数学分析之多元函数的极限与连续
(整理)《数学分析》第二章 极限与连续.
第二章 极限与连续一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三、本章的基本知识要点本章符号说明：:∀ 每一个或任给的；:∃ 至少有一个或存在；⇔：充分必要条件. （一）数列极限1. 数列极限定义lim 0,0,n n a a N ε→∞=⇔∀>∃>当n N >时，有.n a a ε-<注：定义中的N 可不取整数，n a a ε-<可以是.n a a ε-≤定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.数列极限的等价定义:(1) 0,0,N ε∀>∃> 当n N >时有,n a a k ε-< 其中k 为某个正数. (2) 0,0,c N ε∀<<∃> 当n N >时有,n a a k ε-<其中c 与k 为某个正数. 2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限. (2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.(3) 保号性定理：若lim n n a a →∞=,则对任意(),r a r a <>或 ,N n N ∃∀>, 有n a r > (或n a r <).(4) 保不等式性定理：若lim ,lim n n n n a b →∞→∞都存在，且,n n N n N a b ∃∀>≤有，则lim lim .n n n n a b →∞→∞≤(5) 迫敛性定理：设lim lim .n n n n a b a →∞→∞== 数列{}n c 满足：,N n N ∃∀>有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim .n n c a →∞=(6) 四则运算法则：lim ,lim ,i)lim();ii)lim ;iii)lim,0,0.n n n n n n n n n n n n n na ab b a b a b a b a b a ab b b b →∞→∞→∞→∞→∞==±=±⋅=⋅=≠≠设则其中(7) 与子列的关系：数列{}n a 收敛⇔数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 3. 数列极限存在的条件 递增数列：121n n a a a a +≤≤≤≤； 递减数列：121n n a a a a +≥≥≥≥.(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则：0,,,,||.n m N n m N a a εε∀>∃∃∀>-<（二）函数极限1. 函数极限和非正常极限概念 函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(2) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→-∞=⇔∀>∃><--<当时恒有(3) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(4) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有(5) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-<当时恒有 (6) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有 上述左极限0lim ()x x f x -→和右极限0lim ()x x f x +→也可以写成0(0)f x -和0(0)f x +. 定理：000lim ()(0)(0).x x f x A f x f x A →=⇔-=+=非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：(1) 0lim ()x x f x →=-∞00,0,0||,().M x x f x M δδ⇔∀>∃><-<<-当时恒有(2) lim ()x f x →∞=+∞0,0,||,().M k x k f x M ⇔∀>∃>>>当时恒有2. 函数极限的基本性质下面只以0lim ()x x f x →为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出.(1) 唯一性定理：若0lim ()x x f x →存在,则极限唯一.(2) 局部有界性定理：若0lim ()x x f x →存在，则()f x 在0x 的某个空心邻域00()U x 内有界.(3) 局部保号性定理：若0lim (),x x f x A →=则r A ∀<(或r A >),0,δ∃>当00(,)x U x δ∈时，有()f x r >(或()f x r <).(4)保不等性定理:设0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)U x δ内有()(),f xg x ≤则0lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤(5) 迫敛性定理：设00lim ()lim (), x x x x f x g x A →→==且在某邻域00(;)U x δ内有()() ()f x h x g x ≤≤ 则0lim ().x x h x A →=(6) 四则运算法则：lim (),lim (),(1)lim(()());(2)lim ()();()(3)lim,0.()x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x AB g x B→→→→→==±=±⋅=⋅=≠设则其中3.函数极限存在的条件(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设()f x 在00(;)U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔任意含于邻域00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{},n x 极限lim ()n n f x →∞存在且相等.(2) 柯西准则：设函数()f x 在邻域00(;')U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔0,ε∀>∃正数('),δδ<00',''(;),x x U x δ∀∈有|(')('')|.f x f x ε-<4. 两个重要极限(1) 0sin lim1.x xx→=(2) 1lim(1).xx e x→∞+=由归结原则得1lim(1).nn e n→∞+=5. 无穷小量与无穷大量 (1) 无穷小量定义：i) 设函数()f x 在某邻域00(;)U x δ内有定义. 若0lim ()0x x f x →=， 则称()f x 为当0x x →时的无穷小量.ii) 设函数()g x 在某邻域00(;)U x δ内有界，则称()g x 为当0x x →时的有界量.由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．(2) 定理：0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中()x α是当0x x →时的无穷小.(3) 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢． 若无穷小量f 与g 满足()()lim0x x f x g x →=，则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，g 为f 的低阶无穷小量，记作()()()f x g x ο=（0x x →）．特别，f 为当0x x →时的无穷小量，记作()()1f x ο=（0x x →）．若存在正数K 和L ，使得在某邻域()00U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称无穷小量f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量．特别当()lim0()x x f x c g x →=≠时，f 与g 必为同阶无穷小量． 若无穷小量f 与g 满足()()f x Lg x ≤，()00x U x ∈，则记作()()()0( ).f x O g x x x =→ 特别，若f 在某()00Ux 内有界，则记为()()1f x O =（0x x →）．甚至当()()()0( )f x o g x x x =→ 时，也有()()()f x O g x =（0x x →）．若无穷小量f 与g 满足()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 为当0x x → 时的等价无穷小量，记作()()~f x g x （0x x →）．应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0x → 时，1sinx x和2x 都是无穷小量，但它们的比 21sinx x x =11sin x x 或 21sin x x x =1sin x x当0x → 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理： 设函数f ，g ，h 在邻域()00Ux 内有定义，且有()()~f x g x （0x x →）．ⅰ) 若()()0lim x x f x h x A →=，则()()0lim ;x x g x h x A →= ⅱ) 若()()limx x h x B f x →=，则 ()()0lim .x x h x B g x →=(4) 无穷大量定义：对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞、+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量．定理：ⅰ)设f 在()00U x 内有定义且不等于0．若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为当0x x →时的无穷大量．ⅱ)若g 为当0x x →时的无穷大量，则1g为当0x x →时的无穷小量． 由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究．（三）一元函数的连续性1. 函数在点0x 连续的定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若()()00lim ,x x f x f x →= 则称函数()f x 在0x 点连续.若记()()00,x x x y f x f x ∆=-∆=- ，则()()00lim x x f x f x →= 的等价叙述为lim 0x y ∆→∆=，于是函数()f x 在0x 点连续的定义又可以写成:定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若0lim 0x y ∆→∆=,则称()f x 在0x 点连续.改用εσ-语言叙述，则()f x 在0x 点连续可以定义为：定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若对0ε∀>，0δ∃>使得当0x x δ-<时，都有()()0f x f x ε-<， 则称()f x 在0x 点连续.2. 函数在点0x 左、右连续的定义相应于在0x 的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义: 设函数()f x 在0x 的某左（右）邻域内有定义. 若()()00lim x x f x f x -→=（或()()00lim x x f x f x +→=）, 则称()f x 在0x 左（或右）连续.定理: 函数()f x 在0x 点连续⇔()f x 在0x 点既左连续又右连续. 与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数()f x 在0x 点不连续⇔()f x 在0x 点或不左连续或不右连续. 3. 函数的间断点（不连续点）及其分类 定义：设函数f 在某领域()00Ux 内有定义. 若f 在点0x 无定义，或在点0x 有定义但不连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点.由连续的定义知，函数()f x 在0x 点不连续必出现如下3种情形之一:i ）()0lim x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠；ii ） 左、右极限都存在，但不相等； iii ） 左、右极限至少一个不存在.据此，函数()f x 的间断点可作如下分类： i ） 可去间断点若()0lim x x f x A →=（存在），而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠，则称0x 为可去间断点（或可去不连续点）.ii ）跳跃间断点若0)(x x f 在点的左、右极限都存在，但不相等（即0(0)f x +与0(0)f x - 均存在，但00(0)(0)f x f x +≠-），则称0x 为()f x 的跳跃间断点.注：可去间断点与跳跃间断点统称)(x f 的第一类间断点. iii ） 第二类间断点若0(0)f x +与0(0)f x -至少有一个不存在，则称0x 为)(x f 的第二类间断点. 定义: 若函数)(x f 在区间I 上每一点都连续，则称)(x f 为I 上的连续函数. 对于区间端点上的连续性，则按左、右连续来确定.定义: 如果)(x f 在区间[],a b 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数)(x f 在区间[],a b 上按段连续.4. 连续函数的性质局部有界性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界. 局部保号性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，且()0f x α>(或()0f x β<)，则对'αα∀<(或'ββ>)，∃某邻域()0,U x 当()0x U x ∈时，有()'f x α>(或()'f x β<).四则运算性质： 若函数()(),f x g x 在区间I 上有定义，且都在0x I ∈连续，则()()()()()(),,f x g x f x g x f x g x ±（()00g x ≠）在0x 点连续.复合函数连续性定理: 若函数()f x 在0x 点连续，()g u 在0u 点连续，()00u f x =，则复合函数()()g f x 在0x 点连续.定义：设()f x 为定义在数集D 上的函数. 若∃0x D ∈，使得对∀x D ∈都有()()0f x f x ≥(或()()0f x f x ≤)，则称在D 上有最大值（或最小值），称0x 为f 在D 上的最大值点（或最小值点），并称()0f x 为f 在D 上的最大值（或最小值）.闭区间上连续函数的基本性质:最大最小值定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有最大值与最小值.有界性推论：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有界. 介值性定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠，μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<）,则在开区间(),a b 内至少存在一点0x ，使得()0.f x μ=根的存在定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈ 使得()00,f x =即()0f x =在(),a b 内至少有一个实根.反函数的连续性定理: 若连续函数()f x 在闭区间[],a b 上严格递增（递减），则其反函数()1f y -在相应的定义域()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦（或()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦）上递增（递减）且连续.5. 一致连续性一致连续性定义：设函数()f x 在区间I 上有定义. 若0,ε∀>()0δδε∃=>， 当12,x x I ∈且12x x δ-<时，有()()12,f x f x ε-< 则称()f x 在区间I 上一致连续.注意：这里的δ只与0ε>有关，与(1,2)i x i =的位置无关.区间I 上的连续函数()f x ⇔1,x I ∀∈0,ε∀>()1'',0,x δδε∃=> 当2x I ∈且12'x x δ-<时，有()()12.f x f x ε-< 这就是说，连续函数里的'δ与预先取定的点1x 的位置有关，区间I 上的无穷多个点，对应无穷多个'δ，这无穷多个'δ的下确界可能为零，也可能大于零. 如果这无穷多个'δ的下确界为零，则不存在对I 上所有点都适合的公共()0δδε=>，这时()f x 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个'δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共()0δδε=>，如我们可取inf{'},δδ=则对I 上任意两点12,x x I ∈，当12x x δ-<时，便有()()12.f x f x ε-< 这种情况，()f x 在I 上连续就成为一致连续.一致连续性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续. 定理：一切基本初等函数都是定义域上的连续函数.因为任何一个初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,故任何初等函数都是定义域上的连续函数.（四）多元函数的极限与连续1．点列与二元函数的极限 (1) 点列极限与二重极限设{}n x 是X 轴上的一个点列，{}n y 是Y 轴上的一个点列，则以n x ，n y 为坐标的所有点(){},nnx y 组成平面上的一个点列记作{}nP .又设0P 是平面上的一点，坐标是()00,x y .若0,ε∀>∃正整数N ，当n N >时，有()0,n P P ρε=<，就称{}n P 收敛于0P ，记作0lim .n n P P →∞= 点列收敛的柯西准则：平面点列{}n P 收敛⇔0,0,N ε∀>∃>当N n >时，对一切正整数k ，都有(),.n n k P P ρε+<定义： 设f 为定义在2D R ⊂上的二元函数，0P 为的D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若0,ε∀>∃0,δ> 使得当()D P UP oδ;0∈时，都有(),ε<-A P f 则称f在D 上当0P P →时以A 为极限，记作()0lim .P P P Df P A →∈=在对D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作()0lim .P P f P A →= 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()0lim P P f P A →=也常写作()0(,)(,)lim ,.x y x y f x y A →=定理：()0lim P P P Df P A →∈=⇔对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有()0lim P P P Ef P A →∈=.推论：i) 设1E D ⊂,0P 是1E 的聚点. 若极限()01lim P P P E f P →∈不存在,则极限()0lim P P P Df P →∈也不存在.ii) 设12,E E D ⊂, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限()011lim P P P E f P A →∈=,()022lim P P P E f P A →∈=, 但12A A ≠, 则极限()0lim P P P Df P →∈不存在.iii) 极限()0lim P P P Df P →∈存在⇔对D 内任一点列{}n P , 0n PP →但0n P P ≠,数列(){}nf P 收敛.定义: 设D 为二元函数f 的定义域，),(000y x P 是D 的一个聚点. 若对0,M ∀>总存在0P 的一个δ邻域()00;U P δ，使得当()()0,;P x y U P D δ∈时,都有()f P M >，则称f 在D 上当0P P →时，存在非正常极限+∞，记作()()()00,,lim,.x y x y f x y →=+∞ 类似定义()()()00,,lim,x y x y f x y →=-∞和()()()00,,lim,.x y x y f x y →=∞(2) 累次极限 在前面研究的极限),(lim),(),(00y x f y x y x →中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于00,,x y这种极限也称为二重极限. 这一段考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．定义：设,,x y E E R ⊂ 0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x y D E E =⨯上有定义. 若对每一个0,y y E y y ≠∈，存在极限),,(lim 0y x f xE x x x ∈→由于此极限一般与y 有关，因此记作()),,(lim 0y x f y xE x x x ∈→=ϕ而且进一步存在极限(),lim 0y L yE y y y ϕ∈→=则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对()0y y →的累次极限，并记作 ),(lim lim 00y x f L xy E x x x E y y y ∈→∈→=或简记作).,(lim lim 00y x f L x x y y →→=类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 ).,(lim lim 00y x f K x x y y →→=注：i) 两个累次极限存在时,可能不相等. 例如:设yx y x y x y x f +++-=22),(，它关于原点的两个累次极限分别为.1)1(lim lim limlim 0202200-=-=-=+++-→→→→y yyy y x y x y x y y x y 与.1)1(lim lim limlim 0202200=+=-=+++-→→→→x xxx y x y x y x x x y x ii) 两个累次极限中的一个存在时,另一个可能不存在.例如函数1(,)sin f x y x y=在点(0,0)的情形.iii) 二重极限存在时,两个累次极限可能不存在（见例题）.iV) 两个累次极限存在(甚至相等)，二重极限可能不存在（见例题）.综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系. 但有以下确定关系： 定理：若二重极限()()()00,,lim,x y x y f x y →和累次极限()00lim lim ,x x y y f x y →→ (或另一次序)都存在, 则二者必相等.推论：i) 二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等. ii) 两个累次极限存在但不相等时，二重极限不存在. 3. 二元函数的连续性 (1) 连续性概念定义： 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数. 0P D ∈（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点）. 若0,0,εδ∀>∃>只要()，；D P U P δ0∈就有()()ε<-0P f P f ，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续.设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量. 和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0lim),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续.如果在全增量中取0=∆x 或0=∆y ，则相应的函数增量称为偏增量，记作 ()00,y x f x ∆()()0000,,y x f y x x f -∆+=， ()00,y x f y ∆()().,,0000y x f y y x f -∆+=一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零，例如()000lim ,0,x x f x y ∆→∆=它表示在f 的两个自变量中，当固定0y y =时，()0,y x f 作为x 的一元函数0x 在连续. 同理，若().0,lim 000=∆→∆y x f y y 则表示一元函数()y x f ,0在0y 连续.容易证明，当f 在其定义域的内点()00,y x 连续时，()0,y x f 在0x 和()y x f ,0在0y 都连续. 但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.(2) 连续函数的性质局部保号性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，并且存在实数A (或B )使得0()f P A >(或0()f P B <)，则存在0P 的邻域0(;)U P δ，当0(;)P U P δ∈时有()f P A >(或()f P B <).局部有界性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，则f 在0P 的某个邻域0(;)U P δ上有界.四则运算性质: 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数. 复合函数的连续性定理：设函数()y x u ,ϕ=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数()v u f ,在uv 平面上点()000,v u Q 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,y x u ϕ=，()000,y x v φ=.则复合函数()[]),(),,(,y x y x f y x g φϕ=在点0P 也连续．(3) 二元初等函数及其连续性与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.4. 有界闭区域上连续函数的性质(1) 有界性与最值性定理： 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.(2) 一致连续性： 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上一致连续， 即0,0,εδ∀>∃>使得,,P Q D ∀∈只要(),,P Q ρδ<就有()()ε<-Q f P f .(3) 介值性与零点定理：设函数f 在区域2R D ⊂连续，若21,P P 为D 中任意两点，且()()21P f P f <，则对任何满足不等式()()21P f P f <<μ的实数μ，存在点D P ∈0，使得()μ=0P f .四、基本例题解题点击【例1】按N ε-定义证明!lim0.nn n n →∞=【提示】在用N ε-定义证明极限时,先写出定义,运用放缩法，找到合适的N 即可． 【证明】0,ε∀> 1,N ε∃=当n N >时，有!110.n n n n Nε-≤<= 因此 !lim 0.nn n n →∞= ■【例2】求极限111lim().1223(1)n n n →∞++⋅⋅+【提示】111.(1)1n n n n =-++【解】111lim()1223(1)n n n →∞++⋅⋅+11111lim[(1)()()]2231n n n →∞=-+-++-+ 1lim(1) 1.1n n →∞=-=+ ■【例3】求极限n →∞+【提示】用极限的迫敛性定理.【解21,nn<++<=+且lim1,lim11,n nn →∞→∞===由极限的迫敛性定理，得 1.n →∞+= ■【例4】应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛，其中2sin1sin 2sin .222n nna =+++【提示】利用柯西收敛准则和三角函数有界性. 【证明】0ε∀>，21log ,N ε∃=,n m N ∀>> 有()()12sin 1sin 2sin 222n m m m nm m na a ++++-=+++12111111121222212n m m m n m -+++-≤+++=⋅- 11111.122212m mN ε+<⋅=<=-故由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛. ■【例5】计算.n nπ【提示】定义函数(),f x nπ= 再用极限四则运算、归结原则和等价无穷小量求解.【解】记函数(),f x xπ=则有sin limlim )0.x x x xxπππ→+∞==故由归结原则得 l i s i n 0.n nπ=■【例6】设()10111011m m m mn n n na x a x a x a f xb x b x b x b ----++++=++++,000,0,a b m n ≠≠≤，求()lim x f x →+∞.【提示】极限的四则运算法则和12lim lim lim 0.n x x x xx x ---→+∞→+∞→+∞====【解】因()10111011lim lim m n m n nm n n x x n na x a x a x f xb b x b x b x -------→+∞→+∞-+++=++++, 12lim lim lim 0,n x x x x x x ---→+∞→+∞→+∞====当m n ≤时,12lim lim lim 0;m n m n n x x x xx x -----→+∞→+∞→+∞====当m n =时，lim 1m nx x-→+∞=； 当m n <时，lim 0.m nx x-→+∞=故由极限的四则运算法则，有()00,;lim 0,.x a m n b f x m n →+∞⎧=⎪=⎨⎪<⎩■【例7】设()()00,lim x x f x f x A →>=.证明limx x →= 其中2n ≥为整数.【提示】当0A =时，直接利用函数极限定义证明.当0A >分子有理化，然后利用放缩法证明.【证明】因为()0f x >，故()0lim 0x x f x A →=≥.若0A =，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有()().f x A f xε-=<=<即0lim 0x x →==.若0A >，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有().f x A ε-<从而有2n nA-=++()1.f x A ε<-<故lim x x →=■【例8】求极限0x → 【提示】利用重要极限0sin lim1x xx→=及函数极限的运算法则.【解】 当11x -<<2.2x ==故22002lim lim 1cos 2sin 2x x x x x →→=-⎛⎫⎪⎝⎭222220sin 22lim[]11sin 22x x xx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭ ■【例9】证明：若f在点0x 连续，则f 与2f 也在0x 连续. 又问：若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？【提示】要证2f 连续，证2ff f =⋅即可，要证f连续，证f =f 或2f 连续不一定有f连续.【证明】由()f x 在0x x =连续，得()()00lim x x f x f x →=，从而()()()()0220lim lim lim ,x x x x x xfx f x f x f x →→→=⋅=再由例7的结论知 ()()00lim lim,x x x x f x f x →→===故f 与2f 也在0x x =连续.构造函数1(0)(),1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 则,x R ∀∈有2()1,()1,f x f x == 即2(),()f x f x 在R 上连续，但()f x 在0x =不连续，故()f x 在R 上不连续. 因此，由f 或2f 在I 上连续不能断定f在I 上连续. ■【例10】 设f 在[],a b 上连续，[]12,,,n x x x a b ∈.证明：存在[],a b ξ∈，使得()()()()121n ff x f x f x n ξ=++⎡⎤⎣⎦.【提示】f 在[],a b 上连续，则存在最大值和最小值，利用连续函数介值性定理. 【证明】设()()()(){}12max ,,,,i n f x f x f x f x =()()()(){}12min ,,.j n f x f x f x f x = 不失一般性，设.i j x x <（1）若()(),i j f x f x =则()()()12n f x f x f x ===，此时有()()()()121,k n f x f x f x f x n=+++⎡⎤⎣⎦ 1,2,,.k n =取k x ξ=即可. （2）若()()i j f x f x ≠，则()()()()()121.j n i f x f x f x f x f x n<+++<⎡⎤⎣⎦由连续函数介值性定理知，[](,),,i j x x a b ξ∃∈⊂使得 ()()()()121.n ff x f x f x n ξ=+++⎡⎤⎣⎦由此本题得证. ■五、扩展例题解题点击【例1】 设1,m a a 为m 个正数. 证明：{}12max ,,.m n a a a =【提示】运用迫敛性定理和1(0).n m =>【证明】设{}12max ,,,m a a a A = 则有A ≤≤因lim ,lim ,n n A A A →∞→∞==故由极限的迫敛性定理，得{}12max ,,.m n a a a =【延伸】：设<<1,2,...)i a M n =0(. 试证明：{}sup .n n na =【提示】：与前面方法类似（运用 1.n =） ■【例2】设数列{}n a 满足：存在正数M ,对一切n 有21321.n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛.【提示】利用单调有界原理，柯西收敛准则及绝对值不等式证明.【证明】由,n A M ≤且11n n n n A A a a +--=-≥0,知{}n A 为单调有界数列. 由单调有界原理知{}n A 收敛.因{}n A 收敛，故由柯西收敛准则知，0,0,N ε∀>∃>当n m N ≥>时有.n m A A ε-< 而 ()()()1121n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-1121n n n n m m a a a a a a ---+≤-+-++-.n m A A ε=-<由柯西收敛准则知{}n a 收敛，故{}n a 与{}n A 都收敛. ■【例3】设 1.a > 证明：lim 0.an n n a→∞=【提示】令a b =+1,利用二项式定理把分母na 展开，利用放缩法和基本例题中的例6. 【证明】令[]a 表示a 的整数部分，b a =-1,显然>b 0. 故[][]()110.1a a a nn n n n n a a b ++<≤=+ 当[]2n a >+时，()[][]221.na a nbc b +++>因此，[]()[][][]1122<.1a a na a nn n c bb ++++<+0因[][][]122lim 0,a a a n nn c b+++→∞= 故由迫敛性定理知，当1a >时，lim 0.an n n a→∞= ■【例4】计算1lim .xx x +→ （上海大学2001年考研试题） 【提示】先用数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭代替x ，猜测出极限的值，然后考虑用迫敛性定理. 【解】在区间()0,1内，10,xx x << 而0lim 0,x x +→= 故由迫敛性定理知，1lim 0.xx x +→= ■【例5】已知323lim 0.1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭求,a b 与c 的值.【提示】此题中2ax bx c ++实际上就是331x x x +++的整式部分.【解】因323lim 0,1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭故 ()()()()()3233223lim 113lim 0213lim 031x x x x x ax bx c x x x c ax b x x x x x b c a x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎛⎫++⎪--= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎛⎫++⎪---= ⎪⎨ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫++⎪---= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩由(3)与极限四则运算法则，得：()323lim 1.1x x x a x x →+∞++==+把1a =代入(2)，得：()()3333lim lim 1.11x x x x x x b ax x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，把1,1a b ==-代入(1)，得c =2. ■【例6】设lim n n a A →∞=（或∞+或∞-），则()121limn n a a a A n→∞+++=（或∞+或∞-）.问：反之是否成立？【提示】利用极限定义和绝对值不等式证明.【证明】由极限定义知，1>0,,N N ε+∀∃∈当1n N >时，有,n a A ε-<故当1n N >时，有1212nn a a a a a a nAA nn++++++--=112N a A a A a An-+-++-≤1112N N n a A a A a An++-+-++-+1121.N a A a A a An N nnε-+-++--≤+⋅ 记112N a A a A a A b -+-++-=，因lim0,n bn→∞= 故2N N +∃∈, 当2n N >时有.bnε< 取{}12max ,N N N =, 当n N >时，1212.na a a n Nb A nn nεεεε+++--≤+⋅<+= 因此 ()121lim.n n a a a A n→∞+++=∞+或∞-的情形可类似进行证明.反之，若()121lim n n a a a A n→∞+++=，则不能得出lim n n a A →∞=. 例如，取(1),n n a =-则()121lim0,n n a a a n →∞+++= 而limn n a →∞不存在; 取2121,n a n -≡- 20,n a = 则()121lim ,n n a a a n →∞+++=+∞ 而lim n n a →∞不存在；∞-的情形类似. ■【例7】设函数f 定义在(),a +∞上，f 在每一个有限区间内有界，并满足()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则()lim.x f x A x→+∞= 【提示】运用极限的定义，由题设条件推出结论成立.【证明】由题设()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则00,,x a ε∀>∃> 使得当0x x ≥时，有()()()1.1f x f x A ε+--<∀0,x x > 记[]00,,m x x k x x m =-=-- 则1,k ≤<0 于是0,x x m k =++因而有()()()()000f x f x f x k f x k x k m A A A x x m x x -++⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ ()()()()0002f x f x k f x k x k m A A x m x x -++⎛⎫+≤-++ ⎪⎝⎭. 由(1)式可得()()0f x f x k m A x m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()00111mi f xk i f x k i mA m=≤++-++--∑()()()001111.3m i f x k i f x k i A m m mεε==++-++--<⋅⋅=∑ 又由于()f x 在()0,1a x +上有界，则()0lim 0x f x k x →+∞+=及0lim 0x x kA x→+∞+=，于是1,x a ∃> 使得当1x x >时，有()()00;.4f x k x kA x xεε++<< 取{}01max ,,X x x = 于是当x X >时，由(2)、(3)与(4)便有()3.f x A xεεεε-≤++= 故 ()lim .x f x A x→+∞= ■【例8】设f 为区间I 上的单调函数，证明：若0x I ∈为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点.【提示】利用确界与极限关系，证明f 在0x 的左右极限均存在.【证明】若f 为区间I 上的单调增函数，取()00U ,x I ⊂ 且满足()0012U ,,,x x x x I ∀∈∃∈使得12,x x x <<则f 在()00U x 上为有界函数. 由()()()000U 0inf ,x x f x f x +∈+=()()()000U 0sup ,x x f x f x -∈-= 知道f 在0x 左、右极限均存在. 因此，0x 若为f 的间断点，则0x 必为f 的第一类间断点. 若f 为区间I 上的单调减函数，则令()(),g x f x =-则()g x 为I 上的单调增函数，从而()()()(){}()()000000U U 00inf sup ,x x x x f x g x f x f x ++∈∈+=-+=--= ()()()(){}()()000000U U 00supinf.x x x x f x g x f x f x --∈∈-=--=--=因此，结论也成立. ■【例9】设函数f 为区间I 上满足利谱希茨条件（Lipschitz ），即存在常数0,L >使得对于I 上的任意两点'x 与''x 都有()()''''''.f x f x L x x -≤- 证明：f 在I 上一致连续.【证明】0,ε∀> 取0,δε=> 则''',,x x I ∀∈ 且''',x x δ-< 有()()''''''.f x f x L x x L ε-≤-<故f 在I 上一致连续. ■【例10】设{}n a 是有界数列，且12,n n n a a b ++= 若lim n n b →∞存在，则lim n n a →∞也存在（北京大学2009年考研试题）.【证明】因{}n a 有界，故,M ∃ 使得,n ∀ 有.n a M ≤因lim n n b →∞存在（令其值为b ），故0,,N ε∀>∃ 当n N >时，有,n b b ε-< 即.n b b b εε<<+-因12,n n n a a b ++= 故有12.n n b a a b εε+<+<+-下面用反证法证明11.33n b a b εε<<-2+2 反设1,3n a b ε≥+2 由12n n a a b ε++<+得 1123n b a b εε+⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭+2，即113.3n a b ε+<-因()2112,,n n n a a b b b εε++++=∈+- 故有2123,3n b a b εε+⎛⎫-+> ⎪⎝⎭-即215.3n a b ε+>+依此类推，于是得()22121.3k n k a b ε+>+-因此，当k 充分大时，有2.n k a M +>（例如当21log 12M b k ε⎛+⎫+⎪⎝⎭>时） 这与{}n a 为有界数列矛盾. 于是1.3n a b ε<+2 同理可证1.3n a b ε>-2 因此，0,,N ε∀>∃当n N >时有1.3n a b ε-<2 故{}n a 收敛. ■六、本章训练题提示点评 【训练题1】证明函数()1cosxf x e x=在()01，内非一致连续.（云南大学2004年考研试题） 【提示】利用非一致连续的定义证明. 【证明】0121110,0,,,222x x k k εδπππ∃=>∀>∃==+当正整数k 充分大时有12||x x δ-<（例如当12k δπ>时），故有 12101211coscos 1.xx x e e e x x ε-=≥= 因此，命题成立. ■【训练题2】已知()112,xx x xna a a f x n ⎛⎫+++=⎪⎝⎭其中123,,,n a a a a 为n 个正数.求（1）()0lim x f x →；（2）()lim x f x →+∞与 ()lim .x f x →-∞（2004年云南大学考研试题）【解】（1）因12112200ln ln ln lim lim x x x x xxn n nx x a a a n a a a a a a nx n→→+++-+++=（洛比达法则）()12ln .n a a a n=故()12121200lim lim 1x x x n x x x n a a a nnn xx x x a a a n n x x a a a n f x n +++-+++-→→⎡⎤⎛⎫+++-⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212120ln limlim x x xx x xn n n x a a a a a a na a a n nxnxnx eee→+++-+++-→====（2）由（1）知x =0是()f x 的可去间断点. 由初等函数在其定义域内的连续性知，()()()()lim ln lim ln lim ,lim ,x x f x f x x x f x e f x e →+∞→-∞→+∞→-∞==而 ()121lim ln lim ln,x xxnx x a a a f x x n →+∞→+∞+++=⋅()121lim ln lim ln .x xx nx x a a a f x x n→-∞→-∞+++=⋅1 若{}max 1,i ia =则当0x >时，12.x xx n a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →+∞= 即()lim 1.x f x →+∞=2 若{}min 1,i ia = 则当0x <时，12.x x xn a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →-∞= 即()lim 1.x f x →-∞=3 若{}max 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →+∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →+∞→+∞++++++⋅=+++{}()ln max .i ia =因此，(){}lim max .i x if x a →+∞=4 若{}min 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →-∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →-∞→-∞++++++⋅=+++ {}()ln min .i ia =因此，(){}lim min .i x if x a →-∞=综合,2,3,41知，(){}(){}lim max ,lim min .i i x x iif x a f x a →+∞→-∞== ■【训练题3】设()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数，求a ,b 的值.(福建师范大学2006年考研试题)【提示】利用极限的四则运算法则和连续函数的定义.【解】当1x >时，()23222111lim;1n n n n a bx x f x x x x--→∞-++==+当1x <时，()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+2;ax bx =+ 当1x =-时，()()111;2f a b -=-+- 当1x =时，()()111.2f a b =++ 因()f x 在1x =处连续，故()()()111,f f f -+==即 ()111;2a b a b +==++ 因()f x 在1x =-处连续，故()()()111,f f f -+-=-=-即()111.2a b a b -=-=-+- 解方程组可得 0a =, 1.b = ■【训练题4】求α和,β 使得当x →+∞时，量.x βα（上海大学2002年考研试题）.【解】0limlim x t x βα+→+∞→+=122lim .t tβα+→-=在右领域()()0;1U δδ+<内，()211,2t t ο=++()211.2t t ο=-+当11,2αβ==-时，lim 1.x →+∞= 即当x →+∞12.x - ■【训练题5】设()f x 在(),a b 上连续，且f 是一对一（即()12,,x x a b ∀∈且12x x ≠时，有()()12f x f x ≠），证明：()f x 在(),a b 上严格单调. 【证明】反证法. 反设()f x 在(),a b 上非严格单调，即()123,,,x x x a b ∃∈且123,x x x <<有()()()()1232,.f x f x f x f x << 或()()()()1232,.f x f x f x f x >>（因f 是一对一，故不能取等号） 若()()()()1232,f x f x f x f x <<成立， 取()()(){}213max ,,2f x f x f x M +=显然()2M f x <且()()13,.M f x M f x >>在[]12,x x 上()f x 连续，由介值性定理知，()412,,x x x ∃∈ 使得()4,f x M =同理()523,,x x x ∃∈ 使得()5.f x M =于是()()45,f x f x = 这与f 在(),a b 上一对一矛盾.因此，当123x x x <<时，()()12f x f x <与()()32f x f x <不能同时成立. 同理可证，当123x x x >>时，()()12f x f x >与()()32f x f x >不能同时成立. 综上所述知，()f x 在(),a b 上严格单调. ■【训练题6】求202cos 2lim.tan sin x x x e x x x→+--（华南理工大学2004年考研试题） 【解】因()()2tan sin tan 1cos 0,2x x x x x x x -=-⋅→ 而()()22232cos 21212.2xx x e x x x x ο⎛⎫+-=++--+ ⎪⎝⎭（由泰勒公式）于是233002cos 2lim lim 2.tan sin 2x x x x e xx x xx →→+-==- ■【训练题7】设11x >>, 11nn na x x x ++=+, 1,2,n =, 试证{}n x 收敛,并求lim n n x →∞, (华南理工大学2004考研试题).【解】 因11x >>, 故2121101a xx x x --=<+, 即21x x <.因121111111a x ax x x +-==+<+=++故21x <<因 222211111a x a x x x +-==+>=++故3x >同理4x <, ,因此得21k x ->, 211,2,)k x k <<=.因213112()012a x x x a x --=<++, 故31x x <.因224222()012a x x x a x --=>++, 故42x x >.因22212121212212()112k k k k k k k a x a x x x x x a x -+---+--=-=+++且21k x ->故有21210k k x x +--<, 即2121k k x x +-<. 同理得222k k x x +>. 因此, 子列{}21k x -单调减小有下界, 故21limk k x -→∞存在, 设极限为1m . 子列{}2k x 单调增加有上界, 故2lim k k x →∞存在, 设极限为2m .对2212121212()12k k k k a x x x a x -+----=++左右两边取极限, 得21m a =. 由极限保号性知1m =. 同理得2m =. 由数学分析第一册(华东师大)第26页例题7知,lim n n x →∞=. ■【训练题8】证明极限111lim 1ln 23n n n →∞⎛⎫++++- ⎪⎝⎭存在. (哈尔滨工业大学2009考研试题). 【证明】 记1111ln 23n a n n =++++-. 则11ln11n n na a n n +-=+++. 因23ln(1)23x x x x -=----, ()[1,1)x ∈-,故2311111ln 112131n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--⋅-⋅-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因此得10n n a a +-<, 即{}n a 为单调递减数列.由于23ln(1)23x x x x +=-+- ()(1,1]x ∀∈-,故ln(1)x x +<()(1,1]x ∀∈-. 因此得()111ln 11ln 1ln 1ln 1ln 23n a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)ln 1ln ln n n n =+-+-+++--1ln0n n+=>. 于是{}n a 有下界.综上所述, 知{}n a 为单调递减数列且有下界, 故{}n a 收敛. ■【训练题9】令22(,)xyf x y x y=+，讨论二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →与累次极限00limlim (,)y x f x y →→、00limlim (,)x y f x y →→是否存在.【解】当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时, 由于此时2(,)(,)1mf x y f x mx m ==+, 因而有2(,)(0,0)0lim(,)lim (,)1x y x y mxmf x y f x mx m →→===+.这说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时, 对应的极限值也不同, 因此所讨论的重极限不存在.已经知道(,)(0,0)x y →时f 的重极限不存在. 但当0y ≠时有22lim0x xyx y →=+从而有 2200lim lim0y x xyx y →→=+. 同理可得 2200lim lim0x y xyx y →→=+. ■【训练题10】设11(,)sinsin f x y x y y x=+. 讨论重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →和累次极限。
多元函数的极限及连续性
当 0 ( x 0 ) ( y 0 ) 时，
2 2
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
原结论成立．
确定极限不存在的方法：
(1) 令P(x,y)沿y =kx趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ), 若极限 值与k有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x , y ) | ( x x 0 ) ( y y0 ) .
2 2
P0
(2) 区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U ( P ) E ， 则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于 E .
lim
( xy )
lim
( x 3 y)
1 2 1 3 2 2 . 7
例6 解
( x , y ) ( 0,0)
求极限
( x , y ) ( 0,0 )
lim
xy . xy 4 2
lim
xy ( xy 4 2) xy lim xy xy 4 2 ( x , y ) ( 0 , 0 )
是其聚点， 如果函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 )不连续， 则称
P0 ( x0 , y0 ) 为函数 f ( x , y ) 的间断点.
函数
f ( x , y ) ( x y ) sin
2 2
1 x2 y2
在点(0, 0)无定义, 故(0, 0)是函数的间断点. 函数 xy , ( x , y ) (0, 0), 2 2 f ( x, y) x y 0, ( x , y ) (0, 0). 在原点处无极限, 故该函数在原点处间断.
多元函数的极限及连续性35页PPT
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头
多元函数的极限与连续性
2
0
,
x y 0
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 函数
在圆周 x 2 y 2 1 上间断.
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
思考题
1.
lim
( x , y ) (0,0)
x
ln(1 xy )
是否存在？
x y
Байду номын сангаас
在全平面上连续.
f ( x, y) A？
3
2
x y
解：不能. 例 f ( x , y ) 2 4 2 , ( x , y ) (0,0)
(x y )
取 y kx ,
但是
lim
( x , y )( 0 , 0 )
x3 k 2 x2
0
f ( x , kx) 2 4 4 2 x
0
多元函数的极限与连续性
= 2 + 2
=
1 − 2 − 2
0< ( − 0 )2 + ( − 0 )2 <δ
0< ( − 0 )2 + ( − 0 )2 <δ
f ( x, y ) 与累次极限 lim lim f ( x, y )
• 二重极限 ( x , y )lim
0
,
1
y
1,
x
xy 0
xy 0
lim
( x , y ) (0,0)
f ( x, y ) 0,
lim lim f ( x, y ) 与 lim lim f ( x, y )都不存在.
x 0 y 0
y 0 x 0
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
多元函数的概念极限与连续性
§5.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。
二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2. 三元函数与n 元函数。
()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点集则称()u f x y z =，，为三元函数()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
【例1】 求函数arcsin 3x z =解 要求13x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤，综合上述要求得定义域300x y -≤≤⎧⎨≤⎩或030x y ≤≤⎧⎨≥⎩【例2】求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。
解 要求2240x y --≥和2210y x -+>即 2222212x y y x⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩ 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部（包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点）【例3】 设()22f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。
解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122x u v y u v =+=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()2235f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。
数学分析16多元函数的极限与连续总练习题
第十六章 多元函数的极限与连续总练习题1、设E ⊂R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ， 使得ρ(P 1,P 2)=d(E).证：由d(E)=EQ ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ∃ P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n1.{P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }， 记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+kn 1， 令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证!2、设f(x,y)=x y 1,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|kx ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限iD )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)是否存在，为什么？解：1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在. 理由如下：(1)当(x,y)∈D 1时，kk 12+|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|，∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2xk→0, x →∞， ∴1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1D )y ,x (x lim ∈∞→f(x,y)=0存在. (2)对y=x k, 当x>0时，y>0，∴(x,xk )∈D 2，且 当x →∞时，r=22y x +=22x k x +→+∞，但f(x,y)=x y 1=k1，即极限2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)与k 的取值有关，∴2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在.3、设0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, 0xx lim →ψ(x)= ψ(x 0)=0, 且在(x 0,y 0)附近有 |f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.证：∵0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, ∴∀ε>0，∃δ1>0，使得当|y-y 0|<δ1时，就有 |φ(y)-A|<2ε；∵0x x lim →ψ(x)=ψ(x 0)=0, ∴对上述ε>0，∃δ2>0，使当|x-x 0|<δ2时，就有|ψ(x)|<2ε；又在(x 0,y 0)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)， ∴∃δ=min{δ1,δ2}，使|y-y 0|<δ, |x-x 0|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<2ε， 从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<2ε+2ε=ε. ∴)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.4、设f 在R 2上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R 2}; F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R 2}，证明E 是开集，F 是闭集.证：(1)对任一点(x 0,y 0)∈E ，f(x 0,y 0)-α>0. ∵f 在R 2上连续，由保号性知， 存在P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)，使当(x,y)∈U(P 0)时，f(x,y)-α>0，即 (x,y)∈E, 从而U(P 0)⊂E, ∴E 为开集.(2)设P 0(x 0,y 0)是F 的任一聚点，则存在F 的互异点列{P n }，使 P n →P 0, n →∞，由f(P n )=f(x n ,y n )≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P 0连续知， f(P 0)=∞→n lim f(P n )≥α，即P 0∈F ，∴F 为闭集.5、设f 在有界开集E 上一致连续；证明： (1)可将f 连续延拓到E 的边界；(2)f 在E 上有界. 证：记∂E 为E 的边界，Ē=E ∪∂E ，若P ∈∂E ，则对任一n ，U(P;n 1)∩E ≠Ø. 任取P n ∈U(P;n1)∩E ，则 P n →P , n →∞，且P n ∈E(n=1,2,…). 由f 在E 上一致连续可知， ∀ε>0, ∃δ>0，当A,B ∈E 且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N 时，ρ(P m ,P n )<δ，从而|f(P m )-f(P n )|<ε. ∴{f(P n )}收敛，即∞→n lim f(P n )存在.若P n ,Q n ∈E (n=1,2,…)且∞→n lim P n )=∞→n lim Q n =P ，则存在N,使当n>N 时，ρ(P n ,P)<2δ且ρ(Q n ,P)<2δ，从而当n>N 时，ρ(P n ,Q n )≤ρ(P n ,P)+ρ(Q n ,P)<δ， ∴|f(P n )-f(Q n )|<ε，∴∞→n lim f(P n )=∞→n lim f(Q n ).∴对每个P ∈∂E ，存在唯一的实数∞→n lim f(P n )与之对应. 定义：F(P)=⎩⎨⎧∈→∈∂∈∞→E P )P (f P)P ，E E(P P )P (f lim n n n n ，，则F 为定义在Ē上的函数. 显然F 是f 到∂E 的一个延拓.(1)设P 0∈Ē，则P 0∈E 或P 0∈∂E. 当P 0∈E 时，由E 为开集知， 存在U(P 0)⊂E ，于是当P ∈U(P 0)时，F(P)=f(P). ∵f 在P 0连续， 从而0P P lim →F(P)=0P P lim →f(P)=f(P 0)=F(P 0)，∴F 在P 0连续.当P 0∈∂E 时，F(P 0)=∞→n lim f(P n )，其中{P n }为E 中趋于P 0的点列，对E 中任一趋于P 0的点列{Q n }，有0P P lim →F(Q n )=0P P lim →f(Q n )=0P P lim →f(P n )=F(P 0)，由归结原则知存在0P P lim →F(P)=F(P 0). ∴F 在P 0连续. ∴F 在Ē上连续.(2)∵Ē是有界闭集，且F 在Ē上连续，从而F 在Ē上有界， ∴F 在E 上有界，又在E 上有F=f ，∴f 在E 上有界.6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续； φ与ψ把点集E 映射为uv 平面中的点集D ，f(u,v)在D 上一致连续,证明：复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.证：设P(u 1,v 1), Q(u 2,v 2)为D 上任意两点，由f(u,v)在D 上一致连续知， ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|u 1-u 2|<δ, |v 1-v 2|<δ, 就有|f(u 1,v 1)-f(u 2,v 2)|< ε. 又u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续；∴上述δ>0, ∃η>0, 使得当(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈E 且|x 1-x 2|<η, |y 1-y 2|<η时， 就有 |φ(x 1,y 1)-φ(x 2,y 2)|<δ, |ψ(x 1,y 1)-ψ(x 2,y 2)|<δ, 从而有 |f(φ(x 1,y 1),ψ(x 1,y 1))-f(φ(x 2,y 2), ψ(x 2,y 2))|<ε， 即复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.7、设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数F(x,y)=y-x f(y)-f(x )(x ≠y), F(x,x)=f ’(x)，定义在区域D=(a,b)×(a,b)内，证明：对任何c ∈(a,b)有)c ,c ()y ,x (lim→F(x,y)=f ’(c).证：∵f(t)在区间(a,b)内连续可导，∴当(x,y)∈D 且x ≠y 时， 在[x,y]或[y,x]上应用格拉朗日定理知：存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得 F(x,y)=y-x f(y)-f(x )=f ’(ξ). 又F(x,x)=f ’(x)，可见对任意(x,y)∈D ， 总存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得F(x,y)=f ’(ξ).∵(x,y)→(c,c)时，ξ→c ，且f ’(t)在c 处连续，∴)c ,c ()y ,x (lim →F(x,y)=f ’(c).。
数学分析二知识点总结
数学分析二知识点总结数学分析是现代数学的一个重要分支，它是通过对连续性、极限、函数、导数、积分等概念和方法的研究来解决问题的。
在数学分析二中，主要研究了多元函数的连续性、偏导数、多元函数的一、二阶偏导数和高阶导数、多元函数的积分、曲线、曲面的长度和面积等内容。
下面是数学分析二的一些重要知识点总结。
1.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内任意一点的一些性质随着自变量的变化而保持不变。
确定多元函数是否连续的方法是通过极限的概念来进行。
2.偏导数多元函数的偏导数是指函数在其中一点处沿着坐标轴的方向上的导数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以通过对其中一各变量求导，而将其他变量视为常数来计算。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似。
3.高阶偏导数对于多元函数，我们可以继续对偏导数求导，得到高阶偏导数。
二阶偏导数是指函数的偏导数对自变量再求一次导数。
高阶偏导数代表了多元函数的曲率和曲率的变化率。
4.多元函数的积分多元函数的积分是指对多个自变量的函数进行积分运算。
多元函数的积分是对函数在定义域内所有点的值乘以对应的微元的积分，然后对所有的积分结果进行求和。
对于不同类型的区域，需要采用不同的积分方法，如二重积分、三重积分等。
5.曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以通过求参数的导数的模长来计算曲线的长度。
对于一般的曲线，可以将曲线划分成无数小段，然后计算每段的长度，再对所有长度进行求和得到曲线的长度。
6.曲面的面积对于参数方程表示的曲面，可以通过对两个参数的导数的模长做叉乘，然后对结果求积分来计算曲面的面积。
对于一般的曲面，可以将曲面切割成无数个小面元，然后计算每个小面元的面积，最后对所有小面元的面积进行求和得到曲面的面积。
7.广义积分广义积分是对未定义的区间进行积分。
在数学分析二中，常用的广义积分包括瑕积分和广义积分。
瑕积分是对于函数在一个无界区间上的积分，广义积分是对于函数在一个有界区间上其中一点的积分，其中函数在该点可能无定义或者无界。
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是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为使 U ( A ;) IE ,则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
(iii) 界点—— 若 0, 恒有
用并记号 U(A;)或 U ( A ) 来表示.
点 A 的空心邻域是指:
( x , y )0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( 方 ) ,
只有当 EE时, E 的外部与 E c 才是两个相同
的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
y
D ( x ,y )1 x 2 y 2 4 .( 4 )
满足 1x2y24的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4的一切点也
图 16 – 3
是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 是旁否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U o ( A ) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U ( A ) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
E ( x ,y )( x ,y ) 满 足 条 件 P .
例如：
(i) 全平面:
R 2 ( x , y ) | x , y .( 1 )
( i i )圆 : C ( x ,y )x 2 y 2 r 2 .
(2)
( i i i ) 矩 形 : S ( x , y ) a x b , c y d ,(3)
※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.
闭集——若 E 的所有聚点都属于 E (即EE),则 称 E 为闭集. 若 E 没有聚点(即Ed),这时也称 E 为闭集.
注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记
作 Ed(或E);又称 EUEd 为 E 的闭包, 记作 E . 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为
D d ( x ,y )1 x 2 y 2 4 D .
其中满足 x2 y2 4 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 AE, 但不是 E 的聚点（即
并用记号 U o(A ;)(或 U o(A ))来表示.
注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出
错在何处? ) ( x , y ) 0 | x x 0 | ,0 |y y 0 | .
※ 点和点集之间的关系 任意一点 AR2与任意一个点集 ER2之间必有 以下三种关系之一 :
y
C
O
rx
(a) 圆 C
图 16 – 1
y d
S
Oa
bx
c
(b) 矩形 S
y
y
•A
O
(a) 圆邻域
x
O
图 16 – 2
A •
x (b) 方邻域
由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一
方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,
既是开集又是闭集.
平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的.
开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.
C ( x ,y )x 2 y 2 r 2 是 开 集 ;
S ( x , y ) a x b , c y d 是 闭 集 ;
D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 既 非 开 集 , ? 又 非 闭 集 ;
R 2 ( x , y ) | x , y
U ( A ;) IE 且 U ( A ;) IE c
( 其中 EcR2\E), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E
的全体界点所构成的集合称为 E 的边界, 记作 E . 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E;
E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意:
有某δ > 0, 使得 Uo(A ;)IE ),则称点 A 是
E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必
为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
例2 设点集 E ( p ,q )p ,q 为 任 意 整 数 .显然,
E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 E d ,in tE , E E .
Chapt 16 多元函数的极限与连续
一、平面点集
平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 对 ( x , y ) 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 面点集, 记作
也 常 记 作 ： S [ a ,b ] [ c ,d ] .
( i v ) 点 A ( x 0 ,y 0 ) 的 邻 域 :
( x , y ) ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2( 圆 形 )
与 ( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | ( 方 形 ) .