大学物理2-212章习题详细答案

1 / 10 PdL0dxx

x

y

dEd

习题12 12-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。 [解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元

xLqqdd，它在P点产生的电电场强度度为

xxdLLqxdLqEd41d41d2020

则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为

dLdqxxdLLqEL002041d4

1



故iEdLdq04 12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量lRQqdd

dq在O点的电场强度20204d4ddRlRQRqE 从对称性分析，y方向的电场强度相互抵消，只存在x方向的电场强度

lRQEEdsin4sindd302x ddRl



d4sind202xRQE

2020202xx2d4sindRQR

QEEE

方向沿x轴正方向

12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。

[解] d对应的无限长直线单位长带的电量为ddq 它在轴线O产生的电场强度的大小为

RRqE0202d2d

d

d2 / 10

因对称性ydE成对抵消REE02x2dcoscosdd RREE022002x2dcos2d

12-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心点O处的场强。 [解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值

lrqd2d。

在O点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度公式)

2322

0

x

4ddrxqxE





带电半球壳在O点的总电场强度

2322023220xx424ddrxrdlxrx

qxEE



由于 cosRx，sinRr，ddRl 所以

0200200200x42cos82d2sin8dcossin2





EE

方向沿x轴负向 12-7．如习题12-7图所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度

为E0，两平面外侧电场强度大小都是03E，方向如图。求两平面A、B上的面电荷密度A和B。

[解] 无限大平面产生的电场强度为02E 则 0AA2E 0BB2E







3222200A0B00A0BEE





解得 00A32E 00B34E 12-8．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为=Ar (r≤R)，0 (r>R)，A为常量。试求球内、外的场强分布。 [解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

应用高斯定理有024qrE

dlxO

r

E0/3E0/3E

0

AB3 / 10

q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq rArrrqd4d4d32

r≤R时 403d4ArrArqr 解得 024ArE (r≤R) (或204ArrEe) r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q 4030d4dARrArqQRR

应用高斯定理024QrE 2044rARE (r>R) (或rE20

44rAR



) 当A>0时，电场强度方向均径向向外；当A<0时，电场强度方向均指向球心。

12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R1和R2，体电荷密度rA，在球心处有一点电荷Q，求当A取什么值时，球壳区域内(R1

[解] 以同心球面为高斯面，电通量为

024dqErSSE

QRrAQdrrqrR21220202dsind

1



20

21242rQRrAE



当212RQA时 02AE 与r无关。因此得证。 12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为

的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离OOd，如习题12-10图所示。求：(1)在球形空腔内，球心O处的电场强度

OE；(2)在球体内点P处的电场强度E。设O、O、P三点在同一直径上

，且OP=d。 [解] 在空腔内分别填上密度为的电荷和密度为

的电荷。

(1) O处的电场强度是密度为的大球和

习题12-10图

O • r

P x d

O 4 / 10

的小球所产生的电场强度的叠加。 大球产生电场强度： 在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理

0323

4

4ddE 03

d

E

而小球产生电场强度由于对称性为0

因此O点的电场强度 iE0O3d (2)P点的电场强度也是两球电场强度的叠加。

同理大球产生的电场强度 iE03d

小球产生的电场强度 0323444rdE iE20312dr 合电场强度 iiE2302030P43123drddrd 12-11．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为

4R

qr

(r≤R) 0 (r>R)

试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。

[解] （1）带点球体的总电量：qrrRqrqQRR0240d4d （2）在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

应用高斯定理有024内qrE 内q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq

rrRqrrqd4d4d342

r≤R时 44034d4rRqrrRqqr内 解得 4024RqrE (r≤R) (或2404qrRrEe) r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量q 5 / 10

应用高斯定理024qrE 204r

qE (r>R) 方向沿径向 (或204qrrEe

)

当q>0时，电场强度方向均径向向外；当q<0时，电场强度方向均指向球心。 （3）

)( 412)( d4d4d330 R 20 402 RrRrRqRrrrqrRqrrEURrr



)( 4)( d4d0 r 20 RrrqRrrrqrEUr

12-12．如习题12-12图所示，在Oxy平面内有与y轴平行、位于2ax和ax21处的两条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为+和。求z轴上任一点的电场强度。 [解] 无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度

rE02

所以 P点的电场强度 21220λ42zaE 2122

0

λ

42za

E





由对称性知合电场强度的z方向分量为零，x方向分量cos2λxEE

而 212242coszaa 所以 220λ42cos2zaaEE 方向指向x轴负方向

E-

-

a/2x

yz-a/2O

+

PE

x

E+