七年级数学上册有理数--绝对值问题的解题策略与方法专题讲解

绝对值问题的解题策略与方法
策略一 去掉绝对值符号
根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法. 例1 三个有理数a 、b 、c 的积是负数，它们的和是正数，且a b c x a b c =
++时，求代数式201622016x x -++的值.
分析 由三个有理数a 、b 、c 的积是负数，它们的和是正数，确定出负因数的个数，然后可以把a
b
c
x a b c =++中的绝对值去掉，求出x ，再代入代数式求值.
解 ∵a 、b 、c 的积是负数，它们的和是正数，∴a 、b 、c 必是一负两正. 不妨设0a <，0b >，0c >， 则1a b c x a b c
-=++=, ∴原式20161220162017=-++=.
例2 关于x 的方程245x x m -+=有四个全不等的实根，求实数m 取值范围. 分析 先分两种情况：0x ≥和0x <去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.
解 设2
45y x x =-+，则
(1)当0x ≥时，245y x x =-+;
(2)当0x <时，245y x x =++. 作出245y x x =-+图象，如图1
要使2
45x x m -+=有四个全不相等的实根，需使函数Y y 的图象与直线y m =有四 个不同的交点，由图象，可知15m <<.
策略二 添加绝对值符号
利用2
2a a =，把关于a 的问题转化关于为a 的问题，可以达到出奇制胜的效果. 例3 解方程:23100x x --=.
分析 此题可以分0x ≥和0x <两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的 2x 项的x 添加绝对值符号，把原方程转化为关于x 的方程来解，则更简捷.
解 方程可化为
2
3100x x --= 则(5)(2)0x x -+=， 5x ∴=，或2x =-(舍去)，
15x ∴=，25x =-.
例4 关于x 的方程222x x m -+=有三个实根，求m 的值.
解 方程化为:2
22x x m -+=，且设它的两个根为1x ，2x .
原方程有三个实根，则1x ，2x 中必有一个大于0，一个等于0,
把0x =代入原方程，得2m =.
当2m =时，220x x -=， ∴0x =，20x =>.
10x ∴=，22x =，32x =-，方程有三个实根，∴2m =即为所求.
策略三 运用绝对值的几何意义
a 是数轴上表示数a 的点与原点的距离，x a -是数轴上表示数x 的点与表示数a 的点的距离.运用绝对值的几何意义，可以使绝对值问题得到巧解.
例5 解方程125x x ++-=.
分析 此题分三种情况1x <-，12x -≤≤和2x >进行讨论，去掉绝对值符号，可以解此方程.如果用绝对值的几何意义，便可以直接得出其解.
解 125x x ++-=是数轴上表示数x 的点到表示1-和2的点的距离之和，由此得 方程的解为12x =-，23x =.
例6 若21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.
分析 利用绝对值的几何意义，先可以确定21x x ++-、51y y -++的范围，从而找到解题思路.
解 把条件整理，得
21519x x y y ++-+-++=
根据绝对值的几何意义，得
213x x ++-≥，当21x -≤≤时，取等号;
516y y -++≥，当15y -≤≤时，取等号.
故有213x x ++-=,
516y y -++=.
当2x =-，1y =-时，x y +有最小值为3-;
当1x =，5y =时，x y +有最大值为6.
策略四 运用绝对值的非负性
0a ≥，即a 是一个非负数，运用绝对值的非负性解有关绝对值问题，也是一种常用的策略方法.
例7 若2(2)ab -，与1b -互为相反数，求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++… 1(2015)(2015)
a b +++的值. 解 ∵2(2)ab -，与1b -互为相反数， ∴2
(2)10ab b -+-= ∴2010
ab b -=⎧⎨-=⎩，
∴21
a b =⎧⎨=⎩. ∴原式111122320162017
=
+++⨯⨯⨯… 111111()()()122320162017=-+-++-…
112016120172017
=-= 例8 若关x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，求实数a 的取值范围.
分析 先作函数268y x x =-+的图象，再根据绝对值的非负性，位于x 轴上方的部分
不变，把位于x 轴下方的部分沿x 轴对折上去，就得到268y x x =-+图象.
解 在同一坐标系中作出函数268y x x =-+与y a =的图象，如图2.
由图可知，当1a >或0a =时，函数268y x x =-+与y a =的图象有且只有两个交
点.
故当1a >或0a =时，关于的方程268x x a -+=恰有两个不等实根.
策略五 运用绝对值的不等式性质
绝对值问题常用到两个重要不等式:
(1) a b a b a b -≤±≤+;
(2) a b a b -≤±.
例9 若有理数a ，b ，c 满足:
26a b -≤，7b c -≤，13a b c --=，求2a b b c -+-的值.
解 13a b c =--
2a b b c ≤-+-
6713≤+=
213a b b c ∴-+-=.
例10 设15y x x =--+，求y 的最大值和最小值.
分析 把1x -和5x +看做两个实数，利用上面的性质(2)求解.
解 ∵15156x x x x --+≤---=
∴6156x x -≤--+≤,
∴y 的最大值是6，最小值是6-.
策略六 绝对值性质与整数性质相结合
例11 非零整数m 、n 满足50m n +-=，问所有这样的整数组(,)m n 共有多少 组?
分析 由于m ，n 是非零整数，所以m ，n 为正整数.两个正整数之和为5有四种情 况.
解 ∵m 、n 是非零整数，50m n +-= ∴14m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，41m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，23m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，32
m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.
∴以上每一组都有四组解，
∴整数组(,)m n 共有16组.
例12 若a 、b 、c 为整数，且19991a b
c b -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 解 ∵a 、b 、c 为整数， ∴19a b
-，99c b -为非负整数. ∵19991a b c b -+-=，
1a b ∴-=且0c a -=，
或0a b -=且1c a -=.
∴c a =，1b c b a a b -=-=-=
或a b =，1b c a c c a -=-=-=.
综上所述，
1b c -=，且1c a a b -+-= ∴c a a b b c -+-+-112=+=.。