人教版八年级上册：1121直角三角形的性质与判定
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质和判定教案2022-2023学年人教版八年级上册
11.2.1 第2课时直角三角形的性质和判定教案教学目标： - 了解直角三角形的定义和性质； - 掌握如何判断一个三角形是否为直角三角形； - 学习直角三角形的判定方法。
教学重点： - 直角三角形的性质和判定方法。
教学难点： - 掌握直角三角形的判定方法。
教学准备： - 教材《人教版八年级上册》 - 讲义和笔记 - 平面直尺、角规等绘图工具一、引入通过上一课的学习，我们已经了解到了三角形的定义和基本性质。
在本课中，我们将学习直角三角形的性质和判定方法。
二、直角三角形的定义和性质定义：若一三角形的一个内角为90°，则这个三角形被称为直角三角形。
性质： 1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 直角三角形的斜边是直角边中最长的一边。
3. 直角三角形的两条直角边互相垂直。
三、判断直角三角形的方法方法一：根据三角形的边长关系判断。
利用直角三角形的性质，可以根据三角形的边长关系来判断一个三角形是否为直角三角形。
例如，已知一个三角形的三条边分别为a、b、c，其中c是最长边。
如果满足a² + b² = c²的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
方法二：利用角的性质判断。
1.利用勾股定理：若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
2.利用角的关系：若一个三角形中有一个角为90°，则这个三角形是直角三角形。
四、例题讲解1.已知一个三角形的三边分别为5cm、12cm、13cm，请判断是否为直角三角形。
解题步骤： - 首先判断是否满足勾股定理：5² + 12² = 13²，由此可知满足勾股定理。
- 其次判断是否有一个角为90°：由于满足勾股定理，所以这个三角形是直角三角形。
2.已知一个三角形的两边分别为6cm、8cm，且这两边之间的夹角为90°，请判断是否为直角三角形。
直角三角形的性质及判定
直角三角形的性质及判定直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC 写作Rt△ABC。
直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
即。
如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2 性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。
（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
11.2.1+第2课时+直角三角形的性质与判定-2023-2024学年人教版数学八年级上册
4. 如 图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°,D 是 AB 上 一 点 , 且 ∠ACD=∠B,求证:△ADC是直角三角形.
证
明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠A CD=∠B,∴∠A+∠ACD=9A=50°,∠B=40°,∠C等于多少度? 2.若∠A+∠B=90°,则∠C等于多少度? 3.在△ABC中,若∠C=90°,你能求出∠A、∠B的度数吗?你 能求出∠A+∠B的度数吗? 利用上述结果你能得出什么结论?
直角三角形的性质 阅读课本本课时“例3”及其前面的内容,解决下列问题.
2.在直角三角形中,两锐角相等,则这两个锐角的度数是 45°和45° ,这个三角形是 等腰 直角三角形.
方法归纳交流 在直角三角形中,已知两个锐角之间的关系 (除互余外),可通过 列方程(组)求出两锐角的度数.
3. 如 图 ,AD,BF 分 别 是 △ABC 的 高 线 与 角 平 分 线,BF,AD交于点E,∠1=∠2.求证:△ABC是直角三角形.
直角 三角形.
归纳总结 有两个角互余 的三角形是直角三角形.
【讨论】在说明一个三角形工件是不是直角三角形时,小明 采取的办法是直接测量三角形中有没有等于90°的角,小文采 取的办法是测量两个较小的角后再计算它们的和是否等于 90°.你认为他们的方法可行吗?
答:都可行.
·导学建议· 预习导学部分内容较简单,学生自学即可完成.每个知识点 的自学可让学生先根据自学提纲自学课本相关内容,再完成导 学案预习导学相关内容.在学生自学过程中,教师巡回检查,注意 学生的推理过程.
·导学建议· 可让学生任意画一个直角三角形ABC,其中∠C=90°,用量 角器分别量出∠A和∠B的度数,并且求出∠A+∠B的值.通过计 算发现∠A和∠B的关系,然后给出证明.
八年级数学上册PPT教学课件《直角三角形的性质和判定》
C E
D
B
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关 系？为什么？ 解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°， ∴∠ABE+∠A=90°， ∠ABE+∠DFB=90°. ∴∠A=∠DFB. ∵∠DFB+∠BFC=180°， ∴∠A+∠BFC=180°.
性 质
直角三角形的两个锐角互余
判 有两个角互余的三角 定 形是直角三角形
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
与图有哪 些共同点与 不同点？
B o
D
C 图
例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED. A ∵ ∠AEC= ∠BED，
∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
B o
C
D
图
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由.
解：∠A=∠C.理由如下：
A
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质。
以下是一些直角三角形的性质：1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是勾股定理的一种表现，也就是说，如果直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a² + b² = c²。
2.在直角三角形中，两个锐角互余。
也就是说，如果一个锐角为α，那么另一个锐角就是90° - α。
3.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
这是直角三角形斜边中线定理，也就是说，如果斜边长度为c，那么斜边上的中线长度就是c/2。
4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
5.直角三角形垂心位于直角顶点。
这是指直角三角形三条高的交点位于直角顶点。
6.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半。
也就是说，如果直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么内切圆半径r = (a + b - c) / 2。
7.直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项。
8.直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
9.含有30°角的直角三角形三边之比为1:根号3:2。
10.含有45°角的直角三角形三边之比为1:1:根号2。
以上都是直角三角形的一些基本性质，这些性质在解决与直角三角形相关的问题时非常有用。
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定
直角三角形是指三角形的三个内角中，有一个角的角度为90度的三角形。
直角三角形的性质：
1. 直角三角形的三条边满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角三角形的两条
直角边，c是斜边。
2. 直角三角形的两个直角边分别等于斜边的两个平方根，即a = √c^2 - b^2，b = √c^2 -
a^2。
3. 直角三角形的面积等于其两个直角边的乘积除以2，即S = (a*b)/2。
4. 直角三角形的周长等于其三条边的和，即P = a + b + c。
判定直角三角形：
1. 利用勾股定理，如果三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形；
2. 利用余弦定理，如果三角形的三个角的余弦值中有一个为1，则该三角形为直角三角形。
直角三角形的性质与判断方法
直角三角形的性质与判断方法直角三角形是一种特殊的三角形，具备独特的性质和判断方法。
本文将介绍直角三角形的性质以及如何判断一个三角形是否为直角三角形。
一、直角三角形的定义与性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的两条非斜边（即直角边）长度平方和等于斜边长度平方。
这就是著名的勾股定理，即a² + b² = c²，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
2. 直角三角形的两条直角边（即非斜边）互为垂直，即夹角为90度。
3. 直角三角形中，以斜边的一半为半径作正弦形的圆的圆心就是直角顶点。
4. 直角三角形的面积等于直角边的乘积除以2，即面积 = 直角边1 ×直角边2 / 2。
二、如何判断三角形为直角三角形要判断一个三角形是否为直角三角形，有以下几种常见的方法：1. 使用勾股定理。
对于一个已知的三角形，如果满足勾股定理的条件（即 a² + b² = c²），则可以判定该三角形为直角三角形。
2. 观察角度。
直角三角形的一个角为90度，如果三角形的一个角度接近于90度，可以初步判断为直角三角形。
然而，仅仅依靠观察角度无法确定是否为直角三角形，因为可能存在其他角度为90度的三角形。
3. 利用三角函数。
正弦函数、余弦函数和正切函数在直角三角形中有特定的关系。
如果已知三角形中的角度和边长，可以通过计算三角函数值来判断是否为直角三角形。
4. 使用直角三角形的特殊三边比。
直角三角形的特殊三边比是3:4:5或5:12:13。
对于一个已知的三角形，如果边长比符合3:4:5或5:12:13，则可以判定为直角三角形。
需要注意的是，以上方法都只是初步判断为直角三角形，为了确保准确性，还需要进行进一步的计算和验证。
总结：直角三角形是一种具备特殊性质的三角形，其两个直角边的长度平方和等于斜边的长度平方。
在判断一个三角形为直角三角形时，可以使用勾股定理、观察角度、三角函数和特殊三边比等方法。
八年级数学《直角三角形》知识点
精心整理八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∠ACB=90°BD=CD∙AD2CD⊥AB6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB∙CD=AC∙BC二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是（1）三边之间的关系：22c2+（勾股定理）ba=（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长为（ ）A 、4 cmB 、8 cmC 、10 cmD 、12 cm2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或253. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )A 、13B 、8C 、25D 、641、已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC. 求证： BE=DF2.已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
A BC D E F 1 2 ABC D3、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC 于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长。
人教版八年级数学上册课件：11.2.1.2直角三角形的性质与判定课件(优)
定，掌握下列知识要点。
什么样的三角形称为直角三角形？ 直角三角形的两个锐角和是多少？ 如何判定一个三角形是不是直角三 角形？
自主学习反馈
自主学习任务2：完成自主学习检测的题目。 1、∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠C=
90°
。 三角形是 。
直角 三角形。
2、∠C =900，∠A =300，则∠B = 60°
11.2.1.2 直角三角形的性质与判定
八年级上册
学习目标 1
了解直角三角形两锐角互余以及利用两锐角互余的 三角形是直角三角形。 知道三角形两锐角互余及用这一性质求解直角三角形相 关计算题。
2
3
提高学生的计算能力和应用能力。
课前自主学习
自主学习任务1：阅读课本13页- 14页，听101名师微课直角三角形的性质与判
C B
E D
A
∵∠AED=∠B
∴∠AED+∠A=90° ∴△AED是直角三角形。
学以致用
1、如图，已知BC⊥AD于B，DE⊥AC于E，∠A=46°，求 ∠C、∠D、∠CFE的度数。 解：∵BC⊥AD于B，DE⊥AC于E ∴∠AED=∠CEF=∠ABC=90° ∴在RT△ABC中，∠C=90°-∠A=90°-46°=44° 同理，在RT△AED中，∠D=44°
A
B
C
随堂检测
101试卷库 直角三角形的性质与判定
随堂测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1、如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关
系？为什么？ ∠ACD=∠B。 ∵∠ACD=90°-∠BCD，∠B=90°-∠BCD ∴∠ACD=∠B
C
A
D