数学人教版七年级下册平行四边形的性质

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人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件

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10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC,∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48.
随堂检测
1.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若 AC=14,BD=8,AB=10,则△OAB的周长为 21 .
2.如图,平行四边形ABCD中,AD=5cm,AB⊥BD, 点O是两条对角线的交点,OD=2cm,则AB= 3 cm.
叫做这两条平行线之间的距离.
如图,直线a∥b,A是直线a上的任意
A
a
一点,AB ⊥b ,B是垂足,线段AB的
b
长就是a、b之间的距离.
B
随堂检测
1.如图,在 ABCD中,
A
D
A:基础知识:
B
C
若∠A=130°,则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__.
B:变式训练: (1)若∠A+ ∠C= 200°,则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__; (2)若∠A:∠B= 5:4,则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_.
随堂检测
C:拓展延伸:
A
D
如图,在 ABCD中,
B
C
(1)∠A:∠B : ∠C : ∠D的度数可能是( B )
A. 1 : 2 : 3 : 4
B.3 : 2 : 3 : 2
C.2 : 3 : 3 : 2
D.2 : 2 : 3 : 3
(2)连接AC, 若∠D=60°, ∠DAC=40°,则 ∠B=_6_0_°_,
一条直线的距离相等.
已知:如图,EF∥MN,A,D是直线

初中数学:18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)

初中数学:18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)

18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。

2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。

3.了解平行四边形在实际生活中的应用,能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。

重点:平行四边形的概念和性质。

难点:如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义既是平行四边形的性质,也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.2.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对角相等,邻角互补;(2)平行四边形的对边平行且相等;(3)平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论:夹在两条平行线间的平行线段相等.探究点一:平行四边形的定义如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是平行四边形.解析:根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,根据平行线的判定推出AD∥BC,AB∥CD,根据平行四边形的定义推出即可.证明:∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC.∵∠1=∠2,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.方法总结:平行四边形的定义既是平行四边形的性质,也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.探究点二:平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图,在△ABC中,AB=AC=5,点D,E,F分别是AC,BC,BA延长线上的点,四边形ADEF为平行四边形,DE=2,则AD=________.解析:∵四边形ADEF为平行四边形,∴DE=AF=2,AD=EF,AD∥EF,∴∠ACB =∠FEB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠FEB=∠B,∴EF=BF.∴AD=BF,∵AB=5,∴BF=5+2=7,∴AD=7.方法总结:本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质,熟练掌握各性质是解题的关键.【类型二】利用平行四边形的性质求角如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AB于E,若∠A=125°,则∠BCE的度数为A.35°B.55°C.25°D.30°解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.∵∠A=125°,∴∠B=55°.∵CE⊥AB于E,∴∠BEC=90°,∴∠BCE=90°-55°=35°.故选A.方法总结:平行四边形对角相等,邻角互补,并且已知一个角或已知两个邻角的关系,可求出其他角,所以利用该性质可以解决和角度有关的问题.【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图,点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上,DG =DC ,CE =CF ,点P 是射线GC 上一点,连接FP ,EP .求证:FP =EP .解析:根据平行四边形的性质推出∠DGC =∠GCB ,根据等腰三角形性质求出∠DGC =∠DCG ,推出∠DCG =∠GCB ,根据“等角的补角相等”求出∠DCP =∠FCP ,根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠DGC =∠GCB .∵DG =DC ,∴∠DGC =∠DCG ,∴∠DCG =∠GCB .∵∠DCG +∠ECP =180°,∠GCB +∠FCP =180°,∴∠ECP =∠FCP .在△PCF 和△PCE =CE ,FCP =∠ECP ,=CP ,∴△PCF ≌△PCE (SAS),∴PF =PE .方法总结:平行四边形性质,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定等常综合应用,利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题,在证明时应用较多.【类型四】判断直线的位置关系如图,在平行四边形ABCD 中,AB =2AD ,M 为AB 的中点,连接DM 、MC ,试问直线DM 和MC 有何位置关系?请证明.解析:由AB =2AD ,M 是AB 的中点的位置关系,可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线.又由平行线的性质可得∠ADC +∠BCD =180°,进而可得出DM 与MC 的位置关系.解:DM 与MC 互相垂直.证明如下:∵M 是AB 的中点,∴AB =2AM .又∵AB =2AD ,∴AM =AD ,∴∠ADM =∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠AMD =∠MDC ,∴∠ADM =∠MDC ,则∠MDC =12∠ADC ,同理∠MCD =12∠BCD .∵AD ∥BC ,∴∠ADC +∠DCB =180°,∴∠MDC +∠MCD =12∠BCD +12∠ADC =90°.∵∠MDC +∠MCD +∠DMC =180°,∴∠DMC =90°,∴DM 与MC 互相垂直.方法总结:根据平行四边形的性质,将已知条件转化到同一个三角形中,即可判断两条直线的关系.探究点三:两平行线间的距离如图,已知l1∥l 2,点E ,F 在l 1上,点G ,H 在l 2上,试说明△EGO 与△FHO 面积相等.解析:结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明.证明:∵l 1∥l 2,∴点E ,F 到l 2之间的距离都相等,设为h .∴S △EGH =12GH ·h ,S △FGH =12GH ·h ,∴S △EGH =S △FGH ,∴S △EGH -S △GOH =S △FGH -S △GOH ,∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积.方法总结:根据两平行线间的距离可知,夹在两条平行线间的任何平行线段都相等,而后可推出两三角形同底等高,面积相等.第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点:平行四边形的对角线互相平分.难点:平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对角相等,邻角互补;(2)平行四边形的对边平行且相等;(3)平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一:平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ,对角线AC 、BD 相交于点O ,△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ,求这个平行四边形各边的长.解析:平行四边形周长为60cm ,即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ,而AO 为共用,OB =OD ,因而由题可知AB 比AD 长5cm ,进一步解答即可.解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB =OD ,AB =CD ,AD =BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ,∴AB -AD =5cm ,又∵▱ABCD 的周长为60cm ,∴AB +AD =30cm ,则AB =CD =352cm ,AD =BC =252cm.方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图,▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证:OE =OF .解析:根据平行四边形的性质得出OD =OB ,DC ∥AB ,推出∠FDO =∠EBO ,证出△DFO ≌△BEO 即可.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD =OB ,DC ∥AB ,∴∠FDO =∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO =∠EBO ,OD =OB ,∠FOD =∠EOB ,∴△DFO ≌△BEO (ASA),∴OE =OF .方法总结:利用平行四边形的性质解决线段的问题时,要注意运用平行四边形的对边相等,对角线互相平分的性质.【类型三】判断直线的位置关系如图,平行四边形ABCD 中,AC 、BD 交于O 点,点E 、F 分别是AO 、CO 的中点,试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论.解析:根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA =OC ,OB =OD .利用中点的意义得出OE =OF ,从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE =DF ,BE ∥DF .解:BE =DF ,BE ∥DF .理由如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点,∴OE =OF ,又∵∠FOD =∠EOB ,∴△FOD ≌△EOB (SAS),∴BE =DF ,∠ODF =∠OBE ,∴BE ∥DF .方法总结:在解决平行四边形的问题时,如果有对角线的条件时,则首选对角线互相平分的方法解决问题.探究点二:平行四边形的面积在▱ABCD 中,(1)如图①,O 为对角线BD 、AC 的交点.求证:S △ABO =S △CBO ;(2)如图②,设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合),S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗?若相等,请证明;若不相等,请说明理由.解析:(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO =CO ,再根据等底等高的三角形的面积相等解答;(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等,再根据等底等高的三角形的面积相等解答.(1)证明:在▱ABCD 中,AO =CO .设点B 到AC 的距离为h ,则S △ABO =12AO ·h ,S △CBO =12CO ·h ,∴S △ABO =S △CBO ;(2)解:S △ABP =S △CBP .理由如下:在▱ABCD 中,点A 、C 到BD 的距离相等,设为h ,则S △ABP =12BP ·h ,S △CBP =12BP ·h ,∴S △ABP =S △CBP .方法总结:平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.另外,等底等高的三角形的面积相等.本节学习总结:1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义既是平行四边形的性质,也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.2.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对角相等,邻角互补;(2)平行四边形的对边平行且相等;(3)平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论:夹在两条平行线间的平行线段相等.更多内容请见:资料下载汇总表(提示:按住ctrl+鼠标左键打开链接)。

最新人教版七年级数学下册电子书完整版

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该电子书适用于七年级学生,包含了全套的数学下册教材。

电子书内容主要包括以下内容:
1. 单元一:有理数
- 有理数的引入
- 有理数的比较
- 有理数的加法
- 有理数的减法
- 有理数的乘法
- 有理数的除法
- 有理数的深入应用
2. 单元二:代数表达式与计算
- 代数表达式的引入
- 代数表达式的计算
- 代数表达式的加减混合运算
- 代数表达式的括号应用
3. 单元三:图形的认识
- 角的认识
- 三角形的认识与性质
- 四边形的认识与性质
- 平行四边形与菱形
- 三角形与四边形的深入应用
4. 单元四:常用的几何工具- 直尺与圆规
- 量角器与量规
- 提示工具的使用方法及应用
5. 单元五:比例与相似
- 比例的引入与运用
- 直线与比例
- 相似的判定与运用
- 相似三角形的性质
6. 单元六:数据的统计与预测
- 统计图的应用
- 统计问题的解决
- 数据的预测与预测问题的解决
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电子书将帮助七年级学生全面了解和掌握数学下册的各个知识点,并提供大量的练题和应用题,帮助学生巩固所学内容。

希望本电子书能够对七年级数学研究有所帮助。

《平行四边形的性质》课堂教学实录

《平行四边形的性质》课堂教学实录

《平行四边形的性质(1)》课堂教学实录 课题:人教版初中数学八年级下册《平行四边形的性质(1)》 执教时间:执教班级:教学过程:一、创设情境,导入新课。

老师提问:同学们,你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?王伟:平行四边形吴晗:矩形田振:四边形……老师点拨:太阳光属于平行光,窗口在地面上的影子通常是平行四边形。

老师提问:小刚观察到平行四边形影子有一种对称的美,他说只要量出一个内角的角度,就能知道其余三个内角的度数,只需测出一组邻边的长,便能计算出它的周长,这是为什么呢?导入新课:通过本节课的学习,大家就能明白其中的道理。

今天我们来共同研究平行四边形及其性质。

[板书] “平行四边形的性质”二、实践探究,交流新知1、拼图游戏老师提问:你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出四边形吗?[学生活动] 同桌二人合作拼图,2人上黑板拼图,并画出图形。

老师提问:在小学里,我们就知道有两组对边分别平行的四边形叫平行四边(')A B C (')A 'C (')A A C (')B B 'C (1)(2)A 'A (')B C (')C B (3)(4)(')A C (')C A B 'B (5)(')A A (')C C B 'B (6)A (')C C (')B 'A形。

黑板上展示的图形中,哪些是平行四边形呢?丁雪娇:图(2)、(3)、(4)是平行四边形老师:于宏波,请你以图(2)为例,简单地说一说四边形AC ’BC 为什么是平行四边形。

于宏波:因为'''B A C BAC ∠=∠,所以A ’C ’∥AC ,同理B ’C ’∥BC 。

所以四边形AC ’BC 是平行四边形。

老师:定义有两方面作用:1、能够判定一个四边形是不是平行四边形2、平行四边形具有两组对边分别平行的性质[板书] 平行四边形的定义及作用老师:请同学们根据定义画一个平行四边形[学生活动] 动手画图,感悟平行四边形。

【人教版八年级数学下册教案】18.1.1平行四边形的性质第1课时

【人教版八年级数学下册教案】18.1.1平行四边形的性质第1课时

第十八章平行四边形18.1 平行四边形平行四边形的性质第1课时教课目的【知与技术】1.理解平行四形定,能依照定研究平行四形的性.2.掌握平行四形的角相等,相等性,能用它解决的.3.掌握两条平行的距离的含.【程与方法】培育学生的推理和研究平行四形的性及运用性解决的的程,演能力,展学生的抽象思和形象思.【感情度】在研究平行四形的性及运用性解决的程中,培育学生独立思虑的,感觉得成功的趣,激学情 .教课重难点【教课要点】.平行四形的角相等,相等的性的研究和用【教课点】两条平行的距离的含.课前准备无教课过程一、情境入,初步世界中,四形也在装点着我的生活,宏的建筑物、地面的地板、具一格的窗、天空舞的筝⋯⋯都有四形的身影,此中平行四形与我的生活关系更亲密,你能出一些平时生活中的平行四形的例子?【教课明】学生互相沟通,通平时生活中的平行四形例感觉平行四形的含,初步体平行四形的特点 .二、思虑研究,取新知平行四形的观点两分平行的四形是平行四形,往常用“如“平行四形ABCD”可作“ABCD” .思虑如所示的ABCD中,除了“两分平行”外,它的、角之有什么关系?你能明原由?【教课说明】教师提出问题后,学生独立思虑并互相沟通. 教师关注学生的沟通活动,针对学生思虑结果的实质状况,展开师生互动,如教师发问、学生自主沟通或学生向教师提出怀疑等,让学生能感觉到要想获取察看和猜想中结论“平行四边形的对角相等”、“平行四边形的对边相等”时,需经过增添协助线获取全等三角形来达到目的,从而理解并掌握平行四边形的这些性质. 在指引学生连结对角线AC(或 BD)后,让学生自己达成证明,达到获取知识的目的,教师也可指引学生在论证“两组对角分别相等”时,还可利用平行四边形的平行线性质获取结论.平行四边形的性质平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.研究如图, a,b 是两条平行线,从直线 a 上任一点 A 向直线 b 作垂线,垂足为 B,再过 a 上另一点 C 作 CD⊥ b 于 D,你能发现 AB与 CD的关系吗?【教课说明】学生互相沟通,教师关注学生对问题的商讨过程,让学生获取平行线间的距离的感性认识,最后教师予以解说、概括和总结,得出结论,两条平行线间的距离:过一条平行线上任一点作另一条平行线的垂线,这点和垂足之间的线段的长度叫做两条平行线间的距离 .三、典例精析,掌握新知例 1 如图,小明用一根长为 36m的绳索围成了一个平行四边形场所,此中 AB 边长为8m,其余三边的长各是多少?解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD, AD=BC.∵AB=8m,∴ CD=8m又. AB+BC+CD+DA=36m,∴AD=BC=10m即.其余三边长分别为 10m,8m,10m.例 2如图,在ABCD中, BE均分∠ ABC交 AD于 E, DF均分∠ ADC交 BC于 F. 求证:BE∥ DF.【剖析】要证明BE∥ DF,依照图形特点,需获取同位角∠BEA=∠ FDA或∠ EBF=∠DFC.这时联想到平行四边形的性质有∠ ABC=∠ADC , AD ∥ BC ,再借助角均分线定义可获取结论 .证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD ∥ BC ,∠ ABC=∠ ADC. ∵ BE 均分∠ ABC ,∴∠ 2= 1∠ ABC.2又 DF 均分∠ ADC ,∴∠ 3= 1∠ ADC ,∴∠ 2=∠ 3.2∵ AD ∥BC ,∴∠ 1=∠ 2. ∴∠ 1=∠ 3,∴ BE ∥ DF.【教课说明】上述两例均可让学生自己独立达成,最后教师再展现解答过程四、运用新知,深入理解.1. 一个平行四边形的一个内角是 58°,这个平行四边形的每个内角的度数是多少?为何?2. 如图,在ABCD 中, AE ⊥ BC 于 E , AF ⊥CD 于 F ,且∠ EAF=60°, BE=2cm , DF=3cm ,试求ABCD 的周长 .【教课说明】第 1 题可由学生独立达成, 而第 2 题教师应赐予适合点拨, 先求∠ C=120°,从而∠ B=∠D=60° . 易有∠ BAE=∠ DAF=30°,从而 AB=2BE=4cm ,AD=2DF=6cm ,从而可得结论 .【答案】 1. 解:因为平行四边形的两组对边分别平行,故它的邻角互补,因此它的每个内角分别为 122°, 58°, 122°, 58° .2. 解:∵ AE ⊥ BC , AF ⊥ CD ,∠ EAF = 60°, ∴∠ C = 360° -90 ° -90 °-60 °= 120° .∴∠ B =∠ D = 180° -120 °= 60°. ∴∠ BAE=∠ DAF=90° -60 ° =30° . 在 Rt △ ABE 中,∠ BAE = 30°, BE = 2cm ,∴ AB=2BE =4cm. 同理: AD=2DF =6cm.故 ABCD 的周长为 2(AB+AD )= 2×( 4+6)= 20cm. 五、师生互动,讲堂小结1. 在研究平行四边形性质的过程中,你有哪些认识?2. 在运用平行四边形的性质解题时,应注意哪些问题?课后作业1. 部署作业:从教材“习题 18.1 ”中选用 .2. 达成练习册中本课时练习 .教课反省教课反省本课时中,课本的设计企图是利用图形平移和旋转的特点来得出平行四边形的性质. 因此教课时应先列出平时生活中所用到的一些物体,领会平行四边形在平时生活中的宽泛应 用,从而给出平行四边形的定义, 从定义出发获取第一个性质,再由学生着手操作和教师演示旋转获取其余性质 . 因为本章课注明确要修业生可以严格说理过程,因此教师在得出平行四边形性质的同时要加上几何语言的描绘,在练习中也要注意规范学生的说理过程.。

人教版七年级下册数学:平行线(定义、平行公理及推论)

人教版七年级下册数学:平行线(定义、平行公理及推论)

A B
D C
D1
3,观察如图所示的长方体后填空 ①用符号表示下列两棱的位置关系: A1
C1 B1
A1B1∥____AB AA⊥1____AB , A1D⊥1____C1D1 , AD∥____BC
D
C
A
B
②A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线,他 们 不_是___平行线(填“是”或“不是”)。由此可知,
a c
b
想一想
问题:经过直线a外一点B能画出几条直线与 直线a平行?那再过点C能画几条a的平行线? 它和前面过点B画出的直线平行吗?
·B ·C
a
平行公理:
(唯一性B)
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线
平行。
垂线性质: 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与
已知直线垂直。
// B● //
● C
在_同__一__平__面__内__,两条不相交的直线才能叫平行线。
③在同一平面内,两条不重合的直线位置关系只有 ___2__种,即__相__交__或__平__行___。
4、已知直线L1与L2都经过点P,并且L1//L3,L2//L3,那么L1与L2
必须重合,这是因为 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知
直线平行。
5,下面推理正确的是( c ) A ,因为a⊥b,b∥c,所以a∥c B,因为a∥c,b∥d,所以c∥d C,因为a∥b,a∥c,所以b∥c D,因为a⊥b,b⊥c,所以a⊥c
6,如图所示,若AB∥CD,经过点E可画EF∥AB,则EF与
CD的关系是_平__行___,理由是_如__果__两__条__直__线__都__与__第__三__条__直__线__平_
行,那么这两条直线也互相平行

人教版八年级数学下册《平行四边形的判定》平行四边形PPT精品课件


新知探究
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
数学表达式:如图,∵AB =∥ CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.
例题精析
例1 如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.
求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形
平行四边形的判定
第1课时
新课导入
前面我们学习了平行四边形的定义和性质,它们的内容是什么? 平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形; 平行四边形的性质:
对边相等,对角相等,对角线互相平分.
新课导入 一、复习反思,引出课题
学习完定义和性质后,由以前经验接下来我们应该研究什么?
定义
性质
判?定
平行四边形的判定
新课探究
根据以往学习一些图形判定定理的经验,如何寻找平行四边形 的判定方法?
性质定理 两直线平行,同位角相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等
全等三角形的对应边相等 ……
判定定理 同位角相等,两直线平行
角的内部,到角两边距离相等的 点在这个角的角平分线上
∴ △AOD≌△COB.
∴ ∠OAD=∠OCB.
∴ AD∥BC. 同理 AB∥DC.
判定3: 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
新课探究
两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
例题精析
例1 如图,AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF.求证:AB∥EF.

人教版初中数学中考总复习:特殊的四边形--知识讲解(基础)

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形;2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质,会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题.3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定,会用性质和判定解决实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形;2、有三个角是直角的四边形是矩形;3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等,邻角互补垂直且互相平分,每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2、四条边都相等的四边形是菱形;3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分,并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行,两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形;2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1.解决梯形问题常用的方法:(1)“平移腰”:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1);(2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中(图2);(3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中(图3);(4)“延腰”:构造具有公共角的两个三角形(图4);(5)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形(图5).图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.在学习时注意它们的作用,掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助.2.特殊的梯形1)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.性质:(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等.(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(3)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过两底中点的一条直线.2)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念:把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.2.若中点四边形为矩形,则原四边形满足条件对角线互相垂直;若中点四边形为菱形,则原四边形满足条件对角线相等;若中点四边形为正方形,则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等.【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是;(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是;(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.【答案与解析】(1)四边形EGFH是平行四边形;证明:∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∴点O是平行四边形ABCD的对称中心;∴EO=FO,GO=HO;∴四边形EGFH是平行四边形;(2)菱形;(提示:菱形的对角线垂直平分)(3)菱形;(提示:当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2))(4)四边形EGFH是正方形;证明:∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形;又∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°;∴∠BOG=∠COF;∴△BOG≌△COF(ASA);∴OG=OF,∴GH=EF;由(3)知四边形EGFH是菱形,又EF=GH,∴四边形EGFH是正方形.【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质;熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键.2.动手操作:在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF(见方案二).(1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗?(2)请你通过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大?【思路点拨】(1)、要证所折图形是菱形,只需证四边相等即可.(2)、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21,可知方案二小明同学所折的菱形面积较大. 【答案与解析】(1)小颖的理由:依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形, 小明的理由:∵ABCD 是矩形, ∴AD ∥BC ,则∠DAC=∠ACB , 又∵∠CAE=∠CAD ,∠ACF=∠ACB , ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB , ∴AE=EC=CF=FA , ∴四边形AECF 是菱形. (2)方案一:S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30(cm )2, 方案二:设BE=x ,则CE=12-x , ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形,则AE 2=CE 2∴x 2+25=(12-x )2, ∴x=11924, S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21(cm )2, 比较可知,方案二小明同学所折的菱形面积较大.【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定,以及图形面积的计算与比较. 举一反三:【变式】如图,点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC=3,则折痕CE 的长为 ( ).A.B.C.4 D.5【答案】A.类型二、梯形的应用3.(•黄州区校级模拟)如图,△ABC中,∠BAC=90°,延长BA至D,使AD=AB,点E、F分别是边BC、AC的中点.(1)判断四边形DBEF的形状并证明;(2)过点A作AG∥BC交DF于G,求证:AG=DG.【思路点拨】(1)利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形,进而得出四边形HFEB是平行四边形,得出BE=FD进而得出答案;(2)利用四边形DBEF为等腰梯形,得出∠B=∠D,利用AG∥BG,∠B=∠DAG,得出答案.【答案与解析】(1)解:四边形DBEF为等腰梯形,理由如下:如图,过点F作FH∥BC,交AB于点H,∵FH∥BC,点F是AC的中点,点E是BC的中点,∴AH=BH=AB,EF∥AB,显然EF<AB<AD,∴EF≠AD,∴四边形DBEF为梯形,∵AD=AB,∴AD=AH,∴CA是DH的中垂线,∴DF=FH,∵FH∥BC,EF∥AB,∴四边形HFEB是平行四边形,∴FH=BE,∴BE=FD,故四边形DBEF为等腰梯形;(2)证明:∵四边形DBEF为等腰梯形,∴∠B=∠D,∵AG∥BG,∠B=∠DAG,∴∠D=∠DAG,∴AG=D G.【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识,得出BE=FD 是解题关键.举一反三:【变式】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,则CE的长为().C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. (•北京)在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质,可得AB与CD的关系,根据平行四边形的判定,可得BFDE 是平行四边形,再根据矩形的判定,可得答案;(2)根据平行线的性质,可得∠DFA=∠FAB,根据等腰三角形的判定与性质,可得∠DAF=∠DFA,根据角平分线的判定,可得答案.【答案与解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵BE∥DF,BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形;(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠DFA=∠FAB.在Rt△BCF中,由勾股定理,得BC===5,∴AD=BC=DF=5,∴∠DAF=∠DFA,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质,利用了平行四边形的性质,矩形的判定,等腰三角形的判定与性质,利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键.5.已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC的长;(2)求证:AM=DF+ME.【思路点拨】(1)根据菱形的对边平行可得AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACD,所以∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得CM=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE,然后求出CD的长度,即为菱形的边长BC的长度;(2)先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等,根据全等三角形对应边相等可得ME=MF,延长AB交DF于点G,然后证明∠1=∠G,根据等角对等边的性质可得AM=GM,再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=DF,最后结合图形GM=GF+MF即可得证.【答案与解析】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠1=∠ACD,∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2,∴MC=MD,∵ME⊥CD,∴CD=2CE,∵CE=1,∴CD=2,∴BC=CD=2;(2)证明:如图,∵F为边BC的中点,∴BF=CF=12BC,∴CF=CE,在菱形ABCD中,AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD,在△CEM和△CFM中,∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CEM≌△CFM(SAS),∴ME=MF,延长AB交DF于点G,∵AB∥CD,∴∠G=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠G,∴AM=MG,在△CDF和△BGF中,∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CDF≌△BGF(AAS),∴GF=DF,由图形可知,GM=GF+MF,∴AM=DF+ME.【总结升华】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边的性质,作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键.6 . 如图,己知ABC的顶点B、C为定点,A为动点(不在直线BC上).是点B关于直线AC的对称点,是点C关于直线AB的对称点.连结、、、.(1)猜想线段与'的数量关系,并证明你的结论;(2)当点A运动到怎样的位置时,四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述;(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时,判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状,画出相应的示意图.(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质,综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定.在运动变化过程中,认识图形之间的内在联系.【答案与解析】(1)猜想:BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′(2)要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质,对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点,C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求,这样的位置有无数个.(3)如图,当A是BC的中点时,没有形成四边形;当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′,B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形.【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力,按照要求画出图形可以更清楚的解题.举一反三:【变式】(2012•襄阳)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.【答案】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠DEC=∠AEB,又∵EB=EC,∴△DEC≌△AEB,∴AB=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形.(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.证明:∵AD∥BC,BE=EC=AD,∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.∴AB=ED,∵AB⊥AC,∴AE=BE=EC,∴四边形AECD是菱形.过A作AG⊥BE于点G,∵AE=BE=AB=2,∴△ABE是等边三角形,∴∠AEB=60°,∴AG=3,∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.(•天水)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在C′处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则△ABE和BC′F的周长之和为()A.3 B.4 C.6 D.82.如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF面积为( ).A.4 B.6 C.8 D.103.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的一点,PE⊥AC,垂足为E,PF⊥BD,垂足为F,则PE+PF的值为( ).A.B.C.2 D.第3题第4题4.如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使EFGH为矩形,四边形应该具备的条件是().A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线相互垂直 D.对角线互相平分5.如图,正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,则EF等于().A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为().A.15° B.18° C.36° D.54°二、填空题7.(春•西城区期末)直角△ABC中,∠BAC=90°,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,已知DF=3,则AE= .8. 如图,菱形ABCD中,于E,于F,,则等于___________.9. 正方形ABCD中,E为BC上一点,BE=,CE=,P在BD上,则PE+PC的最小值可能为__________.10.如图,M为正方形ABCD中BC边的中点,将正方形折起,使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形的面积为64,则△AEM的面积为____________.11.如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BC 于F,则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2AD=23,点E是BC边的中点,△DEF是等边三角形,DF交AB于点G,则△BFG的周长为________.三、解答题13.如图1,图2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.(1)如图1,当点E在AB边的中点位置时:①猜想DE与EF满足的数量关系是__________;②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是__________;③请证明你的上述两个猜想.(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系.14. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=3cm,∠A=120°,BD⊥CD,(1)求BC、AD的长度;(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动,点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动,当P、Q分别从B、C同时出发时,写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式,并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况);(3)在(2)的前提下,是否存在某一时刻t,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1:5?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.15. (•青岛模拟)已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.(1)如图1,当P点在线段AB上时,PE+PF的值是否为定值?如果是,请求出它的值;如果不是,请加以说明.(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE﹣PF的值.16.如图,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x,y,z).试求满足上述条件的矩形的面积最小值.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C.【解析】将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在C′处,折痕为EF,由折叠特性可得,CD=BC′=AB,∠FC′B=∠EAB=90°,∠EBC′=∠ABC=90°,∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中,∴△BAE≌△BC′F(ASA),∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3,△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6.故选:C.2.【答案】C.3.【答案】A.4.【答案】C.5.【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC,则EB=FC=3,AE=BF=4,32346.【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°,∠CDE=36°,∠DCE=54°,∠BDE=54°-36°=18°.二.填空题7.【答案】3.【解析】如图,∵在直角△ABC中,∠BAC=90°,D、F分别为AB、AC的中点,∴DF是△ABC的中位线,∴DF=BC.又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点,∴AE=BC,∵DF=3,∴DF=AE.故填:3.8.【答案】60°.9.【答案】.10.【答案】10.【解析】提示:设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC.∵PE⊥AC,PF⊥BC,∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°;又∵∠ACB=90°,∴四边形ECFP是矩形,∴EF=PC,∴当PC最小时,EF也最小,即当CP⊥AB时,PC最小,∵AC=4,BC=3,∴AB=5,∴12AC•BC=12AB•PC,∴PC=125.∴线段EF长的最小值为125;故答案是:125.12.【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC,∠ABC=90°点E是BC边的中点,推出四边形ABED是矩形,所以得到直角三角形CED,所以能求出CD和DE,又由△DEF是等边三角形,得出DF,由直角三角形AGD可求出AG、DG,进而求得FG,再证△AGD≌△BGF,得到BF=AD,从而求出△BFG的周长.三.综合题13.【解析】(1)①DE=EF;②NE=BF;③∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,∵N,E分别为AD,AB中点,∴AN=DN=12AD,AE=EB=12AB,∴DN=BE,AN=AE,∵∠DEF=90°,∴∠AED+∠FEB=90°,又∵∠ADE+∠AED=90°,∴∠FEB=∠ADE,又∵AN=AE,∴∠ANE=∠AEN,又∵∠A=90°,∴∠ANE=45°,∴∠DNE=180°-∠ANE=135°,又∵∠CBM=90°,BF平分∠CBM,∴∠CBF=45°,∠EBF=135°,∴△DNE≌△EBF(ASA),∴DE=EF,NE=BF.(2)在DA上截取DN=EB(或截取AN=AE),连接NE,则点N可使得NE=BF.此时DE=EF.证明方法同(1),证△DNE≌△EBF.14.【解析】(1)在Rt△BCD中,CD=3cm,∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得:梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.(2)当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时,BP=2t,CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E,则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34(6-2t)t=34(2t2-6t+27)(0<t<3).(3)存在时刻t,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1:5.∵S梯形ABCD=2734,S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ:S五边形ABPQD=1:5,即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34(2t2-6t+27)=56×2734,整理得:4t2-12t+9=0,∴t=32,即当t=32秒时,PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1:5.15.【解析】解:(1)是定值,∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF∥AC,同理PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a.(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF∥AC,同理PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a.16.【解析】已有三个小正方形的边长为x,y,z,我们通过x,y,z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中,它们是x+y,x+2y,x+3y,4y,x+7y,2x+y,2x+y+z,4x+4y-z,4x+4y-2x及5x-2y+z.因矩形对边相等,所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z.化简上述的两个方程得到z=13y-4x,4z=2x+3y,消去z得18x=49y.因为18与49互质,所以x、y的最小自然数解是x=49,y=18,此时z=38.以x=49,y=18,z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z,得长、宽分别为593和422.此时得最小面积值是593×422=250246.。

2024年新版人教版七年级数学下册教案全册

2024年新版人教版七年级数学下册教案全册一、教学内容详细内容:1. 第一章:整式的乘法、整式的除法、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式。

2. 第二章:直线、射线、线段、角的度量、角的分类、相交线与平行线。

3. 第三章:随机事件、概率的定义、概率的计算、事件的独立性。

4. 第四章:数据的收集、数据的整理、统计图表、频数与频率。

5. 第五章:一元一次不等式的解法、一元一次方程的解法、实际问题与一元一次方程。

6. 第六章:三角形的性质、三角形的判定、等腰三角形、直角三角形。

7. 第七章:平行四边形的性质、平行四边形的判定、特殊的平行四边形。

二、教学目标1. 理解并掌握整式的乘除、几何图形的认识、概率初步、数据的收集与整理、一元一次不等式与方程、三角形、平行四边形等基本概念和性质。

2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力,提高解决问题的能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,增强数学在实际生活中的应用。

三、教学难点与重点1. 教学难点:整式的乘除、概率的计算、一元一次不等式与方程的解法、平行四边形的判定。

2. 教学重点:几何图形的认识、数据的收集与整理、三角形的性质与判定、平行四边形的性质。

四、教具与学具准备1. 教具:多媒体教学设备、几何模型、计算器。

2. 学具:直尺、圆规、量角器、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入:通过生活中的实例,引出整式的乘除、几何图形的认识、概率初步等概念。

2. 例题讲解:详细讲解整式的乘除、几何图形的性质、概率的计算、一元一次不等式与方程的解法等例题。

3. 随堂练习:针对每个知识点设置相应的练习题,巩固所学知识。

4. 小组讨论:分组讨论难点问题,培养学生的合作精神。

六、板书设计1. 2024年新版人教版七年级数学下册教案2. 知识点:按照章节顺序,列出每个章节的知识点。

3. 例题:精选具有代表性的例题,展示解题过程。

4. 练习题:设置随堂练习题,巩固所学知识。

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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

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