苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.2含答案
苏教版高中数学选修2-1第2章 圆锥曲线与方程.docx
第2章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线 课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的曲面．其中直线l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内到______________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．4．双曲线的定义平面内到____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．5．抛物线的定义平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．一、填空题1．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________．2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________．3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹是____________．5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是________．6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．7．已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是__________．8．一动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________．二、解答题9．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心P 的轨迹是椭圆．10.已知△ABC 中，BC ＝2，且sin B －sin C ＝12sin A ，求△ABC 的顶点A 的轨迹．能力提升11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号)．①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．12.如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．1．椭圆定义中，常数>F 1F 2不可忽视，若常数<F 1F 2，则这样的点不存在；若常数＝F 1F 2，则动点的轨迹是线段F 1F 2.2．双曲线定义中，若常数>F 1F 2，则这样的点不存在；若常数＝F 1F 2，则动点的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线．3．抛物线定义中F ∉l ，若F ∈l ，则点的轨迹是经过点F ，且垂直于l 的直线． 第2章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线知识梳理3．两个定点F 1，F 2的距离的和 焦点 焦距4．两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值 焦点 焦距5．到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点 定点F 定直线l6．圆锥曲线作业设计1．椭圆解析 由已知，得PA ＝PB ，PF ＋BP ＝2，∴PA ＋PF ＝2，且PA ＋PF>AF ，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆．2．抛物线解析 由题意知(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|5. 左侧表示(x ，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x ，y)到定直线3x ＋4y －12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①解析∵∠F 2MP ＝∠GMP ，且F 2P ⊥MP ，∴F 2P ＝GP ，MG ＝MF 2.取F 1F 2中点O ，连结OP ，则OP 为△GF 1F 2的中位线．∴OP ＝12F 1G ＝12(F 1M ＋MG) ＝12(F 1M ＋MF 2)． 又M 在椭圆上，∴MF 1＋MF 2＝常数，设常数为2a ，则OP ＝a ，即P 在以F 1F 2的中点为圆心，a 为半径的圆上．4．椭圆5．椭圆6．抛物线解析 由题意知P 到F 的距离与到直线x ＝－4的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线．7．双曲线8．双曲线的一支9．证明 设PB ＝r.∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，即PA ＋PB ＝10(大于AB)．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．10．解 由正弦定理得：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 代入sin B －sin C ＝12sin A 得：b －c ＝12a ，即b －c ＝1， 即AC －AB ＝1 (<BC)∴A 的轨迹是以B 、C 为焦点且靠近B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．11．④解析 ∵D 1C 1⊥面BCC 1B 1，C 1P ⊂平面BCC 1B 1，∴D 1C 1⊥C 1P ，∴点P 到直线C 1D 1的距离即为C 1P 的长度，由题意知，点P 到点C 1的距离与点P 到直线BC 的距离相等，这恰符合抛物线的定义．12．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a.MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a<RQ ＝2c.∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．。
选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(二) Word版含答案
2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－423∪⎝⎛⎭⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， (当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如P A ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时P A ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如P A 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27. 4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0. 由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________． 答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0， 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c2a 2，∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________． 答案3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________． 答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )， ∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0) 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________． 答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)． 如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 由此解得k ＝23或k ＝38.二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围是(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝432.13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程． 解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得(2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1.又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1. ∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1，∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0. ∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0， 即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1，解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1.三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.15．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0. ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2.∴1a 2＋1b2等于定值． (2)解 ∵e ＝ca ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量．若直线l 1∥l 2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0， ∴y ＝12.8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行， ∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)， n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0， ∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________. 答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5. 二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)． 所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)， 所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0， AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ， 所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。
高中数学(苏教版 选修2-1)第2章 圆锥曲线与方程 双曲线1
1．了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点) 3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理 双曲线的标准方程阅读教材P 39～P 40例1以上部分，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(2)在双曲线标准方程中，a ，b 和焦点F 2(c,0)满足a 2＝b 2＋c 2.( ) (3)双曲线y 2－x 2＝1的焦点坐标在y 轴上．( ) (4)在双曲线y 29－x 24＝1中，焦点坐标为(±5,0)．( )【解析】 (1)方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0.a ＝b 时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a 2＋b 2＝c 2.故不正确． (3)根据标准方程特点，正确． (4)在y 29－x 24＝1中，c ＝9＋4＝13，所以焦点坐标为(0，±13)．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【精彩点拨】 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．【自主解答】 (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， ∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9.(舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[再练一题]1．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程. 【导学号：09390030】【解】 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(1)如果方程x 2m ＋2＋y2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．(2) “ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】 根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解．【自主解答】 (1)由题意知(2＋m )(1＋m )＜0，解得－2＜m ＜－1.故m 的取值范围是(－2，－1)． (2)若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 等于0时不表示双曲线，即“ab <0”不是充分条件．【答案】 (1)(－2，－1) (2)必要不充分(3)由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0，解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．方程表示双曲线的条件及参数范围求法1．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当mn ＜0时表示双曲线．进一步，当m ＞0，n ＜0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时表示焦点在y 轴上的双曲线．2．对于方程x 2m －y 2n ＝1，则当mn ＞0时表示双曲线．且当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＜0时表示焦点在y 轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．[再练一题]2．讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？【解】 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k <9,9<k <25，k >25，分别进行讨论．(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9<k<25时，25－k>0,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．[探究共研型]探究112其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？【提示】焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1－MF2＝±2a；(2)S△F1MF2＝12MF1·MF2·sin∠F1MF2；(3)F1F22＝MF21＋MF22－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.探究2在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F1PF2的变化，△F1PF2的面积将怎样变化？【提示】由公式S△PF1F2＝12PF1·PF2sin∠F1PF2，cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F22 2PF1·PF2＝(PF1－PF2)2－F1F22＋2PF1·PF22PF1·PF2＝4a2－4c2＋2PF1·PF22PF1·PF2＝－4b2＋2PF1·PF2 2PF1·PF2＝－2b2PF1·PF2＋1，∴PF1·PF2＝2b21－cos∠F1PF2.从而得S△PF1F2＝b2tanθ2(θ＝∠F1PF2)．∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，在⎝⎛⎭⎫0，π2内，1tan θ2是单调递减的， ∴当θ增大时，S △F1MF 2＝b 2tan θ2减小．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 24＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的周长及△F 1PF 2的面积．【精彩点拨】 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF 1与PF 2的长，或利用整体代入法先求PF 1＋PF 2与PF 1·PF 2，再求周长与面积．【自主解答】 法一：∵点P 在双曲线x 24－y 24＝1上，∴|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝4 2.又∵∠F 1PF 2＝90°，∴△F 1PF 2为直角三角形，∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝32.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1－PF 2|＝4，PF 21＋PF 22＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＝23＋2，PF 2＝23－2或⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝23－2，PF 2＝23＋2.∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋42， △F 1PF 2的面积为12PF 1·PF 2＝12(23＋2)(23－2)＝4.法二：同解法一得|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝42，PF 21＋PF 22＝32. ∴(|PF 1－PF 2)2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2， 即16＝32－2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝8.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝32＋16＝48， ∴PF 1＋PF 2＝4 3.∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋42，△F 1PF 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×8＝4.在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF 1－MF 2＝±2a ，运用平方的方法，建立它与MF 1·MF 2的联系，体现了数学中的一种整体思想.[再练一题]3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos ∠F 1PF 2＝________. 【解析】 由双曲线方程得a ＝2，b ＝2，则c ＝a 2＋b 2＝2.因为PF 1－PF 2＝22，且PF 1＝2PF 2，所以PF 1＝42，PF 2＝22，而F 1F 2＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝34.【答案】 34[构建·体系]1．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 据题意知(k ＋3)(k ＋2)＜0， 解得－3＜k ＜－2. 【答案】 (－3，－2)2．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1－PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是________．【解析】 由条件可知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝5，则b 2＝c 2－a 2＝16，∴动点P 的轨迹方程为x 29－y 216＝1.【答案】 x 29－y 216＝13．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.【导学号：09390031】【解析】 由条件可得4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1. 【答案】 14．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． 【解析】 方程可化为y 2－8k －x 2－1k ＝1.由条件可知－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.【答案】 －15．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．【解】 (1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上且a ＝3，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)法一：∵c 2＝16＋4＝20，∴c ＝25， ∴F (±25，0)， ∴2a ＝|(32－25)2＋4－(32＋25)2＋4|＝43，∴a 2＝12，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线方程为x 212－y 28＝1.法二：设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.2.2(二)含答案
2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－423∪⎝⎛⎭⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， (当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ， 得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如P A ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时P A ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如P A 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27. 4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0.由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________． 答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0， 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c2a 2，∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ， 整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围是(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝432. 13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1) 得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13. 15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)． (1)求证：1a 2＋1b2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b2等于定值．(2)解 ∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。
苏教版数学选修2-1：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 课时作业(含答案)
2.6.2 求曲线的方程课时目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．1．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的____________；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y)； (3)列出符合条件p(M)的方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为____________；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是______________． 2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是______________． 3．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．5.设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交与A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是________________________．6．到直线x －y ＝0与2x ＋y ＝0距离相等的动点轨迹方程是________________． 7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________________．8.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1,2）与动点P （x,y ）满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________________________． 二、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．10．已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. 求动点P 的轨迹C 的方程．12.如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N)为切点，使得PM ＝2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明． 2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．2．6.2 求曲线的方程知识梳理1．(1)坐标系 (4)最简形式 作业设计1．x ＝0(0≤y ≤3)解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线． 2．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k P A ·k PB ＝y x ＋1·yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k P A 、k PB 存在，所以x ≠±1. 故所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)．3．y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)解析 设动圆圆心为M (x ，y )，动圆半径为r ，则定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝2. 由题设得MC ＝2＋r ，又r ＝|x |.∴MC ＝2＋|x |，故(x －2)2＋y 2＝2＋|x |， 化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x >0时，y 2＝8x ； 当x <0时，y ＝0，当x ＝0时，不符合题意． ∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)． 4．y 2＝12x 或y 2＝－12x解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x . 5.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析 如图所示，若P (x ，y )，设A (x 1,0)，B (0，y 2)，因为B P →＝2P A →， 所以(x ，y －y 2) ＝2(x 1－x ，－y )， 即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1－2x ；y －y 2＝－2y .∴x 1＝32x ，y 2＝3y .因此有A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， OQ ＝(－x ，y )，OQ AB ∙＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．6．x 2＋6xy －y 2＝0解析 设该动点坐标为(x ，y )， 则|x －y |2＝|2x ＋y |5，化简得x 2＋6xy －y 2＝0.7．射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1. 8．x ＋2y －4＝0解析 由OP OA ∙＝4知，x ＋2y ＝4， 即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0. 9．解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)，则MP ＝12OC ＝12，由两点间距离公式得方程 (x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC ＝90°，设OC 中点为M (12，0)，所以PM ＝12OC ＝12，所以动点P 在以M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x －12)2＋y 2＝14.因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，设Q (x 1，y 1)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为点Q (x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1－1)2＋y 21＝1. 将⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，代入上式得(2x －1)2＋(2y )2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14，又因为OQ 为过O 的一条弦， 所以0<x 1≤2，所以0<x ≤1，因此所求轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1， 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0.设方程(1＋k 2)x 2－2x ＝0的两根为x 1，x 2，所以x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2.消去参数k 得：x 2－x ＋y 2＝0，所以，所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 10．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y . ∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 11．解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →得 (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .12.解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1 (－2,0)，O 2(2,0)． 由已知PM ＝2PN ，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，∴PO21－1＝2(PO22－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。
高中苏教版数学选修2-1课堂精练：2.4.2抛物线的几何性质(含答案解析)
1．若抛物线的通径长为8，则抛物线的焦点到准线的距离为__________．2．已知，过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦AB，抛物线的准线交x 轴于点 M，则∠AMB ＝__________.3．过抛物线 y＝ ax2(a＞ 0)的焦点 F 作向来线交抛物线于P， Q 两点，若线段 PF 与 FQ的长分别是 p， q，则11__________. p q4．已知抛物线 y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)， P2 (x2， y2)， P3(x3， y3)在抛物线上，且 2x2＝ x1＋x3，则 FP 1，FP 2， FP 3之间的等量关系是 __________．5．抛物线 y2＝ 4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若AB 4 3 ，则焦点到AB的距离为__________．6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深 40 cm，则光源到反射镜极点的距离是__________．7．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞ 0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3 的直线与l订交于点 A，与 C 的一个交点为B，若AM MB ，则p＝________.8．过抛物线 y2＝ 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点．若AF ＝3，则△ AOB 的面积为 __________．9．过点 (0,4)，斜率为－ 1 的直线与抛物线y2＝ 2px(p＞0) 交于两点A，B，假如 OA⊥OB(O 为原点 )，求 p 的值及抛物线的焦点坐标．210．如图，直线l ：y＝ x＋ b 与抛物线 C： x ＝ 4y 相切于点 A.(1)务实数 b 的值；(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．参照答案1. 答案： 4分析：∵通径长为 8，∴ 2p ＝8.∴焦点到准线的距离为 p ＝4.2. 答案： 90° 分析：不如设如图状况 .由题意可得AF=FM ， BF=FM .∴∠ AMF =∠BMF =45°，即∠ AMB=90°.3. 答案： 4a分析：抛物线方程为x 2＝ 1 y.取直线平行于 x 轴，则 p ＝ q ＝1 .a2a∴11 4a . pq4. 答案： FP 1＋ FP 3＝2FP 2分析：由抛物线的定义得FP 1＝ x 1＋ p，2同理 FP ＝ x ＋ p，FP ＝ x ＋ p，两式左右两边分别相加，得 FP ＋FP ＝ x ＋ x ＋ 2·p223313132 22＝ 2x 2＋ 2·p ＝ 2 x 2p＝ 2FP 2.225. 答案： 2 分析：不如设 A(x, 23 )，则 (2 3) 2 4x .∴ x ＝ 3.∴直线 AB 的方程为 x ＝ 3.∵抛物线的焦点为 (1,0) ，∴焦点到 AB 的距离为 2.6. 答案： 45分析：如图成立直角坐标系，则点A坐标为 (40,30). 设抛物线方程为8290 p 45 .y =2px ，将 A(40,30)代入得 p，因此8287. 答案： 2分析：过点 B 作 BE 垂直准线l 于 E.∵ AM ＝MB ，∴M为AB的中点，∴BM＝1AB.2又∵直线 l 的斜率为 3 ，∴∠BAE＝30°.∴BE＝1AB，∴ BM ＝ BE，2∴点 M 为抛物线的焦点，∴ p＝ 2.8.答案：32分析：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 AF＝ 3及抛物线定义可得，x1 2＋ 1＝ 3，∴ x1＝ 2.∴ A点坐标为 (2，2 2)，则直线2202.∴直线AB 的斜率k221AB 的方程为 y＝2 2 (x－1)，即为2 2x y 2 20，则点O到该直线的距离为d 22.3y24x,消去 y 得， 2x2－ 5x＋ 2＝0，解得 x1＝ 2，x2＝1.∴ BF＝ x2＋ 1＝3，∴由y 2 2( x 1),22 39AB＝3＋＝.∴S AOB 1AB d19 2 2 3 2. 222329.答案：解：直线方程为 y＝－ x＋4.由yy2x 4,2 px,消去y 得x2－ 2(p＋ 4)x＋ 16＝ 0.设 A( x1，y1 )， B(x2， y2)，则x1＋ x2＝ 2(p＋ 4)， x1x2＝ 16，＝4(p＋ 4)2－ 64＞ 0.因此 y1y2＝ (－ x1＋ 4)( － x2＋ 4)＝－ 8p.由已知 OA⊥ OB 得 x1x2＋ y1y2＝ 0，进而 16－ 8p＝ 0，解得 p＝ 2.因此抛物线的方程为y2＝ 4x，焦点坐标为F(1,0).y x b,10. 答案：解： (1) 由得 x2－ 4x－ 4b＝0.(*)x2 4 y,由于直线 l 与抛物线 C 相切，因此＝(－4) 2－ 4× (－ 4b)＝ 0.解得 b＝－ 1.(2)由 (1)可知 b＝－ 1，故方程 (*) 即为x2－ 4x＋ 4＝ 0.解得 x＝ 2，代入 x2＝ 4y，得 y＝1.故点 A (2,1).由于圆 A 与抛物线 C 的准线相切，因此圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线y＝－ 1 的距离，即 r＝ |1－ (－ 1)|＝ 2.因此圆 A 的方程为 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 4.。
高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)
12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.3.2Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料2.3.2双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.答案(1)的实半轴长为1，虚半轴长为 1(2)的实半轴长为12，虚半轴长为12.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为2.1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√) 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×) 3．等轴双曲线的离心率为 2.(√)4．离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一双曲线的几何性质例1求双曲线nx 2－my 2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解把方程nx 2－my 2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为x 2m －y2n＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋n m＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x.引申探究将本例改为“求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．解将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y24＝1，即x 232－y222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x.反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x.类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．解(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴所求双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3，得b ＝92，∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3，得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x24＝1. (3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝k(k ≠0)，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x24＝1. 反思与感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为(1)判断：利用条件判断焦点的位置．(2)设：设出双曲线的标准方程．(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程．(4)求：解参数方程，进而得标准方程．跟踪训练2(1)求与双曲线y 24－x23＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率e ＝233，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．解(1)设所求双曲线的方程为y 24－x23＝λ(λ≠0)．∵点M(3，－2)在双曲线上，∴44－93＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为x 26－y28＝1. (2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝aba 2＋b2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．②解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1. 类型三双曲线的离心率例3已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率解设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y2b2＝1，那么y ＝±b2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知PF 1＝F 1F 2，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以c a 2－2×ca －1＝0，即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)．所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋b a2得解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A(a,0)，B(0，b)，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案 2解析如图所示，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OE ＝34c ，AB ＝a 2＋b 2＝c.因为AB ·OE ＝OA ·OB ，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34b a 2－b a ＋34＝0，解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)．所以e ＝c a＝a 2＋b2a2＝1＋b a 2＝2.1．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是________．答案y ＝±3x解析双曲线方程可化为标准形式x 21－y23＝1，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax ＝±3x.2．设P 是双曲线x 2a 2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________.答案7解析双曲线的一条渐近线方程为y ＝32x ，由题意得b a ＝32，又b 2＝9，∴a ＝2，由双曲线定义知，|PF 1－PF 2|＝2a ＝4，∴PF 2＝7.3．若双曲线的实轴长与虚轴长之比为2，则双曲线的离心率e ＝________.答案62解析由题意得2a 2b ＝ab＝2，∴e ＝1＋b 2a 2＝62.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．答案y ＝±22x解析由条件知2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2，即a ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x.5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为________．答案x 24－y212＝1 解析依题意知，焦点在x 轴上，c ＝4，ca＝2，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y212＝1. 1．双曲线离心率及其范围的求法：(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ＞0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a|等非负性．2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，还可以将方程设为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．一、填空题1．已知点(2,0)是双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.答案 3解析由题意知c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2，得b2＝4－1＝3，所以b＝ 3.2．已知双曲线x2－y2m＝1(m>0)的离心率为2，则m的值为________．答案 3解析由题意得，a2＝1，b2＝m，c＝1＋m，根据双曲线离心率e＝ca＝1＋m1＝2，得m＝3.3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为32，则C的方程是________．答案x24－y25＝1解析由题意可知c＝3，a＝2，b＝c2－a2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x24－y25＝1.4．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．答案3＋1 2解析由题意2c＝AB＝BC，∴AC＝2×2c×sin60°＝23c，由双曲线的定义，有2a＝AC－BC＝23c－2c?a＝(3－1)c，∴e＝ca＝13－1＝1＋32.5．已知双曲线x24－y2b2＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．答案2 3解析由双曲线方程知a ＝2，又e ＝ca＝2，所以c ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝12＝2 3.所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ＝3x ，一个焦点为F(4,0)．焦点F 到渐近线y ＝3x 的距离d ＝431＋32＝2 3.6．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．答案x 29－y216＝1 解析双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y216＝1. 7．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析因为双曲线渐近线的斜率为k ＝ba，直线的斜率为k ＝tan60°＝3，故有ba ≥3，所以e ＝ca＝a 2＋b2a2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是e ≥2.8．已知圆C 过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．答案163解析由双曲线的几何性质，可知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆心C 的横坐标为±4.故圆心坐标为4，±473或－4，±473.故圆心到双曲线中心的距离为163. 9．已知双曲线C ：x 24－y2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e>2，e 2>2，即4＋m 4>2，∴m>4.10．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则OP →·FP →的取值范围是________．答案[3＋23，＋∞)解析由题意知c ＝2，∴a 2＝22－12＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. 设点P 的坐标为(x 1，y 1)(x 1≥3)，则x 213－y 21＝1，∴OP →·FP →＝(x 1，y 1)·(x 1＋2，y 1) ＝x 21＋2x 1＋y 21＝x 21＋2x 1＋x 213－1＝4x 213＋2x 1－1.∵函数f(x 1)＝4x 213＋2x 1－1在[3，＋∞)上单调递增，故f(x)≥4×323＋23－1＝3＋2 3.11．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e ＝________.答案343解析设F (c,0)，则过双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c)，而渐近线方程是y ＝±b ax ，由y ＝c －x ，y ＝－b a x得B ac a －b ，－bca －b，由y ＝c －x ，y ＝b ax得A ac a ＋b ，bca ＋b，AB →＝2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF →＝bc a ＋b ，－bc a ＋b，由AB →＝－3AF →，得2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3bc a ＋b ，－bc a ＋b，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343. 二、解答题12．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)经过点154，3，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3. 解(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.∴可设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点154，3，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. (2)设F 1，F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上，∵PF 1⊥PF 2，且OP ＝6，∴2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，∴c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝OP ·tan π6＝23，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 224＝1. 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A(2，－3)．解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y225－x2144＝1.(2)方法一∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则b a ＝12.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)，则a b ＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x232＝1.方法二由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x232＝1.三、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________．考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 2解析因为MF 1与x 轴垂直，所以MF 1＝b2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以MF 1MF 2＝13，即MF 2＝3MF 1.由双曲线的定义，得2a ＝MF 2－MF 1＝2MF 1＝2b2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a＝ 2. 15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q(2a,0)，若C 上存在一点P(异于点A)，使AP →·PQ →＝0，求此双曲线的离心率的取值范围．解设点P 的坐标为(x ，y)，则由AP →·PQ →＝0，得AP ⊥PQ ，则点P 在以AQ 为直径的圆上，即x －3a 22＋y 2＝a 24，①又点P 在双曲线上，得x 2a 2－y 2b2＝1，②由①②消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－3a 3x ＋2a 4－a 2b 2＝0. 即[(a 2＋b 2)x －(2a 3－ab 2)](x －a)＝0.当x ＝a 时，点P 与点A 重合，不符合题意，舍去；当x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2时，满足题意的点P 存在，需a<x ＝2a 3－ab 2a2＋b 2<2a ，即a 2>2b 2，即3a 2>2c 2，c a <62，又∵e ＞1所以离心率e ＝c a ∈1，62.。
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苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义 1 2.4.2 抛物线的几何性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点 抛物线的几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？ 答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有 2px＝y2≥0，p>0，所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 梳理 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 顶点坐标 O(0,0) 通径长 2p 苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义 2 1．抛物线关于顶点对称．(×) 2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√)
类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程 例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
解 椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3, ∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3或x＝3. 引申探究 将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程． 解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点Fm2，0，直线l：x＝m2，
所以A，B两点坐标为m2，m，m2，－m， 所以|AB|＝2|m|. 因为△OAB的面积为4，
所以12·m2·2|m|＝4， 所以m＝±22. 所以抛物线的标准方程为y2＝±42x. 苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义 3 反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 已知双曲线方程是x28－y29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 解 因为双曲线x28－y29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝82x，其准线方程为x＝－22. 类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题 例2 (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若AB＝8，则直线l的方程为________________． (3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．
答案 (1)16 (2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0 (3)72 解析 (1)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16. (2)∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)， 若l与x轴垂直，则AB＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由 y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，(*) 则由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k2＋4k2. 又AB过焦点，由抛物线的定义可知AB＝x1＋x2＋p＝2k2＋4k2＋2＝8，∴2k2＋4k2＝6，解得k＝±1.此时(*)式变为x2－6x＋1＝0，满足Δ＞0. ∴所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0. 苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义 4 (3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52，又准线方程为x＝－1，
因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 反思与感悟 1.抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为
(1)抛物线y2＝2px(p>0)，PF＝x0＋p2＝p2＋x0.
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)，PF＝x0－p2＝p2－x0. (3)抛物线x2＝2py(p>0)，PF＝y0＋p2＝p2＋y0. (4)抛物线x2＝－2py(p>0)，PF＝y0－p2＝p2－y0. 2．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝p24.
(2)AB＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)． (3)S△ABO＝p22sinθ(θ为直线AB的倾斜角)． (4)1AF＋1BF＝2p. (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p. 跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值； (2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan60°＝3.
又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.
联立 y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， 苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义 5 而AB＝AF＋BF＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，所以AB＝5＋3＝8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3， 所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，
所以M到准线的距离等于3＋32＝92. 类型三 抛物线的综合问题 命题角度1 与抛物线有关的最值问题
例3 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求PFPA的最小值． 解 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
由抛物线的定义可知PF＝PN， 连结PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝PNPA，
当PNPA＝PFPA最小时，sin∠PAN最小， 即∠PAN最小，即∠PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线， 切线PA的斜率一定存在， 设PA的方程为y＝k(x＋1)，
联立 y＝kx＋1，y2＝4x， 得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0， 解得k＝±1， 苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义 6 所以∠PAF＝∠NPA＝45°， 此时PFPA＝PNPA＝cos∠NPA＝22.
综上，PFPA的最小值为22. 反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点． 2．在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 答案 2 解析 由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离．故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：
4x－3y＋6＝0的距离，即d＝|4－0＋6|5＝2. 命题角度2 定值或定点问题 例4 抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若AF，MF，BF成等差数列． (1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q； (2)若MF＝4，OQ＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程． (1)证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，MF＝x0＋p2，x0为已知值．
由题意得x0＝x1＋x22， ∴线段AB的中点坐标可设为(x0，t)， 其中t＝y1＋y22≠0(否则AF＝MF＝BF⇒p＝0)． 而kAB＝y1－y2x1－x2＝y1－y212py21－y22＝2py1＋y2＝pt，
故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－tp(x－x0)， 即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0)．