y y x x y y m=⋅=⋅==-=-， 所以4m =（定值），故存在这样的点()4,0P 满足题意， 设AB 的中点为(),T x y ，则()12122y y y n =+=，()()()21212121144424222n x x x ny ny y y n =+=+++=++=+ ， 消去n 得228y x =-．。
高考数学专题《直线与方程》训练试题含答案
高考数学专题《直线与方程》一、单选题1．已知点(3,4)A ，(1,1)B -，则线段AB 的长度是（ ）A ．5B ．25CD ．292．已知直线l 经过点()1,0P ，且与直线21y x =-平行，那么直线l 的方程是（ ） A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x =-+ D ．21y x =-+ 3．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩B ．2x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t=⎧⎨=-⎩ 4．倾斜角为45，在y 轴上的截距为1-的直线的方程是（ ）A ．1y x =+B ．1y x =-C ．1y x =-+D ．1y x =--5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．下列命题错误的是（ ）①y =2y x =表示的是同一条抛物线②所有过原点的直线都可设为y kx =；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->④椭圆2248x y +=A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①②④ 7．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(2)(1)1x y -+-=8．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是A ．12 B ．35 C ．1 D ．3109．若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．210．如图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则A ．123k k k <<B ．231k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 11．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．直线1y ax a =+-()a R ∈所过定点的坐标为（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,113．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则=a A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．414．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 15．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 16．已知ABC ∆的顶点坐标为()7,8A ，()10,4B ，()2,4C -，则BC 边上的中线AM 的长为A ．8B ．13C ．D 17．已知直线l 经过点()0,1，且与直线210x y -+=的倾斜角互补，则直线l 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．210x y +-= D ．210x y ++=18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线l 与直线g ：20++=ax by b 平行，则直线l ，g 间的距离为（ ）A B C D19．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3020．直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．⎝D ． 21．已知两条直线1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则m 为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．022．已知椭圆：22143x y +=，直线l ：y x =+P ，则点P 到直线l 的距离的最大值（ ）A ．B ．C ．D ．23．若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-24．已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ） A ．(0,2) B ．(1,0) C ．(1,1)a + D ．(,1)e25．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）A B C D 26．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．227．经过点()0,1且与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．220x y +-=B ．220x yC ．210x y -+=D ．210x y +-=28．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ）A B C D 29．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 30．已知抛物线2x y =上的点P 到直线240x y --=的距离最小，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,1- B ．()1,1 C ．()2,2 D ．()0,031．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7432．“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分也非必要 33．已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2与直线x ﹣y ＝0交于A ，B 两点，若以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C ，则圆C 的半径r 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．434．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A ．B ．C ．1D ．235．以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点(1,2)A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆上②圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2③圆22120C :x y x ++=与圆222:4840C x y x y +--+=外切④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④36．已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（ ） A ．﹣1或0B ．﹣1C ．0D ．﹣1或0 或3二、填空题37．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 38．直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，则a 的值为______．39．设点p 为y 轴上一点，并且点P 到直线3460x y -+=的距离为6，则点P 的坐标为_________.40．直线3y x =-+与坐标轴围成的三角形的面积是_________.41．若在平面直角坐标系内过点P ，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________.42．已知直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行，则a =___________.43．若点(),a b 在直线10x -=上，则22a b +的最小值为_____________________. 44．设△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，0），B （﹣1，3），C （3，﹣2），则AB 边上的高线CD 所在直线的方程为_____．45．已知函数()243f x x x =-+的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，则ABC 的外接圆E 的方程是________．46．设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.47．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.48．已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是___________.49．已知两直线与平行，则___ 50．已知函数2()1f x og x =，a b >且1223b ≤≤，()()f a f b k ==，设k 值改变时点(,)a b 的轨迹为C ，若点M ，N 为曲线C 上的两点，O 为坐标原点，则MON ∆面积的最大值为__.51．点(3,2)P 关于直线1y x =+的对称点P '的坐标为__________．52．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为__________． 53．已知直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则124a b+的最小值是__． 54．若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数(),f m n ()229m n n ⎫=-+⎪⎭，则此函数的最小值为__________．三、解答题55．设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A .（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程.56．已知：ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,2),(4,1),(6,5)A B C -．求AB 边上的高所在直线的点法向式方程．57．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点．（1）若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程；（2）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．58．已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为()2,0-.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若直线:250l x y --=与坐标轴交于MN 两点，求PMN 面积的取值范围.59．在平面直角坐标系中，已知点(2,0),(1,3)A B -.（1）求AB 所在直线的一般式方程；（2）求线段AB 的中垂线l 的方程.60．求满足下列条件的直线方程：（1）直线l 过点A （2,-3），并且与直线13y x =的倾斜角相等； （2）直线l 经过点P (2,4),并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12.61．已知两直线1l ：240x y -+=，2l ：4350x y ++=．()1求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；()2设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 62．矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）若直线:10l ax y b +++=平分矩形ABCD 的面积，求出原点与(,)a b 距离的最小值．63．已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求：（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．64．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （1）点P 的坐标为1(1,)3P ，若MP PN =，求直线l 的方程； （2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围．65．已知直线()()222:11310l a a x a a y a a -+-++-+-=，a R ∈（1）求证，直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当1a =和1a =-时对应的两条直线的夹角.66．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(20)A ，、3(5)B ，，经过原点O 的直线l 将OAB ∆ 分成面积之比为1:2的两部分，求直线l 的方程．67．已知直线:120l kx y k -++=（1）求证：直线l 经过定点．（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．（3）若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围．68．已知圆C:x 2+(y −3)2=4，直线m:x +3y +6=0，过A(−1，0)的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点.（1）当l 与m 垂直时，求出N 点的坐标；（2）当|PQ|=2√3时，求直线l 的方程.69．已知圆P 过点1,0A ，()4,0B .（1）若圆P 还过点()6,2C -，求圆P 的标准方程；（2）若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的标准方程.70．已知(),4A m ，()2,B m -，()1,1C ，()2,3D m +四点.（1）当直线AB 与直线CD 平行，求m 的值；（2）求证：无论m 取何值，总有90ACB ∠=.71．已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.（1）求ABC 的面积；（2）求圆M 的方程.72．已知过原点O 的直线:40l x y -=和点(6,4)P ，动点(Q m ,)(0)n m >在直线l 上，且直线QP 与x 轴的正半轴交于点R ．（1）若QOR 为直角三角形，求点Q 的坐标；（2）当QOR 面积的取最小值时，求点Q 的坐标．73．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)F ，直线:3l y =-，动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小2.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为2的直线与曲线C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），过点B 作x 轴的平行线m ，问在坐标平面xOy 中是否存在定点P ，使直线PA 交直线m 于点N ，且PB PN =恒成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.74．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．75．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1,AB OB AB OB ==⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k .（1）用k 表示出直线MN 的方程，并求出点,M N 的坐标；（2）求出k 的取值范围及其所对应的倾斜角α的范围；（3）求AMN ∆面积的取值范围.76．求满足下列条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.77．过圆222:C x y r +=上一点()2,2A -作圆的切线，切线与x 轴交于点B ，过点B 的直线与圆C 交于不同的两点M 、N ，MA 、NA 分别交直线4x =-交于点P 、Q ．（1）求点B 的坐标；（2）求PBQB 的值．78．已知点()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足条件2PM PN -=，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若P 是W 上任意一点，求2PMPN 的最小值.79．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=与x 轴的正负半轴的交点分别是M ，N .（1）已知点(2,4)Q ，直线l 过点Q 与圆O 相切，求直线l 的方程；（2）已知点P 在直线：4x =上，直线PM ，PN 与圆的另一个交点分别为E ，F . ①若(4,6)P ，求直线EF 的方程；②求证：直线EF 过定点.参考答案1．A【分析】根据两点之间的距离公式，即可代值求解.【详解】因为(3,4)A ，(1,1)B -，故可得5AB ==.故选：A.【点睛】本题考查平面中两点之间的距离公式，属基础题.2．B【分析】由平行关系可得直线l 斜率，由直线点斜式方程可求得结果.【详解】l 与21y x =-平行，∴直线l 的斜率2k =，l ∴方程为：()2122y x x =-=-.故选：B.3．D【分析】由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,由22x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得24y x =-+,故A 不正确;由2x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 得122y x =-+,故C 不正确;由22x ty t=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题. 4．B 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由倾斜角为45可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截式方程可得1y x =-. 故选：B. 5．A 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A. 6．D 【分析】①利用曲线中变量的范围来判断；②利用点斜式的适用条件来判断；③利用圆的一般式方程的系数关系来判断；④利用椭圆几何性质来判断. 【详解】解：①y =0y >，其仅表示抛物线的一部分，与2y x =表示的不是同一条抛物线，故错误；②所有过原点的直线中，0x =不可设为y kx =，故错误；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->，故正确；④椭圆2248x y +=标准方程为22182x y +=，2b =.故选：D. 【点睛】本题考查学生对圆锥曲线的基础知识的掌握情况，是基础题. 7．D 【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 8．A 【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可. 【详解】两条直线1:3420l x y +-=与2:6810l x y ++=，化为直线1:6840l x y +-=与2:6810l x y ++=，则1l 与2l 12=，故选A. 【点睛】本题主要考查两平行线之间的距离，属于简单题.解析几何中的距离常见有：（1）点到点距离，AB =（2）点到线距离，d =，（3）线到线距离d 9．D 【分析】由平行可得()120m m --=，解之，排除重合的情形即可. 【详解】解：∵直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行， ∴()120m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，经验证当1m =-时，直线重合应舍去， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题. 10．B 【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为123,,ααα， 由图可知，12302παααπ<<<<<，由直线的倾斜角与斜率的关系可得231k k k <<，得解. 【详解】解：由图可知,直线1l 的倾斜角为锐角,所以10k >,而直线2l 与3l 的倾斜角均为钝角,且2l 的倾斜角小于3l 的倾斜角,故230k k <<.所以231k k k <<. 故选B.本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题. 11．C 【详解】试题分析：直线20ax y +=平行于直线1x y +=122aa -⇒=-⇒=，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 考点：充要条件. 12．A 【分析】提取公因数a ，得()11y a x =+-，即得1x =-时，1y =-，即得定点. 【详解】直线1y ax a =+-，整理得()11y a x =+-，故对于a R ∈，恒有1x =-时，1y =-.故直线恒过点()1,1--. 故选：A. 13．B 【分析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值. 【详解】因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单. 14．A 【详解】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，=解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A.【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系. 【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 16．D 【分析】利用中点坐标公式求得()6,0M ，再利用两点间距离公式求得结果. 【详解】由()10,4B ，()2,4C -可得中点()6,0M又()7,8A AM ∴=本题正确选项：D 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标. 17．A 【分析】根据题意求出直线l 的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可. 【详解】因为与直线210x y -+=的倾斜角互补，而直线210x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为112y x =-+，即220x y +-=．故选：A 18．D 【分析】由题可得渐近线方程，利用直线平行可得a =，再利用平行线间距离公式即得. 【详解】根据题意，双曲线C 的渐近线l 的方程为0bx ay +=，该直线与直线g 平行，所以2-=-b aa b，所以a ，此时直线l 的方程为0x +=，直线g 的方程为02+=x ，所以直线l ，g=故选：D . 19．B 【分析】求出斜率后可得直线的倾斜角 【详解】=，故直线的倾斜角为120︒. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，注意倾斜角的范围为0,.本题属于基础题.20．B 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项. 【详解】直线的倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则斜率为tan α，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.由于直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以其斜率的取值范围为tan ,tan 43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题. 21．A 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m 的值． 【详解】解：两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则()213m m -=⨯且()2162m m ⨯≠⨯-，由()213m m -=⨯解得1m =-或3m =， 当3m =时()2162m m ⨯=⨯-故舍去，所以1m =-； 故选：A ． 22．C 【解析】设椭圆上点的坐标为()()2cos P R θθθ∈ ，由点到直线距离公式可得：d ==，则当()sin 1θϕ+=- 时，点P 到直线l 的距离有最大值max d =.本题选择C 选项.点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式.23．B 【详解】试题分析：点(3,2)A -关于x 轴的对称点为()3,2A '--．因为点(,0)P m 在x 轴上，由对称性可知PA PA =',所以PA PB PA PB +='+,所以当,,A P B '三点共线时此距离和最短． 因为8+2223A B k '==+，所以直线A B '方程为()822y x -=-，即24y x =+，令0y =得2x =-，即,,A P B '三点共线时()2,0P -．所以所求m 的值为2-．故B 正确． 考点：点关于直线的对称点，考查数形结合思想、转化思想． 24．A 【分析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2) 故选：A 【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题 25．D 【分析】利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d = 故选：D 26．B 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //． 当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行，∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 27．C 【分析】与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，结合点斜式即可求解直线方程． 【详解】直线210x y +-=的斜率为12-所以与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，又过点()0,1， ∴所求直线方程为：21y x =+ 即210x y -+= 故选：C 28．D 【分析】根据直线方程可知直线l 恒过定点()2,0P -，过A B ，分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，得到点B 为AP 的中点，连接OB ，进而可知||||OB BF =，由此求得点B 的坐标，最后利用直线上的两点求得直线l 的斜率． 【详解】抛物线2:8C y x =的准线2x =-，直线l ：(2)y k x =+恒过定点()2,0P -， 如图过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，则||2||AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =，OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(，又(2,0)P -，所以k =故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，直线斜率的计算，考查了数形结合，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 29．A 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以e ⎛ ⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题. 30．B 【分析】 设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，求出点200),(A x x 到直线240x y --=的距离，利用配方法，由此能求出抛物线2x y =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标． 【详解】 解：设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，点200),(A x x 到直线240x y --=的距离2201)3d x -+，∴当01x =时，即当()1,1A 时，抛物线2yx 上一点到直线240x y --=的距离最短．故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++ 22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+ 34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C 32．B 【解析】2a =-时，两条直线分别化为：610,430y y -+=--=，此时两条直线相互垂直，满足条件；由“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”，可得，()()[]22320a a a a +-+⨯+=，解得12a =或2a =-，∴“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的充分非必要条件，故选B. 33．C 【分析】转化以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C 为AC ⊥BC ，可得弦心距2d =，再用圆心到直线距离表示d ，即得解 【详解】由题意，AC ⊥BC ，则C （0，2）到直线x ﹣y ＝0的距离2d =，2=，即r ＝2． 故选：C34．B 【分析】由已知得到12l l ⊥，1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，作线段CD AB ⊥，先求得CD ，求得PD 的最小值，再由||2||PA PB PD +=可得答案.【详解】设圆C 的半径为1r ，直线1:310l mx y m --+=与2310l x my m +--=∶ 垂直， 又1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，设圆心为M ，半径为2r ，作垂直线段CD AB ⊥，则CDmin 12||||PD CM r r ∴=--=2PA PB PD +=∴||PA PB + 的最小值为故选：B35．B 【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为125r r =+，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案. 【详解】将点代入圆方程，222242110++-⨯+=满足，故①正确；圆22:28130C x y x y +--+=的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=1=，②错误；圆()221:11C x y ++=，圆心为()1,0-，半径11r =，圆()()222:2416C x y -+-=，圆心为()2,4，半径为24r =125r r =+，故③正确；两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程相减得到24120x y -+=，即公共弦方程为：260x y -+=，④错误. 故选：B. 36．A 【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解. 【详解】解：因为l 1与l 2平行，所以2213(2)0,(23=0m m m m m m ⨯-⨯-=∴--）， 所以(3)(1)=0,0m m m m -+∴=或1m =-或3m =.当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去. 当0m =或1-时，符合题意. 故选：A 37．10x y -+= 【详解】圆：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C(－1,0)，因为直线0x y +=的斜率为1-，所以与直线0x y +=垂直的直线的斜率为1，因此所求直线方程为+1y x =，即x －y ＋1＝038．2 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值. 【详解】解：直线20x y +-=的斜率为1-，和10ax y -+=的斜率为a ，直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，∴()()1tan311a a π--==+⋅-，求得2a ==，或2a ==，故答案为：2【点睛】本题考查两直线的夹角公式，是基础题. 39．()0,6-或()0,9 【分析】设P 点坐标，由点到直线距离公式求解． 【详解】设(0,)P a 6=，解得a =6-或9.所以P 点坐标为(0,6)-或(0,9)． 故答案为：(0,6)-或(0,9)． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握点到直线距离公式是解题关键．40．92【分析】根据直线方程求其与坐标轴的交点坐标，再应用三角形面积公式求直线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】令0y =，则3x =；令0x =，则3y =， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积193322S =⨯⨯=. 故答案为：9241．(0,2) 【分析】先计算原点与点P 的距离，此时过点P 与原点的距离最大且仅有一条，过原点和点P 时，距离最小，最小为0，可得与原点的距离为d 的直线有两条时d 的取值范围. 【详解】过点P 的直线中，与原点的距离最大为||2OP ，最小为0， 当02d <<时，与原点的距离为d 的直线有两条. 故答案为：(0,2). 【点睛】本题考查了过定点的直线与定点的距离的范围问题，属于基础题. 42．3 【分析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解. 【详解】因为直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行， 所以()()2324(3)0a a a -----=，解得3a =或5a =， 又因为5a =时，1:210l x y -+=，2:4220l x y -+=， 所以直线1l ，2l 重合故舍去，而3a =,1:10l y +=,2:220l y -+=，所以两直线平行. 所以3a =， 故答案为：3. 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．43．14【分析】由题意，可得22a b +表示直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，根据点到直线距离公式，即可求出最小值.【详解】因为22220(()0)+-+=-a b a b 表示点(),a b 到原点距离的平方，又点(),a b 在直线10x -=上，所以当点(),a b 与原点连线垂直于直线10x -=时，距离最小，即22a b +最小；因为原点到直线10x +-=的距离为12==d ， 所以22214≥=+d a b . 即22a b +有最小值14.故答案为：14【点睛】本题主要考查直线上的点与原点距离最值的问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 44．x-y -5=0 【分析】利用两条直线垂直的条件，求得AB 边上的高线CD 所在直线的斜率，再用点斜式求得AB 边上的高线CD 所在直线的方程． 【详解】AB 直线的斜率为3012AB k -=--＝﹣1，故AB 边上的高线CD 所在直线的斜率为1， 故AB 边上的高线CD 所在直线的方程为y +2＝1（x ﹣3），即 x ﹣y ﹣5＝0， 故答案为：x ﹣y ﹣5＝0． 45．22(2)(2)5x y -+-= 【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求. 【详解】令2()430f x x x =-+=，得1x =或3x =， 则(1,0)A ，(3,0)B∴外接圆的圆心E 的横坐标为2，设()2,E m ，半径为r ，由(0)3f =，得(0,3)C ，则||||EA EC =r ， 得2m =，r =∴ABC 的外接圆E 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 故答案为：22(2)(2)5x y -+-=.46．【详解】试题分析：由12l l ⊥，那么，解得：.考点：两条直线在一般式下垂直的充要条件的应用. 47．0或83【分析】利用已知条件得(1)0a b a +-=⎧⎪=，求解检验即可得解. 【详解】由题意得(1)0a b a +-=⎧⎪， 解得22a b =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.故答案为：0或83.【点睛】方法点睛：形如直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=， 当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0；当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0.48． 【详解】令(),P x y ,而点P 关于直线y x =的对称点为P '，所以(),P y x ',(),OP y x '=;而AQ OP '=,所以(),AQ y x =;而()1,1A ,所以()1,1Q y x ++;所以()1,1PQ y x x y =-+-+,2PQ =()222y x -+;而动点P 在圆221x y +=上,所以()202y x ≤-≤,所以()22226y x ≤-+≤,6PQ ≤,所以PQ 的取值范围是.故答案为. 49．7- 【详解】试题分析：由题意可知系数满足()()()()3542{38532a a a a ++=⨯+⨯≠-⨯，解方程得7a =-考点：两直线平行的判定 50．724【分析】由2()1f x og x =，()()f a f b k ==，得到1ab =，然后根据a ，b 范围画出其图像，找到MON∆面积最大的情况，求出此时MN 长度，及O 点到MN 的距离，从而计算出MON ∆面积的最大值. 【详解】 由题意，可知：1223b ≤≤，()f b ∴2211og b og b ==-． 又()()f a f b k ==，1a ∴>，()2211f a og a og a ∴==．()()f a f b =，2211og a og b ∴=-，即：2221110og a og b og ab +==，1ab ∴=．∴曲线C 的轨迹方程即为：1ab =．1223b≤≤，1ab=．∴322a≤≤，则曲线C的图象如图：MON∆面积要取最大值，∴当M、N为曲线C的两个端点时，MON∆面积最大，M∴点坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭，N点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭．则直线MN的直线方程为：23323122223yx--=--，化简，得：2670x y+-=．MN⎛==⎝原点O到直线MN的距离d==MON∴∆面积的最大值为：1172224MN d⋅⋅==．故答案为724．【点睛】本题考查对数函数的图像与性质，两点间距离，点到直线的距离，题目涉及到的知识点较多，比较综合，属于中档题.51．()1,4【详解】设(,)P x y ' ，则21113(1,4)423122y x x P y y x -⎧⋅=-⎪=⎧⎪-⇒∴⎨⎨=++⎩⎪+⎩'=⎪ 52．3-或2 【详解】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行． 53．32 【分析】根据题意，由直线经过点(1,2)-，分析可得28a b -=，即82a b =+；进而可得824111224444a b bb b b+++=+=+，结合基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则有28a b -=， 即82a b =+；则82441112242432444a b bb b b b ++++=+=+⨯=，当且仅当2b =-时等号成立； 即124ab +的最小值是32；故答案为：32． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题． 54．22-【详解】因为点(m 在圆224x y += 上,点9(,)n n 在曲线9y x= 上,所以本题转化为求圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间的最小值,如下图，作直线y x = 与它们的图象在第一象限交于A,B 两点，显然圆224x y +=与曲线9y x=的图象都关于直线y x =对称，所以AB 就是圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间距离的最小值,求出(3,3)A B ,所以222(3(322AB =+=-所以。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一部分 专题四 第1讲 不等式的性质与证明 (限时60分钟，满分100分) 一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是 ( ) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定 解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， ∵a1、a2∈(0,1)，∴(a1－1)(a2－1)＞0，∴M＞N. 答案：B 2．“a＞0且b＞0”是“a＋b2≥ab”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：由于a＞0且b＞0⇒a＋b2≥ab，但a＋b2≥ab⇒/ a＞0且b＞0.只能推出a≥0且b≥0. 答案：A 3．下列命题中的真命题是 ( ) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2 解析：∵a＞|b|≥0，∴a2＞b2. 答案：D 4．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是( )
A.1a＞1b B.1a－b＞1a C．|a|＞|b| D．a2＞b2 解析：∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.由a＜b＜0得1a＞1b，∴A成立．由a＜b＜0得|a|＞|b|，∴C成立．由－a＞－b＞0得(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2，∴D成立． ∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a＜a－b＜0， ∴－a＞b－a＞0， ∴1－a＜1－a－b，∴1a＞1a－b，∴B不成立． 答案：B 5．若实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式中成立的是( ) A．|a|＞|b|－|c| B．|a|＜|b|＋|c| C．a＞c－b D．a＜b＋c 解析：∵|a－c|＜|b|，而|a|－|c|≤|a－c|， ∴|a|－|c|＜|b|，即|a|＜|b|＋|c|. 答案：B 6．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则1x＋1y的最小值为( ) A．6 B．5 C．3＋22 D．42
解析：1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝3＋2yx＋xy≥3＋22. (当2yx＝xy即x＝2－1，y＝1－22时取“＝”) 答案：C 二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系为________． 解析：法一：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)(a1－a2)，a1≤a2，b1≤b2，∴a1－a2≤0，b1－b2≤0，∴(b1－b2)(a1－a2)≥0，∴a1b1
＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
法二：取a1＝a2＝b1＝b2，则两式相等．取a1＝1，a2＝2，b1＝3，b2＝4，则a1b1＋a2b2＝11，a1b2＋a2b1＝10，∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1 8．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β＜2，则0≤|β|＜4. ∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3) 9．设a，b，c∈R＋，则(a＋b＋c)(1a＋b＋1c)的最小值为__________． 解析：(a＋b＋c)(1a＋b＋1c)＝1＋ca＋b＋a＋bc＋1 ＝2＋ca＋b＋a＋bc≥2＋2＝4. 答案：4 三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10．(本小题满分15分)设a、b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n≤1.
求证：a2m＋b2n≥(a＋b)2. 证明：法一：∵a2m＋b2n－(a＋b)2
＝na2＋mb2mn－nma2＋2mnab＋mnb2mn ＝na21－m＋mb21－n－2mnabmn ≥n2a2＋m2b2－2mnabmn ＝na－mb2mn≥0， ∴不等式a2m＋b2n≥(a＋b)2成立． 法二：对于任意实数t，(am t－m)2≥0，(bn t－n)2≥0， ∴(a2m＋b2n)t2－2(a＋b)t＋(m＋n)≥0， ∵对任意实数t不等式都成立，则 Δ＝4(a＋b)2－4(a2m＋b2n)(m＋n)≤0，
∴(m＋n)(a2m＋b2n)≥(a＋b)2. ∵0＜m＋n≤1，∴a2m＋b2n≥(a＋b)2. 11．(本小题满分15分)(1)设x＞－1，求实数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值． (2)设0＜x＜34，求函数y＝5x(3－4x)的最大值． 解：(1)设x＋1＝t，∵x＞－1，∴t＞0，
原式化为y＝t－12＋7t－1＋10t＝t2＋5t＋4t ＝t＋4t＋5≥2 t·4t＋5＝9， 当且仅当t＝4t，即t＝2时，取等号， ∴当x＝1时，y取最小值9. (2)∵0＜x＜34，∴34－x＞0. ∴y＝5x(3－4x)＝20x(34－x)
≤20×[x＋34－x2]2＝20×(38)2＝4516， 当且仅当x＝34－x，即x＝38时，取等号． ∴当x＝38时，y取最大值4516. 12．(本小题满分16分)设f(x)＝x2＋bx＋c(b、c为常数)，方程f(x)＝x的两个实数根x1，x2，满足x1＞0，x2－x1＞1. (1)求证：b2＞2(b＋2c)； (2)设0＜t＜x1，比较f(t)与x1的大小． 解：(1)证明：由f(x)＝x得x2＋(b－1)x＋c＝0. ∴x1＋x2＝1－b，x1x2＝c， (x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(1－b)2－4c ＝b2－2b＋1－4c. ∴b2－2b＋1－4c＞1，b2＞2(b＋2c)． (2)由x1为f(x)＝x的一根， 得x1＝x21＋bx1＋c. 所以f(t)－x1＝t2＋bt＋c－(x21＋bx1＋c) ＝(t＋x1)(t－x1)＋b(t－x1) ＝(t－x1)(t＋x1＋b) ＝(t－x1)(t＋1－x2)． ∵0＜t＜x1，∴t－x1＜0. 又x2－x1＞1， ∴1＋x1＜x2,1＋x1－x2＜0， 1＋t－x2＜1＋x1－x2＜0. ∴f(t)＞x1.
1．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A．log2(b－a)＞0 B．2a－b＜12 C．log2a＋log2b＜－2 D．2ab＋ba＜12 答案：C 2．下列命题中，为真命题的是( ) A．a、b、c∈R且a＞b，则ac2＞bc2
B．a、b∈R且ab≠0，则ab＋ba≥2 C．a、b∈R且a＞|b|，则an＞bn(n∈N*) D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 解析：在A选项的命题中，不等式的两边同时乘以c2.由于c2≥0，当c＞0时，命题成立，但当c＝0时，则有ac2＝bc2.在B选项的命题中，由于a、b的符号不能确定，所以ab、ba的符号也不得而知．在应用平均值定理时，需要根据a、b的符号异同来使用．当a、b同号时，ab、ba＞0，所以有ab＋ba≥2 ab·ba＝2，等号当且仅当a＝b时成立．当
a、b异号时，ab、ba＜0，所以有ab＋ba＝－[(－ab)＋(－ba)]≤－2－ab·－ba＝－2.在C选项的命题中，可以得出a＞|b|≥0，所以a＞b恒成立．直接运用定理，可得an＞bn.在D选项的命题中，误用了不等式的性质． 答案：C 3．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则1a＋b＋4c的最小值等于( ) A．13.5 B．12 C．10 D．9
解析：由已知得1a＋b＋4c＝[(a＋b)＋c](1a＋b＋4c)＝5＋ca＋b＋
4a＋bc≥5＋2ca＋b·4a＋bc＝9，当且仅当c＝2(a＋b)＝23时取等
号． 答案：D 4．已知a＞b，ab＝1，则a2＋b2a－b的最小值是( ) A．22 B.2 C．2 D．1
解析：记a－b＝t，则t＞0，a2＋b2a－b＝t2＋2t＝t＋2t≥22(当且仅当
t＝2，即a＝6＋22，b＝6－22或a＝2－62，b＝－2－62时取等号)． 答案：A 5．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则1m＋2n的最小值为________． 解析：∵y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)，又A在直线上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.又mn＞0，∴m＞0，n
＞0.而1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn＝2＋nm＋2＋4mn≥4＋24＝8.当且仅当n＝12，m＝14时取“＝”，∴1m＋2n的最小值为8. 答案：8 6．某种商品，原来定价每件p元，每月能卖出n件，假若定价
上涨x成(这里x成即x10，且0＜x≤10)，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍． (1)设y＝12x，求售货金额最大时的x值； (2)若y＝23x，求使售货金额比原来有所增加的x值的范围． 解：(1)由题意知，某商品定价若上涨x成，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(1＋x10)元、n(1－y10)件、znp元．∴znp＝p(1＋x10)n(1－y10)， 又y＝12x， ∴z＝12(1＋x10)(2－x10)．