备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,综合题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，综合题专训1、(2015包头.中考真卷) 为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）2、(2017安次.中考模拟) 小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20 米．（1）求出大厦的高度BD；（2）求出小敏家的高度AE．3、(2018山西.中考模拟) 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑，位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一个塔进行了测量．测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E 的距离为48 m，塔的顶端为点A，且AB⊥CB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2 m.（1）方法1，已知标杆DE＝2.2 m，求该塔的高度；（2）方法2，测量得∠ACB＝47.5°，已知tan47.5°≈1.09，求该塔的高度；（3）假如该塔的高度在方法1和方法2测得的结果之间，你认为该塔的高度大约是多少米？4、(2017于洪.中考模拟) 某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C 的仰角∠CBF=60∘，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D 点，FD=5米．（1）求斜坡AB的坡度i．（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4， ≈1.7）5、(2019长春.中考模拟) 如图，某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米。
2023 年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用 解答专题提升训练题(含答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答专题提升训练题（附答案）1．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳篷，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳篷．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳篷，且AB＝1.5m，遮阳篷与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳篷的宽度CD．2．万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）3．海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．（1）求ME的长；（2）转动AP，当∠P AC＝53°时，①求点C的上升高度；②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）4．大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B'处，请人不断测量他的影子B'C'．当他的影子B'C'和身高A'B'相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A 与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上．聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．5．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？6．如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC；（2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD；（3）在BC上取一点P，使tan∠BAP＝．7．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）8．如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）9．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，两条等长的钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量∠BAC＝100°，车位锁的底盒BC＝60cm．（1）求AB的长；（结果精确到0.1）（2）若一辆汽车的底盘高度为26cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan，40°≈0.84）10．图1是某校花的警示牌，可近似地看成由一个正方形和矩形拼接而成．现将其简化抽象成图2，量得正方形ABCD的边长为40cm，矩形EFGH的边FG＝AB，EF＝16cm．（1）连接BF，CG，直接写出BF与CG的关系：；（2）若点D到点G所在的水平线的垂线段为DM，点E为BC的中点，∠HGM＝50°，求点A到直线GM的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）11．图1是货物传送机械上的一种翻转装置，它可以使物体在传送带上实现翻转．图2是其截面简化示意图，已知连杆OA＝50cm，载物直角面A﹣B﹣C中∠ABC＝90°，其中点O固定，点B在水平杆OM上左右滑动，AB＝BC＝30cm．当载物面BC与水平杆OM重合时为初始位置，载物面BC与水平杆OM垂直时完成翻转．（1）直接写出点B与点O的之间距离d的取值范围是；（2）当点B由初始位置向右滑动10cm时，求载物面BC与水平杆OM的夹角∠CBM的（结果精确到0.1°，参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.18．）度数．12．如图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA＝OB＝OC＝20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM＝60m．（1）在图2中，若∠BOM＝20°，则∠COM的度数为，点B到地面的距离可表示为；（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数）13．如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知DE，DC在初始位置，DE＝DC＝60cm，点B、C、G在同一直线上，AB⊥BG，∠A＝46°，∠DCG＝95°．（1）当DE，DC在初始位置时，求点D到AC的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点E，D分别从初始位置运动到点E'，D'，假设E'、D'、C 三点共线，求此时点E上升的竖直高度．（结果保留整数）（参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97）14．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝28cm，面板DE＝28cm，若DE始终与AB平行．（1）直接写出∠ABC，∠BCD，∠CDE之间的数量关系；（2）若∠ABC＝∠BCD＝∠CDE，电脑显示屏宽EF＝26cm，且∠DEF＝105°，求笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）15．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）16．道闸杆，在生活中很常见．又称为八角杆，经过铝合金挤压成型．后经喷涂，贴红色反光膜而成．主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站．停车场、小区等．用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆．也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆CD平行于地面且距离地面的高度BC为1米．（1）一辆长是4.20米．宽是180米高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路AB 的中心线进入停车场．则道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杆落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．17．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．18．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．20．小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现：我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，楼房的影子会最长，如果这一天正午有太阳照射，那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层，层高3米，南、北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你，你将建议父母选择第几（该市区所在纬度约是32.5°N，冬至日的正午太阳高度角为90°层以上？说明你的理由．﹣32.5°﹣23.5°＝34°，sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y＝﹣60（n﹣15）2+16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元，请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．参考答案1．解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．2．解：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．3．解：（1）由图1可知，P A＝AB＝10（cm），图3中，PG＝PC＝40（cm），∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），∴ME的长为20cm；（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．∵∠A＝53°，AP＝10cm，∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．∴．∴AC＝45.2cm，∴C上升了4.8cm．②根据题意如图：当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：DF＝（cm），∵C上升了4.8cm，∴FS＝4.8cm，∴EF＝（cm），∵EH∥DI，∴△FES∽△FDT，∴，∴，∴DT≈7.7cm，由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），∴点D与点I之间的距离为19.4cm．4．解：∵金字塔正方形底座的边长为230米，∴0B＝＝115（米），∴OA＝0B+AB＝115+22.2＝137.2（米），根据题意可得Rt△AOP是等腰直角三角形，∴OA＝PO＝137.2米．答：该金字塔的高度为137.2米．5．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．6．解：（1）如图，线段AC即为所求．（2）如图，点E即为所求．（3）如图，点P即为所求．7．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，在Rt△BCT中，BT＝BC•sin50°≈61.6（cm），∵EG＝170×0.6＝102cm，∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），∵四边形DHTG是矩形，∴DH＝GT＝10.4（cm），在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）答：AD的长约为12.0cm．8．解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．过点A作AH⊥OF，垂足为点H．在Rt△OAD中，∵sin∠AOD＝，∴AD＝AO⋅sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．同理可得OD＝16（cm）．由OB＝7，得BD＝9（cm）．在Rt△ABD中，．答：窗钩AB的长度约等于15cm．9．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，BC＝60cm，∴BH＝HC＝BC＝30（cm），在Rt△ABH中，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，∴AB＝≈≈38.9（cm）；（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin40°≈38.9×0.64＝24.896（cm），∴24.896＜26，∴当车位锁上锁时，这辆汽车能进入该车位．10．解：（1）如图1中，结论：BF＝CG，BF∥CG．理由：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∵AB＝FG，∴FG＝BC，FG∥BC，∴四边形BCGF是平行四边形，∴BF＝CG，BF∥CG．故答案为：BF＝CG，BF∥CG．（2）如图2中，过点A作AW⊥GM于W，过点D作DQ⊥AW于Q，过点C作CT⊥DM于T，过点H作HJ⊥GM于J，交CT于K．∵BE＝EC＝20cm，BC＝EH＝40cm，∴CH＝20（cm），在Rt△HGJ中，HJ＝GH•sin50°≈12.26（cm），在Rt△CKH中，KH＝CH•cos50°≈12.86（cm），在Rt△CDT中，DT＝CD•sin50°≈30.64（cm），在Rt△AQD中，AQ＝AD•cos50°≈25.72（cm），∵四边形DQWM，四边形MTKJ都是矩形，∴QW＝DM，TM＝JK＝HJ+KH，∴QW＝DM＝DT+KH+HJ＝12.26+12.86+30.64＝55.76（cm），∴AW＝AQ+QW＝55.76+25.72≈81.5（cm）．11．解：（1）初始位置时，∠ABO＝90°，故OB＝，完成翻转时，OB＝OA+AB＝80，∴40≤d≤80，故答案为40≤d≤80；（2）由（1）知，初始位置时OB＝40cm，所以向右滑动10cm时，OB＝50cm，如图，作AH⊥OM，垂足为H，设HB＝xcm，∵OA2﹣OH2＝AB2﹣HB2＝AH2，∴502﹣（50﹣x）2＝302﹣x2，解得：x＝9，∴，∴∠ABH≈72.5°，∴∠CBM＝90°﹣72.5°＝17.5°．12．解：（1）∵∠BOC＝120°，∠BOM＝20°，∴∠COM＝∠BOC﹣∠COM＝120°﹣20°＝100°，过点B作OM的垂线，交OM于点E，在Rt△OBE中，OB＝20m，∴OE＝OB•cos∠BOE＝20cos20°，∴EM＝OM﹣OE＝60﹣20cos20°，故答案为：100°，60﹣20cos20°；（2）如图，当风车的三个叶片顺时针旋转90°后，∠AOM＝130°，∠BOM＝110°，∠COM＝10°，∴此时点A最高，过点A作AD⊥MO，交MO的延长线于点D，则∠AOD＝180°﹣∠AOM＝50°，在Rt△AOD中，，即OD＝20×cos50°≈12.86（m），∴DM＝12.86+60≈72.9（m），∴风车最高点到地面的距离约为72.9m．13．解：（1）如图2中，过点D作DH⊥AC于H．∵∠B＝90°，∠A＝46°，∴∠ACB＝44°，∴∠DCH＝180°﹣∠ACB﹣∠DCG＝41°，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin41°＝60×0.66≈40（cm），∴点D到AC的距离为40cm．（2）如图3中，过点D作DH⊥AC于H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝CD•cos41°＝60×0.75≈45（cm），∵CE′＝120cm，EC＝90cm，∴时点E上升的竖直高度＝（120﹣90）•sin44°≈21（cm）．14．解：（1）如图2﹣1中，结论：∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°．理由：过点C作CT∥DE，∵AB∥DE，∴CT∥AB∥DE，∴∠CDE+∠DCT＝180°，∠ABC+∠BCT＝180°，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE＝∠ABC+∠BCT+∠DCT+∠CDE＝360°．（2）如图2﹣2中，连接BD，过点C作CJ⊥BD于J，过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FT⊥HE交HE的延长线于T．∵CD＝CB，∠BCD＝120°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∵∠CDE＝∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∵EH⊥AB，∴∠BHE＝90°，∴四边形BDEH是矩形，∴EH＝BD＝2DJ＝2•CD•cos30°＝28≈48.44（cm），在Rt△EFT中，∠FET＝105°﹣90°＝15°，∴TE＝EF•cos15°＝26×0.97≈25.43（cm），∴TH＝TE+EH＝48.44+25.43≈73.9（cm）．∴笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离为73.9cm．15．解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG＝x米，由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝x（米），∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米），在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，即EG＝，∴x﹣7.7＝，解得：x＝，∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）．16．解：（1）如图，点E为AB的中点，则BE＝AB＝1.5米，在BE上取点F，使EF＝0.9米，则BF＝BE﹣EF＝1.5﹣0.9＝0.6（米），过点F作FP⊥AB，交DC为点H，在FP上截取FG＝1.80米，则四边形HFBC是矩形，故有HF＝BC＝1米，∴HG＝FG﹣HF＝1.8﹣1＝0.8（米），在Rt△GHC中，HC＝0.6米，HG＝0.8米，∴tan∠CGH＝，∴∠CGH＝37°，即∠GCH＝90°﹣37°＝53°，∴道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转53°，小货车才能安全通过．（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为2x辆，根据题意，得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的根，当x＝6时，2x＝12，答：进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为12辆．17．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．18．解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．19．解：（1）作EH⊥AC于H，则四边形EHCD是矩形，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan71.6°＝3.01xm，在Rt△AHE中，∵tan∠EAC＝，∴CD＝EH＝AH•tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m；（2）设AC＝xm，∵四边形EHCD是矩形，∴DE＝CH＝6m，∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m，∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315，解得：x＝39，∴舰岛AC的高度为：39m．20．解：（1）过点B作BE⊥MF于点E，由题意得，∠ABE＝34°，BE＝60米，∴tan34°＝，即ME＝60×0.7＝42（米），∴BD＝EF＝17×3﹣42＝9（米），9÷3＝3（层），答：至少选择3层以上．（2）由题意得，﹣60（n﹣15）2+16375≤13000，解得n≤7.5，∵当n＝15时，y最大，∵n＞3，∴n可取4，5，6，7，∴可以购买4层到7层的楼房．。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形-综合题专训及答案含30度角的直角三角形综合题专训1、(2012抚顺.中考真卷) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D 是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；（3）若AC=3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．2、(2019扬州.中考真卷) 如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l 折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为；（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。
3、(2018房山.中考模拟) 如图，在中，，点分别是上的中点，连接并延长至点，使，连接.（1）证明：；（2）若，AC=2，连接BF，求BF的长4、(2017山西.中考模拟) 阅读与思考婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN=DN．证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．∴∠BAP=∠BPM．∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．∴…（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．（2）已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在⊙O上，∠BCD=60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为．5、(2011金华.中考真卷) 如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是；（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是．6、(2020郑州.中考模拟) 在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）（1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．（2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；（3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为．7、(2017濮阳.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D、E为BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，则DE=；②当∠B=°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．8、(2018钦州.中考模拟) 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=4 ，求DF的长．9、(2018柳州.中考模拟) 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．（1）求∠2、∠3的度数；（2）求长方形纸片ABCD的面积S．10、(2016重庆.中考真卷) 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2 ，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD= CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．11、(2018江油.中考模拟) 如图1，在△ABC中，AB=AC，以△ABC的边AB为直径的⊙O角边BC于点E，过点E作DE⊥AC交AC于D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O 的半径和EF的长．12、(2018南充.中考真卷) (2018·南充) 矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．13、(2018铜仁.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．14、(2018贵阳.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F 是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．15、(2020徐州.中考模拟) 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600， CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD= ，求⊙O的直径．含30度角的直角三角形综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-综合题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题综合题专训1、(2018山西.中考真卷) 祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．2、(2019石家庄.中考模拟) 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在0B的位置时俯角∠FOB=60°，若OCLEF，点A比点B高7cm．（要求：本题中的计算结果均保留整数。
参考值：≈1．7；π≈3．1）求：（1)单摆的长度；【答案】解：解：设单摆的长度为x．过A作AM⊥OC于点M，过B作BN⊥OC于点N∵OC⊥EF．∴∠COE=∠COF=90°∴∠AOM=∠COE-∠AOE=90°-30°=60°∠BON=∠COF-∠BOF=90°-60°=30°在Rt△AOM中，OM=OA·cos60°= x在Rt△BON中，ON=OB·cos30°= x由题知：MN=7∴ON-OM= x- x=7解得：x=7 +7≈7×1．7+7≈19答：单摆的长度约19cm．（1）从点A摆动到点B经过的路径长．3、(2019丹东.中考模拟) 如图，为了测量小山顶的铁塔AB高度，王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°，向前走了18m后到达D点，测得A点的仰角为60°，B点的仰角为30°（1）求证：AB＝BD；（2）求证铁塔AB的高度.（结果精确到0.1米，其中≈1.41 ）4、(2019海宁.中考模拟) 如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度.小聪在A 处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米，已知点A，M，B依次在同一直线上.（1）求钟楼MN的高度，（结果精确到0.1米）（2）因为要举办艺术节，学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）.小聪测得点C处的仰角∠NCM等于75°，小明测得点C，M之间的距离约为5米，若小聪的仰角数据正确，问小明测得的数据“5米”是否正确？为什么？（参考数据： 1.41， 1.73）5、(2014绍兴.中考真卷) 九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．6、(2018广州.中考模拟) 如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．7、(2016盐田.中考模拟) 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，小凡在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得塔顶F的仰角分别为α和β，AD=18m，CD=78m．（1）用α和β的三角函数表示CE；（2）当α=30°、β=60°时，求EF（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）8、(2019贵阳.中考模拟) 如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方6米处的点C出发，沿坡度为i＝1：的斜坡CD前进2 米到达点D，在点D 处放置测角仪DE，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得测角仪DE的高为1.5米.A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直.（1）求点D的铅垂高度(结果保留根号)；（2）求旗杆AB的高度(结果保留根号).9、(2019桂林.中考模拟) 如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比），另一段斜坡AD的长400米，在斜坡BD的坡顶D处测得山顶A的仰角为45°（1）求斜坡BD的坡顶D到地面BC的高度是多少米？（2）求BC.（结果保留根号）10、(2017桂林.中考模拟) 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，已知斜坡CD长6 米，坡角∠DCE等于45°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的顶点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．11、(2018海南.中考真卷) 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG 的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）计算古树 BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈14，≈1.7）12、(2018遵义.中考模拟) 为纪念遵义会议80周年献礼，遵义市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．（1）若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？13、(2020铁岭.中考真卷) 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面.（点在同一平面内）（参考数据）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度.（结果精确到1米）14、(2021八步.中考模拟) 如图，某中学数学课外学习小组想测量教学楼的高度，组员小方在处仰望教学楼顶端处，测得，小方接着向教学楼方向前进到处，测得，已知，，.（，）（1）求的值；（2）求教学楼的高度.（结果精确到）15、随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．（1）求仰角的正弦值；（2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
解直角三角形题型归纳-2023年中考数学拉分专题(教师版含解析)
专题06 解直角三角形题型归纳1．如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁的位置，OM表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中OA段可绕点O旋转，AB 段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并∥，OA段与竖直方向夹角为且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时AB MQAB=．OA=，150cm 30︒．已知立柱宽度为30cm，点O在立柱的正中间，120cmOM=，120cm(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离，问一辆最宽处为2.1m，最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？(取1.73)【详解】(1)(2)2．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌(CD)，放置在教学楼A栋的顶部(如图所示)该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．(结果精确到0.1【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC 与手臂MC 始终在同一直线上，枪身BA 与额头保持垂直量得胳膊28cm MN =，枪柄与枪身之间的夹角为120°(即120MBA ∠=︒)，肘关节M 与枪身端点A 之间的水平宽度为25.3cm(即MP 的长度)，枪身8.5cm BA =．(1)求M B 的长；(2)测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5cm ．在图2中，若测得75BMN ∠=︒，小红与测温员之间距离为50cm 问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果精确到0.1cm 1.4≈ 1.7≈) 【答案】(1)33.6cm ；(2)在规定范围内，理由见详解．【分析】(1)过点B 作BH MP ⊥于点H ，在Rt BMH 中，利用含30°直角三角形三边关系，即可解答；(2)延长PM 交FG 于点I ，45NMI ∠=︒，在Rt NMI 中，利用三角函数的定义即可求出MI 的长，比较即可判断．(1)解：过点B 作BH MP ⊥于点H ，由题可知四边形ABHP 为矩形，如下图：Rt BMH Rt NMI 4．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B ，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D ，并在点D 处安装了测量器CD ，测得=135ACD ∠︒；再在BD 的延长线上确定一点G ，使5DG =米，并在G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG 方向移动，当移动到点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时，测得2FG =米，小明眼睛与地面的距离=1.6EF 米，测量器的高度=0.5CD 米.已知点F 、G 、D 、B 在同一水平直线上，且EF 、CD 、AB 均垂直于FB ，则这棵古树的高度AB 为多少米？(小平面镜的大小忽略不计)ACH ，得出ABG ∽△，因此得出米，ACH 中，5．广场上有一个充满氢气的气球P ，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E 、F 处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E 点与F 点的高度差AB 为1米，水平距离CD 为5米，FD 的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)．Rt PEA AE tan30°6．综合与实践小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，如图所示，已知太原地区在夏至日的正午太阳高度角(即正午太阳光线与地平面的夹角)为75︒ ，冬至日的正午太阳高度角为29.5︒ ，小明家的玻璃窗户()AB 高为190cm ，在A 点上方20cm 的C 处安装与墙垂直的宽为CD 的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩(CD 可变化)；为了保证在夏至日正午太阳光不射到屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求可伸缩的遮阳蓬CD 宽度的范围．(结果精确到0.1，参考数据：sin750.97︒=，cos750.26︒=，tan75 3.73︒=，sin29.50.49︒=，cos29.50.87︒=，tan29.50.57︒=)t R BCD ，求出t R BCD 中，cm 210 ，DBE ∠cm7．如图，在航线l 的两侧分别有两个灯塔A 和B ，灯塔A 到航线l 的距离为3AC =千米，灯塔B 到航线l 的距离为4BD =千米，灯塔B 位于灯塔A 南偏东60︒方向．现有一艘轮船从位于灯塔B 北偏西53︒方向的N (在航线l 上)处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A 正南方向的点C (在航线l 上)处．( 1.73≈，sin530.80≈︒，cos530.60≈︒，tan53 1.33≈︒ )(1)求两个灯塔A 和B 之间的距离；(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1千米/小时)． Rt ACM 中，3cos60=AM ︒，6AM = ，Rt BDM 中，cos60=BD BM ︒，8BM =，AM BM =＋答：两个灯塔Rt ACM 中，tan60=3MC ︒，33=MC ，Rt BDM 中，tan60=4DM ︒，MC DM =+Rt BDN △中，由题意，得DBN ∠8．风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在C 点测得C 点与塔底D 点的距离为25m ，李华站在斜坡BC 的坡顶B 处，已知斜坡BC 的坡度i =，坡面BC 长30m ，李华在坡顶B 处测得轮毂A 点的仰角38α=︒，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B 到CD 所在直线的距离；(2)风力发电机塔架AD 的高度．(结果精确到0.1m ，参考数据sin380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan380.78︒≈ 1.41 1.73)≈BC︒=153由题意得，四边形BEDF由勾股定理得：EC=，ABF BF=︒≈⨯Rt ABF中，tan38400.7840=+AD AF FD答：塔架高度【我思故我在】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．9．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离为2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD长为2m，坡角为30，小明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面MN上的部分DE的长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．请你帮小明和小亮求出旗杆AB 的高度( 1.732)CDG ∠=12CG ∴=HE HG ∴=同一时刻，物高和影长成正比，1.61.2AH HE ∴=握同一时刻，物高和影长成正比是解决本题的关键．10．某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度MN ，他们设计了如下方案(如图)：①在点A 处安置测倾仪，测得小山顶M 的仰角MCE ∠的度数；②在点A 与小山之间的B 处安置测倾仪，测得小山顶M 的仰角MDE ∠的度数(点A ，B 与N 在同一水平直线上)；③量出测点A ，B 之间的距离．已知测倾仪的高度 1.5AC BD ==米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表(不完整)：(1)写出MCE ∠的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．(参考数据：sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40︒≈︒≈︒≈) (3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？(写出一条即可)【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子长度无法测量【分析】(1)根据平均数公式，用两次测量得的MCE ∠的度数和除以2即可求解；(2)在Rt △MDE 中，利用仰角⊥MDE 的45°，即可求得ME =DE ，在Rt △MCE 中，利用仰角⊥MCE 的正切值，可得ME =CE ⋅tan⊥MCE ，进而由CE =CD +DE =CD +ME ，易知四边形CANE 、四边形ABDC 是矩形，可得EN =AC =1.5米，CD =AB =150米，代入即可求出ME 的值，然后由MN =ME +NE 求解；11．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF ＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC⊥BD ．(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角⊥OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由． 证明：证法一：,AB CDOA OC =1(1802OAC ∴∠==︒﹣同理可证：ODB =∠=OAC ∴∠=.AC BD ∴证法二：AB =85cm OD ==OA OC OB OD ==又,AOC BODAOC BOD ∴∽，OAC OBD ∴∠=∠，.AC BD ∴(2)解：在OEF 中，EF BD ，OEM ，Rt Rt OEM ABH ∽，,OE OM OM AB AH AB AH OE ⋅===所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度解法二：小红的连衣裙会拖落到地面)可证：EF BD ，ABD ∴∠BD ⊥于点, 136ABD =所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度12．开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC 的高度，如图，在A 处用测角仪测得拂云阁顶端D 的仰角为34°，沿AC 方向前进15m 到达B 处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m ，测量点A ，B 与拂云阁DC 的底部C 在同一水平线上，求拂云阁DC 的高度(结果精确到1m ．参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒≈，tan340.67︒≈)．EG FG -即0.67DG -解得DG ≈DC DG ∴=∴拂云阁13．如图，为测量某建筑物AB 的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的C 点出发，沿斜坡CD 行走60米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至E 点处，在E 点测得该建筑物顶端A 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，点AB C D E 、、、、在同一平面内，斜坡CD 的坡度34i =：．请根据小刚的测量数据，计算出建筑物AB 的高度．( 1.73≈)Rt DFC 中，利用勾股定理求出Rt GEB 中，利用锐角三角函数的定义求出Rt AGE 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【详解】解：过点，垂足为F 交AB 于点GRt DFC 中，60DC =，⊥560a =解得12a =，⊥336DF a ==，36GB DF =∴=Rt GEB 中，Rt AGE 中，tan EG =⋅AG GB =+建筑物AB 的高度约为【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用14．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB BC ⊥于点B ，底座=1BC 米，底座BC 与支架AC 所成的角60ACB ∠=︒，点H 在支架AF 上，篮板底部支架EH BC .EF EH ⊥于点E ，已知AH HF 3=2HE 米.(1)求篮板底部支架HE 与支架AF 所成的FHE ∠的度数．(2)求篮板底部点E 到地面的距离，(精确到0.1米)( 1.41≈ 1.73≈) 【答案】(1)篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角⊥FHE 的度数为45°；(2)篮板底部点E 到地面的距离约为2.2米【分析】(1)在Rt ⊥HEF 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；(2)延长FE 交直线BC 与点M ，过点A 作AG ⊥FM ，垂足为G ，根据题意易证四边形ABMG 是矩形，从而得AB =GM ，然后在Rt ⊥AGF 中求出FG ，从而求出EG ，最后在Rt ⊥ABC 中，求出AB ，进行计算即可解答．(1)⊥EF ⊥EH ，⊥⊥HEF =90°，【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题备考2021中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，专项训练单选题：1、(2017邢台.中考模拟) 这次数学实践课上，同学进行大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为37°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走5 米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度i=1：2（通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，即tanα值（α为斜坡与水平面夹角），那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）A . 7米B . 7.2米C . 9.7米D . 15.5米2、(2018城.中考模拟) 如图,从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100m,点A ，D ，B 在同一直线上,CD ⊥AB,则A 、B 两点的距离是( ）A . 200mB . 200m C . m D .3、(2017苏州.中考模拟) 如图，从坡上建筑物AB 观测坡底建筑物CD ．从A 点处测得C 点的俯角为45 ， 从B 点处测得D 点的俯角为30 ． 已知建筑物AB 的高度为10m ，AB 与CD 的水平距离是OD=15m ，则CD 的高度为（ ）A . （ 5﹣5）m B . （10 ﹣10）m C . （10﹣5 ）m D . （10﹣5 ）m4、(2016长沙.中考真卷) 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（ ）o oA . 160 mB . 120 mC . 300mD . 160 m5、(2019海珠.中考模拟) 某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米，＝1.732）.A . 585米B . 1014米C . 805米D . 820米6、(2016宝安.中考模拟) 如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部的倾角为30°，测量这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为多少（单位：米）（）A . 15B . 30C . 45D . 607、(2020莘.中考模拟) 如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（）A . 4 米B . （2 +2）米C . （4 -4）米D . （4 -4）米8、(2020开平.中考模拟) 课外小组的同学们，在校内准备测量墙外一手机发射塔的高度，小组的同学们首先在校内宽敞处选定一点，在点测得到塔顶的仰角为，然后他们沿与和塔底连线垂直的方向走了米到达点，在点观测塔顶的仰角为，小组根据这些数据计算出发射塔的高度最接近的数值是（）A .B .C .D .9、(2020重庆.中考真卷) 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A . 23米B . 24米C . 24.5米D . 25米10、(2020昆山.中考模拟) 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为6 0°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m.A . 10B . 15C . 15D . 15 ﹣5填空题：11、(2016上海.中考真卷) 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．（精确到1米，参考数据： ≈1.73）12、(2018宁波.中考模拟) 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高________ m（结果保留根号）．13、(2017长春.中考模拟) 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为________米．14、(2017长宁.中考模拟) 如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪A D的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为________米．15、(2019孝感.中考真卷) 如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为60°，点的仰角为45°，点到建筑物的距离为米，则 ________米.16、(2018南宁.中考真卷) 如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）17、(2012崇左.中考真卷) 在2012年6月3号国际田联钻石联赛美国尤金站比赛中，百米跨栏飞人刘翔以12.87s的成绩打破世界记录并轻松夺冠．A、B两镜头同时拍下了刘翔冲刺时的画面（如图），从镜头B观测到刘翔的仰角为60°，从镜头A观测到刘翔的仰角为30°，若冲刺时的身高大约为1.88m，请计算A、B两镜头之间的距离为________．（结果保留两位小数， ≈1.414， ≈1.732）18、(2020南通.中考真卷) 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）解答题：19、(2020鞍山.中考模拟) 如图，已知一居民楼AD前方30m处有一建筑物BC，小敏在居民楼的顶部D处和底部A处分别测得建筑物顶部B的仰角为和，求居民楼的高度AD和建筑物的高度BC(结果取整数).(参考数据: ， )20、(2020武侯.中考模拟) 如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为37°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为53°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：sin37°≈0.60，c os37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，精确到0.1m）21、(2020公主岭.中考模拟) 如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）22、(2020淮安.中考模拟) 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC.23、(2020无为.中考模拟) 小明同学在数学实践活动课中测景路灯的高度，如图，已知她的目高AB为1.5米，街为站在A处看路灯顶端P的仰角为30°．再往前走2米站在C处，看路灯顶端P的仰角为45°，求路灯顶端P到地面的距离（结果保留根号）．24、(2018山西.中考模拟) 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑，位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一个塔进行了测量．测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E 的距离为48 m，塔的顶端为点A，且AB⊥CB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2 m.（1）方法1，已知标杆DE＝2.2 m，求该塔的高度；（2）方法2，测量得∠ACB＝47.5°，已知tan47.5°≈1.09，求该塔的高度；（3）假如该塔的高度在方法1和方法2测得的结果之间，你认为该塔的高度大约是多少米？25、(2020安庆.中考模拟) 河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称。
中考数学点对点-解直角三角形问题(解析版)
∴AD＝AB×sin30°＝20 10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20 10 10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3，
如图，连接BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是 ，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC ，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB ，
∴sin∠ABC ，
∴sin∠ADC ．
【例题3】（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA
五、特殊值的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
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备考2023年中考数学二轮复习-解直角
三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题
专训及答案
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训
1、
(2018南京.中考模拟) 如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从
另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯
角为37°．求两建筑物间的距离BC．
(参考数据:sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75)
2、
(2017南京.中考模拟) 图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建
筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测
得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，
cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
3、
(2018安徽.中考模拟) 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高
度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，
然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学
楼的高度AB．
4、
(2019宁津.中考模拟) 数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB
的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端
E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为30°，已知BE=2m，
此学生身高CD=1.7m，求大树的高度AB的值.（结果保留根号）
5、
(2018莘.中考模拟) 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在
A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使
用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求
广告牌CD的高（精确到1m）．
6、
(2020十堰.中考模拟) 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测
高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测
得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然
后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建
筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)
7、
(2018岳阳.中考模拟) 如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向
B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，
轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小
岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45）
8、
(2018西山.中考模拟) 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动
中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，
点A比点B高7cm，求单摆的长度（结果精确到0.1，参考数据： ≈ 1.73）．
9、
(2020莲湖.中考模拟) 一夜之间，新冠病毒肺炎席卷全球。疫情期间，我国为
保障大家的健康，各地采取了多种方式预防。其中，某地运用无人机规劝居民回
家。如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑
底部C处的俯角为17°，若无人机的飞行高度AD为62m，求该建筑的高度BC。
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
10、
(2020江北.中考模拟) “天空之城”摩天轮，位于宁波市杭州湾新区欢乐世界.
摩天轮高约126米（最高点到地面的距离）.如图，点O是摩天轮的圆心，AB是
其垂直于地面的直径，小明在地面C处用测角仪测得摩天轮最高点A的仰角为
45°，测得圆心O的仰角为30°，求摩天轮的半径.（结果保留根号）
11、
(2020鞍山.中考模拟) 如图，已知一居民楼AD前方30m处有一建筑物BC，小敏
在居民楼的顶部D处和底部A处分别测得建筑物顶部B的仰角为 和 ，
求居民楼的高度AD和建筑物的高度BC(结果取整数).
(参考数据: ， )
12、
(2021新蔡.中考模拟) 某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福
塔的总高度.如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶
部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D
的仰角为53.4°.求中原福塔CD的总高度.（结果精确到1m.参考数据：
sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596，tan53.4°≈1.346）
13、
如图，在高度为10米的建筑平台CD的顶部C处，测得大楼AB的顶部A的仰角
α＝45°，测得大楼AB的底部B的俯角β＝30°，求大楼AB的高度（精确到
0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
14、
(2021新疆维吾尔自治区.中考真卷) 如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC
相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为 ，观测广告牌底部B的仰角为
，求广告牌AB的高度（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ， ，
， ）.
15、
“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机
对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 处测
得该建筑物顶端 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞
行20米到达 处，测得顶端 的俯角为45°，
已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1
米，参考数据： ， ， ）
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题答案
1.答案：
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