第三节 平面力系
第03章+平面力系
物系平衡的特点： ① 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态。 ② 每个单体可列3个平衡方程, 整个系统可列3n个方程 （设物系中有n个物体） 在求解静定的物体系的平衡问题时, 可以选每个物体为研 究对象, 列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整个系统 为研究对象, 列出平衡方程，求出部分未知量，再从系统中选 取某些物体作为研究对象, 列出另外的平衡方程，直至求出所 有的未知量为止。
Fy =0 mO (F )=0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
m A (F )=0 mB (F )=0
例3-3 求图示刚架在A、B端所受的约束反力。
解：⑴ 作刚架的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
cos45 å F =0, F 窗 sin45 å F =0, F 窗
x A
y
A
+ F =0 + FB =0
(1)正负号的规定 (2)投影是代数量 (3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别
Fy Fx cos a = , cos b = F F
讨论：力的投影与分量
y
y
y
F
Fy
O
F
F
Fy
F
O
Fx
x
Fy
O
Fx
x
O
Fx
x
Fx
x
分力Fx=？
⑴ 力F在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分 解的分力大小相等。 ⑵ 力F在相互不垂直的轴 x、y‘上的投影与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
例3-5 试计算刚架支座A、B的约束反力。
解：⑴ 取整体为研究对象，列出平衡方程：
å å
å
Fx =0, FAx +10kN - FBx =0
工程力学-平面任意力系
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
精品教案：平面任意力系
第三章 平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。
2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。
3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。
工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。
当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。
例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。
此方法的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。
证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。
因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。
二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。
先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
工程力学平面基本力系课件
矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ···+ Fn Fi
i 1
2、平面汇交力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行封闭，即力系中各力的矢
量和等于零。
F 0
§2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题 2-1 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方
向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链
第 §2–1 力系的基本类型 二 章 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平 面
§2–3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
基 §2–4 力对点之矩
本 力
§2–5 力偶及其性质
系 §2–6 力偶系的合成与平衡
§2–1 力系的基本类型
平面汇交力系
平面力偶系
平面汇交力系——各力的作用线都在同一平面内且
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
P
ND
J
SB
K
(c)
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
O
C
O B E 6 arctg0.25 142'
A B
30°
30°
C
P
a
y
SAB B
x
30°
SBC Q 30° P
b
解：
1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。
2. 画出受力图（b)。
§2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面力系的名词解释
平面力系的名词解释平面力系是指作用于同一个物体的多个力构成的一个力的集合，这些力都在同一个平面上。
一、什么是平面力系？在物理学中，力是指导致物体产生运动、形变或其他物理效应的物理量。
平面力系是指在一个平面上所受到的多个力的集合，这些力不仅可以是同向或相反方向的，也可以是夹角形成的。
二、平面力系的特点1. 平面内的力：平面力系中的所有力都在同一个平面内，这是平面力系的一个重要特点。
2. 作用点：平面力系中的力的作用点可以在物体的任何位置，但必须在同一平面内。
3. 力的大小和方向：平面力系中的力可以是同向、相反或夹角形成的，它们的大小和方向会对物体产生不同的效果。
4. 平衡状态：平面力系中的力可以使物体保持静止或产生运动。
如果物体处于静止状态，那么力系中的力必须满足力的合力为零的条件；如果物体处于运动状态，那么力系中的力必须使物体产生加速度。
三、平面力系的分解与合力对于平面力系，我们可以使用矢量分解和合力的概念来研究力的效果。
矢量分解是将平面力系中的力分解为两个或多个分力，使得这些分力的合力等于原力系。
这使我们能够更好地理解和计算力的效果。
四、例子解析以下是一个例子，用于更好地理解平面力系的概念：假设有一辆汽车被两个力作用，一个向前的推力和一个向左的侧向力。
这两个力都在同一个平面内，即汽车的水平面上。
如果推力和侧向力的合力为零，那么汽车将保持在静止状态。
如果推力和侧向力的合力不为零，那么汽车将产生加速度，并朝合力的方向运动。
在这个例子中，我们可以通过将推力和侧向力进行矢量分解，计算出它们各自的效果，并最终得出整个力系对汽车的影响。
五、应用领域平面力系的概念在物理学和工程学中具有广泛的应用。
在机械、土木、航空等工程领域，研究平面力系可以帮助我们更好地理解和分析物体的运动和变形。
例如，在建筑结构的设计中，平面力系的分析可以用于确定材料的强度和结构的稳定性。
此外，在运动学和静力学中，平面力系的概念也被广泛应用。
3平面力系的平衡方程
§3-1 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：FR 0 M o 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
所以有：
Fx Fy
0 0
M o 0
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式 二矩式
F x
0
F y
0
M A 0
2 fs
已知：物块重P, 鼓轮重心位于 O1 处，闸杆重量不计， fs , 各尺寸如图所示：
求： 制动鼓轮所需铅直力F。
O1
解：分别取闸杆与鼓轮为研究对象 设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮， M O1 0 rFT RFs 0
对闸杆，MO 0 且 Fs fs FN
Fa FN b Fsc 0
FR l2 R2
取轮,画受力图：
Fix 0
Fox FA sin 0
Fox
FR l2 R2
Fiy 0 Foy FA cos 0 Foy F
Mo 0 FA cos R M 0 M FR
§3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题
已知: F=20kN, q=10kN/m, M 20kNm, L=1m; 求: A,B处的约束力.
Fy 0 FA FB FN 0
M A 0
F
(a
b 2
)
FB
d
FBN
b
0
FA fs FAN
FB fs FBN
解得： a b
2 fs
则：挺杆不被卡住时，a
b 2 fs
。
3-平面力系-汇交力系
解：(1) 取铰A为研究对象，画受力图。
B
两杆为二力杆。AB杆的约束力FAB（设为拉力）
及AC杆的约束力FAC（设为拉力）.
y
A 600
（2）列出平衡方程： ∑Fx= 0
。FAB 30
A
450
－FAB cos30o －FACcos45o =0
。
x
45
∑Fy= 0
FAC
－G+FAB sin30o －FACsin45o =0
2 70.7N 2
F3x = 0
F4x F4 100N
14
§2-1 平面汇交力系 2.力的解析表达式 F Fx Fy Fx 和 Fy：力 F 的两个正交分力 Fx Fxi Fy Fy j Fx 和 Fy：力 F 在 x 和 y 轴上的投影 力的解析表达式： F Fxi Fy j
例题2-1. 三个力作用在铁环上，其力的作用线均过铁环圆心点O，
已知三力的大小分别为F1=130N， F2=100N， F3=80N 。试确定这三个 力的合力FR。
方法一，图解法:
按一定比例，沿各自的方 向将F1、 F2、 F3首尾相接
在∆abc中由余弦定理可得： FR1 F12 F22 2F1F2 cos120 199.75N
试求支座 A 和 D 处的约束力。 F
B
C
解：方法一
（1）取钢架为研究对象，作受力图。
a
arctan a 26.6
D
2a
A
（2）建立坐标系 （3）列出平衡方程：
2a
y
∑Fx= 0, F+FA cos26.6o =0
F
B
C
∑Fy= 0, FD +FAsin26.6o =0
第3章-平面与空间一般力系
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
第三章平面任意力系
[例4] 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求 SBD?和支座A反力？
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
m B 0 , Y A 2 .5 P 1 .2 0
X ' 0 ,X A s i Y A n c o P ss i 0 n
[例2] 求A、B、C三点约束反力。
q=15
C
解：研究AB杆，如图
1m 2m
2m
Q=q× 2=30kN
A
B
RA
RB
m B 0 :
R A 3 Q 1 0 R A 1k 0N
Y 0 :
R B R A Q 0 R B 2k 0N 19
0.8 m
O
1m
200N
80Nm
1m
100N 0.6 m
x
3 500N
4
y
MO
O
F
R
x
y
F
R
O
O
F
R
x
F
R
y
O
x
O
FR
最简结果为作用于 O ' 的一个力.
9
1.3 力系的简化
§4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
研究BC杆，如图
R'BRB2k 0N
X 0:
XC 0
Y 0 :
Y C R 'B 0
q=15kN/m m=20kNm