广东省肇庆市实验中学高中数学必修四校本教材导学案_第四课 弧长公式与扇形面积公式
弧度制1-3-1、2
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[温馨提示]角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如 α＝ k·360°＋6π(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为 α＝k·360°＋30°(k∈Z)， β＝2kπ＋π3(k∈Z)．
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课前自主预习
01
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新知梳理
1．角度制、弧度位进行度量，1 度的角等于周角的 360 .这种用度作为单位来度量
角的单位制叫做角度制．
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角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80rad 和 1 rad＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 αrad＝α·18π0°；n°＝n·1π80rad. (3)注意：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，通常把 弧度数写成多少 π 的形式，如无特别要求，不必把 π 写成小数．
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2．α＝－3，它是第___三_____象限角．
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[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝1π80°，则 α＝－3＝－5π40°≈－171.9°. 分析可得，α 是第三象限角．
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探究园的狐长、扇形面积公式
弧长和扇形的面积教学设计教材分析：教材的地位与作用本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，内容是新人教版九年级上册新课标实验教材第24章《圆》中的“弧长和扇形的面积”，这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的。
本课由学生熟悉圆周长和面积公式探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备。
学情分析:从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识圆形，再到如今的系统学习，学生对圆的认识正发生着质的转变，本节的主要内容是在复习小学学过的圆周长和面积公式的基础上，推导出弧长和扇形面积的计算公式。
这种温故而知新的做法不仅利于接受知识，而且能体现由数到式的数学发展过程，展示知识的形成与发展过程，把实际问题转化为数学问题的能力，贯穿于教学的各个过程之中，因此在本节中学生对导入问题和例题不会感到无从下手，能够通过思考、讨论顺利地解决。
本节主要介绍了弧长、扇形面积的计算方法，对于弧长问题，教材首先给出了一个实际问题，求弧形弯道的展直长度，由此引出本节的课题，通过对各种特殊角度的圆心角所对的弧长的分析，逐步推出任意角度的圆心角所对应的弧长的计算公式。
在此过程中要注意培养学生的归纳推理能力。
扇形面积公式的推导方式与弧长公式的推导类似，教学中可以放手让学生自己去完成。
学习目标:1.知识与技能：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题2.过程与方法：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的概括、归纳能力和迁移能力．3.情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高学生数学知识的运用能力重、难点及关键：重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．难点：探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程教学方法：一讲一练法教学过程：一、示标导学二、自学解疑请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？点评： （1）圆的周长C=2πR（2）圆的面积S =πR 2（3）弧长就是圆的一部分．三、情境导入：如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?我们容易看出这段铁轨是圆周长的 ,所以铁轨的长度l = （米）.四、自主学习活动一 探索弧长计算公式请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是_______．3．2°的圆心角所对的弧长是_______．4．4°的圆心角所对的弧长是_______．……5．n °的圆心角所对的弧长是_______．点评：根据同学们的解题过程，我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为： 180Rn l π=图23.3.1 图1练一练：1.已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
第1课时 弧长和扇形面积公式
A
D
B
E
C
课堂小结： 1. 弧长公式是什么？扇形的面积公式呢？是怎
样推导出来的？如何理解这两个公式？这两 个公式有什么作用？这两个公式有什么联系？
2. 在解决部分与整体关系的问题时，我们应学 会用什么方法去解决？
3. 解决不规则图形的面积问题时，我们应用什 么数学思想去添加辅助线？
1.活动1中蚂蚁所爬的路径围成的图形是什么? 扇形
2.请类比弧长的推导方式求出扇形的面积公式.
S扇形
nR2 360
3.比较弧长公式和扇形面积公式，推导出扇形面 积和对应弧长的关系.
S扇形
nR2 360
nR 180
R 2
1 lR 2
1.已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm²，则扇形的
4. 如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2， 则图中阴影部分的面积是______(结果不计算近似 值).
5. 方法小结： 问题1：求一个图形的面积，而这个图形是未知 图形时，我们应该把未知图形化为什么图形呢？
问题2：通过以前的学习，我们又是通过什么方 式把未知图形化为已知图形的呢？
1. 120°的圆心角所对的弧长是12π cm，则此
解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，
垂足为D，交弧AB于点C，连接AC.
∵ OC = 0.6 m，DC= 0.3 m，
∴ OD = DC. 又 AD⊥DC，
O
D
A
B
∴ AD是线段OC的垂直平分线.
C
∴ AC=AO=OC.
∴∠AOD= 60°，∠AOB= 120°.
弧长扇形的公式导学案
学 习 流 程
360 ④ 过 弧长公式与扇形的面积公式之间的联系： 关 弧长和扇形的面积都和圆心角 n，半径 R 有关系，因此 l 和 s 之间也有一定 检 的关系，你能猜出来吗？请大家互相交流。 测 nR nR 2 nR R 扇形所对的弧长 l ，扇形的面积是 S扇形 180 360 180 2
二合作探究，问学释疑、 例题讲解 制作弯形管道需要先按中心线计算 “ 展直长 度 ”再下料。试计算如图所示的管道的展直长 度，即弧 AB 的长度（精确到 0.1mm）
⑤ 拓 展 延 伸
2.1 的弧长是 。半径为 10 厘米的圆中，60 的圆心角所对的弧长是 o 一个扇形的圆心角为 90 ，半径为 2，则弧长= ，扇形面积= . 3 一个扇形的弧长为 20 π cm ，面积是 240 π c ㎡，则该扇形的圆心角 为 . o 4 已知扇形的圆心角为 120 ，半径为 6，则扇形的弧长是 （ ） A. 3π B.4π C.5π D.6π
S 扇形 1 lR 2
，n 圆心角所对的扇形的面积是
o
nR 2 360
三课堂检测： 1 已知扇形 AOB 的半径为 12cm,∠AOB=120o,求弧 AB 的长(结果精确到 0.1cm) 和扇形 AOB 的面积(结果精确到 0.1cm2)
③ 问 学 释 疑
2R nR 360 180
2 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长 3m 的绳子，绳子的 一端栓着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有多大？ o （2）若这只狗只能绕柱子转过 n 的角，那么它的最大活动区域有多大？这 个活动区域是一个什么图形呢?
学
一课前自主学习
高中数学第册学案：弧度制含解析
5.1。
2弧度制【素养目标】1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．（数学运算) 2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．（数学运算）3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．（逻辑推理)【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．必备知识·探新知基础知识知识点1 度量角的两种制度(1）角度制．①定义：用__度__作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的__错误!__为1度角，记作1°。
（2)弧度制①定义：以__弧度__为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角．③表示方法：1弧度记作1 rad.思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．知识点2 弧度数一般地,正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__lr__.思考2：（1）建立弧度制的意义是什么?（2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示：（1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角)与它对应．（2）角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用,例如α＝k·360°＋错误!(k∈Z)，β＝2kπ＋60°（k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°（k∈Z)，β＝2kπ＋错误!（k ∈Z）．知识点3 弧度与角度的换算公式（1）周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α,角度数为n,则αrad＝(错误!)°，n°＝n·错误!rad.（2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__错误!____错误!____错误!__错误!__错误!____错误!____错误!__π__错误!____2π__（3）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角）与它对应．思考3：(1）角度制与弧度制在进制上有何区别？(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数．(2）弧度数＝角度数×错误!;角度数＝弧度数×（错误!)．知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则｜α｜＝错误!,变形可得l＝__|α｜r__，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．（2）扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为错误!＝错误!r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为lr rad，故其面积为S＝错误!×错误!＝错误!lr，将l＝|α｜r代入上式可得S＝错误!lr＝错误!｜α|r2，此公式称为扇形面积公式．思考4:（1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？（2）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？提示：（1)①｜α｜＝错误!；②R＝错误!；③｜α｜＝错误!;④R＝错误!。
【创新设计】2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 Word版含答案
1.1.2 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[学问链接]1．学校几何争辩过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？ 答 规定周角的1360做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关． 2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在学校有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)(2)3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值． 跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要留意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的全部角． 解 (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在其次象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的公式有两个：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，假如已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长肯定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2 D ．80 cm 2答案 B解析 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2).1．时针经过一小时，时针转过了( )A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为 ． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是 ．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π.∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．度数与弧度数的换算借助“计算器《中学数学用表》”进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必需记牢． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度.一、基础达标1．－300°化为弧度是( ) A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对 答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是其次象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是 ．答案 (－32π，－π)∪(12π，2]解析 ∵α是其次象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－32π＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的 ．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、力量提升8．若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152cm 时，面积最大，最大为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是肯定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高中数学_弧度制教学设计学情分析教材分析课后反思
<1>创设情景，导入新课初中已学角的单位是度，1度的角是如何定义的？我们把圆周分成360等份，那么每一等份所对的圆心角的度数就是1度。
这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制。
在角度制中， 角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率是六十进制，非十进制，总给我们带来不少困难．例如计算 ，，结果不写成，而写成 。
我们知道度量长度可以用米，英尺，码，光年等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便。
角的度量是否也能用不同的单位制呢？ <2> 引导探究，建构新知在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等. 当 时，半径r=1，2，3，4时，由弧长公式 分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比。
实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.能否用弧长来定义角的大小呢? 1、弧度制几何画板演示1弧度的角。
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度（radian ）的角。
“弧度”常用“rad”表示。
图像展示，设弧AB 的长为l ，若l=r ，则∠AOB=1rad 。
弧度数是否与圆半径的大小有关？几何画板演示随着圆半径的变化，弧长也变化，但1弧度的圆心角大小不变。
思考：①若弧长l=2r ，则∠AOB 等于多少？②若圆心角∠AOB 表示一个负角，且它所对的弧的长为3r ，则∠AOB 的弧度数的绝对值是多少？③若弧长是6,半径是2 ,圆心角弧度数是多少？ 探究：结论：①正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
②如果半径为r 的圆心角 所对弧的长为 ，那么角 的弧度数的绝对值是，这里 的正负由角 的终边的旋转方向决定。
1弧度对应多少度呢？角度制弧度制都是角的度量单位，它们之间可以换算。
下面我们来研究一下角度弧度之间的换算。
061,0610''=''=2303'+'26'030=n 180rn L π=αr l =αααl α210'2、 弧度与角度的互化即把角度换成弧度把弧度换成角度 <3>实践应用，深化认知例题1把 化成弧度。
高中数学_1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计学情分析教材分析课后反思
弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、内容分析：1、教材的地位与作用《弧度制和弧度制与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教B 版必修四第一章第一单元第二节的内容。
本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学习过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识做铺垫。
通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。
2、教学重点和难点教学重点：角度与弧度的换算，弧长公式、扇形面积公式的应用教学难点：弧度制的概念的理解二、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：理解弧度制的概念，会进行弧度与角度之间的互化。
2.过程与方法：通过控制变量法以及类比法建立对弧度制概念的理解。
3.情感态度与价值观：通过弧度制的学习，体会不同表象下相同事物的本质。
三、教法分析根据上述教材分析和目标分析，贯彻诱思探究教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1、计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生直观感受当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并引导学生进行讨论；利用多媒体向学生展示不同的例题以及课堂练习，使学生能够直观观察。
2、讨论式教学在引入新课时，通过观察表格让学生分组讨论、交流、总结，说出当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并给予一定的指导。
在计算特殊角的弧度数时，让学生分组进行，保证每一位学生能够练习到，也保证课堂的进度。
2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 Word版含答案
1．1.2弧度制明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1 360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr. 2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2度120°135°150°180°270°360°弧度2π334π5π6π3π22π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝απR180l＝α·R扇形的面积S＝απR2360S＝12l·R＝12α·R2[情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的1360作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制．探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律．AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转00°π2r顺时针方向－π2－90°πr逆时针方向π180°2πr顺时针方向－2π－360°πr180逆时针方向π1801°r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫180π°（规律：假如一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么α的弧度数的确定值是l r ，即|α|＝lr.小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向打算．思考3 角度制与弧度制换算时，机敏运用下表中的对应关系，请补充完整．例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π12化成角度．解 (1)∵67°30′＝⎝⎛⎭⎫6712°， ∴67°30′＝π180rad ×6712＝38π rad.(2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π5＝________°. 答案 (1)－π8(2)288探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请依据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 答 半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr 2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.反思与感悟 机敏运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题． 跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三 利用弧度制表示终边相同的角导引 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必需是弧度． 思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合．终边所在的位置角的集合 x 轴 {α|α＝k π，k ∈Z } y 轴 {α|α＝k π＋π2，k ∈Z }坐标轴{α|α＝k π2，k ∈Z }思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合．α终边所 在的象限 角α的集合 Ⅰ {α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z }Ⅱ {α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z }Ⅲ {α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }Ⅳ{α|2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k ∈Z }例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，又0<169π<2π，∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2k π＝169π＋2k π(k ∈Z )．又β∈[－4π，0]，∴β1＝169π－2π＝－29π，β2＝169π－4π＝－209π.∴β＝－29π或β＝－209π.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．1或2 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得{ r ＝1，α＝4或{r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则⎩⎨⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.[呈重点、现规律]1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 角的度数与弧度数换算关系：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础过关1．－300°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对 答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．5．设角α、β满足－180°<α<β<180°，则α－β的范围是________． 答案 (－360°，0°) 解析 ∵α<β，∴α－β<0°，又－180°<α<180°，－180°<－β<180°， ∴－360°<α－β<360°，综上可知α－β的范围是－360°<α－β<0°.6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .二、力气提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶ 3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角(单位：弧度)是( ) A ．1 B ．4 C ．π D ．1或4 答案 D解析 设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为6－2x x ，由于扇形的面积为2，所以12(6－2x )x＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1.10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，n ∈Z ，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与拓展13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是确定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
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“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期： 年 月 日 星期 班级 ）
授课题目
第四课 弧长公式与扇形面积公式
拟 课时
第 课时
明确目标 掌握弧度制下弧长公式和扇形面积公式
重点难点 重点：弧长公式和扇形面积公式
难点：弧长公式和扇形面积公式
课型 □讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 与 教 师 活 动 设 计 学生活
动设计
一、先学后讲
弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 211||, ||22lrSlrr
角度制下的弧长公式和扇形面积公式：2 , 180180nrnrlS
两者相比较:弧度制下的弧长公式和扇形面积公式其记忆与应用更易操作.
记忆:在弧度制下的扇形面积公式12Slr可类比三角形的面积公式12Sah进行记忆,
即“底乘以高的一半.”
二、合作探究
1. 求弧长与面积
例题3一条弦的长度等于半径r，求:(1)这条弦所对的劣弧长； (2)这条弦和劣弧所组成的
弓形的面积.
【思路分析】解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小
进行确定.由已知可知圆心角的大小为3，然后用公式求解即可求弧长，弓形面积可以由
扇形面积减三角形面积求得.
【解析】如图，因为半径为r的圆O中弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=3.
则弦AB所对的劣弧长为3r.
(2)∵S△AOB=21OA·OB·sin∠AOB=43r2，
S扇形OAB=21|α|r2=21×3×r2=6r2，
∴S弓形=S扇形OAB－S△AOB=6r2－43r2=(6－43)r2.
【点评】图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把扇形看成三角形与
弓形的组合，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从
图中，从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.
☆自主探究
1.圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数是( )
A.3 B.1 C.23 D.3
2.已知圆的半径为2，则半圆面积为
三、总结提升：
弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：211||, ||22lrSlrr
四、问题过关
1.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.3 B.32 C.3 D.2
2.在半径为10 cm的圆中，34的圆心角所对弧长为( )
A.403 B.203 C.2003 D.4003
3.若扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形圆心角的弧度数.
因材施教：
教学后记：