2018-2019版数学学导练人教必修五实用课件第二章数列2.3.2
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2018_2019学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版必修5
-
1 2
������
.
(3)由(2)得 S1+S2+…+Sn
=83n-83
-12 1- -12 1- -12
=83n+89
1-
-
1 2
������ ������
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究四 易错辨析
易错点:未讨论 q 是否为 1 致错 【典型例题 4】 已知等比数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,a1=2,S3=6,求 a3 和 q. 错解:由等比数列的前 n 项和公式, 得 S3=������1(11--������������3) = 2(11--������������3)=6,
列{an}为等比数列,即 Sn=-Aqn+A⇔数列{an}为等比数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 等比数列前 n 项和的基本计算
在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,已知其 中三个,求其余两个时,可利用通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知 三求二”.在解方程组时,要注意整体思想的运用,如 qn,1������-1������都可看作一个整体.
2.等比数列前 n 项和性质 (1)在等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列, 即:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列. (2)当 n 为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比, 即������������偶 奇=q.
(3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数
2.利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值,同时对两种数列的 性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时 还需利用条件联立方程组求解.
2019-2020学年人教A版数学必修五课件：第二章 数列 2.3 第2课时 课后课时精练
第六页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解析 设{an}的首项为 a1，则 Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2 ＋a1－d2n.由二次函数性质知 Sn 有最大值时，则 d<0，故 A、 B 正确；因为{Sn}为递增数列，则 d>0，不妨设 a1＝－1，d ＝2，显然{Sn}是递增数列，但 S1＝－1<0，故 C 错误；对任 意 n∈N*，Sn 均大于 0 时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数 八分。
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 m>1，且 am－1＋ am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则 m 等于( )
A．38 B．20 C．10 D．9 解析 因为 am－1＋am＋1－a2m＝0，所以 am－1＋am＋1＝a2m. 根据等差数列的性质得 2am＝a2m，显然 am≠0，所以 am＝2. 又因为 S2m－1＝38，所以 S2m－1＝2m－1a21＋a2m－1＝(2m－ 1)am.将 am＝2 代入可得(2m－1)×2＝38，解得 m＝10.故选 C.
(1)求 a1 及通项公式 an； (2)若 bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)对于(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1， ① n＝1 时，(a1＋2)2＝4a1＋5，a21＝1， 而 an>0，则 a1＝1. 又(an＋1＋2)2＝4Sn＋1＋4(n＋1)＋1， ②
当 n 为偶数时，Tn＝
＝n；
第十七页，编辑于星期六：二十三点 八分。
当 n 为奇数时，Tn＝ 综上所述，Tn＝(－1)n·n.
－(2n－1)＝－n.
第十八页，编辑于星期六：二十三点 八分。
B 级：能力提升练 1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角 为 120°，公差为 5°，那么这个多边形的边数 n 等于( ) A．12 B．16 C．9 D．16 或 9 解析 an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由 an<180，得 n<13 且 n∈N*， 由 n 边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋nn2－1 ×5，解得 n＝16 或 n＝9. ∵n<13，∴n＝9.
解析 设{an}的首项为 a1，则 Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2 ＋a1－d2n.由二次函数性质知 Sn 有最大值时，则 d<0，故 A、 B 正确；因为{Sn}为递增数列，则 d>0，不妨设 a1＝－1，d ＝2，显然{Sn}是递增数列，但 S1＝－1<0，故 C 错误；对任 意 n∈N*，Sn 均大于 0 时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数 八分。
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 m>1，且 am－1＋ am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则 m 等于( )
A．38 B．20 C．10 D．9 解析 因为 am－1＋am＋1－a2m＝0，所以 am－1＋am＋1＝a2m. 根据等差数列的性质得 2am＝a2m，显然 am≠0，所以 am＝2. 又因为 S2m－1＝38，所以 S2m－1＝2m－1a21＋a2m－1＝(2m－ 1)am.将 am＝2 代入可得(2m－1)×2＝38，解得 m＝10.故选 C.
(1)求 a1 及通项公式 an； (2)若 bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)对于(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1， ① n＝1 时，(a1＋2)2＝4a1＋5，a21＝1， 而 an>0，则 a1＝1. 又(an＋1＋2)2＝4Sn＋1＋4(n＋1)＋1， ②
当 n 为偶数时，Tn＝
＝n；
第十七页，编辑于星期六：二十三点 八分。
当 n 为奇数时，Tn＝ 综上所述，Tn＝(－1)n·n.
－(2n－1)＝－n.
第十八页，编辑于星期六：二十三点 八分。
B 级：能力提升练 1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角 为 120°，公差为 5°，那么这个多边形的边数 n 等于( ) A．12 B．16 C．9 D．16 或 9 解析 an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由 an<180，得 n<13 且 n∈N*， 由 n 边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋nn2－1 ×5，解得 n＝16 或 n＝9. ∵n<13，∴n＝9.
2019-2020人教A版数学必修5第2章 2.3 第2课时 等差数列前n项和的综合应用课件PPT
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等差数列前 n 项和计算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式 Sn＝n（a12＋an），设法求出整体 a1＋an， 再代入求解． (2)待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 Sn＝An2＋ Bn(A≠0)，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn是关于 n 的一次函 数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．
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(2)因为 an＝2n＋1，所以 a1＝3. 所以 Sn＝n（3＋22n＋1）＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2， 所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75.]
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等差数列前n项和Sn的函数特征 [探究问题] 1．将首项为 a1＝2，公差 d＝3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前 n 项和 为 Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情 况成立吗？
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1．在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所
有偶数项的和为 150，则 n 等于( )
A．9 B．10
C．11
D．12
B [∵SS奇 偶＝n＋n 1，∴116550＝n＋n 1.∴n＝10.故选 B 项．]
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2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则 S6＝________． 15 [由 S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列得 2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)， 解得 S6＝15.]
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[解] (1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． ∴30，70，S3m－100 成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. (2)ab55＝1212（ （ab11＋ ＋ab99） ）＝99（ （ab1122＋ ＋ab99） ）＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
等差数列前 n 项和计算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式 Sn＝n（a12＋an），设法求出整体 a1＋an， 再代入求解． (2)待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 Sn＝An2＋ Bn(A≠0)，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn是关于 n 的一次函 数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．
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(2)因为 an＝2n＋1，所以 a1＝3. 所以 Sn＝n（3＋22n＋1）＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2， 所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75.]
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等差数列前n项和Sn的函数特征 [探究问题] 1．将首项为 a1＝2，公差 d＝3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前 n 项和 为 Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情 况成立吗？
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1．在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所
有偶数项的和为 150，则 n 等于( )
A．9 B．10
C．11
D．12
B [∵SS奇 偶＝n＋n 1，∴116550＝n＋n 1.∴n＝10.故选 B 项．]
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2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则 S6＝________． 15 [由 S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列得 2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)， 解得 S6＝15.]
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[解] (1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． ∴30，70，S3m－100 成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. (2)ab55＝1212（ （ab11＋ ＋ab99） ）＝99（ （ab1122＋ ＋ab99） ）＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
2018高中数学人教A版必修5课件：第二章数列 2-3-1
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.数列的前n项和 对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n 项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 名师点拨数列的前n项和必须从第1项开始,逐项相加到第n项,不 能是其中几项的和. 【做一做1】 数列9,-2,-10,3的前3项和S3= . 答案:-3
y=
������ ������2 + 2 ������ ������1 2
������的图象上.
目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四
Z ห้องสมุดไป่ตู้识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
已知Sn求a 【例1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项 公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析利用Sn-Sn-1=an(n≥2)求解. 解(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5.
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 可以写为Sn= ������2 + ������1 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.数列的前n项和 对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n 项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 名师点拨数列的前n项和必须从第1项开始,逐项相加到第n项,不 能是其中几项的和. 【做一做1】 数列9,-2,-10,3的前3项和S3= . 答案:-3
y=
������ ������2 + 2 ������ ������1 2
������的图象上.
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Z ห้องสมุดไป่ตู้识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
已知Sn求a 【例1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项 公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析利用Sn-Sn-1=an(n≥2)求解. 解(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5.
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 可以写为Sn= ������2 + ������1 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2
2018-2019学年高中数学人教A版必修五课件：第二章 数列2.4.2
a7与a5,a9同号,错解中忽略了这一点.
题型一 题型二 题型三
正解∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,
∴
18 ������5 + ������9 = 7 , ∴
������5������9 = 1.
������5 > 0, ������9 > 0.
又������72 = ������5������9 = 1, 且a5 与 a7 同号,∴a7=1.
(5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;若数
列{bn}是公比为q'的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q·q'的等比数
列;数列
1 ������������
是公比为
1 ������
的等比数列;数列{|an|}是公比为|q|的等比数
列.
2.等差数列与等比数列的区别与联系 剖析等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示.
答案:C
(2)在等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,
则
������1 + ������3 + ������9 ������2 + ������4 + ������10
等于多少?
解由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,∴ ������32 = ������1������9.
解得a=4,q=2或a=4,q=-2或a=-求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
题型一 题型二 题型三
反思合理地设出所求的数是解决此类问题的关键.一般地,三个
数成等比数列,可设为
������ ������
,
������,
2019-2020学年人教A版数学必修五课件：第二章 数列 2.3 第2课时
S3m，…(m∈N*)为等差数列．( × )
(3)若等差数列{an}的公差 d>0，则该数列 Sn 一定有最小
值，d<0 则该数列 Sn 一定有最大值．( √ )
第七页，编辑于星期六：二十三点 八分。
2．做一做
(1)已知某等差数列共有 101 项，各项之和为 202，则奇数
项之和 S 奇＝___1_0__2__，偶数项之和 S 偶＝____1_0_0__.
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解析 (1)解法一：ab55＝ST99＝7×9＋9＋3 2＝6152. 解法二：可设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt(t≠0)． 则 a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t. 故ab55＝6152tt＝6152. (2)利用等差数列前 n 项和的性质求解．
解 ∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0， ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1<0，∴a13<0，a14>0， ∴S13 最小，∴当 n＝13 时，Sn 最小．
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 八分。
拓展提升 求解等差数列前 n 项和最值问题的常用方法
解 由题意可知：a1＝25，S17＝S9， 则 17a1＋17×2 16d＝9a1＋9×2 8d，d＝－2.
第二十页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解法一：Sn＝25n＋nn2－1(－2)＝－(n－13)2＋169. 故前 13 项之和最大，最大值是 169. 解法二：Sn＝d2n2＋a1－d2n(d<0)，
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解法四：∵a1＝25>0，
由aann＋＝1＝252－5－2n2－ n≤10≥. 0，
(3)若等差数列{an}的公差 d>0，则该数列 Sn 一定有最小
值，d<0 则该数列 Sn 一定有最大值．( √ )
第七页，编辑于星期六：二十三点 八分。
2．做一做
(1)已知某等差数列共有 101 项，各项之和为 202，则奇数
项之和 S 奇＝___1_0__2__，偶数项之和 S 偶＝____1_0_0__.
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解析 (1)解法一：ab55＝ST99＝7×9＋9＋3 2＝6152. 解法二：可设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt(t≠0)． 则 a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t. 故ab55＝6152tt＝6152. (2)利用等差数列前 n 项和的性质求解．
解 ∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0， ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1<0，∴a13<0，a14>0， ∴S13 最小，∴当 n＝13 时，Sn 最小．
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 八分。
拓展提升 求解等差数列前 n 项和最值问题的常用方法
解 由题意可知：a1＝25，S17＝S9， 则 17a1＋17×2 16d＝9a1＋9×2 8d，d＝－2.
第二十页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解法一：Sn＝25n＋nn2－1(－2)＝－(n－13)2＋169. 故前 13 项之和最大，最大值是 169. 解法二：Sn＝d2n2＋a1－d2n(d<0)，
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 八分。
解法四：∵a1＝25>0，
由aann＋＝1＝252－5－2n2－ n≤10≥. 0，
2018-2019学年高二数学新人教B版必修五课件：第2章 2.3.1 第2课时
5 ∴a2a3a4a5a6＝a5 ＝ 2 ＝3四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并
且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这
四个数.
解答
反思与感悟
合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是
a 解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为 q，a，aq； 三个数成等差数列，可设为 a－d，a，a＋d.
2 ∴a2 ＋ 2 a a ＋ a 3 3 5 5＝36，
∴(a3＋a5)2＝36， 又∵an>0， ∴a3＋a5＝6.
解答
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式.
解
3 把 a2 ＝ a a 代入已知，得 a 2 1 3 2＝8，∴a2＝2.
2 2 设前三项为q，2，2q，则有q＋2＋2q＝7.
知识点二
由等比数列衍生的等比数列
思考 等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是
1 (1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3)a 是等比数列；(4){a2n} n
是等比数列.
答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
ak ，ak ，ak ， ，ak ， 梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：
1 整理，得 2q －5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝2.
2
a1＝4， a1＝1， ∴ 或 1 q ＝ . q＝2 2
∴an＝2n－1或an＝23－n.
解答
反思与感悟
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运
算.若按常规解法，往往是建立 a1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通 过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简 的效果.
且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这
四个数.
解答
反思与感悟
合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是
a 解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为 q，a，aq； 三个数成等差数列，可设为 a－d，a，a＋d.
2 ∴a2 ＋ 2 a a ＋ a 3 3 5 5＝36，
∴(a3＋a5)2＝36， 又∵an>0， ∴a3＋a5＝6.
解答
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式.
解
3 把 a2 ＝ a a 代入已知，得 a 2 1 3 2＝8，∴a2＝2.
2 2 设前三项为q，2，2q，则有q＋2＋2q＝7.
知识点二
由等比数列衍生的等比数列
思考 等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是
1 (1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3)a 是等比数列；(4){a2n} n
是等比数列.
答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
ak ，ak ，ak ， ，ak ， 梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：
1 整理，得 2q －5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝2.
2
a1＝4， a1＝1， ∴ 或 1 q ＝ . q＝2 2
∴an＝2n－1或an＝23－n.
解答
反思与感悟
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运
算.若按常规解法，往往是建立 a1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通 过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简 的效果.
2019高中人教A版数学必修5课件第二章数列 2本章整合
图象:数列的图象是一群孤立的点
定义:数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
数列 等差数列
判断方法:定义法、证明+1 - 为常数
通项公式: = 1 + (-1)
+ )
1
= 1 + ( - )
2
( 1
前项和公式: =
2
递推公式:+1 = +
+ 2 = -6,
∵a3=-6,a6=0,∴ 1
解得a1=-10,d=2.
1 + 5 = 0.
∴an=-10+(n-1)·2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
∵b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
∴-8q=-24,即q=3.
∴Hale Waihona Puke 列{bn}的前1 (1- )
n 项和 Sn=
右边的数是(n2-n+1)+(n-1)×2=n2+n-1.
答案:n2+n-1
-6-
知识建构
本章整合
专题一
专题二
专题三
综合应用
真题放送
专题四
应用2德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形
(单位分数是分子为1、分母为正整数的分数)称为莱布尼茨三角形.
根据前5行的规律,写出第6行的数从左到右依次
是
.
1 1 1 1 1 1
答案: , , , , ,
6 30 60 60 30 6
-7-
知识建构
本章整合
专题一
专题二
专题三
综合应用
真题放送
专题四
定义:数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
数列 等差数列
判断方法:定义法、证明+1 - 为常数
通项公式: = 1 + (-1)
+ )
1
= 1 + ( - )
2
( 1
前项和公式: =
2
递推公式:+1 = +
+ 2 = -6,
∵a3=-6,a6=0,∴ 1
解得a1=-10,d=2.
1 + 5 = 0.
∴an=-10+(n-1)·2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
∵b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
∴-8q=-24,即q=3.
∴Hale Waihona Puke 列{bn}的前1 (1- )
n 项和 Sn=
右边的数是(n2-n+1)+(n-1)×2=n2+n-1.
答案:n2+n-1
-6-
知识建构
本章整合
专题一
专题二
专题三
综合应用
真题放送
专题四
应用2德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形
(单位分数是分子为1、分母为正整数的分数)称为莱布尼茨三角形.
根据前5行的规律,写出第6行的数从左到右依次
是
.
1 1 1 1 1 1
答案: , , , , ,
6 30 60 60 30 6
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知识建构
本章整合
专题一
专题二
专题三
综合应用
真题放送
专题四
2018-2019版高中数学第二章数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用课件新人教A版必修5
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)若某一数列的前 n 项和为 Sn=4· 3n-1-4,则其必为等比数列. ( (2)若等比数列{an}的前 n 项和为
1 ������ Sn=2· +m,则 3
) )
m=-2. ( )
(3)若{an}为等比数列,则 S5,S10,S15 仍然构成等比数列. ( 列. ( )
1 2 1 3
解 (1)根据已知条件
1 ������ 2 2
(2������2 )· (3������3 ) = 62 , 解得 ������2 = 2, ������3 = 3.
1 + ������3 3
= 2,
整理得
3������2 + 2������3 = 12, ������2 ������3 = 6,
第2课时 等比数列前n项和 的性质及应用
课 标
阐 释
思
维 脉 络
1.掌握等比数列前 n 项和的性质 及其应用. 2.能够运用学过的数列知识解决 等差与等比数列的综合问题. 3.能够运用等比数列的知识解决 有关实际问题. 等比数列前 n 项和的性质 性质及其应用 综合问题 实际应用
等比数列前 n 项和的性质
又 S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2· (1+q2)>0,
∴S4=28.
(2)由题意知 S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80,
∴S 奇=-80,S 偶=-160,∴q=������ =2.
奇
������偶
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7������ ,则 ������+3
(3)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,已知
������5 = ������5
=
.
思路分析 运用等差数列前 n 项和的性质解决问题.
课堂篇 合作学习
解析 (1)因为 a6+a8+a10=33,所以 3a8=33,即 a8=11,故 S15=
������偶 ������
奇
=
������������+1 . ������������
(5)若等差数列{an}的项数为 2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1, S 偶-S 奇=-an+1,
������ ������
偶 奇
=
������ . ������+1
课前篇 自主预习
2.做 一做: (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30, 则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则 S6= . 解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得 d=3. (2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15. 答案(1)C (2)15
课前篇 自主预习 一 二
二、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1.如何求等差数列前n项和的最值?
课前篇 自主预习
提示 (1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d>0 时,前 n 项和 Sn 有最小值 S1; (2)在等差数列{an}中,当 a1<0,d<0 时,前 n 项和 Sn 有最大值 S1; (3)在等差数列{an}中,当 a1>0,d<0 时,前 n 项和 Sn 有最大值,Sn 取得 ������������ ≥ 0, 最大值的 n 的值可由不等式组 确定; ������������ +1 ≤ 0 (4)在等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,前 n 项和 Sn 有最小值,Sn 取得 ������������ ≤ 0, 最小值的 n 的值可由不等式组 确定. ������������ +1 ≥ 0 (5)由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+
课前篇 自主预习 一 二
一、等差数列前 n 项和的性质
【问题思考】 1.等差数列前 n 项和的性质: (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列 公差为 . (2)设等差数列{an}的公差为 d,Sn 为其前 n 项和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,„仍构成等差数列,且公差为 m2d. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为
������(������-1) ������ 2 d= n + 2 2
������1 -
������ 2
n,因此
从二次函数的角度看,当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值; 且当 n 取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn 取得最值. (6)对于公差不为 0 的等差数列{an},使得其前 n 项和 Sn 取得最值的 n 的值可能有 1 个或 2 个.
15(������1 +������15) =15a8=15×11=165. 2
(2)由题意,得 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,所以 2(S6-S3)=S3+S9-S6,即 2×(36-9)=9+S9-36,解得 S9=81. (3)由等差数列前 n 项和的性质,得
������5 ������5
������������ Sn,Tn,则 ������������ ������2������-1 ������2������-1 ������ 2 ������������ ������
也是等差数列,且
=
.
课前篇 自主预习
(4)若等差数列{an}的项数为 2n,则 S2n=n(an+an+1), S 偶-S 奇=nd,
第2课时 等差数列前N项和的性质与应用
-1-
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.掌握等差数列前 n 项和 的性质及其应用. 2.掌握等差数列前 n 项和 的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对 值的和的求法. 等差数列前 n 等差数列前 n 项和的性质 项和的性质 等差数列前 n 项和的最值 等差数列各项的绝对值的和
)
课堂篇 合作学习 1 2 3
【例 1】 导学号 04994036(1)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和.若 a6+a8+a10=33,则 S15= S9= ;
������������ ������������
;
(2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=9,S6=36,则
课前篇 自主预习
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“×”. (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n+1=(2n+1)an. ( ) (2)若等差数列{an}共有20项,则S奇S偶=a9a10. ( ) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S5,S10,S15也成等差数列.( (4)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大 值. ( ) (5)若数列{an}为等差数列,则数列{|an|}一定不是等差数列. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
课前篇 自主预习
2.做一做: (1)在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值 等于 . (2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为 . 解析(1)由已知,得当n<7时,an>0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最 大值时,n的值为6或7. (2)Sn=n2-48n=(n-24)2-576. ∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576. 答案(1)6或7 (2)-576
9(������1 +������9 ) 2 9(������1 +������9 ) 2
=
=
������9 ������9
=
7×9 9+3
=
21 . 4
答案 (1)165
(2)81
(3)
பைடு நூலகம்
21 4
课堂篇 合作学习
(3)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,已知
������5 = ������5
=
.
思路分析 运用等差数列前 n 项和的性质解决问题.
课堂篇 合作学习
解析 (1)因为 a6+a8+a10=33,所以 3a8=33,即 a8=11,故 S15=
������偶 ������
奇
=
������������+1 . ������������
(5)若等差数列{an}的项数为 2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1, S 偶-S 奇=-an+1,
������ ������
偶 奇
=
������ . ������+1
课前篇 自主预习
2.做 一做: (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30, 则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则 S6= . 解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得 d=3. (2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15. 答案(1)C (2)15
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二、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1.如何求等差数列前n项和的最值?
课前篇 自主预习
提示 (1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d>0 时,前 n 项和 Sn 有最小值 S1; (2)在等差数列{an}中,当 a1<0,d<0 时,前 n 项和 Sn 有最大值 S1; (3)在等差数列{an}中,当 a1>0,d<0 时,前 n 项和 Sn 有最大值,Sn 取得 ������������ ≥ 0, 最大值的 n 的值可由不等式组 确定; ������������ +1 ≤ 0 (4)在等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,前 n 项和 Sn 有最小值,Sn 取得 ������������ ≤ 0, 最小值的 n 的值可由不等式组 确定. ������������ +1 ≥ 0 (5)由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+
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一、等差数列前 n 项和的性质
【问题思考】 1.等差数列前 n 项和的性质: (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列 公差为 . (2)设等差数列{an}的公差为 d,Sn 为其前 n 项和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,„仍构成等差数列,且公差为 m2d. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为
������(������-1) ������ 2 d= n + 2 2
������1 -
������ 2
n,因此
从二次函数的角度看,当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值; 且当 n 取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn 取得最值. (6)对于公差不为 0 的等差数列{an},使得其前 n 项和 Sn 取得最值的 n 的值可能有 1 个或 2 个.
15(������1 +������15) =15a8=15×11=165. 2
(2)由题意,得 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,所以 2(S6-S3)=S3+S9-S6,即 2×(36-9)=9+S9-36,解得 S9=81. (3)由等差数列前 n 项和的性质,得
������5 ������5
������������ Sn,Tn,则 ������������ ������2������-1 ������2������-1 ������ 2 ������������ ������
也是等差数列,且
=
.
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(4)若等差数列{an}的项数为 2n,则 S2n=n(an+an+1), S 偶-S 奇=nd,
第2课时 等差数列前N项和的性质与应用
-1-
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.掌握等差数列前 n 项和 的性质及其应用. 2.掌握等差数列前 n 项和 的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对 值的和的求法. 等差数列前 n 等差数列前 n 项和的性质 项和的性质 等差数列前 n 项和的最值 等差数列各项的绝对值的和
)
课堂篇 合作学习 1 2 3
【例 1】 导学号 04994036(1)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和.若 a6+a8+a10=33,则 S15= S9= ;
������������ ������������
;
(2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=9,S6=36,则
课前篇 自主预习
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“×”. (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n+1=(2n+1)an. ( ) (2)若等差数列{an}共有20项,则S奇S偶=a9a10. ( ) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S5,S10,S15也成等差数列.( (4)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大 值. ( ) (5)若数列{an}为等差数列,则数列{|an|}一定不是等差数列. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
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2.做一做: (1)在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值 等于 . (2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为 . 解析(1)由已知,得当n<7时,an>0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最 大值时,n的值为6或7. (2)Sn=n2-48n=(n-24)2-576. ∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576. 答案(1)6或7 (2)-576
9(������1 +������9 ) 2 9(������1 +������9 ) 2
=
=
������9 ������9
=
7×9 9+3
=
21 . 4
答案 (1)165
(2)81
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