旋转类几何变换

旋转类几何变换

自检自查必考点

⎧旋转中的基本图形

一几何变换——旋转⎨

⎩利用旋转思想构造辅助线

（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)

以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化

二利用旋转思想构造辅助线

（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形

（2）根据对应边找出旋转角度

（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形

三旋转变换前后具有以下性质：

（1）对应线段相等，对应角相等

（2）对应点位置的排列次序相同

（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．

中考满分必做题

考点一旋转与最短路程

☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。

【例1】如图，四边形ABCD 是正方形，∆ABE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．

⑴求证：∆AMB≌∆ENB

⑵①当M 点在何处时，AM +CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM +BM +CM 的值最小，并说明理由；

⑶当AM +BM +CM 的最小值为+1时，求正方形的边长．

3

【例2】阅读下列材料

对于任意的∆ABC ，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA +PB +PC 有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点

②若三角形内角均小于120︒，则满足条件∠APB =∠BPC =∠APC = 120︒时，点P 既为费马点

解决问题：

⑴如图，∆ABC 中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 、∆ACE ，连

接CD 、BE 交于点P ，

证明：点P 为∆ABC 的费马点。(即证明∠APB =∠BPC =∠APC = 120︒)且PA +PB +PC =CD

⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA +QC +QB >PA +PB +PC

⑶若∠ABC = 30︒，AB = 3 ，BC = 4 ，直接写出PA +PB +PC 的最小值

考点二利用旋转求点的坐标

☞考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。

【例3】正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90︒后，B 点的坐标为（）

A.(-2，2) C.(3，1)

B.(4，1) D.(4，0)

【例4】如图，在平面直角坐标系中，Rt∆OAB的顶点A的坐标为(3，1)，若将∆OAB绕点O逆时针旋转60︒后，B 点到达B ' 点，则B ' 点的坐标是

P

B' C

考点三 旋转与勾股定理

☞考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握

【例 5】 如图， P 是等边 ∆ABC 中的一个点， PA = 2, PB = 2 3, PC = 4 ，则

∆ABC 的边长是

C

B

A

【例 6】 如图，在 ∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， AC = BC ， P 是∆ABC 内的一点，且

PB = 1，PC = 2，PA = 3 ，求∠BPC 的度数．

【例 7】 如图点 P 是正方形 ABCD 内部一点， PA = 1 PB = 2 PC = 3，则∠APB =

．

考点四 利用旋转的性质解决几何有关的计算

☞考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。 【例 8】 如图，将 ∆ABC 绕点 A 顺时针旋转 45︒得到 ∆ADE ，点 E 落在边

BC 上，则∠BED =

【例 9】 如图，将直径为 4 的半圆 AB ，绕点 A 逆时针旋转60︒ ，则阴影部分的面积为

【例 10】 如图，将 ∆ABC 绕点 A 逆时针旋转80︒ 得到 ∆AB 'C ' ．若∠BAC = 50︒ ，则∠CAB ' 的度数为(

)

A ． 30︒

B ． 40︒

C ． 50︒

D ． 80︒

C'

A

B

【例11】如图，将矩形ABCD 绕点 A 顺时针旋转90︒后，得到矩形AB 'C ' D ' ，如果CD = 2DA = 2 ，那么

CC ' = 

．

【例12】把边长分别为4 和6 的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，

⑴如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；

⑵当∆CBD 是等边三角形时，旋转角α的度数是(α为锐角时)；

⑶如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标；

考点五利用旋转的性质解决几何有关的证明

☞考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。

【例13】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF = 45︒，AH ⊥EF ，H 为垂足，求证：AH =AB ．

A D

F

B E C

【例14】已知∆ABC ，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF

⑴如图 1，当∆ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。

⑵如图 2，当∆ABC 中只有∠ACB = 60︒时，请你证明S

∆ABC

与S

∆ABD

的和等于S

∆BCE

与S

∆ACF

的和

H