高一数学北师大版必修4第一章4.4 单位圆的对称性与诱导公式
高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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4。
4 单位圆的对称性与诱导公式（二）学习目标 1.掌握诱导公式1.13~1。
14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2。
对诱导公式1。
8～1.14能作综合归纳,体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一π2±α的诱导公式思考1 角α与错误!＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？答案sin错误!＝cos α，cos错误!＝－sin α.思考2 能否利用公式sin错误!＝cos α，cos错误!＝－sin α得出错误!－α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系？答案以－α代换公式中的α得到sin错误!＝cos（－α）＝cos α,cos错误!＝－sin（－α）＝sin α。
梳理对任意角α，有下列关系式成立:sin错误!＝cos α, cos错误!＝－sin α（1.13）sin错误!＝cos α，cos错误!＝sin α（1。
14）诱导公式1。
13～1.14的记忆：错误!－α，错误!＋α的正（余）弦函数值,等于α的余（正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”。
高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大必修4201808223186
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边， 所以原式得证．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解 原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案 －135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 －125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析 原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案 －111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。
2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。
知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。
答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。
高中数学北师大版必修4 1.4 教学设计 《单位圆的对称性与诱导公式》(数学北师大高中必修4)
《单位圆的对称性与诱导公式》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节是根据在单位圆的对称性，结合正弦、余弦函数性质得到诱导公式，通过立体讲解加深对其性质的理解。
◆教学目标【知识与能力目标】理解诱导公式并能解决相关问题．【过程与方法目标】(1)通过诱导公式的学习及应用，提高三角恒等变形能力．(2)树立化归思想方法，将任意角的三角函数值问题转化为0°～90°间的角的三角函数值问题，培养学生化归转化能力。
【情感态度价值观目标】通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普遍联系规律，运用化归原理，揭示事物的本质属性，培养学生辩证唯物主义的思想。
◆教学重难点【教学重点】掌握诱导公式及其应用。
【教学难点】借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式。
◆课前准备多媒体课件◆教学过程一、新课代入在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+α)＝sinα(k∈Z )，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值吗？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．二、课堂探究探究点1 角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则-α的终边与单位圆的交点坐标如何？提示：如图， -α的终边与单位圆的交点坐标为P（x，-y）.思考3：根据三角函数定义，－α的正弦函数、余弦函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系？【设计意图】引出诱导公式，进行总结。
探究点2 角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系思考1：对于任意给定的一个角α，角α±π的终边与角α的终边有什么关系？提示：如图角α±π的终边与角α的终边关于原点对称。
高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式
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解：(1)f(α)＝－sin－αccoossαα·s－incαosα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15， ∴sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－215＝－256，
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
12/12/2021
第一页，共十二页。
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导(yòudǎo)公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
12/12/2021
第二页，共十二页。
基础知识点对点
课后拔高(bá ɡāo)提能练
又∵sin(π－α)＝sinα，∴sinα＝－23，
1又2/12∵/2021sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝23.
第八页，共十二页。
知识点三 化简求值 5．已知 f(α)＝sinα－co3sπ－cπos－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
∴f(α)＝－cosα＝2
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6 .
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内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)。基础知识点对点
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基础知识点对点
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高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）学案北师大版必修4的全部内容。
4。
4 单位圆的对称性与诱导公式(二）学习目标1。
掌握诱导公式1。
13～1.14的推导(重点)。
2。
能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1 错误!±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α）＝cos α，cos(错误!＋α）＝－sin α。
（1.13)sin(错误!－α）＝cos α，cos（错误!－α)＝sin α.（1.14）诱导公式1。
13~1.14的记忆：错误!－α，错误!＋α的正(余）弦函数值,等于α的余（正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(错误!π－α)＝－cos_α，cos(错误!π－α）＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(错误!π＋α）＝sin_α。
知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变,符号看象限．（1）函数名不变,符号看象限“函数名不变,符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z),－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值,前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．(2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限"指的是对于角错误!＋α，错误!－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1）cos（α－π2）＝________。
高中数学第一章三角函数1.4.31.4.4单位圆的对称性与诱导公式学案北师大必修4
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y＝sin x y＝cos x基本性质定义域R值域[－1,1]最大(小)值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1基本性质周期性周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π单调性在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π上的最大值为1.( ) (3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( )【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，故(2)正确．(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误．【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导(1)π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．(2)公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( )(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]． 当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3.【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解． 【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝32·32·22＝34·22＝328. (2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°＝si n(180°－45°)cos(360°－45°)＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34；当n 为偶数时，原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－α.【精彩点拨】 解答本题要注意到⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∵⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－13×13＝－19.1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.[探究共研型]三角函数式的化简探究1 三角函数式本着怎样的思路化简？【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数． 探究2 怎样处理含有k π±α的角？【提示】 含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．化简下列各式． (1)cos2π－αsin 3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos α－3πsin －π－α；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z )．【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】 (1)原式＝cos α·－sin α·－sin αsin α·－cos αsin α＝－1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．[再练一题] 4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z .【解】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α.①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α； ②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α.综上可知，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为奇数.[构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】 由诱导公式知D 正确． 【答案】 D2．cos 2π3的值是( )【导学号：66470011】A ．－32B ．32C.12D ．－12【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______． 【解析】 在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π24．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________.【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.【答案】 125．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4.【解】 原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π11 ＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝sin π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝34.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
高中数学 1.4.3+4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式课件 北师大
诱导公式(gōngshì)的综合应用
已知 cosπ6－α＝m(|m|≤1)， 化简 cos56π＋α＋sin23π－α. [思路分析] 观察角的特点，由于56π＋α＝π－π6－α，故可 运用 π－α，π2＋α 的诱导公式求正弦、余弦值．
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[规范解答] cos56π＋α＋sin23π－α ＝cosπ－π6－α＋sinπ2＋π6－α ＝－cosπ6－α＋cosπ6－α＝－m＋m＝0. [规律总结] 观察已知角和未知角之间的关系，运用诱导公 式(gōngshì)将不同名的函数化为同名的函数，将不同角化为同角 是解决问题的关键．
第二十一页，共38页。
[规范解答] (1)解法一：sin(－1665°)＝－sin1665° ＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin225°
＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝
2 2.
解法二：sin(－1665°)＝sin(135°－5×360°)
＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝
＋120°)＝－sin45°＋cos30°＋sin60°＝
3－
2 2.
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5．若 f(n)＝sinn4π(n∈N)，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(9)＝
__________.
[答案] [解析]
2 2
f(1)＝sinπ4＝ 22，f(2)＝sinπ2＝1，f(3)＝sin34π＝ 22，
D．4cosα
[答案(dáàn)] A [解析] 原式＝cosα＋cosα－cosα－cosα＝0.
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4 ． 计 算 (jì suàn)sin315° ＋ cos( － 330°) － sin( － 480°) ＝ __________.
高中数学第一章 §4 第2课时 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式
第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式[核心必知]正弦函数、余弦函数的诱导公式1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．2．公式右边的正、负号有规律吗？提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．3．公式(二)反映了三角函数的什么性质？提示：由sin(－α)＝－sin α知y＝sin x是奇函数；由cos(－α)＝cos α知y＝cos x是偶函数．讲一讲1．求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 35π6；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3.[尝试解答] (1)cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. (2)sin 35π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋11π6＝sin 11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12.(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32. (4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3）＝－sin （32π＋4π3＝－sin 4π3＝sin π3＝32.1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k ×π2±α(k ∈Z )的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是k ×π2，当k 是奇数时，得α的异名三角函数值；当k 是偶数时，得α的同名三角函数值．“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k ×π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)． 练一练1．求下列各式的值： (1)sin 495°cos(－675°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－43π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4 解：(1)sin 495°cos(－675°) ＝sin(135°＋360°)cos 675° ＝sin 135°cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6cos 11π4 ＝－sin 43π6cos 11π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝－sin 7π6cos 3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝－sin π6sin π4＝－12×22＝－24.讲一讲 2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13，求cos(5π＋α)的值．[尝试解答] (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13∴cos α＝－13∴cos(5π＋α) ＝cos[4π＋(π＋α)] ＝cos(π＋α) ＝－cos α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13.解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．练一练2. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．解：∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫103π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.讲一讲3．化简下列各式：(1)cos （2π－α）sin （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos （α－3π）sin （－π－α）.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ）（n ∈Z .[尝试解答] (1)原式＝cos α（－sin α）（－sin α）sin α（－cos α）sin α＝－1. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；②当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 是奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α时，要注意对k 的奇偶性进行讨论．练一练3．设k 为整数，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）.解：法一：当k 为偶数时，不妨设k ＝2m (m ∈Z )， 则原式＝sin （2m π－α）cos[（2m －1）π－α]sin[（2m ＋1）π＋α]cos （2m π＋α）＝sin （－α）cos （π＋α）－sin αcos α＝（－sin α）（－cos α）－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 同理，可得原式＝－1.法二：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)＝sin[(k ＋1)π＋α]， cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α] ＝－cos(k π＋α)， 所以原式＝－1.若cos θ＝33，则cos （π－θ）cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋ cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值为________．[错解] 原式＝cos θcos θ（－sin θ－1）＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.[错因] 混淆了诱导公式，应有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin ⎝ ⎛π＋)⎭⎪⎫π2－θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－cos θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ.cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.[正解] 原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ. 因为cos θ＝33， 所以原式＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3. [答案] 31．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α 答案：D2．cos 2π3的值是( )A ．－32 B.32C.12 D ．－12解析：选D cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.3．(广东高考)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)＝cos α＝15.4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 答案： 125．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．解析：∵508°＋212°＝720°∴cos(212°＋α)＝cos [2×360°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.答案： 12136．求sin π4cos 19π6sin 21π4的值．解：原式＝sin π4cos(2π＋7π6)sin(4π＋5π4)＝22cos 7π6sin 5π4 ＝22cos(π＋π6)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22×32×22＝34.一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝± 3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3. 3．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3 ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6 ③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确． 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值等于________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________.解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－2 三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里 ＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。
1.4.1单位圆的对称性与诱导公式(第1课时)课件
§4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式(第1课时)
高中数学北师大版必修4
学习目标
1．温习各个象限中三角函数值的符号相关问题
2. 学会自主推到诱导公式一
3. 运用诱导公式一解决三角函数问题
新课引入
问题回顾：
在1.1.2中，与角终边相同的角如何表示？
k 2
其中k∈
典例精讲：题型一：求三角函数值
求下列三角函数值：
9
11
（1） cos
； （2）sin(
)。
4
6
典例精讲：题型一：求三角函数值
根据诱导公式一，将角转化成0- 2π以内的
角，进而求出其三角函数值
9
2
解：（1） cos cos( 2 ) cos
4
4
4
2
11
角π＋α的终边与单位圆的交点P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与
点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
答案 关于原点对称.
公式
sinπ＋α＝－sin α
cosπ＋α＝－cos α
题型探究
类型一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°；
解
cos 210°＝cos(180°＋30°)
三角函数来表示点P 呢？
答案 由三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α.
∴交点P(cos α，sin α) .
知识点二
思考
角α与－α的正弦函数、余弦函数关系
角－α的终边与单位圆的交点P1(cos(－α)，sin(－α))与点
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安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时
备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第 周
集体备课 个人空间
一、课题： 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）
二、学习目标
会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简；
三、落实目标
【自主预习】
1、如图：设锐角的终边与单位圆相交于点P（a，b），角2的终
边与单位圆交于点'p则点'p的坐标为 ，
观察点'p的坐标，从中发现角与2的三角函数值之间的关系为：
公式五： 。
2、动手验证：sin()cos,cos()sin22a
思考：角
与32的三角函数值之间有什么关系？
【合作探究】
1、求下列三角函数值：
（1）5cos()23 （2）15sin()2
2、已知A、B、C为ABC的三个内角，求证： 2cos2sinACB
- 2 -
3、 化简：
【检测训练】
1.求下列各三角函数的值：
(1) sin13 π2 ； (2) cos19 π3 ；
2.化简:
3.在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是34(,)55p,分别求角，
2，2
的正弦函数值，余弦函数值。
反
思
栏
11
sin(2)cos()cos()cos()229sin()sin(3)sin()sin()2
3
sin2cos3cos2sinsin3cos