1-索罗模型

1 第二章 索洛经济增长模型

一、问题的提出 1.什么因素决定了经济增长？ 2.经济增长的一般趋势是什么？ 3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 4.穷国能否赶上富国？

二、生产函数 1.投入与产出的函数形式 ))()(),(()(tLtAtKFtY 其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间 注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性” 思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？ [只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致] 2

2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0 含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要

令c=1/AL,则),(1)1,(ALKFALALKF 令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k) （2）边际产品递减： f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】 Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数：

资本的边际产品为：)('1)('kfALkALfKY 有效劳动的边际产品为： )(')(])()[(')()(2kkfkfALKkALfkfALY



（3）稻田条件： )('limkfok,0)('limkfk 3

一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示 f(k)

k 一个特殊的生产函数：C-D生产函数 )(),(1ALKALKF

，10

kALKALKFkf)()1,()(

思考：试证明C-D生产函数满足3个特性假设。 3．生产投入品的变动 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长：ntLdttdLtLtL•)(/]/)([)(/)( （2）知识的增长：gtAdttdAtAtA•)(/]/)([)(/)( 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度 思考：L，A为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长：)()(]/)([)(tKtsYdKtdKtK• 其中s为储蓄率，为资本折旧率，均为外生变量 4

三、平衡增长路径 1．k的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 )()()()(tLtAtKtk, 先做变换，两边取自然对数 )(ln)(ln)(ln)(lntLtAtKtk

对t求导数，得：)()()()()()()()(tLtLtAtAtKtKtktk•••• )()()()()()()()()()()()(tktLtLtktAtAtLtAtKtKtKtk•••• 代入，有：gtkntktLtAtKtsYtk)()()()()()()(• )()()()()()(tgktnktktLtAtYs )()()())((tgktnktktksf )()())((tkgntksf )()())(()(tkgntksftk•是索洛模型的基本微分方程，

它表明)(tk•是k的方程。 含义说明：人均实际投资))((tksf用于两方面：一是“资本的深

化”，即)(tk•，二是“资本的广化”（“持平投资”），即)()(tkgn。 （2）稳态均衡 定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即 5

)(tk•=0。

当))((tksf>)()(tkgn时，)(tk•>0（储蓄大于投资） 当))((tksf<)()(tkgn时，)(tk•<0（储蓄小于投资） 当))((*tksf=)()(*tkgn时，)(tk•=0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*。 （3）图示： 稳态均衡图示1 )()(tkgn

))((tkf ))((tksf

k* k 稳态均衡图示2

)(gn kksf/)( k* k 证明： 0')(')(]/)([]/)([22kFskkkfkfsdkkkfdsdk

kksfdAL 6

稳态均衡图示3（k的相图） )(tk•

k* k 2.平衡增长路径 当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？ 变量 含义 平衡增长速度 备注证明

绝 对 量

K 资本存量 n+g k=K/AL L 劳动力 n A 知识或技术 g AL 有效劳动 n+g Y 总产出 n+g F(cK,cAL)=cF(K,AL) C 总消费 n+g C=(1-s)Y

相 对 量

k(Y/AL) 有效劳动的平均资本 0 K/L 人均资本 g y(Y/AL) 有效劳动的人均产出 0 y=f(k)=Y/AL Y/L 人均产出 g c(Y/AL) 有效劳动的人均消费 0 c=(1-s)f(k) C/L 人均消费 g K/Y 资本产出比 0

注意：区分各变量（X）与时间（t）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、

[dX(t)/dt]/X(t)。 结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。 7

四、非均衡动态与收敛 考察两个非均衡问题： （1）当经济增长处在非稳态时（k≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？） （2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态 定义k的增长率)(/)(/•gnkksfkkk， 当))((tksf>)()(tkgn时，)(tk•>0； 当))((tksf<)()(tkgn时，)(tk•<0。

非稳态动态图示1 )()(tkgn

增长率<0 ))((tkf ))((tksf 增长率>0 k* k 8

非稳态动态图示2 增长率<0 增长率<0 )(gn kksf/)( k* k 这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，即0k。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？） 接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（X）与k保持比例或线形关系，例如：

kKkykfkkfkfkkfyy••)](/)('[)(/)('/

gnkK

因此，对k的非均衡动态分析可以同样适用于X，即0X。 结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。 2．绝对收敛与相对收敛 对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。 条件收敛的图示： 9

kkfspoor/)( kkfsrich/)( )(gn k(0)poor k*poor k(0)rich k*rich k 含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。 3．收敛的速度 考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。 关键在考察k 以多快的速度趋近k *。 由平衡增长的条件可知：)(kkk•，在k=k*处对)(kk•作一阶泰勒级数近似，可得：

*))()((*kkkkkkkk

••

)(*)(')(*•gnksfk

kk

kk

)(*)(*)('*)(gnkf

kfkgn

)](1*)([gnkK 10

因此*])()[*)]((1[)(ktkgnktkK• 含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。 令*)()(ktktx，“收敛系数”))(1(gnK，则)()(txtx•，所以x的路径为extxt)0()(（指数增长），即：

*))0((*)())(1(kkektktgnK







可以证明，*))0((*)())(1(yyeytytgnK。 举例：假设%6gn，K=1/3，则%4（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。 证明：5.0et，1804.0/2ln/)5.0ln(t

五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平 产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费)()(ksfkfc 令c=c*（处在平衡增长路径上），则：*)(*)(*ksfkfc 由于))((*tksf=)()(*tkgn， 所以，*)(*)(*kgnkfc 目标为人均消费最大化，令0*/*kc，则gnkfgold*)('，即为最优消费的一阶条件，该 *kgold为黄金

资本存量水平，最优消费*)(*)(*goldgoldgoldksfkfc，这被称为“黄金分割律”。