第二章 §1

§1 从平面向量到空间向量 学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．

知识点一 空间向量的概念 思考1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量． 思考2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？ 答案 一定相同．因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同． 梳理 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．

(3)表示法 ①几何表示法：空间向量用有向线段表示.②字母表示法：用字母表示，若向量a的 起点是A，终点是B，则向量a也可以 记作AB→，其模记为|AB→|或|a|. (4)自由向量：与向量的起点无关的向量． 知识点二 空间向量的夹角 思考 在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？ 答案 0或π. 梳理 空间向量的夹角

(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (2)图形表示 角度 表示 〈a，b〉＝0

〈a，b〉是锐角

〈a，b〉是直角 〈a，b〉是钝角 〈a，b〉＝π

(3)范围：0≤〈a，b〉≤π. (4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝π2，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点三 向量与直线、平面 1．向量与直线 与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．

l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，显然，与AB→平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线． 2．向量与平面 如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量． 类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论： ①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a

＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1—→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b

满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→

＝A1C1→成立，故③正确；④显然正确．故选B. 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 跟踪训练1 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量： ①AB→与C1D1→；②AC1—→与BD1—→；③AD1—→与C1B—→；④A1D—→与B1C—→.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 对于①AB→与C1D1—→，③AD1—→与C1B—→长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1—→与BD1

—→

长度相等，方向不相反；对于④A1D—→与B1C—→长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对． 类型二 求空间向量的夹角 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：

(1)〈AB→，A1C1—→〉；(2)〈AB→，C1A1—→〉；(3)〈AB→，A1D1—→〉．

考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角

解 (1)由题意知，A1C1—→＝AC→， ∴〈AB→，A1C1—→〉＝〈AB→，AC→〉． 又∵∠CAB＝π4， 故〈AB→，A1C1—→〉＝π4. (2)〈AB→，C1A1—→〉＝π－〈AB→，A1C1—→〉＝π－π4＝3π4. (3)由题意知，A1D1—→＝AD→，∴〈AB→，A1D1—→〉＝〈AB→，AD→〉＝π2. 引申探究 在本例中，求〈AB1—→，DA1—→〉． 解 如图，连接B1C，则B1C∥A1D，

且DA1—→＝CB1—→，连接AC， 在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C， 故∠AB1C＝π3， 〈AB1—→，DA1—→〉＝〈AB1—→，CB1—→〉＝π3. 反思与感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向．

跟踪训练2 如图，在正四面体ABCD中，〈AB→，CD→〉的大小为( )

A.π4 B.π3 C.π2 D.π6 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 C 解析 取AB的中点O，连接OC，OD， 易得OC⊥AB，OD⊥AB. ∵OC∩OD＝O，OC，OD平面OCD， ∴AB⊥平面OCD，又CD平面OCD，∴AB⊥CD. 得〈AB→，CD→〉＝π2. 类型三 直线的方向向量与平面法向量的理解 例3 已知正四面体A－BCD.

(1)过点A作出方向向量为BC→的空间直线； (2)过点A作出平面BCD的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 解 (1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A

且方向向量为BC→的空间直线． (2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量AO→可作为平面BCD的一个法向量． 反思与感悟 直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行． 给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面． 跟踪训练3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量．

考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 解 取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM∥AB，且PM＝AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP∥BM，且AP＝BM.又在四边形BQC1M中，BQ∥C1M，且BQ＝C1M，

所以四边形BQC1M为平行四边形， 所以BM∥C1Q，且BM＝C1Q， 所以AP∥C1Q，故C1Q—→为直线AP的一个方向向量． 1．下列说法正确的是( ) A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量模的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确；任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．

2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB→＝DC→，则下列向量相等的是( )

A.AD→与CB→ B.OA→与OC→ C.AC→与DB→ D.DO→与OB→ 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D

解析 因为AB→＝DC→，所以四边形ABCD为平行四边形．所以DO→＝OB→，AD→＝BC→，OA→＝CO→. 3．在正四面体A－BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则AO→是平面BCD的一个________向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 法

解析 由四面体A－BCD为正四面体，易知AO⊥面BCD，故OA→是平面BCD的一个法向量． 4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号) ①AB→；②AA1—→；③B1B—→；④A1C1—→. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 ②③ 5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量；

③试写出与向量AB→相等的所有向量； ④试写出向量AA′—→的所有相反向量． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模

解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′—→，A′A—→，BB′—→，B′B—→，CC′—→，C′C—→，DD′—→，D′D—→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． ②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′—→，D′A—→，A′D—→，DA′—→，BC′—→，C′B—→，B′C—→，CB′—→. ③与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′——→，DC→，D′C′———→. ④向量AA′—→的相反向量有A′A—→，B′B—→，C′C—→，D′D—→.

在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；