高等代数作业 第二章行列式答案讲课讲稿
高等代数第二章2.1
答案: 答案
方法一
n(n − 1) (1) τ = (n − 1) + (n − 2) + ⋯ + 2 + 1 = 2 时为偶排列； 当 n = 4k , 4k + 1 时为偶排列；
时为奇排列. 当 n = 4k + 2, 4k + 3 时为奇排列
τ （2） = 1 + 2 + ⋯ + n + ( n − 1) + ( n − 2) + ⋯ + 2 + 1 ） n( n + 1) n( n − 1) = + = n2 2 2 为偶数时为偶排列， 当 k 为偶数时为偶排列，
(1) (2)
(1) × a22 : (2) × a12 :
a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得
它的解是否也有类似的结论呢？ 它的解是否也有类似的结论呢？
(∗)
为此，本章依次解决如下问题： 为此，本章依次解决如下问题： 怎样定义n级行列式 级行列式？ 1）怎样定义 级行列式？ 级行列式的性质与计算？ 2）n级行列式的性质与计算？ 级行列式的性质与计算 方程组( 在什么情况下有解？ 3）方程组(＊)在什么情况下有解？ 有解的情况下，如何表示此解？ 有解的情况下，如何表示此解？
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 原方程组有唯一解
第二章行列式2013
τ = τ (i1i2 Lin ) + τ ( j1 j2 L jn ).
说明
重要结论
例1.2 证明对角行列式 P39
λ1 λ2
O
1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定 义的; 2. n 阶行列式是 n!项的代数和; 3. n 阶行列式的每项都是位于不同行,不同列 n 个元素的乘积; 4.一阶行列式 a = a ,不要与绝对值记号相混淆.
4
观察（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为
n 阶行列式的定义
定义1.1
τ (312) = 2 + 0 + 0 = 2, 偶排列, 正号;
对于 n 阶矩阵 A = ( a ij ), 定义 n 阶行列式 A 的值等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和
6
例3
重要结论
1 2 3 4 D= 0 4 2 1 = 1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
例1.4 P40
a11 L a1k M M
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
b11 L b1n A2 = det(bij ) = M M , bn1 L bnn
a11 L a1k M M 设D= a k 1 L a kk c11 L c1k M M c n1 L c nk
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n O M a nn
重要结论 a11
a11
a 21 M a n1
a 22 M O a n 2 L a nn
=
a12 L a1n a 22 L a 2 n O M a nn
高等代数【北大版】2
2.三级行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
§2.3 n阶行列式
a11 a12 a13 a11 a12
D a21 a22 a23 a21 a22
2 (3)
(1) 4 2
123 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 321
§2.3 n阶行列式
例2.
1000 0200 0030 0004
(1) (1234) a11a22a33a44
24
1
2
3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5
6! 720
a31 a32 a33 a31 a32
沙路法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法
§2.3 n阶行列式
3.n 级行列式
n 级行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
a a a 1 j1 2 j2
njn
(1)
的代数和，这里 j1 j2 jn 为 1,2, ,n 的排列.
每一项（1）都按下列规则带有符号:
当 j1 j2 jn 为奇排列时（1）带负号；
当 j1 j2 jn 为偶排列时（1）带正号；
§2.3 n阶行列式
线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第二章、行列式习题答案
a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时 ，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行 列 式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2
x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi
Di D
x1 x2
1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0
1 0 1
n
c1
i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0
湖州师范学院高等代数第二章 行列式
二、n 级行列式的等价定义
a11 a12 L a1n
D
a21 a22 L LLLL
a2n
(1) (i1i2L in ) ai1 a1 i2 2 L ainn
an1 an2 L ann i1i2L in
这里 表示对所有1、2、… 、 n的n级排列和．
i1i2L in
证明：按行列式定义有
定理1
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
证明 1) 特殊情形：作相邻对换 设排列为
a1 al abb b1 bm 对换a与b a1 al ba b1 bm 除a ,b 外，其它元素所成逆序不改变.
当a b时， 经对换后 a 的逆序增加1个 , b 所成逆序不变; 当a b时，
2 (3) (1) 4 2
123 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 321
例2.
1000 0200 0030 0004
(1) (1234) a11a22a33a44
24
1
2
3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
a1 j1a2 j2 L anjn
(1)
的代数和，这里 j1 j2L jn 为 1,2,L ,n 的排列.
每一项（1）都按下列规则带有符号：
当 j1 j2L jn 为奇排列时（1）带负号；
当 j1 j2L jn 为偶排列时（1）带正号；
即
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
LLLLL
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列（逆序数为0）, 因此知结论成立.
高等代数习题解答(第二章)
高等代数习题解答第二章 行列式1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．1）解 当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解 当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换． 解 (1,2)(1,5)(4,3)12435214352543125341→→→．4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性． 解 ()(1)(1)21012(2)(1)2n n n n n n τ--=++++-+-=． 当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列； 当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？解 由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2(1)2n n n C -=，把一个排列颠倒后，原来的逆序变成顺序，原来的顺序变成逆序，所以排列121n n x x x x - 的逆序数(1)2n n k --． 6．在6级行列式中，233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 这两项应带有什么符号？解 由于(234516)(312645)4ττ+=+=；(341562)(234165)6410ττ+=+=，故两项均应带有正号．7．写出4级行列式中所有带负号并且包括因子23a 的项． 解 所求的项为112332a a a a -；12233441a a a a -；14233142a a a a - 8．按定义计算行列式：1）000100200100000n n-； 2）010000200001000n n -；3）00100200100000n n-．1）解 原行列式(1)((1)21)2(1)!(1)!n n n n n n τ--=-=- ．2）解 原行列式(231)1(1)!(1)!n n n n τ-=-=- ． 3）解 原行列式(1)(2)((1)(2)21)2(1)!(1)!n n n n n n n τ----=-=- ．9．由行列式的定义证明：123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e =． 证明 由定义，行列式的一般项为125125()125(1)j j j j j j a a a τ- ， 其中，125j j j 是一个5级排列．在这个5级排列中，345,,j j j 至少有一个大于或等于3，则相应的元素等于0，由此可知每一项都为0，从而行列式为0．10．由行列式的定义计算212111()321111xx x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由．解 ()f x 的展开式中x 的4次项只有一项：(1234)(1)2x x x x τ-⋅⋅⋅，故4x 项的系数为2；x 的3次项也只有一项：(2134)(1)1x x x τ-⋅⋅⋅，故3x 项的系数为1-．11．由1111110111=证明：奇偶排列各半．证明 由于行列式的每个元素都等于1，所以它的每一项的绝对值都等于1，当行标按自然顺序排列时，符号由列标排列的奇偶性确定，当列标排列为奇排列时，符号为负，当列标排列为偶排列时，符号为正．由又由于行列式等于0，说明带正号的项与带负号的项个数相等，即（列标排列中）奇排列与偶排列各占一半．12．设21211112111111()1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------=，其中121,,,n a a a - 是互不相同的数．1）由行列式定义，说明()p x 是一个1n -次多项式；2）由行列式性质，求()p x 的根．解 1）()p x 的展开式中，含1n x -的只有一项，其系数是211112112222111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a a a --+-----，由于121,,,n a a a - 互不相同，上述的范德蒙德行列式不等于0，故1n x -项的系数不等于0，从而()p x 是一个1n -次多项式．2）2121111111112111111()()()1n n n n i j k i i k n n n n n x x x a a a p x a x a a a a a ----=≤<≤-----==∏-⋅∏-，而111()0n j k i k n a a -≤<≤-∏-≠，于是()p x 的根是121,,,n a a a - ．13．计算下面的行列式：1）2464273271014543443342721621； 2）xy x y yx y x x y xy+++；3）3111131111311113； 4）1234234134124123；5）1111111111111111xx y y+-+-； 6）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++．1）解 2464273271014543443342721621123100042732720005434431000721621c c c ++=23100010032720001004431000100621c c -= 121000100511327102144311621c c ÷÷=21312511327100121100294r r r r --=--529410=-⨯．2）解 xy x y y x y x x yx y +++()()()123222c c c x y y x y x y x yx x y xy++++=+++()()121211c x y y x y x y x y x xy÷++=++()2131120r r r r y x yx y xy x yx--+=+---()2x yx y x y x-=+--()()22()()x y x y x y =+----()22332()2()x y x xy y x y =+-+-=-+．3）解311113111131111312346111631161316113c c c c +++=2131416111020000200002r r r r r r ---=622248=⨯⨯⨯=．4）解1234234134124123123410234103411041210123c c c c +++=21314110234011302220111r r r r r r ----=-----32412102340113004404r r r r -+-=--101(4)(4)160=⨯⨯-⨯-=．5）解1111111111111111xx y y +-+-123411110011110r r r r x x x y yy--+--=+--21431100001010c c c c x x x y yy--+--=+--241300(1)0x x y y+++--=---拉普拉斯定理22xy xy x y =⋅=．注1：也可以不用拉普拉斯定理；注2：另解 将第4行拆成两行．6）解2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++2131412222214469214469214469214469c c c c c c a a a a b b b b cc c cd d d d ---++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++．14．证明1111111112222222222b cc a a b a b cb c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++． 证法一 左边1231111122222222c c c a c a a b a c a a b a c a a b ---++=-++-++1(2)11111222222c a c a a b a c a a b a c a a b ÷-++=-++++ 21311112222c c c c a c b a c b a c b --=-231112222c c a b ca b c a b c ↔==右边．证法二 左边123111111122222222()2()2()c c c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++=++++++++12111111122222222c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ÷++++=++++++++ 213111111222222c c c c a b c b c a b c b c a b c b c --++--=++--++--1231112222c c c a b c a b c a b c ++--=----23(1)111(1)2222c c a b ca b c a b c ⨯-⨯-==右边． 15．略16．计算下面的行列式：1）1111211312254321- 2）111121121311113211102---3）0121420121135123312121035-- 4）111122011213210211012121302--- 1）解111121*********1-21314124111101151140123r r r r r r ------=---3242111101150001012r r r r +----=--3411110115001201r r ↔---=--34111101151(1)(1)(1)1001201r r ↔---=-=-⨯-⨯-⨯-=--．2）解111121121311113211102---1243223112122211211123201c c c ⨯⨯⨯-=--131211122213112123201r r ↔--=--213141331211041310541120834r r r r r r +-+-=----231211015210541120834r r +--=----32425812110152100211112003720r r r r -+--=--- 211111(1)372012--=-⨯⨯-1(2120(11)37)12=⨯-⨯--⨯1312=-．3）解 0121420121135123312121035--31415133012142012110141030551120241r r r r r r ----=------122121114101(1)355112241+---=⨯----1232422320110191141008174141219r r r r r r +++-----=-----2111019(1)(1)8174141219+--=--⨯-----2331241101907302857r r r r ---=----1173(1)(1)2857+--=--⨯--21473069r r ---=483=-．4）解 1101122011213210211012121302---13522221022201121642108110124261r r r ⨯⨯⨯--=-3141514221022201121202788300300645r r r r r r -+---=--- 31415141222112227811(1)303080645r r r r r r -++----=⨯⨯--31211222581300080645c c -----=--313111213(1)2588645c c -+--=-⨯⨯---21312611230712801017r r r r ++--=---117123(1)(1)10178+-=-⨯-⨯--33((7)1712(10))88=-⨯-⨯-=．17．计算下列n 级行列式：1）000000000000x y x y x y yx； 2）111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------；3）121212n n n x m x x x x m x x x x m---； 4）122222222232222n；5）12311100002200011n n n n-----． 1）解 000000000000x y x y x y y x111110000000000000(1)(1)00000000000000n n n x y y x y x y x y x y y x x y ++--=⋅-+⋅-按第1列展开111(1)n n n x x y y -+-=⋅+⋅-1(1)(2)n n n x y n +=+-≥．2）解 当1n =时，1111a b a b -=-； 当2n =时，11122122a b a b a b a b ----112212211212()()()()()()a b a b a b a b a a b b =-----=--；当3n ≥时，111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------21311112121212131313112nr r r r n n n na b a b a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b --------=------=0． （第2，3两行成比例）3）解121212n n n x mx x x x m x x x x m---12212121nni n i nc c c i n i ni n i x mx x x mx m x x mx x m=+++==---=--∑∑∑121(2,3,,)000i ninr r i i n x mx x m m-==--=-∑11()n n i i m x m -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑． 4）解 122222222232222n2(1,3,4,,)1000222200100002i r r i n n -=-=-2121000022200100002r r n +-=-(1)2(2)!2(2)!n n =-⨯⨯-=--．另解：1(2,3,,)i r r i n -= ，然后按第2行展开．5）解 1231110000220000011n n n n -----12(1)23120100002200011nc c c n n n n n n++++--=---10002200(1)211n n n n--+=--按第1列展开(1)(1)(2)(1)2n n n +=---11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=-． 另解：第1列起，各列加到后一列，然后按第n 列展开．18．证明1）01212011111001100()100nn i ina a a a a a a a a ==-∑； 2）012111021000100010000001n n n n n x a x a x a x a x a x a xa x a ------=++++-+；3）1100010001000001n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+； 4）cos 100012cos 100cos 012cos 00012cos n ααααα=；5）1231211111111111111111(1)11111nn i ina a a a a a a a =+++=++∑． 1）证法一 当1n =（2级）时，左边=0011111a a a a =-=右边；假设等式对于n 级的情形成立，则对于1n +级情形：左边=0121111001001na a a a0111(1)1(1)(1)2211111111100000(1)(1)100000100n n n n n n nna a a a a a a ++++++-=-+-按第行 展开1(1)1(121)12112101(1)(1)[()]n n n n n n n iia a a a a a a a a τ-++---=--+-∑第2个行列式根据归纳假设112112101[()]n n n n iia a a a a a a a a ---=-+-∑ 12101()nn n i ia a a a a a -=-∑=右边． 证法二 左边=012111100100100n a a a a11221(1)1033200011111111000000000000000(1)000000n n na a a a a a a a a a ++=-++-按第列 展开2(121)01223121(1)(1)n n n n n n a a a a a a a a a a τ+--=-++-- 2101223121(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a +--=-++--01223121n n n a a a a a a a a a a -=--- =右边．证法三提示 将第(2,3,,1)i i n =+ 行的1ia -倍加到第一行即得下三角行列式． 2）证法一 当1n =时，左边=00x a x a +=+=右边； 假设等式对于n -1级情形成立，则对于n 级情形：左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+0121032110001000100010001000100(1)000000100101nn n n n xa x x a x x a xa xa x x a +---------=+---+-按第1行 展开111210()(1)(1)n n n x x a x a a -+-=++++-- 第1行列式根据归纳假设2210()n x a x a x a =++++ 第1行列式根据归纳假设=右边．于是，等式成立．证法二 左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+120110000000010001000010000100(1)(1)000100010101n nnx x x x a a x x ++-----=-+-+----按第列 展开(1)21000000001000100001000100(1)()(1)00000000000100n nn nn n x x x x x x a x a xx x-++-------++--1122211210121(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x x a x +-+------=--+--++--++- 110121()n n n n a a x a x x a x ----=+++++=右边．3）将等式左边的行列式记为n D ，按第1列展开，得 12()n n n D D D αβαβ--=+-， 即 112()n n n n D D D D αβα----=-， 该等式对于一切的n 都成立，于是2123()n n n n D D D D αβα----=- 334()n n D D βα--=- =221()n D D βα-=-22[()()]n βαβαβααβ-=+--+n β=． ① 在原式中，是,αβ对称的，故同理可得1n n n D D βα--=． ②②α⨯-①β⨯，得11()n n n D αβαβ++-=-，所以 11n n n D αβαβ++-=-．另解 第二数学归纳法，按第1行展开（略）．4）提示 用第二数学归纳法，按第n 行展开得122cos n n n D D D α--=⋅-． 5）提示 用数学归纳法，将第n 行拆成两行111 与00n a ． 19—21略。
第二章 行列式
第 2章
2.1 映射与变换 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2.2 置换 2.3 矩阵 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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高等代数与解析几何
第 2章
行列式
前面已经看到, 三阶行列式可以用于求解三阶线性方程组, 计算三角形的 面积, 计算平行六面体的体积等, 三阶行列式还可以用于三个向量或空间四点 是否共面等. 这一章把行列式的概念推广到n阶, 讨论其性质及计算, 并介绍 用n阶行列式求解n阶线性方程组的克拉默法则.
=
记作(ij ). 对换的逆置换就是它自己. 逆 序 对: 如果i < j 时有p(i) > p(j ), 就称(p(i), p(j ))构成一对逆序. 逆 序 数: 排列p(1)p(2) · · · p(n)所包含的逆序对的个数称为这个排列的逆序 数, 也称置换的逆序数, 记为N (p). 符号sgn(p) (−1)N (p) 称为p的符号; 如果sgn(p) = 1, p称为偶 偶 置 换, 如 果sgn(p) = −1, p称为奇 奇置 换 . 例 2.3. 确定排列321和4321的逆序数及符号. 解 : 排列321的逆序对有(3, 2), (3, 1), (2, 1), 所以N (321) = 3, sgn(321) = −1; 排列4321的逆序对有(4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 2), (3, 1), (2, 1), 所以N (4321) = 6, sgn(4321) = 1. 引 理 2.1. 置换与对换相乘后, 其符号发生改变. 证 明 : 设p = p · (ij ) 5 1 2 3 ··· n , 则有(设i < j )
第二章行列式
第二章 行列式 基本内容及考点综述一、基本概念 1.逆序、逆序数在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.2.n 级行列式. n 级行列式n n nnj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a ,,,)1(21212121)(212222111211τ-∑=.二、基本性质1. 行列式与其转置列式相等即T D D =.2. 用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行(列)的所有元素,或行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.3. 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.4. 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.5. 对换行列式中两行的位置,行列式反号.6. 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.7.11112111121111211211221221212n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a ab b b bc b c b c c c c a a a a a a a a a +++=+11221122||,8.0,||,0,k i k i kn in k j k j nk nj A i k a A a A a A i kA j ka A A A a A j k=⎧+++=⎨≠⎩=⎧+++=⎨≠⎩当当当当其中ij A 是元素ij a 的代数余子式.9. (拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行,由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .三、基本方法本章的重点是行列式的计算,关键是观察、分析行列式的特点,探索、寻找最佳的解题思路.下面介绍几种常见的行列式计算方法.1.化三角形法.利用行列式的性质,将行列式化成上(下)三角行列式.2.降价法,将行列式D 按某一行展开或将D 按某k 行展开,将较高阶的行列式化成较低阶的行列式计算.3.升阶法.将n 阶行列式D 增加一行一列变成1+n 阶行列式,使它更容易计算.4.递推法.利用行列式的性质将n 阶行列式n D 用较低阶的形状与n D 完全一样的行列式1-n D 、2-n D 来表示.如果n 阶行列式n D 满足021=++--n n n cD bD aD .作特征方程02=++c bx ax如果,0≠∆则特征方程有两个不相等的复根21,x x ,令.1211--+=n n n Bx Ax D 其中B A ,为待定常数,令2,1=n 可求出B A ,.如果,0=∆则特征方程有重根21x x =,令11)(-+=n n x nB A D ,其中B A ,为待定常数,令2,1=n ,可求出B A ,.值得注意的是,三对角行列式经常在试题中出现,一般都可用递推法来解.5.拆项法.将行列式D 的某一行都写成两个元素和的形式,将D 表成两个行列式的和.6.数学归纳法.先观察 ,,,321D D D ,得出猜想,然后用数学归纳法证明.试题精选1.(华东师大,1996) 计算n 阶行列式.xzy x x z y x z y x D n +++++=10100000100010001其中yz x =. 解法1:数学归纳法.22211)1(,1x x yz x D x D ++=-+=+=. .1323x x x D +++=猜想 n n x x x D ++++= 21.用数学归纳法证明.当1=n 时,x D +=11,结论成立. 假定小于n 时结论成立,将n D 按第1行展开.++=+++-+++++=-+=----x x x x x x x x x yzD D x D n n n n n 1)1()1)(1()1(221221 .2n x x ++ 所以结论成立.解法2:递推法..)1()1(2121-----+=-+=n n n n n xD D x yzD D x D 于是2211)(x D D x D D n n n n =-=---- n n n n n n x D D x D D x D D =-==-=------)()()(12243332 .以上等式对所有1>n 都成立.那么有2123231211x D D x D D x D D x D D n n n n n n =-=-=-=-----将以上1-n 个等式相加,有1321.n n n D D x x x x --=++++所以n n x x x D ++++= 21.解法3:拆项法.将n D 的第1列都写成两个数的和的形试,1,0,,00.x z +++ 那么110100000100010001-+++++=n n xD xzy x x z y x z y D将以上行列式的第1列的)(y -倍加到第2列,第2列的)(y -倍加到第3列,…,第1-n 列的)(y -倍加到第n 列，那么21222233212111(1)11(1)111n n n n n n n nD xD x xD x x D x x xD x x x D x x x D x x x ------=+=++=++=+++=+++==++++=++++３2.(华东师大,1995) 计算n 阶行列式1100110110=n D解:将n D 先按第1行展开,然后按第1列展开,有2--=n n D D 所以24462()(1)k n n n n n n k D D D D D D -----=-=--==-==-当n 为奇数时,令12+=m n ,则0)1()1(1212=-=-=-+D D D m m n m m . 当n为偶数时,令m n 2=,则21122(2)2(1)(1)(1)(1)(1)n m m m m n n D D D -----=-=-=--=-= ⎩⎨⎧+=-=.12,1.2,1t m t m3.(华东师大，1991)计算n 阶行列式123111111111111111111111n n n n n D n n---=--解：将第2列，第3列，…,第n 列都加到第1列上.(1,2,,(1)23111112011111111(1)0111121111011111111011111111000111100(1)(1)22111100011111111(1)(1)2n n n n n n n n n n n n n D n n n n n nn n n n n n n n n n τ--+----+-===----------++=-----+=-(1)(2)2,1)2122(1)12(1)(1)()(1)(1)2(1)(1)2n n n n n n n n n n n n n n -------+-⋅-=--⋅+=-⋅注:对n 阶行列式的计算结果,一般情况下都应当检验,用3,2=n 代入,即可检验结果是否正确,例如本题2=n 时,2123,11D ==--用2=n 代入，结果也等于-3,因此可以初步断定结果是正确的.4.(华东师大,1991)计算n 阶行列式.011011110n D --=-解:将n D 按第1行展开,再按第1列展开.===--42n n n D D D当n 为偶数时,121====-D D D n n .当n 为奇数时,令,12+=m n 0122=====--D D D D m n n n 5.(华东师大,1994)计算n 阶行列式1123112221000000n n n n na x a a a a x x D x xx x --+-=--,其中01≠∏=i ni x .解:将n D 第1列都写成两个数和的形式,,00,,00,0,111++-+ x x a 那么2312123123123412312314322312321231311000000000110000100001000010001000000000000n n n n n n n n n nn n n nn na a a a x D a x x x x x x x x a a a a a x x a x x x x x x a a a a a a a x x x x a x x x x x x -----=+----=+--++++=+321231223121212(1)(1).nn n nnn na a a a x x x x x x x x x a a a x x x x x x =+++++=++++6.(华东师大,2002)计算n 阶行列式xx x x x D n22212221222122214444=解:将第1列的-2倍依次加到以下各列.)2)](1(2[2000100201000210000)1(2200010020100021242424241---+=----+=-------=n n x n x x x x n x x x x x x x x x D 7.(大连理工,2004)计算n 阶行列式111121112121111n n n D n--=-解 将第2行，第3行，，第n 行都加到第1行上(1)1(1,2,,2,1)12111111111111121000102111110(1)(1)(1)(1).n n n n n n n n n D nnn n τ-------==--=--=--8.(浙江大学,2004)计算n 阶行列式123123413451211321221n n n n D n n n n nn n -=-----解:将第1-n 行的(-1)倍加到第n 行,第2-n 行的(-1)倍加到第1-n 行,…,第1行的(-1)倍加到第2行.1(1,2,,1)12311122111111100011111100011111101111111211122100000000000012(1)(1)()(1)(1)n n n n n n n n n n n n n D n n n n n n n n nnn n n n n n nτ----------==-----++++----=--+++-=+--=-(1)121.2n n n n --+⋅⋅9.(江苏大学,2004)计算n 阶行列式.xx x x D n αααααααααααααααα-------=解:111()0000000000()2000222()()n n n n x xD x xx xDx xx D x ααααααααααααααααααααααααααααααααα----++-+=-+--+------=++----+----=+--由行列与其转置行列式相等,于是有1111()()()()n n n n n n D x D x D x D x αααααα----⎧=+--⎪⎨=-++⎪⎩解关于1,-n n D D 的方程组得()()2n nn x x D αα++-=10.(武汉大学,1998)设)(,),(),(,221x f x f x f n n ≥是关于x 的次数2-≤n 的多项式,n a a a ,,,21 为任意数,证明:行列式0)()()()()()()()()(212222111211=n n n n n n a f a f a f a f a f a f a f a f a f并举例说明条件“次数2-≤n ”是不可缺少的.证明1:121112(),(),,()[],dim []1,(),(),,()n n n n f x f x f x P x P x n f x f x f x --∈=-于是线性相关,不妨假定.).()()()(112211x f k x f k x f k x f n n n --+++= 显然有112211()()()(),1,,n i i i n n i f a k f a k f a k f a i n --=+++=将以上行列式第1列的1)k -（倍,第2列的2k -（）倍,…,第1-n 列的1n k --（）倍加到第n 列，那么它的第n 列全变成零,因此行列式为零.证明2:当n a a a ,,,21 中有两个数相等时,等式显然成立. 当n a a a ,,,21 是n 个互不相等的数时,令)()()()()()()()()()(212222121n n n n n n a f a f a f a f a f a f x f x f x f x F=假定)(x F 不是零多项式,则(())2F x n ∂≤-,令n a a a x ,,,32 =,则0)()()(32====n a F a F a F .)(x F 有1-n 个根,矛盾,所以)(x F 是零多项式,当然0)(1=a F ,因此结论成立.当3=n 时,令.1)(,1)(,1)(2321+=-==x x f x x f x f 取1230,2,1,a a a ===-那么.06110420111221511111)1()1()1()2()2()2()0()0()0(321321321≠=--=--=---f f f f f f f f f 因此条件“次数2-≤n ”是不可缺少的。
(完整版)第二章行列式习题解答
第二章行列式习题解答1. 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：1) 134782695;解•吒13478269为=0 + 4 +0 + 0+ 4 +2 + 0 + 0 = 10 偶排列.2) 217986354;解：吃179 眈54)二1+0 + 4+5+4+3+0+1 = 18 ,偶排列；3) 987654321;解：璋876別艾1) =8 + 7+&+5 + 4+F+2 + 1 = 26 ,偶排歹【」.2. 选择'与上使1)1274巧陆9成偶排列；解：•与上一个为3,另一个为8,而咲1刀43两9) = 2+1+1+1 = 5 是奇排列，由对换的性质因此有H；2 )庇荻4斬成奇排列.解：与七一个为3,另一个为6,而^32564897) = 1 + 2 + 2 = 5是奇排列，因此有心工宀6.3. 写出把排列1羽孑5变成排列25341的那些对换.解：124站卩* )214笳(也)25431 仲)比鈔414. 决定排列巾-—心的逆序数，并讨论它的奇偶性.解：1与其他数构成卫个逆序，2与其他数构成汽_2个逆序，…山-2与其他数构成2个逆序，芒一1与兀构成1个逆序，故巩対住_1)…21)二3_1)十@_2) +…+2+1二^当"毗或"滋+ 1(上为正整数)时，排列为偶排列；当"处+2或n-Ak^3为正整数)时，排列为奇排列.5. 如果排列 w’j 二的逆序数为：，排列厂二的逆序数是多解: 中任意两个数码=：与丁必在而且仅在两个排列°：二'"■或**-1…中之一构成逆序，月个数码中任取两个的不同取法有”2个，因此两个排列的逆序总数为戈，所以排列…F 的陨"1)_总逆序数为Z6.在6级行列式中，心円三j 汽这两项应带有什么符号？严小吟心皿)-(_［严"，因此项计吻恥％带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子一心的项.解：因为：匚上-'，因此所求的项为解：1)该行列式含有的非零项只有m/JAi …叫七％1,带的符号为CU 2 ，值为57』，因此原行列式等于(T 」3创.1)0 0 *-0 1・-2III 11 1 1 1« 11 1 1 fe ■ 0 卫一 1 •… 0 0n 0 ■■* 0 0； 2)010... 0 0 0 2 ...0 ...丹-1n Q 0 ...73)0 …0 0 -200 ■ a «•■即i a « i » i i fe■M -1・■- 0 0 0 0・■- 0 0 «_^1+^23^31^42 -8.按定义计算行列式:少？,因此项 旳尹引龟护屏张务厶带正号;-£l 11LJ 23«32a 44?七护34 迎小2）该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池，带的符号为值为「2，因此原行列式等于df.3）该行列式含有的非零项只有%”宀"叫％，带的符号为（7丄，值为，因此原行列式等于卜1）2创.9. 由行列式定义证明：证明：行列式的一般项为I = = 二，列指标•「S 1只能在1,2,3,4,5中取不同值，故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一，而' 厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.10. 由行列式定义计算2A1 21 x 1 -13 2工11 1 1 工中/与/的系数，并说明理由.解：行列式元素中出现兀的次数都是1次的，因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀，其系数为2,符号为正，h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金％，其系数为1,符号为负，代的系数为-1 .11. 由1 ・-• 11 1 ■■■ 1.. .=Q■♦V1 1 ・• 1证明：奇偶排列各半证明：行列式每一项的绝对值为 1行列式的值为零，说明带正号项的个数 等于带负号项的个数•由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列1）由行列式定义，说明'「是一个卞―〔次多项式;2）由行列式性质，求'的根.解：1在行列式’〔中只有第一行含有T ，出现T 最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此'•是一个・】次多项式2）用■，，，r^--分别代*，均出现了两行相同，因此行列式为 0.即宀为—的全部根13.计算下面的行列式： 246 427 327 10W543 443 八-342 721 621小、1) ； 2)3 11112 3 413 112 3 4 1113 13 4 123） 1113；4） 4 12 39指标排列的奇偶性所确定, 奇排列时带负号，偶排列带正号•因此奇偶排列各半1…x"11N-1 …闻円＞）二1s-l…％■ ■ ■!1+ ■ ■« I »■ * II I ■■…a n-l其中•心m.i 为互不相同的数.12.设1+A 1 1 1 (a+2)2(a+3a11-工 1 1 4+1)2 0 +卯@+卯1 11+》 1 W+1尸（亡+卯（心9+1尸（八疔5） 1 11I ； 6）解：1该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，23136)246 427 3271000 427 327 6 71000 100 327 1014 543 4432000 543 44孑 -—2000 100 443 -342721 €211000 721 6211000 100 621327116 二-294x12 2945)显然当二=■'或」时均有两行元素相同，因此行列式为 0.当' 时1H - x 1 11 If1 c 4 - x~\ 'i0 01] -x11七 、厂5〕■-X0 ]c 4 +z 1< i 0 --X0 0 3y11 g 1 P = 123( ) 0 y1 5 -严 :3 00 y11 1i-卅肿y 1-7y Ay -y【口十 3十2尸 ⑺十浙十 1 牝十4 6口十夕(*+D a 辿+2尸 叶卯*22) + 1 4b+4 6b + 9(T尸 (小尸L 32^+14亡+ 4 &+9d 2 3+1尸3 +計 &+卯茲十1 4d +4 阳+9= 10" y工十丁1 yx + y=2(孟+刃 1 Z -F JJ盂xy1 x y1 尹二 2(盂+尹)0 xo —y-y = 2(X +/)[-X :+X X -7)]= ~2(^3 1116 11111111111 13 116 3 11卜13 11 厂宀J 0 2 0 0 113 1J= 2,3,4 6 13 1113 1 i = 2,3,4' 0 0 2 011136 11311130 0 0 22 3 412 3 43 4 113 4 1=104 1 2 14 121 2 3112^ 12 3 41 23<411-30 11-3=10p 2 ・2 -20 0-44|o -1 -1 -10 0 0-41 1 3272 1 4431 1 6211 0 0 1-1 0 y丸+屏处十龙2(x+y)310 1+(710 0 0 = 160i+cc^aa +b2（a 十B 十u ）c+a戊+BA.+勺= 2（d| +坷+5）码+歼证明： 為+勺如+S2(角+务+勺)勺+码+ i + cc+a=2口］+妬 + 匕1 百［+(3］巧十毎十勺勺+包15.算出下列行列式的全部代数余子式:12 140-1211 -1 20 0 2 13 21poos； 2)1 4b+亡 c + txa +ba b e右L +百1 号+% 如4玄 =2 旬玄巧-14.证明： 鸟+勺耳+勺巴十坊也®巾加+1 266 _6 -6-1 2 10 2 10 -1 14i = 0 2 1=-6;血=- 0 2 1 =0 ；J 4O = 0 0 1 =00 0 30 0 30 031 42 1=6;0 -1 24+ =- 00 2 =0 ；4J ! =-0 0解: 1）2 0 0 1 4 2 1 0 31 =-12;爲立=0 n-4B == °； ■41 = 1》4盘=-^3 = —5-^34 = Q 斗］.=乙 &2 = Q' A B = L ；&4 = 741 =2）= 3^ = --1 21 4a +b的+Nb ca 6 c妬C L =2 a Y 如 5%巾宓5%加十1 2 2^+1 22^+1 2 a 十打+疋=2^} +妬+巧 k +如+巾111 11 卩 02 1 1 -*厂©* 0 1 2 2 5 1 0 43 2 1 | |斗 11112 2-5=1.42) 31213 4 1 3171丄1 5 4 6 4 1 2J2110 n 1 — 2 — — 2 — — —2 -3221 -1 | 4-1 0-111|31 17 11 -132 16 10 13 121° 1 2 -1 41 2 -1 41 2 一］4 2 a 1 2 :2 0 1 2 12-6 1 2 1 一 3 5]2 二一 1 3 51 2 二 -16 5 1 2 33 1 2: 1 3 00 00 0 0 0 2 1 n 3521 0 3 52-5 035-1 1 02 0 -5 1 2 0 -90 3-5237 -11 2-9 -3 =一 0 0 -3 =-483.3 555 -12 5= -36 -3 -5511 2n -1 11 12 -123 2 1 0 二 1-1 0 1 21兀21 3 02 0 -1 0 12 3-1 1 32131 10 14 16 18-7-10 3-16 = 114-1918 0 -7-W17.计算下列乜级行列式:J. 221 2 -2-12 2 13 71 10-1 1 2 16-16 = -12 -19 8 180 -1-10 0 12176 133)&心1 22 22 2223» ■ i• II222112 3 -■垃一1溶ClCI-12o …-24)■ ■ ■I■■ 42 2a■»a■ IIw « ■+ I *Ji75)+ 1■I I *4- i I C I +0 …bl*-11- ra解1)按第一列展开得x F 0t)0X... 00 y00 (00)0 龙y000X... 00 X y0 (00)■ I -K■ * I ■ 4 I»■I- 4 I »■I I 4-冥■ 41» II-■11+I ■ 4■ -K I十(-1严》■ * II- fiE ■ I-■ I «I »■ 4■ 40 0 0* ■ ■■X y00… x y仃00 …y0y0 0¥«l>0X10… o工L-i y00y 也可以按定义计算，非零项只有两项及'—…「八值分别为"和厂，符号分别为+和「，因此原行列式1?，T2)解：当阅i时，行列式等于问■対；当"2时当吃二三时，从第二列起，每一列减去第一列得:1)X y I〕 (00)Q y… o00 0c… K yy ri c 0■ ■■原行列式a】—J】-打口1 —血g —^2cjj tij 0勺一外旳-每a2~\幻一还=S1 - 也)01—爲)1也■■■ 耳]乃… G1心一烧 ■■■ X”'j-m …（S 為一=（壬再-i-L■ 4 B * ■■ 4 I« ■ I-■ * II I- 4# I II 3- I]八• 耳-附0 …-W3=（备-觀）（-计工 1_的冷 …G抵 … 召 1 ■ V亏_朋 …兀■ » 1 1 « ■« ■ »—S x iH■ _枕 1 七—枕 …丹H ■ n ■ ■ ■■ ■ ■… 召一翩鬥一懣勺 …码一规d-1从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得3）解: 1 2 2 …2122 (2)10 0 ... 0 2 2 2 (2)1 00 0122 (2)223 -2 二 10 1 0二—1 0■ ■ ■• ■ V ■■ ■■ 4 ■ » ■ V ■ ■■ » ■ ■ ■'■ ■■ '■■ * ■« ■ » » ■ ■ 2 22 … •吃]…丹一210 0 (2)两行后化为三角形得: 然后交换解: 4）1,2 从第二行起每一行减去第一行, 123•… 用- 1V-423 …73-11 -1 0 ■- 0.5—1 -10 …0 0 0 2 -2・・・0 =2-2…0 …用—11—料« ■ |>0 ■> 1 10 ■ 1 V■> 1 10 … 1 « ■ N-1■ i V1一冷2列起每一列都加到第 然后按第一列展开得到:列, 1 也可以除第 12 -122行外,3 0 -2「行都减去第2行，然后化为三角形计算.崔一 10 05）解：从第» 1二&連2…吐（附一龙―）；j-1康------ （］二 2,3"■，聊 +1）证明：从第2列起，每一列的-倍加到第一列即可得:二 1 用_壬_% 11 (1)11 -1j>l 葩1的 0 ■ 0 01 ■1 巾0 B ■1・・・ 0 二 0 0 禺 ■ ■■ 0 1 0 0・・■|> 0■ 0• ■0 1■-叫 证明：当“°时结论显然成立，当疋八时，第一行的工加到第二行，然后第\_行的工加到第三行，依次类推可得:18. -1 2 0-2耳一 1证明:-1 0■0 X -1甲0…0・・・X ・■-0 0 0a2 ■r0 0 (X)2. 00 ■■--1=F 4-df H _J x a_1+-- +(j 1A + a 0;小+"学…笋+禺）"+%严i w+飾证法二：按最后一列展开即可得.证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明•证法四：从最后一行起，每一行乘以X 加到上一行，然后按第一行展开可得:X0… 0 %A0 0-1 X 0 …hX0 …盘］a -1 X …-1 X 0■ ■ ■ ■ ■二・■ ■* ■1- ■■* * ■« H■ ■ ■ ■■ 1 1 ■ ■■a 0 0 *■'0 0 0 '•*a0 0 …「1Q0 0 …-1兀+J1IJ0 0 … 0 孟"+|2”］乳"1+■■・+(3］工+口0 -1 00 … 0 茂 +务+…的 0 -1 0 … 0 9 —□»—3X ++ …眄H ■ ■ 11 « ■ - *B■ ■ ■■0 D 0 0■■ 9 V ］X0 0 …-10… ■ || -1 ■ b■ ■a 0 0 …0 0 0…叫■ ■ ■>3x 00…0丸 00 -1乳…4H■0 0 0 0 00…T x 十氐」A 0=(—l)w+l(X™ +込_]才】+…+ fif[北+引) -1) 二(-1严*0 + )(-1) "_1 = 十…+硯丸+% 就+ $ afi 0 … 0 0 1 ar+ ap … 0 00 1 口十0… 0 0 ar —Q"■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ Hl H ■ ■ ■ in H ■ ■ a- Q ' 0 0 0 … C£-\- jS3) C1 0 0 … 1 少+ fl0 解:原行列式按第一行展开得：'.「+广―-一―’丁，一•因此有 即J是以 ■ 宀-为首项，以二为公比的等比数列.因此有 & _类似有必％二才.当“0时，解得H a-^ . 证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明 1 2cos C& 1 cos a 10 4) 证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明 _ cos a 1 1 2cosa *2 =2 cos 4 一 1 = 2d ，因此结论成立. 假设当级数小于T 时结论成立，对咛级行列式匚按最后一行展开得: D K = 2cos^r - D S _2 = 2 cos a - cos(^-l)a-匕加山 一2)口=2 cosc<>s[(?;- l)dU-iT]=-l)a- sin asinfw- l)dr = cos na由数学归纳法，结论成立• 注意：因为主对角线上第一个元素为 曲口，其它主对角线上元素为 2l:<:;-，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无 法得到与 *兀 之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系 1 1 -I-心1a 1二甸孔…碍门+卫—)■ i-ia. 证明：从第二行起,再三角化 1 +盘]1 1 …11 + 位1 11 (1)1 1亠①1 …1_口］ 叫 0 … 0 1H 1- 1 1 ]+也… 1 ■#1 ■ ■ = _筍 0 ■ ■ ■ … 0 II '■ i11• # I■ 15一口1 00 ■… 仇行减去第一行先化为爪形行列式, 11+&1+ E 竺 z a 2 0=0+^1 + S —)^3-^ "曲他…耳(1十艾丄)2-1 [7^19.用克拉默法则解下列线性方程组:z! J L j —x、十3兀m 2工4 二b” 3ij 一3叼+ 3x?+ 2工斗二5 , 3x{-x2—x5+ 2X4-3t 予冋_花+3也一筍=4;巧 + 2 貫2 + 3xj —2 珥—6,2& -J?3 - 2也一窃=&3%! + J L5-A S+二4,2町-3工2 +2兀§ +筍=_&扎+ 2心-2屁十4兀-x. = -1,2xj- +3X3一4旺 + 2^ = 8 彳弓站+阳-电+ 2^4一心=3,4x:十3x立+4延十2耳十2心=-2f 兀一两一阿+2A4-弓召=-3,解：1）系数行列式= -29 一1 0 =-70,3 1 -1出二弓24同二3纽£ =64&厶二■艾4£= ・6J&322-1 3 2 F3 2 3-33 2 3-1 20 2 ■40 ~ 03 -1 3 -1 3 -1P-1-32-11-311 2-3 21 -1故方程组的解为:5开i + 6勺=1Xj + 5% 4 陆=0© + 5衍-F6A4=也+ 5X4十&屯=0& +%5 - 1 2.优质文档颅=虫 =L 呵=佥 =2,旳=佥 =-1曲=—--2故方程组的解为：d d d &3）d=2A, 口二込 禺=■弓苑 £ =-迥 £ = 1私 ^ = 312?故方程组的解为：& = 4再= -14內=7耳=7f x_5 = 13.2 -二艰-2D 3）二 9（厶-二 27（2 - 2耳）=243r爲=-1145f ^3 =703^4= -395, & = 212?定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域 卩上的多项式/W =护Z 十应丘月+…+q_i使炖)二虬2 1,2严皿j6 0 06 0 0 01 5 6 05 6 0 0] 1 5 61 5 6 00 1 50 1 5 62二3畑,2><艾二血0 0C i = 1507,5 65证明:设畑二占+占+・十“，由/(%)=鸟得4）51ij 00 65 1 00 0 0 6 5口 - 2D* = 243?D - 3D 二 32,W57 . 1145 229 70379 6劭宀—^65 一 133P*1320.设丄宀…： 是数域』 '中互不相同的数，665中任一组给洛鶯…也是数域两二212& =10 100 =20 4001000 18000 =6x1出1系数行列式- 0 03100-0.05400-0.0890030 9Q01 12A =12xl0\391000 -3 1 1sooo= ltf-5 2 4= -5000,27000-8 3 9^ = 1800, £=70 +勺』丹+…+町龙-+叼皿：=b n.把它看成关于''m ■"' --r：：的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式, 由互不相同可得系数行列式不为0,由克拉默法则，方程组解唯一，即满足…］的多项式唯一.21.设水银密度；与温度厂的关系式为h二口©十厘］t +僅/2 +殍*由实验测定得以下数据:t0n C icru 20" C30" Ch13.6013.5713.5513.52求'_ ' 1 ' 1时水银密度（准确到小数2位）.解：将实验数据代入关系式■■+」得:「％=13.60,術+10^ +100^2 +1000^3 = 13.57,砌 + 20d| + 400码+ 8000^ —13 55a a+ 30<a1+900a2 +27000 碍=13.52整理后得一'以z满足的方程组为:10^+100^+1000^ = -0 03, ；20^jj+400tZj + 8000lOj =—0.05,30^ + 900d2+ 27000^ = -0 08.故陽=1.5x10^,^ 二一3.3x10』2700013.6-4.2x10-^+ 1.5xW"l i;l-3.3xl0V.当心1兀，"1艮阪当“轲c时，"门乖健康文档放心下载放心阅读。
第二章 阶行列式课程教案
第二章 n 阶行列式 课程教案授课题目：第二节 行列式的性质教学目的：1．掌握n 阶行列式的递推定义以及按行（列）展开定理．2．理解n 阶行列式的性质，掌握行列式计算的基本思想方法和步骤．教学重点：n 阶行列式的性质与计算． 教学难点：按行（列）展开定理． 课时安排：3学时．授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容：§2.2行列式的性质Laplace 定理按行展开 ⎩⎨⎧≠==∑=ij i j DA a jk nk ik ,01．按列展开 ⎩⎨⎧≠==∑=ij i j DA a kj nk ki ,01．行列式的性质性质1 行列式转置，其值不变．即D D '=如2112221122211211a a a a a a a a -==22122111a a a a ．例1 上三角阵的行列式等于对角线元的乘积11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =LL L L L L L L．（用性质1及上节例1）． 性质2 交换行列式两行（列），行列式的值变号．推论 若行列式D 中有两行（列）对应元素相同，则行列式值等于零． 性质3 用数k 乘行列式D 的某一行（列），等于数k 乘这个行列式． 推论1 有一行（列）为零的行列式等于零． 性质4 有两行（列）成比例的行列式等于零．性质5 nn n in in i i n a a b a b a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ111111++=nn n in i n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11111+nnn in i n a a b b a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11111．按列也有类似性质．性质6 将行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列），行列式的值不变．如ji kr r jn jn in i a a a a +=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ1ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛjnjn jnin jii a a ka a ka a ++1． 例2 计算下列各行列式：（1）4124120210520117； （2）2141312112325062-；（3）abac aebdcd de bfcfef---； （4）1110011001ab c d---．解(1)7110025102021421434327c c c c --01142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0．(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412-14r r -000032122130412-=0．(3)ef cfbfde cd bdae ac ab---=e cbe c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4． (4)d cb a10110011001---21ar r +dcb a ab 10110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+ 23dc c +010111-+-+cd cada ab =23)1)(1(+--cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd ．例2 证明（1）1112222b b a a b ab a +=3)(b a -；（2）bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x zy z y x b a )(33+； （3）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ；（4）444422221111d c b a dcba d cb a ；))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅；（5）1221100000100001a x a a a a x x xn n n+-----ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--111Λ． 证明（1）0122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边22231(1)22ab a b a b a b a+--=---3()()()12a b a b a b a a b +=--=-=右边．（2）bzay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bzay y b +++++++++++++002ybyax zx bx az y z bz ay x a 分别再分2y z az bxb zx ax by xy ay bz+++zy x y x z x z y b yx z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y z y x b yx z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423dd c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c c bbb a aa (4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c ab b a d ac ab a d ac ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd bc ab +-++-++--+=⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．(5) 用数学归纳法证明 当2n =时，2212211x D x a x a a x a -==+++，命题成立．假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即121121n n n n n D x a x a x a -----=++++L ，则n D 按第一列展开1111000100(1)111n n n n n n x D xD a xD a x+----=+-=+-L LL L L L L L=右边．范德蒙行列式1222212111112111()ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L LL L L L L L. 对行列式进行行变换11(1,,2,1)i i x r r i n +-+=-L 降阶得．参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月．2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月．3．同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月．作业和思考题：Page63：1—2；4—6．课后小结： 1)n 阶行列式的性质，计算行列式．2)灵活地运用按行（列）展开定理来计算行列式．。
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高等代数作业 第二章行列式答案 精品文档
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第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5
2．四阶行列式44ijaD中,含24a且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,aaaaaaaaaaaa
3．设.212222111211daaaaaaaaannnnnn则._____122122211121nnnnnnaaaaaaaaa (1)2(1)nnd
4．行列式11111111x的展开式中, x的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√
2. 设d=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211则121112222121nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL=d（ ）×
3. 设d= nnnnnnaaaaaaaaa212222111211则daaaaaaaaannnnnn112112122221（ ）× 4. abcdzzzdyycxba000000 ( ) √ 5. abcddcxbyxazyx000000 （ ）× 6. 0000000yxhgfedcba （ ）√ 7. 如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D的元素都是自然数，则D的值也是自然数。（ ）×
9. nnaaaaaa2121 （ ）× 10. 000100002000010nn=n！ （ ）× 三、选择题 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1．行列式01110212kk的充分必要条件是 ( ) D
（A）2k （B）2k （C）3k （D）2k或 3 2．方程093142112xx根的个数是( )C （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A （A）665144322315aaaaaa （B）655344322611aaaaaa （C）346542165321aaaaaa （D）513312446526aaaaaa 4. n阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 A
（A）2!n （B）22n （C）2n （D）2)1(nn 5．若(145)11243455(1)klklaaaaa是五阶行列式的一项，则lk,的值及该项的符号为( )B （A）3,2lk，符号为正； （B）3,2lk，符号为负； （C）3,1kl，符号为正； （D）1,3kl，符号为负
6．如果0333231232221131211MaaaaaaaaaD，则3332312322211312111222222222aaaaaaaaaD = ( )C （A）2 M （B）－2 M （C）8 M （D）－8 M 7．如果1333231232221131211aaaaaaaaaD，3332313123222121131211111232423242324aaaaaaaaaaaaD ，则1D ( )C （A）8 （B）12 （C）24 （D）24 四、计算题
1． 计算3214214314324321
解：3214214314324321321421431432111110123012101210111110440004001210111110400004001210111110=160 2. 计算3111131111311113. 精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解：3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263
高等代数第五次作业 第二章 行列式 §5—§7 一、填空题 1. 设ijijAM,分别是行列式D中元素ija的余子式,代数余子式,则._____1,1,iiiiAM 0
2. 122305403 中元素3的代数余子式是 .6
3. 设行列式4321630211118751D，设jjAM44,分布是元素ja4的余子式和代数余子式， 则44434241AAAA = ，44434241MMMM= .0,66 4. 若方程组02020zykxzkyxzkx 仅有零解，则k . 2 5. 含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0 二、判断题 1. 若n级行列试D中等于零的元素的个数大于2nn，则D=0 （ ）√
2. 222)(00000000abbaabbaab （ ）√ 3. 222)(00000000baabbaabba （ ）√
4. 0dbacdbcabdcabdac （ ）√ 5. 483111131111311113 （ ）√ 6. )(000000hxgyayhfdxgecba （ ）× 7. 0107310111187654321 （ ）√ 三、选择题 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1. 行列式102211321的代数余子式13A的值是( )D
（A）3 （B）1 （C）1 （D）2 2．下列n（n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D （A）行列式主对角线上的元素全为零 （B）行列式主对角线上有一个元素为零 （C）行列式零元素的个数多于n个 （D）行列式非零元素的个数小于n个
3．若111111111111101)(xxf，则)(xf中x的一次项系数是( )D （A）1 （B）1 （C）4 （D）4 4．4阶行列式4433221100000000ababbaba 的值等于( )D （A）43214321bbbbaaaa （B）))((43432121bbaabbaa （C）43214321bbbbaaaa （D）))((41413232bbaabbaa
5．如果122211211aaaa，则方程组 0022221211212111bxaxabxaxa 的解是( )B
（A）2221211ababx，2211112babax （B）2221211ababx，2211112babax （C）2221211ababx，2211112babax （D）2221211ababx，2211112babax 6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B （A）3 （B）7 （C）–3 （D）-7
7．如果方程组 050403zykxzyzkyx 有非零解，则 k =( )C （A）0 （B）1 （C）－1 （D）3 四、计算题
1. 计算D=100110011001aaaa
解：方法1： 100110011001aaaa21rraaaa10011000101121raraaaaa1001100100112 精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 32rraaaaa1000101100112232(1)raraaaaaa100120011001123
=aaaa11223=.13)1()2(2423aaaaaa 方法2：将行列式按第一行展开，有： 100110011001aaaa
=1011011010101aaaaaa=1]01111[2•aaaaaa
=1])1([22aaaaa.1324aa
2. 计算12125431432321nnnDn
解：12125431432321nnn121)1(254)1(143)1(32)1(21212121nnnnnnnnnn121125411431321)1(21nnnn
111011101110321)1(21nnnnn
111111111)1(21nnnnn
)1()1(0000111)1(121212)1(nnnnnnnnn
3. 计算6427811694143211111 解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(12 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 4. 计算nD12111111111naaaLLMMML
解：nD12111111111naaaLLMMML naaa110110112112111111+111aaLLMMML 1211nnnaaaDa).11(121niinaaaa
5. 解方程：22x9132513232x213211=0.
解：22x9132513232x213211=223310131000103211xx=223310131000103211)1(xx• =223300130000103211)1(xx•=224000130000103211)1(xx•=223(1)(4)xx .2,1x 五、证明题
1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa
证明：
4343
323221
2222
22
222222
22222
2
222222
1232123252122123212325212221232521221232123252122123ccccccccccaaaaaaaaaabbbbbbbbbbccccccccccdddddddddd
40推论