广东省揭阳市高二下学期学业水平考试(期末)数学(理)试题-含答案

揭阳市高中二年级学业水平考试

数学（理科）

（测试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

（1）若集合{}0,1,2A =，{}

2

4,B x x x N =≤∈，则=B A Y

（A ）{1,2} （B ）{0,1,2} （C ）{}22≤≤-x x （D ）{}

20≤≤x x （2）已知i 是虚数单位，若复数()()z i a i a R =-+∈的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z =

（A ）1i -+ （B ）1i + （C ）1i - （D ）1i --

（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平

面α和平面β平行”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（4）若()1sin 3πα-=

，且2

π

απ≤≤，则sin 2α的值为

（A ）9

-

（B ）9-

（C ）9 （D ）9

（5）已知抛物线2

y x =的焦点是椭圆22

213

x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为

图2

俯视图

侧视图

（A ）

37 （B ）13

（C ）14 （D ）17

（6）在图1的程序框图中，若输入的值为2，则输出的y 值为

（A ）0 （B ）

12 （C ）3

2

-

（D ）1- （7）已知向量(sin 2,cos 2)a b x x ==r r ，()f x a b =?r r

，则函

数()f x 的最小正周期为

（A ）π （B ）2π （C ）2

π

（D ）4π

（8）在区间[]m ,1-上随机选取一个数x ，若1≤x 的概率为

5

2

，则 实数m 的值为 （A ）

3

2

（B ）2 （C ）4 （D ）5 （9）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是

（A ）90

（B ）92 （C ）98 （D ）104

（10）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与ln y x =的

图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与

()y g x =的图象关于y 轴对称，若2

()f m e -=，则m 的值是

（A ）e -

（B ）2 （C ）－2 （D ）

1e

（11）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP

⊥，

则实数a

的取值范围为

（A

）[ （B

）[0,

（C ）[- （D ）[2,2]- (12) 已知函数()f x =3221ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值

范围为

（A ）(2,)+∞ （B ）

(0,

9 （C ）

9∞（-,-) （D ）+9

∞（）

D

C 1

B 1

C

B

A

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题∽第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题∽第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题

卡相应的横线上．

（13

）6

(2x 展开式中常数项是 ． （14）已知实数y x ,满足不等式组??

?

??≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .

（15）某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一

名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为 . （16）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B 是A 、C 的等差中项，且2b =，

则△ABC 面积的最大值为 .

三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足141,7a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}

n n b a -为等比数列．

(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）

如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC

的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1

（1）求BD 的长；

（2）求B 1D 与平面ABB 1所成角的正弦值． （19）（本小题满分12分） 图3

某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：

（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；

（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.

（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租X 型车的概率;

（2）已知该地区X 型车每小时的租金为1元，Y 型车每小时的租金为1.2元，设ξ为从体验小组内随机抽取3（20）（本小题满分12分） 已知如图4，圆C 、椭圆(22

22:1x y E a

b a b

+=>经过点M (，圆C 的圆心为5,02??

???

，椭圆E 焦点分别为()()122,0,2,0F F -.

（Ⅰ）分别求圆C 和椭圆E 的标准方程；

（Ⅱ）过1F 作直线l 与圆C 交于A 、B 两点，试探究22F A F B ?是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由． （21）（本小题满分12分）

已知函数2()2

x

x f x e x -=

+. （Ⅰ）确定函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明：函数2

21

()2x e x g x x --=在(0,)+∞上存在最小值.

请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原的14

，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；

（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数()|2|||f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式5)(≥x f ；

(Ⅱ)如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．

揭阳市高中二年级学业水平考试

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．

一、选择题：

部分解析：

（9）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为

(254+42+44+245=92

+?????）.

（10）由题知(),()x x

g x e f x e -==则2m e e =，2m =.

（11）问题转化为求直线l 与圆2

2

2

2x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得

a -≤≤.

（12）当0a =时，函数2

()21f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，

2'()34(34)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或4

3x a

=

，由题意知，0a >，且

4(

)03f a >，解得a > 二、填空题：

（16）由2,,B A C A B C π=+++=得3

B =

，由余弦定得2222cos 4b a c ac B =+-=,

即224a c ac +-=，又222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）得4ac ≤，所以

1

sin 2ABC S ac B ?=

=≤即△ABC .

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,7a a == ∴

公

差

41

23

a a d -=

=，

---------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴

1(1)21

n a a n d n =+-=-，

-------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==3，25b a ==9，∴11222,6,b a b a -=-=

∴数列

{}

n n b a -的公比

22

11

3b a q b a -=

=-，

------------------------------------------------------------------5分

∴11

11()23n n n n b a b a q ---=-=?，

∴1

2123n n b n -=-+?；

--------------------------------------------------------------------------------------7分

(Ⅱ)由1

2123n n b n -=-+?得

21(132-1)2(1333)n n S n -=++++++++L L -------------------------------------------------------9分

(121)2(31)

231

n n n +--=+

- 231n n =+-.---------------------------------------------------------------------------------------------------1

E

A

B

C

B 1

C 1

D

2分

（18）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ，------------------------------------------1分

∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，

∴DE//AB,-------------------------------------------------------------------------------------------------- --------2分

又∵DE ?平面1CDB ,AB ?平面1CDB ,

∴AB//平面CDB 1;------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ?平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥,

又∵1BC CC ⊥,1AC CC C =I ， ∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ?平面1ACC ,

∴BC CD ⊥,------------------------------------------------------------------------------------------------6分

在Rt BCD ?,∵BC=1

，1112CD AC ===,

∴BD =;-------------------------------------------------------------------------------------------------8

分

【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）依题意知AC 、BC 、CC 1两两互相垂直， 以C 为原点，CB 所在的直线为轴、CC 1为y 轴建立 空间直角坐标系如图示，

易得1,0,0B （）

，1B ，

1(0(001)C A ，，，1(0)2

D ，，

故11(1)2

B D =-u u u u r ，，,(1,0,1)AB =-u u u

r

,1BB =u u u r ,----------------------------------------9

分

设平面1ABB 的一个法向量为(,,)m a b c =u r

，

由1,m AB m BB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r

得0,0.a c -=??=令1c =得(1,0,1)m =u r ，--------------------------------------10

分

设1B D 与平面1ABB 所成的角为θ，则sin 11=

θ1

11|4

-+

==, 即1B D 与平面1ABB 所成的角的正弦值为1

4

.---------------------------------------------------------12分

【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D 到平面ABB 1的距离4

2

=h ，（10分）再用公式D

B h

1sin =

θ算1B D 与平面1ABB 所成角的正弦值（12分）】 (19) 解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为7

15=320+15

?，--2

分

高二学生的人数为7

20=420+15

?；---------------------------------------------------------------------4

分

（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率2134343

722

35

C C C P C +==.-----------------------------------------------7分

【解法2：所求概率123

4333

722

135

C C C P C +=-=.----------------------------------------------------------7分

（2）从小组内随机抽取3人， 得到的ξ的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）-------------------8分

因3

4374

(3)35C P C ξ===

，21433718( 3.2)35

C C P C ξ===， 12433712( 3.4)35C C P C ξ===，333

71

( 3.6)35

C P C ξ===，----------------------------------10分 故

ξ

的数学期

望.4181219

3 3.2 3.

4 3.633535353535

E ξ=?

+?+?+?=(元)-----------------------12分 （20）解：（Ⅰ）依题意知圆C

的半径32r ==，

------------------------------------1分

∴圆C 的标准方程为：2

2

5924x y ??-+= ?

?

?；-------------------------------------------------------------2分

∵椭圆22

22:1x y E a b

+=过点

M (，且焦点为()2,0-、()2,0，

由椭圆的定义得：||||221MF MF a +=， 即

2a =

=，

----------------------------------------------------------4分 ∴28a =，2244b a =-=， ∴

椭

圆

E

的

方

程

为

：

22

184

x y +=-----------------------------------------------------------------------------6分 【其它解法请参照给分】

（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为()2y k x =+，

由()22

259.

24y k x x y ?=+????-+=? ??

??，消去y 得： ()()()2

2

2

2145410

k x k

x k ++-++=，

-----------------------------------------------------------------8分

显然0?>有解，

设()11,A x y 、()22,B x y ，则124x x =，------------------------------------------------------------------9分

22F A F B ?=

=

2=．

故22F A F B ?为定值，其值为

2.----------------------------------------------------------------------------12分

（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞--+∞U ，---------------------------------------1分

22

2

[(2)](2)(2)'()(2)(2)x x x x

e x e x x e x e

f x x x +-+--==++0≥，---------------------------------------4分 ∴

函

数

()

f x 在

(,2)

-∞-和

(2,)

-+∞上单调递增；

------------------------------------------------------5分

(Ⅱ)2433

(2)1

[](2)

2(21)4(21)2(2)222'()42x x x x x e x e x x e x x e x x g x x x x -++-----+++===

3(2)1[()]2

x f x x +=+，

------------------------------------------------------------------------------------------8分

由（Ⅰ）知()f x 在),0(+∞单调递增； ∴1

()2

f x +在),0(+∞上也单调递增； ∵11(0)022f +=-<，11

(2)022

f +=>，----------------------------------------------------------10分

∴存在)2,0(0∈x ，有02

1

)(0=+

x f ，

当∈x 0(0,)x 时，1

()2

f x +

<0，得'()0g x <， 当),(0+∞∈x x 时，1

()2

f x +>0，得'()0

g x >， ---------------------------------------------------11分

∴()g x 在0(0,)x 上递减，在),(0+∞x 上递增， 故

函

数

()

g x 在

(0,)

+∞上存在最小值，

min 0()()g x g x =.--------------------------------------------12分

选做题：

（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',

4'.

x x y y ?

=???=? 得4','x x y y ==--------------------------------------2分 代

入

221

x y +=中得

2216''1

x y +=，

----------------------------------------------------------------------3分

故曲线C 的参数方程为

1cos ,4sin .

x y θθ?

=?

??=?(θ

为参数）；

-----------------------------------------------------5分

（Ⅱ）由题知，121

(,0),(0,1)4

P P -

-，---------------------------------------------------------------------6分 故

线

段

P 1

P 2

中

点

11(,)

82

M --，

-----------------------------------------------------------------------------7分 ∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14

， 故

线

段

P 1

P 2

的

中

垂

线

的

方

程

为

111

()248

y x +

=+--------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 其

极

坐

标

方

程

为

8cos 32sin 150ρθρθ--=---------------------------------------------------------10分

（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f ()＝|－2|＋|＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而5

2

x ≤-；-----------------------1分

②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；--------------------------------------------------2分

③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而5

2

x ≥；

----------------------------------3分 综

上

得

不

等

式

的

解

集

为

???

?

??≥-≤2525x x x 或.-------------------------------------------------------------5分

(Ⅱ)

当

x R

∈时，

|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=-

---------------------------------------7分

所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而5

2

a ≥；

----------------------------------8分

当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分

故

所

求

a

的取值范围为

5

[,+2

∞）.--------------------------------------------------------------------------10分