基于连续代数Lyapunov方程解的研究
控制系统仿真_薛定宇第三章 科学运算问题的MATLAB求解
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微分方程求解的步骤
将微分方程变换成标准型 用MATLAB描述微分方程
M-函数 入口：function dx=funmane(t,x) 匿名函数 >> f=@(t,x)[...]
求解
验证：odeset()函数
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数值解
ห้องสมุดไป่ตู้
解析解
解析解
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演示：自编 funm() 求矩阵的任意函数
求
结果：左上角元素
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3.1 线性代数问题求解小结
线性代数很多问题可以用MATLAB语句直 接求解，和数学表示差不多一样直观 很多方法可以同时得出解析解和数值解
本节主要介绍和这门课程相关的问题 线性代数问题的MATLAB求解 代数方程求解、微分方程求解 最优化问题的求解 Laplace 变换与 z 变换问题的求解
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进一步学习这方面内容建议阅读
薛定宇、陈阳泉《高等应用数学问题的 MATLAB求解》（第二版），清华大学出 版社，2008。英文版：Solving Applied Mathematical Problems with MATLAB，CRC Press，2008 遇到某个MATLAB问题找不到合适的工具 箱，试在下面网址搜索
非线性控制系统的稳定性分析
非线性控制系统的稳定性分析1. 引言非线性控制系统在工程领域中广泛应用，具有复杂性和不确定性。
稳定性是评估非线性控制系统性能的关键指标。
因此，稳定性分析是设计和评估非线性控制系统的重要环节。
2. 线性稳定性分析方法在介绍非线性稳定性分析之前，我们首先回顾线性稳定性分析的方法。
线性稳定性分析是基于系统的线性近似模型进行的。
常用方法包括传递函数法、状态空间法和频域法。
这些方法通常基于线性假设，因此在非线性系统中的适用性有限。
3. 动态稳定分析方法为了从动态的角度描述非线性系统的稳定性，研究人员引入了基于动态系统理论的非线性稳定性分析方法。
其中一个重要的方法是利用Lyapunov稳定性理论。
3.1 Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是非线性稳定性分析中常用的工具。
该理论基于Lyapunov函数，用于判断系统在平衡点附近的稳定性。
根据Lyapunov稳定性理论，系统在平衡点附近是稳定的，如果存在一个连续可微的Lyapunov函数，满足两个条件：首先，该函数在平衡点处为零；其次，该函数在平衡点的邻域内严格单调递减。
根据Lyapunov函数的特性，可以判断系统的稳定性。
3.2 构建Lyapunov函数对于非线性系统，构建合适的Lyapunov函数是关键。
常用的方法是基于系统的能量、输入输出信号或者状态空间方程。
通过选择合适的Lyapunov函数形式，可以简化稳定性分析的过程。
4. 永续激励法 (ISS)除了Lyapunov稳定性理论外，ISS也是非线性系统稳定性分析中常用的方法。
永续激励法是基于输入输出稳定性的概念，通过分析系统输入输出间的关系来评估系统的稳定性。
5. 李亚普诺夫指数在某些情况下，Lyapunov稳定性理论和ISS方法无法提供准确的稳定性分析结果。
这时，可以通过计算系统的Liapunov指数来评估系统的稳定性。
李亚普诺夫指数可以被视为非线性系统中线性稳定性的推广。
6. 非线性反馈控制为了提高非线性系统的稳定性，非线性反馈控制方法被广泛应用。
李雅普诺夫稳定性分析方法
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
欲讨论系统在平衡态xe的稳定性，先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数，即有
f ( x ) x f ( xe ) x τ
( x -xe ) R( x -x e )
x xe
A( x -xe ) R( x -xe ) x xe
其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。
Lyapunov稳定性的基本定理
主要研究Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。 讨论的主要问题有:
基本概念: 矩阵和函数的定号性 (正定性、负定性等)
基本方法: 非线性系统线性化方法
Lyapunov第一法 Lyapunov's first method 矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法 Lyapunov第二法 Lyapunov's second method 重点、难点!
若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存 的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时， 其能量达到最小值。
反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸 收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统 的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函 数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。
11.2 Lyapunov第一方法
Lyapunov第一法又称间接法（indirect method）, 它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。 它的基本思路是: 首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式 (Taylor expansion) 然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。
Lyapunov稳定性理论概述
一， 稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
dx = ax ， x(0)=x0 , t≥0，x0≥0
(1)
dt
x e 的解为 x(t) = 0 at ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x0|多小，只要
|x0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误
的解) 正定(>0) 半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
结论 该平衡态渐近稳定
该平衡态渐近稳定
该平衡态稳定 但非渐近稳定
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的 渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数 稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。
t>t0 时不恒为零,那么该平衡态 x0 亦是不稳定的。
由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表：
V(x) 正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V/（x） 负定(<0) 半负定(≤0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解) 半负定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态
数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = xT B x，其中B为线性矩阵不等式
BA+ATB=-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。
四， Lyapunov方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线
性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提XTBX dt
李雅普诺夫方程 p矩阵计算方法
李雅普诺夫方程是控制理论中的重要概念，它描述了线性时不变系统的稳定性。
在实际控制系统中，我们经常需要对这些系统进行稳定性分析和设计。
而在进行李雅普诺夫方程的求解和稳定性分析时，p矩阵计算方法是一个非常实用的工具。
1. 李雅普诺夫方程的基本概念李雅普诺夫方程是对线性时不变系统进行稳定性分析的一种方法。
其数学表达式为Ax+xA^T<0，其中A是系统的状态方程矩阵。
这个方程描述了系统的状态变量随时间的演化，以及系统的稳定性和收敛性。
在实际应用中，我们常常需要对系统进行稳定性分析，以确保系统的可控性和可靠性。
2. p矩阵计算方法的原理和应用p矩阵计算方法是一种用于求解李雅普诺夫方程的有效工具。
其基本思想是将系统的状态方程矩阵A表示为p矩阵和一些辅助矩阵的组合，然后利用这些矩阵的性质和结构来求解李雅普诺夫方程。
这种方法不仅简化了计算过程，还提高了计算的精确度和稳定性。
3. p矩阵计算方法的优势和局限p矩阵计算方法在实际应用中有许多优势。
它可以有效地求解大规模系统的李雅普诺夫方程，提高了计算效率和精度。
这种方法可以直观地反映出系统的结构特性，有利于工程应用和分析。
然而，这种方法也存在一些局限性，比如对初始猜测值的选择比较敏感，需要一定的经验和技巧。
4. 个人观点和思考从我的角度来看，p矩阵计算方法是一个非常实用的工具，可以帮助工程师和研究人员更好地理解和分析控制系统的稳定性。
在实际工程中，我也经常应用这种方法来进行系统设计和调试。
当然，我也意识到这种方法在某些情况下存在局限性，需要不断地学习和探索新的方法来完善自己的技能。
总结：通过本篇文章的阐述，我们对李雅普诺夫方程和p矩阵计算方法有了更深入的理解。
这不仅有助于我们在工程实践中应用这些理论知识，还能够提高我们对控制系统稳定性分析的能力和水平。
希望通过不断的学习和实践，我们能够更好地应用这些方法，为控制系统的设计和应用做出更大的贡献。
李雅普诺夫方程和p矩阵计算方法是控制理论中非常重要的概念，它们在实际控制系统的稳定性分析和设计中起着至关重要的作用。
logistic混沌系统的李雅普诺夫指数
logistic混沌系统的李雅普诺夫指数
对于logistic混沌系统，其李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是用于描述系统混沌特性的重要参数。
具体来说，对于logistic混沌系统，其状态变量x满足以下微分方程：
dx/dt = αx(1 - x)
其中，α是一个正的常数。
通过对该微分方程进行稳定性分析，可以计算得到系统的李雅普诺夫指数。
当α小于某一临界值时，系统的解是稳定的，即系统处于稳定状态；当α大于该临界值时，系统的解变得不稳定，即系统进入混沌状态。
而该临界值与李雅普诺夫指数有关，具体计算方法可以参考相关混沌理论或数值计算方法的文献。
在实际应用中，通过计算李雅普诺夫指数可以判断系统的混沌特性，进一步应用于控制、同步等领域。
同时，也可以利用李雅普诺夫指数研究其他非线性系统，例如神经网络、化学反应等。
因此，李雅普诺夫指数对于理解混沌系统的动态行为和预测系统的长期演化具有重要意义。
Lyapunov稳定性分析
第四章 Lyapunov 稳定性分析4.1 概述线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。
Lyapunov 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
一百多年以前(1892年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大〃 米哈依诺维奇〃李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
在这一历史性著作中，Lyapunov 研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统),(t x f x= 的给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的稳定性，等价于给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的扰动方程),~(~~t x f x = 之原点(或零解)的稳定性。
在上述基础上，Lyapunov 提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。
一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov 第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章4.1节为概述。
离散时间的lyapunov方程
离散时间的lyapunov方程
离散时间的Lyapunov方程在控制理论和动力系统中起着重要作用。
Lyapunov方程是由俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李
亚普诺夫在1892年提出的，用于研究非线性系统的稳定性。
离散时
间的Lyapunov方程描述了动力系统在离散时间下的稳定性和收敛性。
离散时间的Lyapunov方程可以表示为：
\[ V(x_{k+1}) V(x_k) = -\alpha (x_k) \]
其中，\( V(x_k) \)是Lyapunov函数，\( x_k \)是系统在第
k个离散时间点的状态，\( \alpha (x_k) \)是一个非负函数。
Lyapunov函数通常被选为系统状态的二次型函数，以便通过Lyapunov方程来分析系统的稳定性。
通过离散时间的Lyapunov方程，我们可以判断系统在不同状态
下的稳定性。
如果对于所有的状态\( x_k \)，都存在一个非负函数
\( \alpha (x_k) \)，使得Lyapunov方程成立，那么系统在离散时
间下是稳定的。
这种分析方法在控制系统的设计和动力系统的研究
中具有重要的应用价值。
离散时间的Lyapunov方程为我们提供了一种有效的工具，用于研究非线性系统在离散时间下的稳定性和收敛性。
通过对Lyapunov 函数和非负函数的选择，我们可以对系统的稳定性进行定量分析，并设计出有效的控制策略。
因此，离散时间的Lyapunov方程对于控制理论和动力系统的研究具有重要的理论和实际意义。
lyapunov指数与光滑定理
Lyapunov指数和光滑定理是两个不同的概念，分别用于描述动力系统和微分方程的不同性质。
1. Lyapunov指数：Lyapunov指数是一种描述相空间中相邻轨迹平均指数发散率的数值特征。
它被用于识别混沌运动，是混沌理论中的重要概念。
当Lyapunov指数大于0时，系统运动会进入混沌状态；当Lyapunov指数小于0时，系统的运动状态会趋于稳定；当Lyapunov 指数等于0时，系统则处于稳定状态。
因此，Lyapunov指数是判断系统是否混沌的重要依据。
2. 光滑定理：光滑定理通常用于微分方程或动力系统的研究中，它描述了系统在某些条件下保持某种性质的稳定性或光滑性的性质。
例如，对于常微分方程或偏微分方程，如果初值问题存在唯一解，并且该解对初值具有连续依赖性，则称该系统满足光滑定理。
综上，Lyapunov指数用于描述动力系统的混沌性质，而光滑定理则用于描述微分方程解的连续依赖性和稳定性。
两者在数学和物理领域中都有广泛的应用。
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第３０卷第２期
２００８年６月
湘潭师范学院学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ０ｆ Ｘｉａｎｇｔａｎ Ｎｏｒｒ￣Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
ＶｏＩ．３０ Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ．２０ｏ８
基于连续代数 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方程解的研究
周喜华 ，胡彩红２，梁开福
（１．广东Ｔ业大学华立学院公共基础部，广东广州５１１３２５；
２．吉首大学张家界学院，湖南张家界４２７０００；３．湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭４１１１０５）
摘要：Ｌｙａｐｕｎｏｖ矩阵方程在控制论中有着重要的应用，研究了连续代数Ｌｙａｐｕｎｏｖ方程的定界估计问题，采用矩阵不等
式方法，给出了连续代数方程解的迹的上下界估计。
关键词：Ｌｙａｐｕｎｏｖ方程；矩阵的界；连续系统
中图分类号：ＴＦ＇Ｉ３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—０２３１（２００８）０２—００３３—０３
Ｌｙａｐｕｎｏｖ矩阵方程在稳定性理论，最优控制，实现理论以及逼近性问题等工程和数学方面有着重要作
用。上述问题的研究通常需要求解这类方程。然而当矩阵维数增大时，方程求解将变得相当困难；另一方
面，有时可能只需要方程的近似解或精确解的初值估计。为此对Ｌｙａｐｕｎｏｖ方程解的特征值迹和解矩阵的
上下界进行估计，具有重要的实用价值，已取得了一些成果。本文利用矩阵不等式方法对连续代数Ｌｙａ．
ｐｕｎｏｖ矩阵方程的上下界进行了研究，给出方程解的估计公式。
首先引入本文中的一些记号。矩阵 ∈Ｒ ， （Ｘ）表示 的第，个特征值，设定按递减次序排列，
即 １（ ）≥ ２（ ）≥…≥ （ ），若Ｘ为对称阵，即Ｘ＝ｘＴ，Ｘ＞Ｏ，则Ｘ为正定阵，又Ｙ＝ｙＴ，Ｘ＞Ｙ
—
表示Ｘ—Ｙ＞０。ｔｒ（Ｘ）表示矩阵Ｘ＝｛ ｝的迹，也即 （ ）＝∑ ，Ｉ Ｉ表示 的行列式， 的奇异
ｉ＝１
值定义为 （Ｘ）： ｆ（ＸＸＴ）专，ｉ＝１，２，…，ｎ，也设按递减次序排列，Ｘ的谱范数定义为ｌｌ Ｘ ｌｌ＝ １（ ），ｌ
ｌ 表示矩阵 的几何平均值。
１ 问题描述
考虑线性连续系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ方程
ＡＴｐ＋ＰＡ＋Ｑ＝０ （１）
其中Ａ，Ｐ，Ｑ∈Ｒ ，９＞０，设系统（１）是渐近稳定的。
本文目的是在无须求解Ｌｙａｐｕｎｏｖ方程的前提下，给出（１）解矩阵的定界估计。
引理１ 设Ａ，Ｂ∈Ｒ ×ｎ，Ａ：ＡＴ，Ｂ：ＢＴ则有
（ｎ）ａ￡（Ａ）≤ ｆ（ＢＡＢＴ）≤砰（Ｂ） （Ａ） （２）
ｔｒ（Ａｎ）＝ｔｒ（ＢＡ） （３）
引理２ 设Ａ，Ｂ∈Ｒ ，Ａ＝ＡＴ，Ｂ＝ＢＴ，ｉ≤ ， ≤ｎ．则有
Ｘｉ＋ｊ－１（Ａ＋Ｂ）≤ （Ａ）＋ ｆ（Ｂ）ｉ＋ ≤ｎ＋１ （４）
收稿日期１２００８—０４—２６
基金项目：湖南省教育厅资助项目（０７Ｃ７４７）
作者简介：周喜华（１９７９一），男，湖南岳阳人，硕士，研究方向：线性系统理论。
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．＝【ｉ＋ 一ｎ（Ａ＋Ｂ）≤；ｔｊ（Ａ）＋．＝【ｌ（ ）ｉ＋ ≤凡＋Ｉ
２ 主要结果
定理Ｉ 若ｌｌ，＋Ａ ｌｌ＜Ｉ，则对于（Ｉ）式，解的迹的估计上界为
Ｐ）≤
证明（１）式的等价形式为
（ＡＴ＋，）Ｐ（Ａ＋，）＝ＡＴＰＡ＋Ｐ—Ｑ
根据引理Ｉ得到
￡ｒ（Ｐ）一￡ｒ（Ｑ）＋．＝【 （ＡＡＴ）￡ｒ（Ｐ）≤￡ｒ（Ｐ）一￡ｒ（Ｑ）＋ｔｒ（ＡＴＰＡ）＝￡ｒ［（ＡＴ＋ｔ）Ｐ（Ａ＋，）］≤
．＝【１［（ＡＴ＋，）（Ａ＋，）］￡ｒ（Ｐ）＝ ｝（Ａ＋，）￡ｒ（Ｐ） ’
由于
｝（Ａ＋，）＝ｌｌ，＋Ａ ＩＩ＜Ｉ
（８）式整理可得
Ｐ）≤
证毕。
定理２ 若ｌｆ，＋Ａ ｌｌ＜Ｉ，则对于（Ｉ）式，解的迹的估计下界为
Ｐ）≥ 证明｝ 根据引理Ｉ得到 ￡ｒ（Ｐ）一￡ｒ（Ｑ）＋．＝【１（ＡＡＴ）￡ｒ（Ｐ）≥￡ｒ（Ｐ）一￡ｒ（Ｑ）＋ｔｒ（ＡＴＰＡ）＝￡ｒ［（ＡＴ＋，）Ｐ（Ａ＋，）］≥ ．＝【 ［（ＡＴ＋，）（Ａ＋，）］￡ｒ（Ｐ）＝ ｝（Ａ＋，）￡ｒ（Ｐ） 其他类似于定理Ｉ的证明过程，容易得到（１０）式。证毕。 定理３ 若ｌｆ，＋Ａ ｌｌ＜Ｉ（Ｉ）式解的几何平均值的估计下界为 ≥ 证明：根据Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式，对Ｖ，Ｗ∈Ｒ ，Ｖ＝ｖＴ≥０，Ｗ＝ｗＴ≥０则有 Ｉ Ｖ＋Ｗ Ｉ ≥Ｉ Ｖ Ｉ ＋Ｉ Ｗ Ｉ （Ｉ）式的等价形式为 ＡＴＰＡ＋Ｐ：（Ａ＋，）ＴＰ（Ａ＋，）＋Ｑ （１２）式两边取几何平均值 Ｉ ＡＴｐＡ＋Ｐ Ｉ １：Ｉ（Ａ＋，）ＴＰ（Ａ＋，）＋Ｑ Ｉ １≥Ｉ Ａ＋，Ｉ ２ Ｉ Ｐ Ｉ ＋Ｉ Ｑ Ｉ 因为Ａ≤．＝【ｌ（Ａ），，进一步有 ＡＴＰＡ＋Ｐ≤Ｐ＋．＝【｝（Ａ）Ｐ 因为ｌｌ，＋Ａ ｌｌ＜Ｉ，立即可以得到Ｉ Ａ＋，Ｉ ＜Ｉ，把（１４）式代入（１３）并整理得到 ≥ 推论：若ｌｌ，＋Ａ ｌｌ＜Ｉ，则对于（Ｉ）式，解的几何平均值估计下界的另一表达式为 ≥ ‰ （５） （６） （７） （８） （９） （１０）
（１２）
（１３）
（１４）
（１５）
（１６）
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证明：在ｎ＝１情形下，（１４）式表示为
Ｐ≥
（１７）式两边取几何平均值，即得所要证的（１６）式。
定理４若ＩＩ，＋Ａ ｌｌ＜１，则对于（１）式，解的特征值的估计上下界的表达式为
ａｌ≤ ｆ（Ｐ）≤ａ２
式中
（Ｑ）Ａｌ（Ａ＋ＡＴ＋ Ｔ）＋ ｌ（Ｑ）Ａｌ（ＡＡＴ）
证明：因为Ｐ≤ ｌ（Ｐ），，所以（１）式可化为
ＡＴ Ａ＋Ｐ＝ ｌ（Ｐ）（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）＋Ｑ
根据引理２得到
ｌ
（Ｐ）＋ （Ｐ）Ｘ （ＡＡＴ）≤ ｌ（Ｐ＋ＡＴＰＡ）≤ ｌ（Ｐ）［（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）］＋ ｌ（Ｑ）
因为
ｌ
［（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）］＝１＋ （Ａ＋ＡＴ＋ Ｔ）
（１９）式可化为
（Ｐ） （ＡＡＴ）≤ ｌ（Ｐ）Ｘｌ（Ａ＋ＡＴ＋ Ｔ）＋ ｌ（Ｑ）
因为Ｐ≥ （Ｐ），，（１）式还可化为
ＡＴ ＋Ｐ≥ （Ｐ）（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）＋Ｑ
利用引理２以及（１９）式得到
ｌ
（Ｐ） ｌ（ＡＡＴ）≤ （Ｐ）ａ （Ａ＋ＡＴ＋ＡＡＴ）＋ （Ｑ）
由于很容易可以证明
ｌ
（ＡＡＴ） （ＡＡＴ）一 ｌ（Ａ＋ＡＴ＋ Ｔ） （Ａ＋ＡＴ＋ＡＡＴ）＜０
联合（２Ｏ）（２２）两式解不等式可得到
ｆ
（Ｐ）≤ａ２
ｆ
（Ｐ）≥ａｌ
定理５ 若ＩＩ，＋Ａ ｌｌ＜１，则对于（１）式，解的上下界为
ａｌ（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）一６２（ＡＡＴ）＋Ｑ≤Ｐ≤６２（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）一ａｌ（ＡＡＴ）＋Ｑ
式中ａｌ，ａ２如定理４所述。
证明：（１）式的等价式为
Ｐ＝（Ａ＋，）ＴＰ（Ａ＋，）一ＡＴ Ａ＋Ｑ
（１７）
（１８）
（１９）
（２７）
因为Ｐ≥ （Ｐ），，Ｐ≤ ｌ（Ｐ），，由（２７）式得到
Ｐ≥（Ａ＋，）Ｔ （Ｐ）（Ａ＋，）一ＡＴＡｌ（Ｐ）Ａ）＋Ｑ＝ （Ｐ）（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）一 ｌ（Ｐ）（ Ｔ）＋Ｑ
（２８）
Ｐ≤（Ａ＋，）Ｔ ｌ（Ｐ）（Ａ＋，）一ＡＴ （Ｐ）Ａ）＋Ｑ＝ ｌ（Ｐ）（Ａ＋，）Ｔ（Ａ＋，）一 （Ｐ）（ Ｔ）＋Ｑ
（２９）
再根据定理４即可得出结论。证毕。
３５
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加
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