三角函数图象变换教学设计
三角函数的概念教学设计一等奖4篇
第1篇三角函数的概念教学设计一等奖三角函数一. 教学内容：三角函数【结构】二、要求（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、< 1271864542"> 的意义。
三、热点分析1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。
三角函数的图象与性质(第1课时)教学设计与思考_朱荣峰
“三角函数的图象与性质（第1课时）”教学设计朱荣峰（江苏省吴江高级中学 江苏吴江 215200）1．教学内容的分析三角函数这一章学习是在学生完成必修1函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习。
主要的学习内容是三角函数的概念、图象与性质，以及函数模型的简单应用。
研究的方法主要是代数变形和图象分析。
三角函数是重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具，三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、天文学）联系紧密。
《三角函数的图象与性质（第1课时）》这节课是是在已有函数基础知识和三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数)sin(ϕ+=wx A y 的图象的知识基础和方法准备。
因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
2．教学目标2.1 知识与技能（1）能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；（2）会用“五点法”画出正（余）弦函数的图象；（3）掌握用列表描点画出由正（余）弦函数经简单复合后的函数的草图；（4）通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2.2 过程与方法借助单位圆，利用三角函数线，作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
2.3 情感、态度与价值观（1）通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习精神；（2）会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系，激发学生的学习积极性；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
正弦函数、余弦函数的图像教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5.4.1正弦函数、余弦函数的图像教学设计一．教学目标知识目标：1.经历绘制正弦函数图像的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图像的”五点法”.2.经历绘制余弦函数图像的过程，理解其中运用的图像变换思想.素养目标：经历绘制正弦函数图像、余弦函数图像的过程中，提高学生逻辑推理、数学运算以及直观想象能力.教学重点：绘制正弦函数图像、余弦函数图像.教学难点：准确理解精准绘制图像上点T(x0,sinx0)的原理.二．教学设计现实世界中许多运动变化都有着循环往复、周而复始的规律，比如地球自转，四季变化，围绕其它行星运动，物体做简谐运动时的位移变化(播放图片、动画)，这些现象都可以用三角函数刻画.华罗庚写的一首诗“数无形时少直觉，形少数时难入微”充分肯定了数形结合思想，前面我们主要从数的角度研究了三角函数相关知识，这节课我们主要从形上来研究三角函数.（书写课题）问题1：复习回顾1.三角函数在单位圆中是如何定义的？sinα=cosα=tanα=2.sin(x±2π)=sin(x+π2)=师生活动：研究函数的目的是为了通过函数解决实际具体问题，有了定义接下来当然是图象与性质，本节课我们先研究正弦函数的图象性质.设计意图：复习回顾本节课要用到的知识，规划研究方案，构建本单元的研究路径定义—图象—性质.问题2：正弦函数y=sinx(xϵR)只需要研究哪一个较小区间即可？为什么？师生活动：sin(x±2π)= sinx，自变量每增加（减少）2π正弦函数值将重复出现.设计意图：据此可以简化对正余弦函数的图象与性质研究过程.回忆前面所学知识，绘制函数图像的基本步骤是？（列表、描点、连线）今天我们仍然遵循这种步骤.○1列表y=sinx,x∈[0,2π]x0π6π4π3π2……2πsinx012√22√321 0○2描点师生活动：（0，0）就是原点，（π6，12）纵坐标好找但横坐标不好找，（π4，√22）横纵坐标都不好找，这个π6在x轴如何取？2π如何在x轴上取？都只需要回到横坐标2π如何找？其实2π对应的是（学生答单位圆的周长）我们可以用细线绕圆一周，平铺到x 轴上起点为原点，终点横坐标为2π，那π6只需要把它12等分就行.(几何画板展示圆拉长，线段变圆，显示各分点横坐标)刚才我们找的是横坐标，纵坐标如何找？（单位圆上点的纵坐标平移即可）设计意图：对于2π如何在x 轴上取？形成知识与教学的一个冲突，刚才我们用初中的知识解决高中新问题（线段等分对应单位圆等分）难点的地方在于描点这与以往的函数不同（有化曲为直的过程）.问题3：通过刚才取特殊点的过程，我们会发现对于[0,2π]任取一个值x 0,都可以借助单位圆确定正弦函数值sinx 0,并准确画出点（x 0，sinx 0），那么横坐标x 0在单位圆上表示哪个几何量？sinx 0的几何意义又是什么？设计意图：深化对正弦函数定义的理解.通过分析点的坐标的几何意义，准确描点. 追问：根据上述分析如何具体绘制点B （x 0,sinx 0)？如何描述其过程？工具：细线（软细铁丝)一根师生活动：和学生讨论后小结绘制（x 0,sinx 0）步骤.xyB （x 0,sin x 0)A (x 0,0)PG H O1）用细线绕单位圆圆周测量出角x0所对弧长l.2）在x轴上以原点O为端点取线段OA且OA=l，则A（x0,0）.3）用细线测出点P 到x轴的距离d，4）过A(x0,0）作x轴垂线并截取线段AB=d ，得到点B(x0,sinx0）.若角x0为第一或第二象限角，则点B在x轴上方，若角x0为第三或第四象限角，则点B在x轴下方.教师利用信息技术展示（动画形成过程）分析图象特征（中心对称），有最高点、最低点、与x轴有三个交点（物理中称为平衡点），图象始终面向x轴，教师动作比划举反例，此时学生动手画.问题4：根据函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R 的图象吗？画出该图象.师生活动：由公式一将=sinx，x∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度）就可以得到y=sinx，x∈R 的图象.教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.而且还指出这种方法作图，虽然比较精确，但费时费力在精度不太高时，如何绘制简图?设计意图：绘制函数y=sinx，x∈R 的图象，并培养说理的习惯.再则承上启下.问题5：如何绘制y=sinx x∈[0, 2π]的图像简图?追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动：五个关键点：(0,0)、(π2,1)、(π,0)、(3π2,−1)、(2π,0），再次强调这是非常优美的曲线，想到唐朝诗人张若虚《春江花月夜》中“春江潮水连海平，海上明月共潮生”波浪起伏的样子.设计意图：在确定图象形状时起关键作用，获得“五点法”简便画图.问题6：如何作余弦函数y =cosx的图象呢？师生活动：有了正弦函数图象，可以用同样方法作余弦函数图象，但费时费力.那么sinx与cosx有什么关系？sin(x+π)=cosx是从数的角度思考的，那从形上思考怎样描述？2展示图：余弦曲线是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线.设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，从运动的观点由正弦函数的图象获得余弦函数的图象；增强对两个函数图象之间的认识.问题7：余弦函数在[0, 2π]上有没有五个关键点？师生活动：学生回答之后，完成书中探究.分析图象.设计意图：观察余弦函数图象，利用五点掌握其特征.（今天作图与已往不同1.等分圆周等分线段的方法（用定义）2.正弦函数余弦函数都有五个关键点再扩展到实数集上）为了进一步延伸接下来完成课堂活动.课堂活动：分组协作绘制函数图像，展示点评先用“五点法”画出下列函数的简图，然后再说明如何经过图象变换得到下来函数图像：1.y=1+sinx x∈[0,2π]2. y=−cosx x∈[0,2π]小结：一二一五一种新方法（几何作图）两个图象（一种启示）人生就像正弦曲线，有上坡，也有下坡，有希望的巅峰也有失落的低谷，所以跌倒了爬起来，只要爬起来的次数比跌倒的次数多一次，你就是成功者.一个关系(平移关系)五个关键点.。
三角函数图像与性质教学设计
三角函数图像与性质教学设计教学设计：三角函数图像与性质一、教学目标1.了解三角函数的概念和基本性质；2.学习绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图像；3.掌握三角函数图像的平移、缩放和反转等变换方法；4.掌握三角函数图像的周期性和奇偶性；5.进一步理解三角函数的定义域和值域。
二、教学内容1.三角函数的概念和基本性质；2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像；3.三角函数图像的平移、缩放和反转；4.三角函数图像的周期性和奇偶性；5.三角函数的定义域和值域。
三、教学过程1.引入（10分钟）根据学生对三角函数概念的熟悉程度，可以通过提问和实例引入三角函数的概念和基本性质。
引导学生回忆正弦、余弦和正切的定义，并讨论它们的周期性和奇偶性。
2.绘制三角函数图像（20分钟）讲解如何绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
先以正弦函数为例，引导学生根据角度的变化来计算对应的函数值，并将这些点绘制在坐标系中，连接出连续的曲线。
解释坐标轴上的特殊点（0、90、180、270、360等）对应的函数值是多少。
然后同样的方法绘制余弦和正切函数的图像。
3.性质的探究（30分钟）让学生对三角函数的性质进行探究。
引导学生观察三角函数图像的周期性和奇偶性，并用图像解释函数的周期和有关关系。
引导学生使用平移、缩放和反转等图像变换方法来探究这些性质的规律。
通过具体的数学实例来进一步加深理解。
4.练习与应用（20分钟）提供一些练习题给学生进行自主练习，并引导学生应用三角函数的性质解决实际问题，如测量物体的高度、角度的测量等。
或者选取一些有代表性的题目来进行讲解和解答，让学生了解如何应用三角函数的图像和性质进行解题。
5.总结与扩展（15分钟）总结三角函数的概念和基本性质，并强调三角函数图像的应用和意义。
鼓励学生继续学习三角函数的高级性质和应用，如傅里叶级数等。
四、教学评价在整个教学过程中，可以通过提问、讨论和练习等方式进行评价。
可以观察学生对三角函数的概念和性质的理解程度，以及对图像绘制和应用题的解题能力。
正弦函数、余弦函数的图象-教学设计【教学参考】
中学课时教案第周第课时签审：签审日期：年月日教学过程教一、情景引入：“单摆漏斗的沙的轨迹”阅读课本，想一想：1.该曲线是什么曲线？2.有办法画出该曲线的图象吗？根据沙漏我们可以直观的看出正弦以及余弦函数的图象，那么接下来就用已经学过的正弦线画出比较精确的正弦函数的图象.二、新课探究探究1：利用正弦线画出比较精确的正弦函数的图象（1）得到函数y=sin x，x∈[0,2π）的图象（2）得出y=sin x, x∈R的图象由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以y=sin x，x∈[0，2π）y=sin x，x∈[2kπ,2(k+1)π）， k∈Z且k≠0的图象形状完全一致.只要将y=sinx，x∈[0，2π）的图象向左、向右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到y=sinx，x∈R的图象.我们称之为正弦曲线.学过程探究2：作余弦函数y=cosx,x∈R的图象（教师注意引导过程）根据y=cosx=sin(x+π/2)，可将函数y=sinx，x∈R向左平移π／2个单位就可得y=cosx，x∈R的图象.我们称之为余弦曲线.探究3：五点法（教师引导学生找出关键点）（1）画出正弦曲线y=sin x，x∈[0，2π]上的图象的五个关键点分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；（2）画出余弦曲线y=cos x，x∈[0，2π]上的图象的五个关键点分别为(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接.【例1】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1+sin x， x∈[0，2π]；(2)y＝－cos x，x∈[0，2π].思路点拨：列表：让x的值依次取0，π2，π，3π2，2π→。
正弦、余弦函数的图象 说课稿 教案 教学设计
正弦函数、余弦函数的图象●三维目标 1．知识与技能(1)利用单位圆中的三角函数线作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象，明确图象的形状． (2)根据关系cos x ＝sin(x ＋π2)，作出y ＝cos x ，x ∈R 的图象．(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题． 2．过程与方法(1)通过利用单位圆中的三角函数线作出正弦函数、余弦函数的图象的过程，让学生体验、理解数形结合这一重要思想方法．(2)通过“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象，使学生理解并掌握这一个作函数简图的基本方法．(3)引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，由正弦曲线，通过图象变换作出余弦曲线，使学生学会用联系的观点思考问题．3．情感、态度与价值观通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神． ●重点、难点重点：正弦、余弦函数图象的作法．难点：正弦函数、余弦函数图象间的关系、图象变换及其应用． ●教学建议 1．问题引入为了使学生对研究的问题和方法先有一个概括性的认识，教科书在本节开头用了一段引导性语言．教学中应当对这段话给予充分重视，可以先引导学生回顾《数学1》中研究过哪些函数性质，然后说明可以在过去研究函数的经验的指导下研究三角函数的性质，并要特别注意思考三角函数的特殊性——周而复始的变化规律．为了使学生对三角函数图象有一个直观的认识，教科书利用单摆做简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象．教学中，可以让学生亲自动手做实验，也可以由教师做演示实验，只要学生能够对正弦曲线、余弦曲线有一个直观的印象就算达到目的．另外，由于受实验条件及操作过程的影响，得到的图象很可能是不标准的．2．正弦函数的图象在简谐振动试验的基础上，教学中应先介绍用正弦线作比较精确的正弦函数图象的方法，才能从图象上观察到某些点是关键点，再讲“五点法”作简图．3．余弦函数的图象可以引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，在正弦曲线的基础上，利用图象变换作出余弦曲线，也可以用“五点法”作简图．●教学流程1．用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？【提示】列表取值、描点、连线、难点在取值．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．你认为哪些点是y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的关键点？【提示】最高点、最低点及图象与x轴的三个交点．类型1用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1＋2sin x，x∈[0,2π](2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]【思路探究】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．【自主解答】列表：x 0π2π3π22πsin x 010－101＋2sin x 131－1 1在直角坐标系中描出五点(0,1)，(π2，3)，(π，1)(3π2，－1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．(2)列表：x 0π2π32π2πcos x 10－10 12＋cos x 3212 3规律方法1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、画余弦函数图象的五点(0,1)(π2,0)(π，－1)(3π2,0)(2π，1)与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．变式训练画出y＝2sin x，x∈[0,2π]的简图．【解】按五个关键点列表：x 0π2π3π22π2sin x 020－20描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示．类型2利用“图象变换”作三角函数的图象例2利用图象变换作出下列函数的简图．(1)y＝1－cos x；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．【思路探究】对(1)先作出y＝cos x的图象，然后利用对称作出y＝－cos x的图象，最后向上平移1个单位即可；对(2)先画出y＝sin x在[0,4π]上的图象，然后把x轴下方的部分翻到x轴的上方即可．【自主解答】(1)作出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，并作出其关于x轴的对称图形，得y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象，然后向上平移一个单位，得y＝1－cos x的图象(如图①所示)．(2)作y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的图象，并将x 轴下方的部分翻转到x 轴上方(原x 轴上方的部分不变)，得y ＝|sin x |的图象(如图②所示)．规律方法函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，－f (x )与f (x )的图象关于x 轴对称，－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，f (|x |)的图象关于y 轴对称．变式训练作出y ＝1－sin 2x 的图象．【解】 y ＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝|cos x |. 作出y ＝cos x (x ∈R )的图象， 由于y ＝|cos x |的图象关于y 轴对称．∴把y ＝cos x (x ∈R )的图象位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方(原x 轴上方部分保留)得y ＝|cos x |的图象(如图所示)．类型3正弦(余弦)函数图象的应用例3 写出不等式sin x ≥12的解集．【思路探究】 解答本题可利用数形结合，分别画出y ＝sin x 和y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集．【自主解答】 在同一坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象以及直线y ＝12.由函数的图象知， sin π6＝sin 56π＝12.∴当0≤x ≤2π时，sin x ≥12的解为π6≤x ≤56π.∴不等式sin x ≥12的解集为{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }．规律方法1．用三角函数的图象解sin x >a (或cos x >a )的方法： (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象； (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值；(3)选取一个合适周期写出sin x >a (或cos x >a )的解集，要尽量使解集为一个连续区间． 2．用三角函数线解sin x >a (或cos x >a )的方法：(1)找出使sin x ＝a (或cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集． 变式训练写出sin x <12的解集．【解】 作出y ＝sin x ，x ∈[π2，52π]及y ＝12的图象如下：由函数图象可知sin x <12时56π<x <136π， 所以sin x <12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋56π<x <2k π＋136π，k ∈Z思想方法技巧数形结合思想在三角函数图象中的应用典例 (12分)求下列函数的定义域： (1)y ＝2sin x ＋1； (2)y ＝sin x －cos x【思路点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件→结合三角函数的定义域→求出不等式的交集即可【规范解答】 (1)要使y ＝2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12.2分结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数y ＝2sin x ＋1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z .............................6分(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.......8分利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示................................................10分在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的图象．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .........12分思维启迪(1)求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足：①使三角函数有意义；②分式形式的分母不等于零；③偶次根式的被开方数不小于零． (2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．课堂小结1．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．2．关键点指的是图象的最高点最低点及与x 轴的交点． 3．在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范．当堂双基达标1．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，12)B ．(π2，1)C ．(π，0)D ．(2π，0)【解析】 易知(π6，12)不是关键点．【答案】 A2．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )【解析】 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项． 【答案】 D3．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．【解析】 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝ －12(图略)，知两曲线有两个交点． 【答案】 两4．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图．【解】 (1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π y－1－2－1－1(2)如图所示：课后知能检测一、选择题1．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A ．向左右无限伸展B ．与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称【解析】 由正弦曲线，知A 、B 、C 均正确，D 不正确． 【答案】 D2．点M (π2，－m )在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2【解析】 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.【答案】 C3．从函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象来看，对应于sin x ＝12的x 有( )A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值【解析】 当x ∈[0,2π]时，sin π6＝sin 5π6＝12.【答案】 B4．函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且，x ≠π2)的图象是下列图象中的( )【解析】 y ＝cos x |tan x |＝⎩⎨⎧sin x ，0≤x ＜π2或π≤x ＜3π2，－sin x ，π2＜x ＜π.其图象如图所示：【答案】 C5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A ．(π4，π2)∪(π，5π4) B ．(π4，π)C ．(π4，5π4)D ．(π4，π)∪(5π4，3π2)【解析】 如图所示(阴影部分)时满足sin x >cos x .【答案】 C 二、填空题6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是__________．【解析】 画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]上的图象如下图所示． cos x >0的区间为[0，π2)∪(3π2，2π]．【答案】 [0，π2)∪(3π2，2π]7．函数y ＝log 12sin x 的定义域是__________． 【解析】 由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .【答案】 {x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z }8．如果直线y ＝m 与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象只有一个交点，则m ＝________；有且只有两个交点，则m 的取值范围是________．【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]及y ＝m 的图象如下：由图可知，当m ＝1或m ＝－1时二图象只有一个交点；当－1<m <1时，二图象有且只有两个交点．【答案】 1或－1，(－1,1) 三、解答题9．用五点法作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 【解】 列表：x 0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x12110．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．图1－4－1【解】 观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形， 有S1＝S 2，S 3＝S 4.因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. ∴所求封闭图形的面积为4π.11．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0，14]，求函数y ＝f (sin 2x )的定义域．【解】 依题意，有0≤sin 2x ≤14，∴－12≤sin x ≤12.∴f (sin 2x )的定义域为2k π－π6≤x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ≤2k π＋7π6(k ∈Z )，即[k π－π6，k π＋π6](k ∈Z )．【教师备课资源】1．巧用正弦、余弦函数图象解决方程有解问题(1)方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是__________． (2)方程sin x ＝lg x 的解的个数是__________．【思路探究】 (1)可在同一坐标系中作出y ＝x 2，y ＝cos x 图象，数形结合判断；(2)在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 与y ＝lg x 图象来解．【解析】 (1)作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．(2)建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2 π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点(110，－1)，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．【答案】2 31．对于含有对数式、指数式、三角函数式的方程问题常常通过构建相关函数，借助于其图象来求解．2．求解这类问题思路是：(1)分离函数式到方程两边；(2)分别构建函数；(3)在同一平面直角坐标系中作函数图象，数形结合求解．。
高中数学《三角函数》单元教学设计
出角α，β，α － β的始边和终边与单位圆的交点A，P1，A1，P的坐标；接下来，利
用圆的旋转对称性，得到等量关系AP＝A1P1 ；最后根据两点间的距离公式得到两角
差的余弦公式. 这样，以单位圆的几何直观为纽带，可以将三角恒等变换与整个三
逻辑推理
诱导公式、三角恒等变换
数学运算
诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换
思想方法
数形结合
在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数
形结合思想的应用
特殊到一般
研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象，按照y＝sin x→y＝
sin（x+φ）→y＝sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）的线索
解决数学问题的素养，建立形与数的联系是其包括的主要方面. 从三角函数的定义
可以看出，三角函数与圆有着直接的联系. 事实上，任意角、任意角的三角函数、
三角函数的性质（周期性、单调性、最大值、最小值等）、同角三角函数的关系式、
诱导公式、三角函数的图象等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们把三角函
数称作“圆函数”的原因.因此，在三角函数的研究中，借助单位圆的几何直观是
数的变化对函数图象的影响．
（3）同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1， sin x tan x
（4）三角恒等变换
cos x
①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们
人教版新课程5.4三角函数的图像与性质学科素养教学设计(3课时)
【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像教学设计（人教A版）由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x ∈[0,2π]时，y ＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？ 2．怎样作出正弦函数y=sinx 的图像？ 3.怎样作出余弦函数y ＝cos x 的图像？ 4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
2. 学会利用三角函数图象和性质解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和图形感知能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义及基本概念。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
3. 三角函数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
2. 难点：三角函数图象和性质的灵活运用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学，增强学生对图象的直观感受。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的三角函数知识，引出本节课的主题——三角函数的图象与性质。
3. 练习与讨论：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，并进行小组讨论，分享解题心得。
4. 实际问题解决：选取几个实际问题，让学生运用三角函数图象和性质进行解答，提高学生的应用能力。
6. 布置作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
附：教学课件及练习题（略）六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对三角函数图象和性质的理解程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力、分享精神等。
4. 实际问题解决评价：评估学生在解决实际问题时，运用三角函数图象和性质的准确性及灵活性。
七、教学拓展：1. 引导学生研究三角函数图象的变换规律，如平移、缩放等。
2. 介绍三角函数在工程、物理等领域的应用，拓宽学生的知识视野。
3. 鼓励学生探索三角函数与数列、几何等学科的联系，提高学生的综合运用能力。
八、教学反思：1. 反思教学目标的设定，是否符合学生的实际需求。
2. 反思教学内容的选择，是否适合学生的认知水平。
1.4 三角函数的图象与性质 教学设计 教案
教学准备
1. 教学目标
知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出正弦曲线的图象，明确图象的形状；
（2）根据诱导公式，作出余弦曲线的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和
工作精神；
2. 教学重点/难点
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象。
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
正弦函数、余弦函数的图象
教学过程
课堂小结
本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线几何画法和五点法2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系课后习题
板书。
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三角函数图象变换教学设计
一、新课引入：
师：前面我们学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶
性、周期及单调区间？
生：定义域：R，值域：[-1，1]，奇函数，单增区间：[]单减区间：
[]
师：回答的很好，那么形如函数的定义域、
值域、奇偶性、周期及单调区间又如何呢？
（一片茫然，没有学生回答）
师：大家别着急，今天我们就要来学习它们的图象和性质，并通过它们的图象和性质进一
步来探究它们的图象与y=sinx图象会有什么样的关系．
二、动手实验：
下面请大家用图形计算器在同一坐标系分别输入以下几组三角函数的图象，并观察每一组
图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行
小组讨论、交流．
第一组：
第二组：
第三组：
（教师巡视，同时指导学生经常出现的问题：弧度与度的单位转换、
三、师生交流：
师：从下列第一组图1，你有什么体会？
图1
师：的定义域、值域、周期分别是多少？
生：的定义域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：应该与y=sinx的一
样还是
师：不错，那么呢？
生：的定义域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：
师：很好，那么它们三者之间的图象有什么关系呢？
生：好象它们之间有一定的伸缩关系
师：能不能再说得具体一点吗？
生：伸缩倍数是不是与2和有关呢？
师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急．下面请大家先看大屏幕几何画
板的动画演示
（老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和有关，只是猜想不知是否正
确，此时，利用动画演示有助于验证他们的猜想）
图2
演示1：拖动点C,请大家观察图象上D、E的运动，在横坐标相同的条件下，纵坐标的变化，
同时注意比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx）
图3
演示2：拖动点B，观察图象y=sinx与y=Asinx图象，当A发生变化时，点D、E的纵坐标
的变化，同时注意比值的变化．（改变A的值，整体对比y=sinx与y=Asinx的关系）
进一步引导,观察,启发：
师：通过上述实验和我刚才的几何画板演示，你又有什么体会？
生： 函数y=1/2sinx的图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍
而得(横坐标不变)，函数y=2sinx图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的
2倍而得(横坐标不变)
师：太好了，回答完全正确．
（演示进一步巩固了他们的猜想）
教师总结：
一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A11)的图象可以看作把正弦曲线y=sinx上的所有点的纵坐
标伸长(A>1)或缩短(0第二组：
师生交流：
师：和第一组一样，你们有什么体会？
图4
师：与的定义域、值域、周期分别是多少？
生：与的定义域：R,值域：[-1，1]，和y=
sinx的都一样，周期是多少看不出来，反正它们的周期显然不一样．
师：是的，他们的图象差别太大，但是可以看出一个周期较小，一个较大．
（教师想通过周期的不一样来突破周期变换）
现在我给大家演示两个动画3．
图5
演示1：拖动点A （A、B,它们分别在各自的图象上）在纵坐标相同的条件下，观察A、B
的横坐标的变化，以及的比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx的关系）
演示2：拖动点B, 改变W的值，再观察上述的变化．（改变W的值，进一步观察y=sinx
与y=sinWx的图象关系）
(该环节的演示要慢，要让学生注意观察比值的不变特点)
图6
进一步引导, 观察启发:
师：通过上述实验和几何画板的动画演示，你又有什么体会？
生：函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来
的倍(纵坐标不变)而得到的 函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到
师：大家已经能通过第一组的变换特点，类比的方式得到它们之间的关系，真的很不错．那
么谁能把y=sinωx图象与y=sinx的图象作比较 ，说出它们之间的关系吗？
生：函数y=sinωx, x∈R (ω>0且ω11)的图象，可看作把y=sinx所有点的横坐标缩短(ω>
1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
（鼓励学生用自己的语言来归纳，总结）
师：有进步．
总结：
一般地，函数y=sinωx, x∈R (ω>0且ω11)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐
标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．我们把这种变换简称为周期（或者
伸缩）变换．
第三组：
图7
师：它们的定义域、值域、周期分别是多少？以及它们的图象关系又有如何关系？
生：定义域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，图象似乎与我们以前学过的具有
平移关系．
（因为高一学习过一些简单的平移，学生对平移的说法可以很快的提出）
师：回答的十分正确．那么大家再用功能键追踪，观察它们的平移的方向和平移的单位
有什么特点？
师：请大家看我用几何画板的动画演示4．
演示1：拖动点C,观察变化．（观察平移的单位）
演示2：拖动点B,改变B的值，观察平移的方向．（让学生去发现：从左边移动(B>0)，从
右边移动（B<0）
图8
引导,观察,启发：
师：通过上述实验、和几何画板演示的结果你有什么体会？
生：函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平行移动
个单位长度而得到 .函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有点向
右平行移动个单位长度而得到
师：太棒了，回答的十分正确．
教师总结：
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向
左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方
向：“加左”“减右”)，我们把这一变换称为平移变换
四、运用反思：
1、下列变换中，正确的是
A 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C 将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到y＝si
nx的图象
D 将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，
即得到y＝sinx的图象
答案：A
2．
师：大家可以选择变换路径
（由于前面都是单一的变换，可以提示学生先选择变换路径）
生： 即把y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图
象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/2，然后把图象上的所有点向右移动个单位．
师：有不同意见吗？
生：是的，基本就是这样．
师：从一定是向右平移个单位吗？
生：是啊
（全体学生感到纳闷，老师为什么这样问呢．）
师：好吧，请大家用计算器实验，看看他说的是否正确？
师：请大家再看我的演示：拖动点A,观察点A、C横坐标的变化．（观察它们距离的单位刻
度是多少．）
图9
生：我知道了，应该是向右平移，而不是
师：不错应该是应该是向右平移，这是我们经常会犯的错误，一般地，函数的平移是指
变量的变化量，所以要把函数化为从中可以看出
，所以应该是向右平移
（这时学生在做次类题目，经常容易犯的错误，应引起足够的重视）
五、小结与思考：
今天我们学习了三种三角函数：形如图象是由
y=sinx的图象怎么变换得到，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．
思考：
上述三种三角变换适应于三角函数的图象外，是否也适应于一般函数的图象的变换吗？请
同学们下去通过今天学习思考下列几组函数图象的关系
1、与
2、
3、
（让学生下去动手实践，、探索和验证，也为后期函数图象变换的学习作准备）
六、作业：