2020年新高考数学分类汇编数列

北京
【2020北京卷8】在等差数列{a
n}中，a1=-9，a5=-1.记Tn =a1a2…an (n=1,2,…)，则数列(Tn
}

A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】 B．
【解析】根据
19a，5

1a
，得到2d，易知19a、27a、35a、43a、

51a、61a，易知12(1,2,)nn
Taaan
有最大项，无最小项

【2020北京卷21】己知{a
n
}是无穷数列. 给出两个性质：

①对于{an}中任意两项ai ,aj (i>j)，在{an}中都存在一项am，使得𝑎𝑖2𝑎𝑗=𝑎𝑚；
②对于{an}中任意项an (n≥3)，在{an}中都存在两项ak,al (k>l)，使得𝑎𝑛=𝑎𝑘2𝑎𝑙.
(Ⅰ)若an=n(n=1,2,…)，判断数列{an}是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若an=2n-1(n=1,2…)，判断数列{an }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明: {an}为等比数列.
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）若1,2,nann，则na不满足性质①。
举反例：33a，22a，则2*3292aNa
（Ⅱ）若

121,2,nnan

，则数列na

同时满足性质①和性质②，

（1）任取

na中的两项ij
aaij,
，则2122121222iijiijjjaaa，

当2mij时，满足性质①；

数列汇编
（2）对于

n
a
中任意一项3nan（），其中12nna 212211222kklkllaa，

即存在k，l，使得2nkl成立即可，满足性质②
（Ⅲ）若

n
a
是递增数列，则123naaaa……，由于数列同时满足性质①和性质②，

则

01,2,3,

n
an……

，

（1）若
10a，则1230n
aaaa……
，

对于

na中任意两项ijaaij,，在n
a
中都存在一项ma，使得2imjaaa，其中

0ijaa
，则2iimiijjaaaaaaa，所以mij；

（2）若
10a，假设存在k，使得1210kknaaaaa
……
，则na中最多有k项

负数，根据性质①，当任意的2ijaa为

n
a
中的项，其中kj，且ij，易知这样的项有无

数多个，故当
10a时，0n
a
恒成立。

且对于

na中任意两项ijaaij,，在n
a
中都存在一项ma，使得2imjaaa，其中

0ijaa
，则2iimiijjaaaaaaa，所以mij；

综上所述，

na中各项符号一致，且对na中任意两项ijaaij,，在n
a
中都存在一

项
m

a
，使得2imjaaa，其中mij；

因为

n
a
满足性质②，取3n，则根据性质②，23klaakla，易知3lk，则2k，

1l
，则2231aaa，即123,,aaa是等比数列，设3221aaqaa。
假设t是满足
11ttaaq

的最小正整数，且3t，即数列na的前1t项为等比数列，

根据性质②，设

2

221111321tttmttaqaaaqaaq








，则1mt，即mt，

因为

n
a
是递增数列，则mtaa，即11tmtaqaa

根据假设
11ttaaq，故仅有11tmtaqaa

。（*）

因为3t，则根据性质②，有存在两项

kl
aakl,,＞
，使得


2

12121111kklktllaqaaaqaaq





其中tkl，
1ttaa


，根据（*）式

则有
1ttmaaa


，即2211111tkltaqaqaq

因为数列na的前1t项为递增的等比数列，故101aq或1001aq
故2211tklt，即12tklt，其中，t、k、l若为正整数，
故此不等式无解，即假设不成立。
故对所有的
*
nN
，都有11nnaaq，

即

n
a
为等比数列。

天津
【2020天津卷19】已知{𝑎
𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛}为等比数列，𝑎1=𝑏1=1,𝑎5
=

5(𝑎4−𝑎3),𝑏5=4(𝑏4−𝑏3)．

（Ⅰ）求{𝑎
𝑛}和{𝑏𝑛

}
的通项公式；
（Ⅱ）记{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求证：𝑆
𝑛𝑆𝑛+2
<𝑆𝑛+12(𝑛∈𝑵∗)；

（Ⅲ）对任意的正整数𝑛，设𝑐𝑛={(3𝑎𝑛−2)𝑏𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+2,𝑛为奇数,𝑎𝑛−1𝑏𝑛+1,𝑛为偶数.求数列{𝑐
𝑛

}
的前2𝑛项和．

【答案】（Ⅰ）
12,n
nn
bna
（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）
94495612412112212nnnkknkknkknn

ccc

【解析】
（Ⅰ）

1,5

345daaa，nan


，1234512,2,044,4,1nnbqqqbbbb

（Ⅱ）32141,212nnnnSSnnSnnn，22212141nnSn，

02121212nnSSS

nnn
，

2

12nnn
SSS

（Ⅲ）n为奇数时，




nnnnnaabacnnnnnnnn1112222222323



，n为偶数时，

n
nnnnbac2111


，对任意正整数n

112212212221222112nkkc
nnkkk
n

k
k

nnknkknkc41245434141232
112



14321241245434141n
n
k
k
n

c

11212412414114114241242424143nnnn
n
k
k
nn

c
n
n
kknc49569512
，
94495612412112212nnnkknkknkknn

ccc

上海
【2020上海卷8】已知{𝑎𝑛}是公差不为零的等差数列，且𝑎1+𝑎10=𝑎9，则
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎
9

𝑎
10

=__________

【答案】
27
8

【解析】设公差为d，由
1109

aaa
得1ad，则129510919272788aaaadaaad

【2020上海卷21】有限数列{𝑎
𝑛}，若满足|𝑎1−𝑎2|≤|𝑎1−𝑎3|≤⋯≤|𝑎1−𝑎𝑚
|, 𝑚是项数，

则称{𝑎
𝑛
}满足性质P.

(1) 判断数列3，2， 5， 1和4，3，2，5，1是否具有性质P，请说明理由.
(2)若𝑎1=1，公比为𝑞的等比数列，项数为10，具有性质P，求𝑞的取值范围.
(3)若𝑎𝑛是1，2，…，𝑚的一个排列(𝑚≥4)，𝑏𝑘=𝑎𝑘+1(𝑘=1,2⋯𝑚−1)，{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}都具有
性质P，求所有满足条件的{𝑎
𝑛
}.

【答案】见解析
【解析】（1）对于第一个数列有132，235，231满足题意，该数列满足性
P
；

对于第二个数列有143，242，145，341不满足题意，该数列不满
足性P。

（2）由题意可得，9,,3,2,111nqqnn，