2014高考文科圆锥曲线复习
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2014高考数学一轮复习精品讲练(人教通用版)9.6圆锥曲线综合
第6课圆锥曲线综合【考点导读】1.在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.2.通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.【基础练习】1.给出下列四个结论：①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；③抛物线；④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是42.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为3.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是【范例导析】例1.已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为B点的坐标为由可得因此过A点的切线方程为(1)过B点的切线方程为(2)解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值（2）=0可得三角形面积所以当且仅当时取等号点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大【反馈练习】1.已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是2.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则3.设P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是4.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为5. 双曲线C与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则点到椭圆右焦点的距离等于__2 _7.如图，点A是椭圆C：的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，＝9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.8.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．求圆的方程.解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=89.已知动圆过定点，且与直线相切，其中,求动圆圆心的轨迹的方程.解：如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线所以轨迹方程为；。
2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧
2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
2014高考数学(文)名师指导提能专训15：圆锥曲线中的定点、定值与最值问题(含解题思路)
提能专训(十五）圆锥曲线中的定点、定值与最值问题一、选择题1．（2013·东北三校4月模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1)，P2（x2，y2),P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（)A．|FP1|＋|FP2｜＝｜FP3｜B．｜FP1｜2＋｜FP2｜2＝|FP3|2C．2｜FP2｜＝|FP1｜＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1｜·｜FP3｜答案：C 解题思路：抛物线的准线方程为x＝－错误!，由定义得｜FP1|＝x1＋错误!,|FP2|＝x2＋错误!，|FP3｜＝x3＋错误!,则|FP1|＋｜FP3｜＝x1＋错误!＋x3＋错误!＝x1＋x3＋p，2|FP2｜＝2x2＋p,由2x2＝x1＋x3，得2｜FP2｜＝|FP1｜＋｜FP3|，故选C.2．与抛物线y2＝8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2＝8x的准线所得的弦长为( )A．4 B．2错误!C．2 D.错误!答案：C 命题立意：本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用，难度中等．解题思路:设直线l的方程为y＝－x＋b，联立直线与抛物线方程，消元得y2＋8y－8b＝0，因为直线与抛物线相切，故Δ＝82－4×（－8b)＝0,解得b＝－2，故直线l的方程为x＋y＋2＝0，从而A（－2，0），B（0，－2)，因此过A，B两点最小圆即为以AB为直径的圆，其方程为（x＋1)2＋(y＋1)2＝2,而抛物线y2＝8x的准线方程为x ＝－2，此时圆心(－1，－1）到准线的距离为1,故所截弦长为2错误!＝2。
3．（2013·郑州一次质量预测)如图，过抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B，交其准线于点C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则此抛物线的方程为( )A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝错误!x答案：C 命题立意：本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解,难度中等．解题思路：如图，分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为E，D，由抛物线定义可知｜AE|＝|AF｜＝3，|BC｜＝2|BF｜＝2｜BD｜，在Rt△BDC中，可知∠BCD＝30°，故在Rt△ACE 中，可得｜AC｜＝2｜AE|＝6，故｜CF|＝3，则GF即为△ACE的中位线，故｜GF|＝p＝｜AE｜2＝错误!，因此抛物线方程为y2＝2px＝3x。
2014年高考数学(文)二轮配套教案：高考题型冲刺练 压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)
压轴大题突破练--直线与圆锥曲线(二）1．已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8。
（1）求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证：当点P（m，n）在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O 所截得的弦长L的取值范围．解(1)直线x＋ky－3＝0经过定点F(3，0),即点F(3，0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1（a〉b>0）,因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a＋3＝8，即a＝5.所以b2＝a2－32＝16.所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
（2)因为点P（m，n)在椭圆C上，所以错误!＋错误!＝1，即n2＝16－错误!(－5≤m≤5）．所以原点到直线l:mx＋ny＝1的距离d＝错误!＝错误!<1.所以直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交，L2＝4(r2－d2）＝4错误!.因为－5≤m≤5，所以错误!≤L≤错误!。
2．已知点A是圆F1：(x＋错误!）2＋y2＝16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称．线段AF2的中垂线m分别与AF1、AF2交于M、N两点．（1)求点M的轨迹方程；(2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围． 解 (1)由题意得，F 1（－错误!，0)，F 2(错误!,0），圆F 1的半径为4， 且｜MF 2|＝|MA |。
从而｜MF 1|＋|MF 2｜＝｜MF 1｜＋|MA |＝｜AF 1｜＝4>|F 1F 2｜.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴2a ＝4，得a ＝2，焦距2c ＝2错误!,则短半轴b ＝1，∴点M 的轨迹方程为错误!＋y 2＝1。
(2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0），P (x 1，y 1),Q (x 2，y 2）,由错误!消去y 得(1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4(m 2－1）＝0，则Δ＝64k 2m 2－16（1＋4k 2)（m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1）>0,且x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!.故y 1y 2＝（kx 1＋m )(kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以错误!·错误!＝错误!＝k 2,即错误!＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±错误!。
(完整)圆锥曲线知识点梳理(文科),推荐文档
S 积为 F1PF2
b2 tan . 2
且 PF1
PF2
2b2 1 cos
x2
2.设 P 点是双曲线
a2
y2 b2
x0
（3）设抛物线的标准方程为 y 2 =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 p ，顶点到准线的距离 p ，焦点到准线的距离
2
2
为 p.
（4）已知过抛物线 y 2 =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长
在圆 C 上，｜MC｜＞r 点 M 在圆 C 内，其中｜MC｜= (x 0 - a)2 (y0 - b) 2 。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。
Aa Bb C
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F
1F2｜＜2a＝
点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}.
点集{M｜ ｜MF｜=点 M 到直线 l 的距离}.
图形
方 标准 方程
程
x 2 y 2 1( a b >0) a2 b2
与半径 r 的大
A2 B2
小关系来判定。
二、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e＞0),则动点的轨 迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0＜e＜1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时， 轨迹为抛物线；当 e＞1 时，轨迹为双曲线。
2014届高考数学总复习 第8章 第9讲 圆锥曲线的综合问题
＝4(9k4＋6k2＋1)即
12k2＝4，∴k＝±
3 3.
解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法 和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意 义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的 条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目 标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， O→B＝2O→A，求直线 AB 的方程．
[解] (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 ay22＋x42＝1(a>2)，其离心率为 23， 故 a2a－4＝ 23，则 a＝4. 故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1. (2)A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx.
则－m＋33mkk2＋1＝－1k，即 2m＝3k2＋1.②
把②代入①，得 m2<2m，解得 0<m<2.
由②，得
k2＝2m3－1>0，解得
1 m>2.
综上，m 的取值范围是12<m<2.
奇思妙想：本例条件不变，若直线y＝kx＋1与椭圆相交于 不同的两点M、N，且|MN|＝2，求直线的斜率k.
解：由例题(1)可知，椭圆方程为x32＋y2＝1.
第9讲 圆锥曲线的综合问题
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1. 能 解 决 直 线 与 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 的 位 置 关 系 等 问 题．
2. 理解数形结合的思想． 3. 了解圆锥曲线的简单应用.
高考教学文科数学圆锥曲线专题总结复习计划
例。
e
1,c
a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段
F1F2，此时也可认为是椭圆在
e1时的特例。
高三文科数学专题复习之圆锥曲线
知识归纳：名称椭圆
图象平面内到两定点F1,F2的距离的和为常
数〔大于F1F2〕的动点的轨迹叫椭圆即
定义
MF1MF22a
当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，
当2a＝2c时，轨迹是一条线段
F1F2
当2a﹤2c时，轨迹不存在
焦点在x轴上时：x2
y2
1
a2
b2
标准
y2
x2
方程
焦点在y轴上时：
1
a2
b2
注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上常 数
a,b,c
a2
c2
b2，ab
0，
的关
a最大，c
b,cb,c
b
系
渐 近线抛物线：图形方程焦点准线
双曲线
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝
对值为常数〔小于F1F2〕的动点的轨
迹叫双曲线即MF1MF22a当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a＝2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在
〔2〕对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。〔3〕顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：
A(a,0),A2
(a,0)
，B(0,
b),B2
(0,b)
。加两焦点
焦点在x轴上时：x
2
y2
1
a
2
b2
2014高三数学(文)周练：圆锥曲线
2014高三数学（文）周练：圆锥曲线一、选择题 1 ．解析）已知圆22670xy x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切,则p 的值为A.1B.2C.12D.4 【答案】B 解:圆的标准方程为22(3)16x y -+=,圆心为(3,0),半径为4.抛物线的准线为3()42p--=.所以解得=2p ,选B.2 ．已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切,则m=【答案】D 抛物线的标准方程为24x y =,所以准线为1y =-.圆的标准方程为2221()24m m x y +++=,所以圆心为(,0)2m -,所以圆心到直线的距离为11=,解的m =,选D. 3 ．如图,F 1,F 2是双曲线C:2222100x y (a ,b )a b-=>>的左、右焦点,过F 2的直线与双曲线C交于A,B 两点.若|AB|:|BF 1|:|AF 1|=3:4:5.则双曲线的离心率为【答案】A 【解析】因为|AB|:|BF 1|:|AF 1|=3:4:5,所以设113,4,5AB x BF x AF x ===,所以三角形1ABF 为直角三角形.因为212BF BF a -=,所以21242BF BF a x a =+=+,所以22AF x a =+.又122AF AF a -=,即522x x a a --=,解得x a =.又222214BF BF c +=,即222(42)(4)4x a x c ++=,所以222(42)(4)4a a a c ++=,即22524a c =,所以2213c a=,即e =选A.4 ．若曲线221132xy x y y x m x x --+=+=-+与有唯一的公共点,则实数m 的取值集合中元素的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C21(1)(1)(1)(1)132(1)(2)2xy x y y x x x y y m x x x x x --+------====-+---,即12y mx m =+-,它表示经过点(2,1),斜率为m 的直线(不含1x =的点).代入曲线21y x =+,得220x mx m -+=,由280m m ∆=-=得,0m =或8m =.当1x =时,设直线1x =与21y x =+的交点为B,此时2y =,即(1,2)B 此时直线经过点(1,2)B 时也有一个交点,此时21112m -==--,所以满足条件的1m =-或0m =或8m =,有3个,选 C.5 ．已知与向量v=(1,0)平行的直线l 与双曲线2214x y -=相交于A 、B 两点,则A B 的最小值为A.2C.4D.【答案】C 【解析】由题意可设直线l 的方程为y b =,代入2214x y -=得224(1)x b =+,所以1x ==,2x =-,所以12A B x x =-=,所以4A B =≥,即当0b =时,A B 有最小值4,选C.6 ．若抛物线)0(22>=p px y的焦点在直线022=--y x 上,则该抛物线的准线方程为A.2x =-B. 4=xC. 8-=xD. 4-=y【答案】A 抛物线的焦点坐标为(,0)2p ,代入直线220x y --=得202p-=,即4p =,所以抛物线的准线方程为4222p x =-=-=-,选A.7 ．已知椭圆:)20(14222<<=+b by x ,左右焦点分别为21F F ，,,过1F 的直线l 交椭圆于A,B 两点,若||||22AF BF +的最大值为5,则b 的值是A.1B.2C.23D.3【答案】D 【解析】由题意知2a =,所以22||||48BF AF AB a ++==因为22||||BF AF +的最大值为5,所以AB 的最小值为3,当且仅当AB x ⊥轴时,取得最小值,此时33(,),(,)22A c B c ---,代入椭圆方程得229144c b +=,又22224c a b b =-=-,所以2249144b b -+=,即2291144b b -+=,所以22944b b=,解得23b =,所以b =,选D. 8 ．已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点,点P 在直线y+1=0上的射影是点M,点A 的坐标(4,2),则P A P M +的最小值是C.3D.2【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1y =-.根据抛物线的定义可知PM PF =,所以P A P M P A P F AF +=+≥,即当A,P,F 三点共线时,所以最小值为=,选A.9 ．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于C.32 【答案】A 【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=,所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =,双曲线的渐近线为b y x a =±,不妨取by x a=,即0bx ay -=,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离2d ==,即22294()b a b =+,所以2254b a =,222245b a c a ==-,即2295a c =,所以29,5e e ==,选A. 10．（【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文（a ））已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 (A)2(B)3(C)2(D)23【答案】B 【解析】抛物线的焦点为,即c =双曲线的渐近线方程为by x a=,由ba=,即b =,所以22222b a c a ==-,所以223c a =,即23,e e ==,即离心率为3,选B.11．椭圆191622=+y x 的焦距为A.10B.5C.7D.72【答案】D 【解析】由题意知2216,9ab ==,所以2227c a b =-=,所以c =即焦距为2c =,选D.12．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线上且AK =A 点的横坐标为(A) (B)3 (C)【答案】B 抛物线的焦点为(,0)2p ,准线为2p x =-.双曲线的右焦点为(3,0),所以32p=,即6p =,即26y x =.过F 做准线的垂线,垂足为M,则AK AM =,即KM AM =,设(,)A x y ,则3y x =+代入26y x =,解得3x =.选B.13．已知双曲线的方程为()222210,2x y a b a b-=>>,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离(其中c 为双曲线的半焦距长),则该双曲线的离心率为A.32 D.52【答案】A 解:不妨取双曲线的右焦点为(,0)c ,双曲线的渐近线为by x a=,即0bx ay -=.则焦点到准线的距离为=,即b =,222259b c c a ==-,所以2249c a =,即294e =,所以离心率32e =,选A.14．已知两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P, 使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“R 型直线”.给出下列直线:①y=x+l:②y=2;③y=43x; ④y= 2x +1,其中为“R 型直线“的是A.①②B.①③C.①④D.③④ 【答案】【解析】由题意可知,点P 的轨迹是在双曲线的右支上,其中26,3,5a a c ===,所以22216b c a =-=.所以双曲线方程为221,(0)916x y x -=>.显然当直线1y x =+与2y =和双曲线有交点,所以为“R 型直线“的是①②,选A.15．设F 1,F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使22()0OP OF F P +⋅= ,O 为坐标原点,且12||||PF PF =,则该双曲线的离心率为1++【答案】A 由22()0OP OF F P +⋅= 得22()()0OP OF OP OF +⋅-= ,即2220OP OF -= ,所以2OP OF c ==,所以△PF 1F 2中,边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半,可得12PF PF ⊥,所以222124PF PF c +=,又12||||PF PF = ,解得12,PF PF c ==,又122PF PF c a -=-=,所以1c a ==+,1+,选A.16．已知三个数2,8m ，构成一个等比数列,则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为【答案】【答案】C 因为三个数2,8m ，构成一个等比数列,所以22816m =⨯=,即4m =±.若4m =,则圆锥曲线方程为22142x y +=,此时为椭圆,其中2224,2,422a b c ===-=,所以2,a c ==离心率为c e a ==.若4m =-,则圆锥曲线方程为22124y x -=,此时为双曲线,其中2222,4,426a b c ===+=,所以a c ==,离心率为c e a ===所以选C. 17．设双曲线2221()9x y a o a -=>的焦点为(5,0),则该双曲线的离心率等于( ) A.32 B.43 C.54 D.53【答案】C 因为双曲线的焦点为(5,0),所以5c =,又22925a c +==,所以216,4a a ==,所以离心率为54cea==,选C.18．以双曲线22163x y-=的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是A.(22x y+=B.(223x y+=C.()223x y-+= D.()2233x y-+=【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(3,0),双曲线的渐近线为y x=,不妨取渐近线y x=,即20y-=,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即r====,所以圆的标准方程为22(3)3x y-+=,选D.19．已知抛物线y2=2px (p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点F的距离为5,则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为A.(x-1)2+(y-4)2=1B.(x-1)2+(y+4)2=1C.(x-l)2+(y-4)2 =16D.(x-1)2+(y+4)2=16【答案】抛物线的焦点为(,0)2pF,准线方程为2px=-,所以1()52pMF=--=,解得8p=,即抛物线为216y x=,又216m=,所以4m=,即(1,4)M,所以半径为1,所以圆的方程为22(1)(4)1x y-+-=,选A.20．抛物线)0(42>=ppxy与双曲线)0,0(12222>>=-babyax有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为A.215+B.12+ C.13+ D.2122+【答案】B解:抛物线的焦点为(,0)F p,即p c=.当x c=时,2244y pc c==,所以2y c=±,不妨取2y c=,即(,2)A c c.又因为点A在双曲线上,所以222241c ca b-=,即22ac b=,所以2222ac b c a==-,即2210e e--=,解得1e=±所以双曲线的离心率为12+,选B. 21．已知抛物线xy42=的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,lPA⊥,垂足为A,4PF=,则直线AF的倾斜角等于A.712πB.23πC.34πD.56π【答案】B 抛物线的焦点坐标为(1,0)F ,准线方程为1x =-.由题意4PF PA ==,则(1)4P x --=,即3P x =,所以243P y =⨯,即P y =±,不妨取(1,P -,则设直线AF 的倾斜角等于θ,则tan θ==所以23πθ=,选B. 22．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆2262x y +=1的右焦点重合,则p 的值为A.-2B.2C.-4D.4【答案】D 【解析】抛物线的焦点坐标为(,0)2p ,椭圆的右焦点为(2,0),所以由22p=得4p =,选D.23．已知双曲线22221x y a b-=的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是A.3y x =±B.y x =C.y =D.2y x =±【答案】C 由题意知22,24a c ==,所以1,2a c ==,所以b ==又双曲线的渐近线方程是by x a=±,即y =,选C. 24．已知椭圆方程22143x y +=,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率【答案】C 解:椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中1,2a c ==,所以双曲线的离心率为221c e a ===,选C. 25．过点P(0,2)的双曲线C 的一个焦点与抛物线216x y =-的焦点相同,则双曲线C 的标准方程是 ( )A.221124x y -= B.221204x y -= C.221412y x -= D.221420y x -= 【答案】C 解:抛物线的焦点为(0,4)-,所以双曲线的焦点在y 轴上,且4c =,又双曲线过点(0,2)P ,所以P 为双曲线的一个顶点,所以2a =,22216412b c a =-=-=,所以双曲线的标准方程为221412y x -=,选C. 二、填空题26．已知双曲线2219x y a -=的右焦点为,0),则该双曲线的渐近线方程为_______·【答案】23y x =±双曲线的右焦点为,即c =,所以2913a c +==,所以4a =.即双曲线为22194x y -=,所以双曲线的渐近线为23y x =±.27．给出以下命题:① 双曲线2212y x -=的渐近线方程为y =;② 命题:p “+R x ∀∈,1sin 2sin x x+≥”是真命题; ③ 已知线性回归方程为ˆ32yx =+,当变量x 增加2个单位,其预报值平均增加4个单位; ④ 已知2622464+=--,5325434+=--,7127414+=--,102210424-+=---,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为824(8)4n nn n -+=---,(4n ≠) 则正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号). 算步骤.【答案】①③⑤ ①正确.②当32x π=时,1sin 2sin x x+=-,所以②错误.③正确.④因为(1)(1)0.2P P ξξ>=<-=,所以1(1)(1)0.20.6(10)0.322P P P ξξξ->-<-=-<<===,所以④错误.⑤正确. 28．已知抛物线22(0)x py p =>与圆221x y +=有公共的切线y x b =+,则p =_____.【答案】1d ,所以b =抛物线的方程为22x y p =,函数的导数为21'2x y x p p ==,即1'1y x p==,所以x p =,代入得2py =,代入切线y x b =+得2p b p =+,即2p b =-,所以2p-=,所以p =,即p =. 29．若双曲线116922=-y x 渐近线上的一个动点P 总在平面区域16)(22≥+-y m x 内,则实数m 的取值范围是___________.【答案】),5[]5,(+∞--∞ ,双曲线的渐近线为43y x =±,即430x y ±=要使渐近线上的一个动点P 总在平面区域16)(22≥+-y m x 内,则有圆心(,0)m 到渐近线的距离4d ≥,即445m d ==≥,解得5m >,即5m ≥或5m ≤-,所以则实数m 的取值范围是),5[]5,(+∞--∞ .30．若双曲线221y x m-=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则m 的值为__________.【答案】3【解析】抛物线28y x =的焦点为(2,0),双曲线的一个焦点如抛物线的焦点重合,所以2c =.又221,a b m ==,所以222c a b =+,即41,3m m =+=.31．已知双曲线223x y m m -=1的一个焦点是(0,2),椭圆221y x n m-=的焦距等于4,则n=________【答案】5因为双曲线的焦点为(0,2),所以焦点在y 轴,所以双曲线的方程为2213y x m m-=--,即2223,,344a m b m c m m m =-=-=--=-=,解得1m =-,所以椭圆方程为21y x n+=,且0n >,椭圆的焦距为24c =,即2c =,所以214c n =-=,解得5n =.32．已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当||4a >时,||||PA PM +的最小值是____________.1-【解析】当4x =时,24416y =⨯=,所以4y =±,即4y =,因为||4a >,所以点A 在抛物线的外侧,延长PM 交直线1x =-,由抛物线的定义可知1PN PM PF =+=,当,三点,,A P F 共线时,||||PA PF +最小,此时为||||PA PF AF +=,又焦点坐标为(1,0)F ,所以AF ==,即1PM PA ++的最小值为,所以PM PA +的最小值为1-.33．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直,则曲线的离心率等于______________.【答案】双曲线的渐近线为b y x a =±.直线210x y +-=的斜率为12y =-.因为b y x a =与直线210x y +-=垂直,所以1()12b a ⋅-=-,即2b a =.所以22225c a b a =+=,即25,e e ==.34．设双曲线221x ym n+=的离心率为2,且一个焦点与抛物线28x y=的焦点相同,则此双曲线的方程为______.【答案】2213xy-=抛物线的焦点坐标为(0,2),所以双曲线的焦点在y轴上且2c=,所以双曲线的方程为221y xn m-=-,即220,0a nb m=>=->,所以a=,又2cea===,解得1n=,所以222413b c a=-=-=,即3,3m m-==-,所以双曲线的方程为2213xy-=.35．过抛物线2x=2py(p>0)的焦点F作倾斜角030的直线,与抛物线交于A、B两点(点A在y 轴左侧),则AFBF的值是___________.【答案】13【解析】抛物线的焦点为(0,)2pF,准线方程为2py=-.设点1122(,),(,)A x yB x y,直线方程为)2px y=-,代入抛物线方程消去x得22122030y py p-+=,解得123,62p py y==.根据抛物线的定义可知1223,22623222p p p p p p pAF y BF y p=+=+==+=+=,所以13AFBF=.36．已知抛物线28y x=-的准线过双曲线2213x ym-=的右焦点,则双曲线的离心率为______. 【答案】2抛物线的焦点坐标为(2,0)-,准线方程为2x=.则2c=.所以234c m=+=,解得1m=,所以双曲线的离心率为2cea==.37．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）若双曲线()222210x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线22y bx=的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______.【答案】332抛物线的焦点坐标为(,0)2b,由题意知()5232bcbc--=-,2c b=,所以222244()c b c a==-,即2243a c=,所以2a=,所以cea===.38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左顶点与抛物线22(0)y px p =＞的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为(2,1--),则双曲线的焦距为____________.【答案】双曲线的左顶点为(,0)a -,抛物线的焦点为(,0)2p ,准线方程为2px =-.由题意知()42p a --=,即42pa +=.又双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为(2,1)--,所以22p x =-=-,解得4p =,代入42pa +=得2a =.且点(2,1)--也在渐近线b y x a =上,即1(2)2b-=⨯-,解得1b =,所以c ===所以双曲线的焦距为2c =.三、解答题39．设21F F ，分别是椭圆:)0(2222>>+b a by a x 的左、右焦点,过1F 倾斜角为45的直线l 与该椭圆相交于P,Q 两点,且a PQ 34||=.(Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设点)10(-，M 满足||||MQ MP =,求该椭圆的方程.【答案】解:(Ⅰ)直线PQ 斜率为1,设直线l 的方程为c x y+=,其中22b a c -=设),(),,(2211y x Q y x P ,则Q P ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax c x y 化简得0)(2)(2222222=-+++b c a cx a x b a ,则222212b a c a x x +-=+, .2222221ba b c a x x +-= 因为,所以ax x x x x x PQ 34]4)[(2||2||2122112⋅-+=-= 得222434ba ab a +=,故222b a =, 所以椭圆的离心率2222=-==a b a a c e(Ⅱ)设PQ 的中点为),(00y x N ,由(1)知.3,32200222210cc x y c ba c a x x x =+=-=+-=+=由||||MQ MP =得1-=MN k即1100-=+x y ,得3=c ,从而3,23==b a .故椭圆的方程为191822=+y x 40．如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知点M 在椭圆上, 且点M 到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于,A B (,A B 不重合),求OB OA ⋅的取值范围.【答案】解:(1)∵2a =4, ∴a =2又M 在椭圆上,∴231142b+= 解得:22=b ,∴所求椭圆方程12422=+y x (2)66=MO k ,∴6-=AB k .设直线AB 的方程:m x y +-=6,（第21题）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==+m x y y x 612422消去y 得:042641322=-+-m mx x 0)261312(8)42(134)64(2222>+-=-⨯-=∆m m m m ,∴262<m .136421mx x =+,1342221-=m x x 设),(),,(2211y x B y x A ,则13283)(672221212121-=++-=+=⋅m m x x m x x y y x x OB OA∴⋅的取值范围2850[,)1313-41．已知椭圆()0,012222>>=+b a by a x 的左焦点F 为圆0222=++x y x 的圆心,且椭圆上的点到点F 的距离最小值为12-.(I)求椭圆方程;(II)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B,点M(0,45-),证明:MB MA ⋅为定值.【答案】42．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .(Ⅰ)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;(Ⅱ)若直线(2)y k x =-与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ,且HG <求k 的取值范围.【答案】解: (Ⅰ)由题意知:c =c e a ==又222a b c -=,解得:a b ==椭圆C 的方程为:22163x y +=由此可得:B,F设00(,)A x y ,则00()AB x y =-,BF =, 6AB BF ⋅=-,00)6y -=-,即00y x =由220000163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩,或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A ,或A①当A的坐标为(0,时,OA OB OF ===,∴ABF ∆外接圆是以O 为圆心为半径的圆,即223x y +=②当A的坐标为时,AF 和BF 的斜率分别为1和1-,所以ABF ∆为直角三角形,其外接圆是以线段AB为直径的圆,圆心坐标为,半径为12AB =,ABF ∴∆外接圆的方程为225((3x y +-= 综上可知:ABF ∆外接圆方程是223x y +=,或225((3x y +-=(Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.设11(,)G x y ,22(,)H x y ,由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得:2222(12)8820k x k x k +-+-= 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得:212k <(*)22121222882,1212k k x x x x k k -+==++HG <,2x -<422222648220(1)[4](12)129k k k k k -∴+-⨯<++ 214k ∴>,结合(*)得:21142k <<所以12k <<-或12k <<43．已知椭圆221:1164y x C +=,椭圆C 2以C 1的短轴为长轴,且与C 1有相同的离心率.(I)求椭圆C 2的方程;(II)设直线l 与椭圆C 2相交于不同的两点A 、B,已知A 点的坐标为()2,0-,点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB ⋅=,求直线l 的方程.【答案】44．已知抛物线24y x =的焦点为F 2,点F 1与F 2关于坐标原点对称,直线m 垂直于x 轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P 、Q 且125F P F Q ⋅=-. (I)求点T 的横坐标0x ;(II)若以F 1,F 2为焦点的椭圆C 过点⎛ ⎝. ①求椭圆C 的标准方程;②过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,设22F A F B λ= ,若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)由题意得)0,1(2F ,)0,1(1-F ,设),(00y x P ,),(00y x Q - 则),1(001y x F +=,),1(002y x F --=. 由521-=⋅Q F P F ,得512020-=--y x 即42020-=-y x ,① 又),(00y x P 在抛物线上,则0204x y =,② 联立①、②易得20=x(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为c ,由题意得1=c ,设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则121122=+b a ③ 122+=b a ④将④代入③,解得12=b 或212-=b (舍去) 所以2122=+=b a故椭圆C 的标准方程为1222=+y x(ⅱ)方法一:容易验证直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为1x ky =+将直线l 的方程代入2212x y +=中得:22(2)210k y ky ++-=设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且,则由根与系数的关系,可得:12222ky y k +=-+ ⑤12212y y k =-+ ⑥ 因为F F 22λ=,所以12yy λ=,且0λ<.将⑤式平方除以⑥式,得:221222214142222y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]51112,1+22022λλλλλ∈--⇒-≤≤-⇒-≤++≤2214022k k ⇒-≤-≤+所以 7202≤≤k因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=- ,所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+, 又12222ky y k +=-+,所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+,故2222221212222216(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++ 2222222216(2)28(2)828816(2)2(2)k k k k k +-++==-++++, 令212t k =+,因为2207k ≤≤ 所以27111622k ≤≤+,即71[,]162t ∈,所以222717||()828168()42TA TB f t t t t +==-+=-- .而71[,]162t ∈,所以169()[4,]32f t ∈.所以||TA TB +∈方法二:【D 】1．)当直线l 的斜率不存在时,即1-=λ时,)22,1(A ,)22,1(-B , 又T )0,2(,所以((1,2TA TB +=-+-【D 】2．)当直线l 的斜率存在时,即[1,2--∈λ时,设直线l 的方程为)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1222y x kkx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ,显然120,0y y ≠≠,则由根与系数的关系,可得:2221214k k x x +=+,22212122k k x x +-=⋅221212122)(kkk x x k y y +-=-+=+ ⑤ 22212122121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=⋅ ⑥ 因为B F A F 22λ=,所以12yy λ=,且0λ<.将⑤式平方除以⑥式得:221421k+-=++λλ 由[)1,2--∈λ得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+2,251λλ即⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈++0,2121λλ故0214212<+-≤-k ,解得272≥k 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=- ,所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+,又222121)1(44kk x x ++-=-+,2222222221221)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-++22222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++=令2211k t +=,因为272≥k 所以8121102≤+<k ,即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈81,0t ,所以22251721042()22TA TB t t t +=++=+- 1694,32⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.⎥⎦⎤⎝⎛+8213,2 综上所述:||TA TB +∈45．设椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,焦距为2,F 为右焦点,1B 为下顶点,2B 为上顶点,121B FB S ∆=.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l 同时满足下列三个条件:①与直线1B F 平行;②与椭圆交于两个不同的点P Q 、;③23POQ S ∆=,求直线l 的方程. 【答案】46．已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点,过F 2的直线l 与C 相交于A 、B 两点,1F AB ∆的周长为(I)求椭圆C 的方程;(II)若椭圆C 上存在点P,使得四边形OAPB 为平行四边形,求此时直线l 的方程.【答案】47．已知椭圆C 的中心在坐标原点焦点在x 轴上,左、右焦点分别为F 1、F 2,且1232,1,2F F P ⎛⎫= ⎪⎝⎭点在椭圆C 上.(I)求椭圆C 的方程;(II)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,且2AF B ∆,求直线l 的方程. 【答案】48．已知椭圆M:2221(0)3x yaa+=>的一个焦点为F(-1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45o时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|s1-S2|的最大值. 【答案】49．已知圆的方程为224xy +=,过点(2,4)M 作圆的两条切线,切点分别为1A 、2A ,直线12A A 恰好经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线1x =-与椭圆相交于A B 、两点,P 是椭圆 上异于A 、B 的任意一点,直线AP 、BP 分别交定直线:4l x =-于两点Q 、R ,求证OQ OR ⋅为定值【答案】解:(Ⅰ) 观察知,2x =是圆的一条切线,切点为1根据圆的切线性质,12MO A A ⊥, 所以12112A A MOk k =-=-, 所以直线12A A 的方程为1(2)2y x =-- 直线12A A 与y 轴相交于(0,1),依题意2,1a b ==,所求椭圆的方程为2214x y +=(Ⅱ)椭圆方程为2214x y +=,设),,(00y x P (1,),A t -(1,),B t --则有2200440x y +-=,22440m n +-=在直线AP 的方程0(1)1t y y t x x --=+--中,令4x =-,整理得000(4)3.(1)Q x t y y x +-=+ ①同理,0003(4).(1)R y x ty x --+=+ ②①⨯②,并将220011,4y x =-234t =代入得R Q y y ⋅2220029(4)(1)y x t x -+=+ =220020139(1)(4)44(1)x x x --+⋅+=20203(1)(1)x x -++=3- 而()()4,4,16Q R Q R OQ OR y y y y =-⋅-=+⋅ =13为定值50．已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b +=>>.(1)求椭圆C 的方程:(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l ,求△AOB 面积的最大值.【答案】51．已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =,短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程o(2)设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆C 上的不同两点,已知向量1122(,),(,)x y x ym n b a b a==,且0.m n⋅=已知O为坐标原点,试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由,【答案】52．如图,已知圆C 与y 轴相切于点T(0,2),与x 轴正半轴相交于两点M,N(点M 必在点N 的右侧),且3MN =,已知椭圆D:22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于2ON ,且过点( I ) 求圆C 和椭圆D 的方程;(Ⅱ) 若过点M 斜率不为零的直线l 与椭圆D 交于A 、B 两点,求证:直线NA 与直线NB 的倾角互补.【答案】解:(Ⅰ)设圆的半径为r ,由题意,圆心为(,2)r ,因为||3MN =,所以2223255()2,,242r r =+==故圆C 的方程是22525()(2)24x y -+-= ①在①中,令0y =解得1x =或4x =,所以(1,0),(4,0).N M 由2212c c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩得1,2c a ==,故23b =所以椭圆D 的方程为22143x y += (Ⅱ)设直线l 的方程为(4).y k x =-由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)3264120k x k x k +-+-=○* 设1122(,),(,),A x y B x y则22121222326412,.3434k k x x x x k k -+==++ 因为12121212(4)(4)1111AN BN y y k x k x k k x x x x --+=+=+----122112(4)(1)(4)(1)(1)(1)x x x x k x x --+--=⋅--121212[25()8](1)(1)kx x x x x x =⋅-++-- 2222122(6412)160[8](1)(1)3434k k k x x k k -=⋅-+--++ =0.所以AN BN k k =-,当11x =或21x =时,12k =±,此时,对方程○*,0∆=,不合题意. 所以直线AN 与直线BN 的倾斜角互补53．椭圆2222:1(0)x y E a b b a+=>>的焦点到直线30x y -=,抛物线2:2(0)G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合;斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E交于A,B,与G 交于C,D.(1)求椭圆E 及抛物线G 的方程; (2)是否存在学常数λ,使1||AB CD λ+为常数,若存在,求λ的值,若不存在,说明理由. 【答案】54．如图,已知半椭圆C 1:222110x y (a ,x )a +=>≥,曲线C 2是以半椭圆C 1的短轴为直径的圆在y 轴右侧的部分,点P(x 0,y 0)是曲线C 2上的任意一点,过点P 且与曲线C 2相切的直线l 与半椭圆C 1交于不同点A,B.(I)求a 的值及直线l 的方程(用x 0,y 0表示);(Ⅱ)△OAB 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(I) 半椭圆1C,∴2221a a -,∴a 设(,)Q x y 为直线l 上任意一点,则OP PQ ⊥ ,即=0OP PQ ⋅0000(,)(,)=0x y x x y y ⋅--,220000+=+x x y y x y 又2200+=1x y , 00+1=0l x x y y ∴-直线的方程为(II)① 当P 点不为(1,0)时,+1=00022+=12x x y y x y ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩, 得22220000(2+)4+22=0x y x x x y --, 即222000(+1)4+2=0x x x x x -设()()1122,,,A x y B x y ,012202012204+=+12=+1x x x x x x x x ∴⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩OAB S ∴ ②当P 点为(1,0)时,此时,OAB S 综上,由①②可得,OAB ∆55．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1和F 2,由4个点M(-a ,b )、N(a ,b )、F 2和F 1组成了一个高为3,面积为33的等腰梯形.(1)求椭圆的方程;(2)过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B,求∆F 2AB 面积的最大值.【答案】解:(1)由条件,得b=3,且333222=+c a , 所以a+c=3又322=-c a ,解得a=2,c=1.所以椭圆的方程13422=+y x (2)显然,直线的斜率不能为0,设直线方程为x=my -1,直线与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立方程 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消去x 得, 096)43(22=--+my y m , 因为直线过椭圆内的点,无论m 为何值,直线和椭圆总相交..439,436221221+-=+=+∴m y y m m y y AB F S 2∆=21212121y y y y F F -=- 22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y,)1(913211422++++=m m 令112≥+=m t ,设t t y 91+=,易知)31,0(∈t 时,函数单调递减, ),31(+∞∈t 函数单调递增 所以 当t=12+m =1即m=0时,910min =y AB F S 2∆取最大值356．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,直线:2l y x =+与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O 相切.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆C 与曲线||(0)y kx k =>的交点为A 、B ,求OAB 面积的最大值.【答案】57．已知椭圆C 方程为1222=+y ax ,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为22. (1)求椭圆方程.(2)已知A 、B 方程为椭圆的左右两个顶点,T 为椭圆在第一象限内的一点,l 为点B 且垂直x 轴的直线,点S 为直线AT 与直线l 的交点,点M 为以SB 为直径的圆与直线TB 的另一个交点, 求证:TB SM=TB SO ⋅⋅【答案】解:(1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为1的直线方程为:y=x-c 则原点到直线的距离222==cd 2,1==∴a c1222=+∴y x 方程为 (2)设直线AT 方程为:）坐标为（设点11,)0)(2(y x T k x k y 〉+=0242421)2(12222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+k k x k x k y y x ）得：（ 22212124kk x x +-= 212212122,2122202k k y k k x A +=+-=∴-），点坐标为（又又）（），，点的坐标为（2222122,212402kk k k B ++-=∴ 由圆的性质得:，SM BT ⊥所以,要证明S M O ,,只要证明，即可SO BT ⊥ 又2点的横坐标为S），点的坐标为（k S 222∴），（k SO 222--=∴02188.222=+-=∴kk k BT SO 即SM BT SO BT ⊥⊥ ，又三点共线S M O ,,∴58．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为22,过点 (m,o)作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于,A,B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程:(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值【答案】59．已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A(2,0),3,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知P(异于点A)为椭圆C 上一个动点,过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E, D 求DE AP的取值范围.【答案】60．如图,已知椭圆C:222210x y (a b )a b +=>>的左、右顶点为A 、B,离心率为,直线x -y +l=0经过椭圆C 的上顶点,点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点,直线AS,BS 与直线l:x=-分别交于M,N两点.3(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求线段MN长度的最小值;(Ⅲ)当线段MN长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点P,使得△PAS的面积为l?若存在,确定点P的个数;若不存在,请说明理由.【答案】61．已知椭圆22122:1(0),(,0)x y C a b F c a b+=-＞＞、2(,0)F c 分别为其左、右焦点,A 、B 分别为其上顶点、右顶点,且满足190F AB ∠=o .(1)求椭圆C 的离心率e;(2)若P 为椭圆C 上的任意一点,是否存在过点F 2、P 的直线l ,使l 与y 轴的交点R 满足22?RP PF =-uu r uuu r 若存在,求出直线l 的斜率k;若不存在,请说明理由.【答案】62．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为F 1、F 2，，点A 是椭圆上任一点，△AF 1F 2的周长为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点Q （-4,0）任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ= ，若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=- ，则当直线l 转动时，点R 在某一定直线上运动，求该定直线的方程.【答案】解（Ⅰ）∵△AF 1F 2的周长为4+∴224a c +=+即2a c +=+. ……………………（1分） 又c e a ==解得2222, 1.a c b a c ===-=………………（3分） ∴椭圆C 的方程为22 1.4x y +=………………………………（4分） （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，设其方程为1122(4),(,),(,).y k x M x y N x y =+由221,4(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)326440.k x k x k +++-=…………………………………（6分） 则2212122232644,1414k k x x x x k k --+==++……………………………………（7分） 由MQ QN λ= ，得1122(4,,)(4,)x y x y λ---=+∴124(4),x x λ--=+∴1244x x λ+=-+.……………………………………（8分） 设点R 的坐标为（00,x y ），由MR RN λ= ， 得01012020(,)(,),x x y y x x y y λ--=---∴0120(),x x x x λ-=--解得1121221212011224424().41()814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++………………（9分） 而22121222264432824()24,141414k k x x x x k k k --++=⨯+⨯=-+++21222328()88,1414k x x k k -++=+=++ ∴2028141,814k x k -+==-+…………………………………………………（10分） 故点R 在定直线1x =-上. ………………………………………………（12分）。
2014高考数学文硬手笔(真题篇)常考问题与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
审 题
流 程
解 析
总 结
题型突破 探究方法 构建模板
【训练 1】(2013·安徽卷)设椭圆 E：xa22＋1－y2a2＝1 的焦点在 x 轴上．
(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； (2)设 F1，F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第一象限内的 点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，并且 F1P⊥F1Q.证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上．
解 (1)依题意，设抛物线 C 的方程为 x2＝4cy，
则|c＋2|＝3 2
2
2，c>0，解得
c＝1.
所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y.
(2)抛物线 C 的方程为 x2＝4y，即 y＝14x2，求导得 y′＝12x，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为12x1，12x2，
联立方程xx02x＝－42y，y－2y0＝0，
消去 x 整理得 y2＋(2y0－x20)y＋y20＝0， ∴y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20， ∴|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y20＋x20－2y0＋1.
题型突破 探究方法 构建模板
(1)解 因为焦距为 1，所以 2a2－1＝14，解得 a2＝58. 故椭圆 E 的方程为85x2＋83y2＝1.
(2)证明 设 P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c＝
由题设知 x0≠c，则直线 F1P 的斜率 kF1 P ＝x0y＋0 c. 直线 F2P 的斜率 kF2 P ＝x0y－0 c.
解决圆锥曲线中最值、 范立答围目案问标：题函(的 数1)基 或√ (本 建2)思 立√想 不(3是 等) 建 关
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1
基础训练
1、从椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点1F,A是椭圆与
x
轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且//ABOP(O是坐标原点),则该椭圆
的离心率是________
2、O为坐标原点,F为抛物线2:42Cyx的焦点,P为C上一点,若||42PF,则
POF
的面积为_______
3、已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F,离心率等于21,则C的方程是：
4、设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,,FFP是C上的点
21212
,30PFFFPFF
,则C的离心率为_______
5、
已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,FC与过原点的直线相交于,AB两
点,连接了,AFBF,若410,8,cosABF5ABBF,则C的离心率为_____
6、已知抛物线2:8Cyx与点2,2M,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,AB两
点,若0MAMB,则k
7、已知点2,0A,抛物线C: 24xy的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,
与其准线相交于点N,则:FMMN______
8、抛物线)0(21:21pxpyC的焦点与双曲线222:13xCy的右焦点的连线交1C于
第一象限的点M,若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线,则p=
9、
已知F为双曲线22:1916xyC的左焦点,,PQ为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2
倍,点5,0A 在线段PQ上,则PQF的周长为____________.
10、椭圆)0(1:2222babyax的左、右焦点分别为21,FF,焦距为c2.若直线与椭圆
的一个交点M满足12212FMFFMF,则该椭圆的离心率等于_________
2
11、
已知抛物线28yx的准线过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点, 且双曲线的
离心率为2, 则该双曲线的方程为______.
综合解答题
1、
如图,在抛物线2:4Eyx的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,
以C为圆心OC为半径作圆,设圆C与准线l的交于不同的两点,MN.
(1)若点C的纵坐标为2,求MN;
(2)若2AFAMAN,求圆C的半径.
2、已知动点,Mxy到直线:4lx的距离是它到点1,0N的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的
斜率.
3
3、设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F, 离心率为33, 过点F且与x轴垂直的直线
被椭圆截得的线段长为433.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点.
若··8ACDBADCB, 求k的值.
4
4、椭圆C: 22221xyab 0ab的离心率 32e, 3ab
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点
N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2mk为定值.