无穷大量和无穷小量的比较
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高数上第一章无穷小量与无穷大量
3
lim 1. lim x1(1 x )(1 x x 2 ) x11 x x 2
性质 3 若 lim X ，limY ，则lim( X Y ) ；
性质 4 若 X Y ，lim X ，则limY ；
性质 5 若 lim X ，则lim( X ) 。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
1 例如： f ( x ) 2 x ， g( x ) 2 x ， 2x
1 （2） 解： ∵ lim 0 ，而 arctanx ， 2 x x
arctanx ∴ lim 0 。 x x
x x x x 对于自变量的其他几种变化趋势（， 1.4.2 无穷大量 ，
x ， x ， x ， n ） ， 同样可以定义无 1. 定义
例2.求下列极限
x2 3x （1） lim x2 x 2
x 2 3 x x2 10 错解： lim 。 lim( x 2) 0 x2 x 2
x2
lim( x 2 3 x )
正解：∵ lim
x2
x2 x 2 3 x
x2
x2
0 0 ， 2 lim( x 3 x ) 10
x x
x x
令 f ( x ) A ，则 lim 0 ，且 f ( x ) A 。
x x
充分性
若 f ( x ) A ， lim 0 ，则
x x x x x x
x x
lim f ( x ) lim ( A ) A lim A 。
当 x 时， 1 x2 是无穷小量。
2.无穷小量的性质
专升本高数-第五讲 无穷小与无穷大
lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n
无穷小无穷大
即lim 2 arctan x 0
x ?
即lim arctan x
x ?
2
1 只有当x ,即 lim x 2 arctan x
作
业
习题二 (P73) 5. 6.（3）（4） 7.（3）（4）
一.无穷小量
极限为 0 的变量称为无穷小量，简称无穷小。 性质1： 性质2： 性质3： 推论：
推论2：常数因子可以提到极限号外，即：lim cy = c lim y （ c 为常数）。 推论3：如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y n (limy)n 如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y (limy )
1 n 1 n
f(x) 法则3：若 lim f(x) = A， limg(x) = B 0，则 lim 存在， g(x) f(x) lim f (x) A 且 lim g(x) lim g( x ) B
x x0 x x0
a0 x n a1 x n1 ... an f ( x0 ) 0 0
3 x 1 (注：对于有理分式函数，首先 例2：求 lim 2 x2 x 6 要验证分母极限是否为零。)
解： 因为 lim( x 2 6) (lim x )2 lim 6 22 6 10 0
大。因此，无穷大可有如下定义： 若 正数 M（无论多么大），变量 y 在某变化 过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有 | y |>M 成立，则称变量 y 在该变化过程中为无穷大。
练习:
1 当x ?时, 是无穷小量. ln(3 x )
1 解:若 是无穷小, 则 ln(3 x )应该为无穷大. ln(3 x )
3 无穷大量与无穷小量
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（一）无穷大量与无穷小量的概念
3. 极限的充分必要条件
定理25(极限的充分必要条件) 变量y以A为极限的充分必要条件是 变量y可以
表示为A与一个无穷小量的和 即
lim yAyA 其中lim 0
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常用的等价无穷小
当x 0时
(1) x ～sin x～ tan x～ arcsin x～ arctan x～ex 1～ ln(1 x)
(2) 1 cos x ～ x2 ， n 1 x 1～ x
2
n
例7. 求 lim tan x sin x x0 sin3 x
x
因此x sin 1 仍是无穷小.lim x sin 1 0
x
x0
x
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（二）无穷小量的比较
引例: 当x 0时, x,2x, x2 都是无穷小. x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 … →0 2x 2 1 0.2 0.02 0. 002 … →0 x2 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 … →0
常用的等价无穷小
当x 0时
(1) x ～sin x～ tan x～ arcsin x～ arctan x～ex 1～ ln(1 x)
(2) 1 cos x ～ x2 ， n 1 x 1～ x
2
n
例6. 求lim 3 1 xsin x 1. x0 arctan x2
解 因为 3 1 x sin x 1～~ 1 x sin x (x 0) arctan x2~x2 (x0)
9.27无穷小量与无穷大量.ppt5
§1.3 无穷小量和无穷大量
1.3 1.3.1 无穷小量
1.无穷小量的定义 1.无穷小量的定义
定义 1 若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的无穷小量，
简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 x 3 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
当 x → ∞ 时， 1 x2 是无穷小量。
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不 能与任何一个绝对值很大的常数如 101000 ，
− 10001000 等混为一谈。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
答：不一定。
1 例如： 例如 f ( x) = 2 x + ， g ( x) = −2 x ， 2x lim f ( x) = +∞ ， lim g ( x) = −∞ ，它们都是无穷大量，
注意
当 x → +∞ 时， e x 是正无穷大 正无穷大，记作 lim e x = +∞ ； 正无穷大 1 x→+∞ 的变化趋势。如 是当 x → 0 时的无穷大，但当 x + 当 x →0 时， ln x 是负无穷大 负无穷大，记作 lim ln x = −∞ 。 负无穷大 1 x→0 + x → ∞ ， 就不是无穷大，而是无穷小了。 x
x → xo
lim f ( x) = lim( A + α ( x)) = A + lim α ( x) = A 。
x → xo x → xo
1.3.2 无穷小量的阶
两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 2 例如，当 x → 0 时， x, 3 x, x , sinx, 1− cosx 都是无穷小，
1.3 1.3.1 无穷小量
1.无穷小量的定义 1.无穷小量的定义
定义 1 若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的无穷小量，
简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 x 3 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
当 x → ∞ 时， 1 x2 是无穷小量。
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不 能与任何一个绝对值很大的常数如 101000 ，
− 10001000 等混为一谈。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
答：不一定。
1 例如： 例如 f ( x) = 2 x + ， g ( x) = −2 x ， 2x lim f ( x) = +∞ ， lim g ( x) = −∞ ，它们都是无穷大量，
注意
当 x → +∞ 时， e x 是正无穷大 正无穷大，记作 lim e x = +∞ ； 正无穷大 1 x→+∞ 的变化趋势。如 是当 x → 0 时的无穷大，但当 x + 当 x →0 时， ln x 是负无穷大 负无穷大，记作 lim ln x = −∞ 。 负无穷大 1 x→0 + x → ∞ ， 就不是无穷大，而是无穷小了。 x
x → xo
lim f ( x) = lim( A + α ( x)) = A + lim α ( x) = A 。
x → xo x → xo
1.3.2 无穷小量的阶
两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 2 例如，当 x → 0 时， x, 3 x, x , sinx, 1− cosx 都是无穷小，
几类特殊形式的极限求法探讨
几类特殊形式的极限求法探讨极限是微积分的重要概念之一，是描述函数在某一点附近的变化规律的数学工具。
在实际问题中，我们常常会遇到一些特殊形式的极限，它们的求法也比较特殊。
本文将对几类特殊形式的极限求法进行探讨，希望能够帮助读者更好地理解和掌握极限的求法。
一、无穷小量与无穷大量的极限我们来看一类特殊形式的极限，即当自变量趋于某一值时，函数值趋于零的情况。
这种情况我们称之为无穷小量的极限。
一般来说，对于一个函数f(x)来说，如果当x趋于a 时，f(x)的值趋于零，我们可以表示为：lim[x→a]f(x) = 0这种极限的求法需要我们对函数在x趋于a时的变化趋势有比较深入的了解，一般需要利用函数的极限定义或者泰勒级数展开等方法进行求解。
二、0/0型的极限求法这种情况下，我们可以利用洛必达法则来求解极限。
洛必达法则是求解极限的一个非常有用的方法，它的基本思想是将原极限转化成一个不定形的形式，然后对这个不定形式进行求导，得到的导数极限即原极限的值。
这个方法对于解决0/0型的极限问题非常有效。
除了0/0型的极限外，还有一类特殊形式的极限叫做∞/∞型的极限。
对于函数f(x)和g(x)来说，如果当x趋于a时，f(x)和g(x)的值都趋于无穷大，我们可以表示为：我们来看一些无穷小量与无穷大量的比较。
在实际问题中，我们常常会碰到一些复杂的极限表达式，这些表达式可能包含无穷小量和无穷大量，或者无穷小量之间的比较。
对于这种情况，我们需要借助一些特殊的方法来进行求解。
对于无穷小量与无穷大量的比较问题，我们可以利用夹逼定理、比较定理和等价无穷小量等方法进行求解。
夹逼定理是指如果存在另外两个函数h(x)和k(x)，满足h(x)≤f(x)≤k(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]k(x)=L，那么lim[x→a]f(x)=L。
比较定理是指如果lim[x→a]f(x)=A，lim[x→a]g(x)=B，且当x足够靠近a时有f(x)≤g(x)，那么A≤B。
无穷小量与无穷大量
2012年5月19日星期六
1
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一、无穷小量
定义1 定义 若 为
(或x → ∞)
时 , 函数
则称函数
(或x → ∞)
例如 :
时的无穷小 时的无穷小 . 函数 函数 当 当 时为无穷小; 时为无穷小 时为无穷小; 时为无穷小;
需要指出的是， 需要指出的是， （1）不要认为无穷小量是一个很小很小的数； ）不要认为无穷小量是一个很小很小的数； 以外任何很小的常数 很小的常数都 （2）除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! ； ） （3）一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势 ）一个函数是无穷小量，
第一章
第四节 无穷小量与无穷大量
到目前为止， 我们已经阐明了数列与函数的极限． 下面我们再来研究一类比较简单但十分重要的函 数， 即所谓的无穷小量 无穷小量． 无穷小量
一、无穷小量（Infinitely Small Quantity） ） 二、无穷大量（Infinitely Large
Quantity） ）
说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 无穷小来讨论
2012年5月19日星期六
7
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内容小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容 两个定义;两个定理. 、主要内容: 两个定义;两个定理. 2、几点注意: 、几点注意 （1） 无穷小（ 大）是变量 不能与很小（大）的数 是变量,不能与很小 不能与很小（ ） 无穷小（ 混淆，零是唯一的无穷小的数； 混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 ）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大 ） 无界变量未必是无穷大.
无穷大量与无穷小量
f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0
2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算
lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).
1.4_无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量
§1.4
无穷小量 与无穷大量
无穷小量与无穷大量
1.4.1 无穷小量
为统一处理起见， 为统一处理起见， 用 X , Y , Z 等大写字母来表示因变量 用 lim 表示 x
+
f ( x ) 或 f ( n)
−
→ x 0 ， x → x0 ， x → x0 ， 七种极限 x → ∞ ， x → +∞ ， x → −∞ ， n → ∞ 七种极限
无穷小量与无穷大量
1.4.3 无穷小量的比较
两个无穷小的和或积仍然是无穷小， 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 的商却有多种可能性。
例如， 都是无穷小， 例如，当 x → 0 时， x , 3x , x 2 , sin x , 1 − cos x 都是无穷小，
x2 3x sin x 1 − cos x 1 = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim 而 lim = 1 ， lim = 。 2 x →0 3 x x →0 x x →0 x →0 x x 2
x→ x
x→ x
lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − x < δ , 恒有f ( x ) > G .
x→ x
lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − x < δ , 恒有f ( x ) < −G .
无穷小量与无穷大量
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。 注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
n
1 1 1 例如： 例如： lim( + + ⋯ + ) = 1 。 n→∞ n n n
§1.4
无穷小量 与无穷大量
无穷小量与无穷大量
1.4.1 无穷小量
为统一处理起见， 为统一处理起见， 用 X , Y , Z 等大写字母来表示因变量 用 lim 表示 x
+
f ( x ) 或 f ( n)
−
→ x 0 ， x → x0 ， x → x0 ， 七种极限 x → ∞ ， x → +∞ ， x → −∞ ， n → ∞ 七种极限
无穷小量与无穷大量
1.4.3 无穷小量的比较
两个无穷小的和或积仍然是无穷小， 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 的商却有多种可能性。
例如， 都是无穷小， 例如，当 x → 0 时， x , 3x , x 2 , sin x , 1 − cos x 都是无穷小，
x2 3x sin x 1 − cos x 1 = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim 而 lim = 1 ， lim = 。 2 x →0 3 x x →0 x x →0 x →0 x x 2
x→ x
x→ x
lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − x < δ , 恒有f ( x ) > G .
x→ x
lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − x < δ , 恒有f ( x ) < −G .
无穷小量与无穷大量
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。 注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
n
1 1 1 例如： 例如： lim( + + ⋯ + ) = 1 。 n→∞ n n n