开关电路与布尔代数

布尔函数：
以布尔代数B上n个变元 x1, x2 ,......, xn为自变量，
且在B {0,1}中取值的函数f x1, x2 ,......, xn .
与布尔代数有关的性质
最小项：
布尔多项式 E x1, x2 ,......, xn 中，积x1a x2a ...... xna
(6)狄摩根律： a b a b; (7)幂等律：a a a; (9)吸收律：a a b a; (8)逆元律：a a 1; a a 0 a (a b ) a a b ab a aa
布尔代数满足的运算律
化简下列式子：
F ab ac bc
F ab ac bc ab ac (a a)bc ab ac abc abc (ab abc) (ac abc) ab ac
3.布尔代数
布尔多项式：
用布尔代数定义的+,●,-连接而成的式子。 E x1, x2 ,......, xn n个变元布尔多项式： • 如： E a, b, c a b c ; E a, b, c a b a c
1
1 1
灯Z的状态总是与a b的状态相等，故记为a b.
即Z =a b
4.开关电路的数学描述
开关a的状态 0 开关b的状态 0 电灯z的状态 0
0
1 1
1
0 1
0
0 1
灯Z的状态总是与a b的状态相等，故记为a b.
即Z =a b
5.实际问题解决
解：设输入的变量为开关x, y,则电灯的状态是x, y 的函数，记为f x, y , 假设初始状态为开关x, y都通 时电灯亮。
与布尔代数有关的性质
标准积和范式：
布尔多项式 E x1, x2 ,......, xn 中最小项之和。
标准和积范式：
布尔多项式 E x1, x2 ,......, xn 中最大项之积。
范式定理：
任何一个n个变元x1 , x2 ,......, xn的布尔多项式
与标准和积范式。 E x1 , x2 ,......, xn 都有可以写成标准积和范式
开关电路的数学描述 布尔代数的性质及范式定理 利用布尔代数的性质和范式定理解决开关电路 设计的基本问题。
本专题相关的发展方向：
计算机科学；电子信息技术； 通信系统；电力信息系统 逻辑数学；命题演算。




3.布尔代数
例如：求一个三元布尔函数，其定义域由8个形如
a, b, c 的点组成，并要求在 a, b, c 0, 0,1 , 0,1, 0 , 1, 0, 0 , 1,1,1 处布尔函数f a, b, c 取值1，在其它处 f a, b, c 取值0.
对应电路图为：
5.实际问题解决
即采用两个单刀双掷开关即可实现：
5.解决实际问题
计算机运行的时候，程序就像一系列或真 或假的命题，当命题进入电路时，按布尔 代数他们将电路打开或关闭。利用布尔代 数，我们就可以把数一百计的电路结合起 来，并编写出充满想象力的计算机应用程 序。
5.小结
本专题学习如下知识：
与布尔代数有关的性质
例：若f a, b, c a bc, 求f a, b, c 的标准积和范式 和标准和积范式。
解：因为有三个变元，所以 f 0, 0, 0 f 0, 0,1 f 0,1, 0 0, f 0,1,1 f 1, 0, 0 f 1,1, 0 f 1,1,1 f 1, 0,1 1. 那么标准积和范式(要1不要0)为 f a, b, c abc abc abc abc abc 标准和积范式(要0不要1)为 f a, b, c a b c a b c a b c
1 2 n
最大项：
其中xi ai {xi , xi }, i 1, 2,3,......, n
1 2 n
布尔多项式E x1, x2 ,......, xn 中，和x1a x2a ...... xna
其中xi ai {xi , xi }, i 1, 2,3,......, n
布尔代数满足的运算律
(1)交换律：a b b a; a b b a (2)结合律： a b c a b c ; a b c a b c (3)分配律：a (b c) (a b) (a c); a (b c) a b a c (4)0 1律： a 0 a; a 0 0; a 1 a; a 1 1 (5)补元律： a a
开关电路： b, a 随a, b 的改变而改变。 a b, a·
开关电路 → 函数
4.开关电路的数学描述
开关a的状态 0 1 电灯z的状态 1 0
灯Z的状态总是与a的状态相反，故记为a
即Z = a
4.开关电路的数学描述
开关a的状态 0 开关b的状态 0 电灯z的状态 00Βιβλιοθήκη 1 110 1
开关电路与布尔代数
——戴蒙蒙
1.布尔代数创始人
英国数学家G.Boole 于1847年为了研究思维 规律引入今日被称为 的布尔代数，大约一 百年后美国电气工程 师C.E.Shannon把它用 于开关电路上，使得 计算机迅猛发展。
2.实际问题
楼梯中间要安装一电灯，楼上、楼下各安 装一个开关，要求每个开关的状态改变均 可改变电灯的当前状态，试设计一开关电 路满足这一要求。
由开关经多次并联、串联与反演所得到的电路 开关的表示：字母a,b,c; 开关/电路状态:
• 通——1； • 不通——0.
4.开关电路的数学描述
开关的反相(反演)
开关a,b在任何情况下都是取相反的状态。 开关a的反相开关记为 a 若 a 0 ，则a 1 ; a 1, 则a 0
解：
0, 0,1 abc 0,1, 0 abc
1,0,0 abc 1,1,1 abc
实现布尔函数f a, b, c 的布尔多项式就是它们的和，即 f a, b, c = abc abc abc abc
4.开关电路的数学描述
什么是开关电路？
3.布尔代数的基本概念
定义：
把定义在集合{0,1}上的三个运算“+, ●,-”一 起叫布尔代数。 三个运算(运算顺序：先-再●最后+)
： 0 0=0， 0 1=1， 1 0=1， 1 1=1 ： 0 0=0， 0 1=0， 1 0=0， 1 1=1 -： 0=1， 1=0
2.开关电路的数学描述
开关的并联
开关a与开关b并联在开关网络里，记为a+b。 当且仅当a=0且b=0时，a+b=0。
4.开关电路的数学描述
开关的串联
开关a与开关b串联在开关网络里，记为a· b。 当且仅当a=1且b=1时，a· b=1。
4.开关电路的数学描述
函数：
自变量随因变量改变
开关1 闭合 闭合 断开 断开 开关2 闭合 断开 断开 闭合 电灯 亮 灭 亮 灭 x 1 1 0 0 y 1 0 0 1 f(x,y) 1 0 1 0
5.实际问题解决
f 0,0 f 1,1 1, f 0,1 f 1,0 0
f x, y f 1,1 xy f 1, 0 x y f 0,1 xy f 0, 0 xy xy xy