空间图形的公理课件(北师大版必修二)
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高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学第一章4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3课件北师大版必修2
证明：由 EF∥CD′知 E，F，C，D′四点共面． 因为 E，F 不与 A′，B 重合，所以 EF≠CD′，即四 边形 EFCD′为梯形． 设 D′E∩CF ＝ P ，∵ D′E 平面 AA′D′D ， P ∈ D′E，∴P∈平面 AA′D′D. 又∵CF 平面 ABCD，P∈FC，∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA′D′D 的公共点． 又∵平面 ABCD∩平面 AA′D′D＝AD，∴P∈AD， 即 CF，D′E，DA 三线共点于 P.
解析：如图所示的四面体 ABCD 中，
设 AB＝a，则由题意可得 CD＝ 2，其他边的长都为 1， 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形，显然 a>0.取 CD 中点 E，
连接 AE，BE，则 AE⊥CD，BE⊥CD 且 AE＝BE＝
1－
2 2 2 ＝ ，显然 A、B、E 三点能构成三角形，应 2 2
2 满足任意两边之和大于第三边，可得 2× >a ，解得 2 0<a< 2.
答案：A
3．下列四个命题中，真命题的个数为(
)
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
②两条直线可以确定一个平面
③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错； 两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同 一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．
面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，
这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然 后证明另外的点在其上．
北师大版数学必修二课件：1.4.1空间图形的基本关系与公理
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。11:51:2611:51:2611:51Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.811:51:2611:51:26September 8, 2021
(2)因为A∈α,B∈α,所以AB⫋α.
又因为C∈AB,所以C∈α.
4.空间平面与平面的位置关系(除重合外)
位置关
文字语言
图形语言
系
两个平
如果平面 α 与平面 β 没有公
面
共点,我们称平面 α 与平面 β
不相交
是平行平面
(平行)
两个平
面
相交
如果平面 α 和平面 β 不重合,
但有公共点,我们称平面 α
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午11时51分26秒11:51:2621.9.8
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时51分21.9.811:51September 8, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三11时51分26秒11:51:268 September 2021
内.
证明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',
∴直线BC⫋平面BCC'B'.
又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.811:51:2611:51:26September 8, 2021
(2)因为A∈α,B∈α,所以AB⫋α.
又因为C∈AB,所以C∈α.
4.空间平面与平面的位置关系(除重合外)
位置关
文字语言
图形语言
系
两个平
如果平面 α 与平面 β 没有公
面
共点,我们称平面 α 与平面 β
不相交
是平行平面
(平行)
两个平
面
相交
如果平面 α 和平面 β 不重合,
但有公共点,我们称平面 α
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午11时51分26秒11:51:2621.9.8
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时51分21.9.811:51September 8, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三11时51分26秒11:51:268 September 2021
内.
证明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',
∴直线BC⫋平面BCC'B'.
又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.
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初中的一些结论在空间中成立，如：如果两条平行线中的一条 垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但是， 初中的一些结论在空间中不成立，如：如果两条直线都和第三 条直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立 的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立， 否则不成立．
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(2)平面分空间： 类比直线分平面，我们知道一个平面将空间分成两部分；两个 平面如果平行则将空间分成三部分，如果相交则把空间分成四 部分；三个平面可以将空间分成四或六或七或八部分．以此类 推，我们也可以求出四个平面、五个平面„„分别把空间分成 多少部分．
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[规范解答] 法一 (直接平移法)如图，连接 A1C1，B1D1，并设 它们相交于点 O，取 DD1 的中点 G，连接 OG. 则 OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角．(6 分) ∵GA1＝GC1，O 为 A1C1 的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° 分) .(12
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题型一 等角定理的应用 【例 1】 已知 E、E1 分别是正方体 ABCD- 1B1C1D1 的棱 AD、 A A1D1 的中点． 求证：∠BEC＝∠B1E1C1. [思路探索] 欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论实现．
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题型二 异面直线所成的角 【例 2】如图，正方体 AC1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点， 求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小． 审题指导 要求异面直线所成的角， 关键是作出异面直线所成的 角，然后把它归结到三角形中再解三角形就可以得到答案． 【解题流程】 作平行线 → 找出平面角 → 解三角形 → 结果
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法二
(中位线平移法)如图，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连
1 接 HE，则 HE∥DB1 且 HE＝ DB1. 2 于是∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角．(6 分) 连接 HF，设正方体的棱长为 1， 2 则 EF＝ 2 ， 3 HE＝ 2 ，取 A1D1 的中点 I，连接 IF，HI，则 HI⊥IF.
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3．异面直线所成的角 过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1， 定义 l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的 锐角(或直角) 就
是异面直线a、b所成的角．
取值 异面直线所成的角θ的取值范围： 0°＜θ≤90° . 当θ＝ 90° 时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
4．2 空间图形的公理(二)
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【课标要求】 1．了解公理 4 及等角定理． 2．会用公理 4 和等角定理进行简单的推理论证． 3．了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角． 【核心扫描】 1．公理 4 和等角定理的应用．(重点) 2．异面直线所成的角的定义及求法．(难点) 3．异面直线所成角的范围易出错．(疑点)
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2．四边形的分类 按四个顶点是否共面分为：空间四边形和平面四边形．当四边 形的四个顶点 共面 时为平面四边形，当四边形的四个顶 点 不共面 时为空间四边形． 想一想：如何理解空间四边形？ 提示 (1)空间四边形是一个特殊的概念，不能理解为空间中的 四边形． (2)空间四边形与平面四边形的区别是它的四个顶点不共面． (3)空间四边形的两条对角线所在直线异面，连续两条对角线， 空间四边形成为一个三棱锥．
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3．关于平面分空间的题目 (1)直线分平面： 在平面内一条直线将平面分成两部分；两条直线如果平行则将 平面分成三部分，如果相交则将平面分成四部分；三条直线可 以将平面分成四或六或七部分，如图．以此类推，我们可以求 出四条直线、五条直线„„分别把平面分成多少部分．
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【变式 3】 如图，在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中，求： A (1)异面直线 AB 与 A1D1 所成的角； (2)AD1 与 DC1 所成的角． 解 (1)∵A1B1∥AB， 而 A1D1⊥A1B1， ∴A1D1⊥AB， ∴AB 与 A1D1 所成的角为 90° .
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5 ∴HF ＝HI ＋IF ＝4.
2 2 2
∴HF2＝EF2＋HE2. ∴∠HEF＝90° . ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° 分) .(12 【题后反思】 解决此类问题，关键是通过平移法求解．过某一 点作平行线．将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解 三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角， 同时，要注意异面直线所成角的范围．
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1.等角定理 文字语言：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么 这两个角 相等 或 互补 ． 图形语言：如图①②所示．
符 号 语 言 ： OA ∥ O′A′ ， OB ∥ O′B′ ⇒ ∠ AOB ＝ ∠ A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° . 作用：判断或证明两个角相等或互补．
范围
特例
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名师点睛 1．对公理 4 的理解 公理 4 是今后论证平行问题的主要依据．公理 4 中，若把直线 a，b，c 的平行关系限制在同一平面内，可看作公理 4 的一种 特殊情况． 2．对等角定理的理解 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理 4 的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时， 它们相等，或者互补．