完全错位排列公式
关于全错位问题的结论
关于“全错位问题”的一个重要结论一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。
“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。
在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。
则可得一个重要结论：f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时 共1种情况而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时 或共2种情况而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？列举如下：共9种排法而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式同理可验证：F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。
在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.即当n=k+1时，等式也成立.所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).下面举例说明*式的应用例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?[解]此题属于4个元素的全错位问题由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得f(4)=9故分配方式有9种例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。
全错位排列递推公式的简易推导(齐麟-晋级)
全错位排列递推公式的简易证明华图教育 齐麟错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用。
本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明。
首先，我们先来认识错位排列：1.部分错位排列：【例】5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
用排除法：先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：55A －244A ＋33A ＝78种。
2.全错位排列：【例】5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
【分析】仿照以上解法，我们有51423324150555453525150D A C A C A C A C A C A 44=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=故5人的全错位排列方式共有44种。
因此我们可以由容斥原理得到n 个元素的全错位排列公式：n D =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)错位排列的递推公式简单计算后我们有：1D 0=；2D 1=；3D 2=。
计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑：假定元素为A 、B 、C 、D ；对应的位置为a 、b 、c 、d 。
对于元素A ，我们可将其放在b 、c 、d 三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A 来说是等价的；假定A 现在放在了b 位置。
AB C D b a c d此时，元素B 有两种选择：①放在a 位置；②不放在a 位置；当元素B 放在a 位置时，我们会发现，之后的情形与2D 相同；而当B 不放在a 位置时，情况与3D 相同（因为B 不放在a 位置，我们可以认为a 位置就是b 位置）。
完全错位排列公式的完美证明
十八世纪的数学家⋅N .贝努利（Niclaus Bernoulli ）提出了这样一个问题：一个人写了n 封信，并且写了n 个对应的信封，这个人随机将这n 封信分别装入这n 个信封，问：都装错的情况有多少种？贝努利只是提出了这个问题，但他并没有解决这个问题.后来欧拉对此题产生了兴趣，并在与贝努利毫无联系的情况下，独自解出了这个难题，给出了‘‘装错信封’’问题的一劳永逸的答案：设n 个信封都装错的情况数为n D ，那么()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n . ‘‘装错信封’’问题的等价数学模型是：编号为1，2，3，......，n 的n 个人，做到编号为1，2，3，......，n 的n 个座位上，每个人对不对号入座的坐法有多少种？我们用n D 表示n 个人都不对号入座的坐法种数，现求n D 的表达式.第1步： 第1号人先入座，有1-n 种坐法；第2步：再考虑另外1-n 个人的坐法.若第1号人坐到k 号座位，那么第k 号人的坐法可分两类: ①第k 号人恰好坐到第1号座位上，则剩下的2-n 个人都不对号入座，再坐2-n 个座位，坐法有2-n D 种；②第k 号人没坐到第1号座位上，那么问题就相当于求1-n 个人不对号入坐1-n 个座位法的方法数，有2-n D 种坐法.由分类分步计数原理可知：n 个人都不对号入坐的坐法种数：()()211--+-=n n n D D n D .由此可建立起递推数列的方程()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-===--3.1102121n D D n D D D n n n下面来求解这个方程()[]2111------=-n n n n D n D nD D ()()[]32221-----=n n D n D()()[]43331-----=n n D n D =()[]12221D D n --=-()21--=n ()n 1-=两边同除以！n 得，()()!1!1!1n n D n D nn n -=---，利用累加法可得 ()+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!1!!1n D n D n D n n n ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----!2!121n D n D n n ++ !1!1!2112D D D +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+()+-=!1n n ()()+---!111n n ()0!212+-+ ()+-=!1n n ()()+---!111n n ()+-+!212()()!01!1101-+-+ 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n . 当1=n 时，0!11!01!11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=D ，符合题意 当2=n 时，1!21!11!01!22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=D ，符合题意 故()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n 对任意正整数n 都成立. 利用上述公式可得213!31!21!11!01!33=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅=D 9141241!31!21!11!01!44=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⋅=！D 44152060!5141!31!21!11!01!55=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⋅=！D 以此类推可求出n D 的所有值.值得注意的是：在解题过程中二阶递推关系式()()211--+-=n n n D D n D 也应用比较广泛，01=D ，12=D ，所以()22123=+=D D D()93234=+=D D D()444345=+=D D D ，等等以此类推. 为了避免约分，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n ， 也可以记作()()n n n n n n n n A A A D 111132-+-++-=--- .。
错位排列
行测技巧：错位排列怎么去理解格燃教育王佳盛错位排列是由著名数学家欧拉提出的。
最典型的问题是装错信封问题：一个人写了n 封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，……表示n份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作。
假设把a错装进B里了，然后接下来我们可以分为两种情况:第一种是b装入A里，这时每种错装的其余部分都与无关，那么问题就变为将个信纸放入个信封完全放错时的情况一样，也就是有种错装法。
第二种是b错装进了除A、B之外的一个信封内，这个时候问题就相当于已知a错装进B中，将个信纸放入个信封时，b不能放入A中，这里如果我们把A想象成话，就相当于将个信纸放入个信封时完全放错，有种因此，在a装入B的错误之下，共有错装法种。
同理，a错装进C中，有种a错装进D中，有种a错装进E中，有种a错装进F中，有种……一共有n-1种错误情况之下，每种情况都有种错装法。
因此：，且，，容易得出，，。
（对于公务员考试中，这几个数字的考法尤其多，对于考生而言记住这几个数字和公式即可）但问题到此并没有结束，因为我们仅仅只是得到了的递推公式，的表达式是什么?我们并不知道。
首先我们把递推关系变形为,同理：……将这些等式相乘并相消，可得，根据，，则此式子两边同时除以n的阶乘可得此时，…将这些等式相加，可得,。
推导这个公式的方法有很多，这里没有用到较高深的数学知识，应该是比较好理解的。
我们看一下公务员考试行测真题中，如何去解题。
【例】(2015山东)某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室。
若每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式?()A.120B.78C.44D.24【答案】C【解析】交流去其他科室，每个科室只接收一人，属于错位排列问题。
方法一，如果记得，，，，，可知5个元素对应的全错位排列数为44。
全错位排列
一、问题导入【引例1】唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚4人在某公司不同岗位任职，现在需要调换岗位，要求每个人都不能在自己原来的岗位，则共有种不同的安排方法。
【引例2】有4名同学各写了一张贺卡，先全部收集起来，然后每人从中拿出一张贺卡，要求每个人都不拿自己的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种。
【引例3】将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是说4个全部放错)，则共有种不同的放法。
不难发现，以上三个引例都是同一类问题，答案是多少呢下面用枚举法给大家答案：假设原来顺序：A、B、C、D枚举的时候注意按照一定规律进行，如果看成1、2、3、4号位置，那么第一步A可以放2、3、4号位置中的任意一个，第二步把B的位置确定，第三步确定C和D的位置：第1种错位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一确定了);第2种错位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一确定了);第3种错位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一确定了);第4种错位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一确定了);第5种错位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2);第6种错位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1);第7种错位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一确定了);第8种错位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2);第9种错位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。
可见，4个元素的错位排列一共有9种。
即以上三道引例的答案都是9种。
二、理论推导其实，上面引例涉及的三个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把带这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。
全错位排列数的求法
其对立事件“没有一个人抽到自己的礼物”的概率为
1 P( B1 B2 ... Bn ) 1 1
根据题意可以知道全错位的排列数为
1 1 1 1 ... (1) n 2! 3! 4! n!
n Dn An 1 P( B1 B2 ... Bn )
证明完毕。
参考文献
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，2004 [2]曹汝成.组合数学.广州：华南理工大学出版社，2000 [3]张禾瑞，郝鈵新.高等代数.北京：高等教育出版社，1999
5
n 1 Ann11 Ann12 Ann13 ... (1)n1 An01 Ann22 Ann23 Ann24 ... (1)n2 An02
化简上式，我们可以得到：
4
1 1 1 1 n 1 上式 n 1 n 1 ! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 n 2 ! ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 n 1 n 1 ! n 1 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! (1) n 1! 1 1 1 1 1 1 n n 1 ! ... (1) n 1 (1) n 2! 3! 4! n 1 ! n 1 ! n 1 1 1 1 n ! ... (1) n n ! 2! 3! 4! n n 1 n2 n 3 n4 0 An An An An An ... (1) n An
错位排序公式及理解
错位排序公式及理解错位排序是一种常用的算法技巧，用于对一个已知排列进行重排，使得每个元素都不在其原始位置上。
该算法常用于密码学、数据加密等领域。
在本文中，我将详细介绍错位排序的原理和理解，并提供一个Python实现示例。
错位排序的核心思想是通过交换元素的位置来实现重排。
具体而言，给定一个已知的排列A=[a1, a2, ..., an]，错位排序通过不断地交换相邻元素的位置来不断调整元素的位置，直到所有元素都不在其原始位置上为止。
以下是错位排序的具体步骤：1. 初始化一个有序的排列B=[b1, b2, ..., bn]，其中bi=i。
这个排列是一个已知的正确排序，它的每个元素都在其原始位置上。
2.检查排列A和排列B的第一个元素，如果它们相同，则找到排列A中第一个不在正确位置上的元素a，将其与排列B中相应位置上的元素交换。
即A[0]与B[a]交换。
3.重复步骤2，直到所有元素都不在其原始位置上。
通过上述步骤，错位排序最终可以得到一个新的排列C=[c1,c2, ..., cn]，其中每个元素都不在其原始位置上。
理解错位排序的一个重要概念是置换。
在错位排序过程中，每次交换都会导致一些元素到达正确的位置上，而相应位置上的元素则会被挤出正确位置。
通过不断进行这样的置换操作，每个元素最终都会到达正确位置，从而实现排序。
错位排序的过程中，每个元素最多被交换两次。
提供一个Python实现示例，如下所示：```pythondef derange_sort(arr):n = len(arr)sorted_arr = sorted(arr)for i in range(n):while arr[i] != sorted_arr[i]:j = arr[i]arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]return arr#测试arr = [4, 1, 3, 2]sorted_arr = derange_sort(arr)print(sorted_arr)```在上述示例中，我们定义了一个名为`derange_sort`的函数来实现错位排序。
错位重排公式1到5
错位重排公式1到5自从19世纪末，数学界瞩目于一种叫做“错位重排公式”的小而精妙的数学现象，又称作“圆括号式”出现在一些重要的数学证明中，它提供了一种令人惊叹的美丽的方法，用来计算一系列的数字的组合。
今天，它仍然被许多数学家所熟知和使用。
错位重排公式允许数学家们以更加有效的方式来处理复杂的数学计算，并且显著减少了计算量，从而节省时间和精力。
因此，它是一个非常实用的数学工具，尤其是在处理解决比较复杂的题目时。
错位重排公式，特别是其第一个公式，是一个可以将一系列数字重新排列的工具，可以将一组数字重新排列成一列，而每个数字都在一个相同的间隔之内。
例如，一组数字：1，2，3，4，5，可以以以下方式重新排列：1，3，5，2，4。
错位重排法的第二个公式则允许计算机以相同的方式来进行重新排列。
该公式可以用来计算一组数字的总和，而无需循环计算。
例如，计算一组数字1，2，3，4，5的总和时，可以使用此公式：1 + 3 + 5 + 2 + 4 = 15。
第三个错位重排公式允许计算机将一组数字重新排列成一组非常接近的新数字，而在这组新数字之间维持一定的间隔时，可以提高计算效率。
例如，将一组数字1，2，3，4，5重新排列，使得新的组合中任意两个数字的差值小于等于1时，可以使用此公式：1，3，2，5，4。
最后，错位重排公式的第四个公式提供了另外一种计算方法，它可以用来计算一组数字的最大和最小值。
这种计算方法可以很容易地将一组数字重新排列，以获得最大和最小值之间的最短距离。
总的来说，“错位重排公式”是一个相当有用的数学工具，它能够帮助数学家们解决许多复杂的数学问题，而且可以有效地提高数学计算的效率和精度。
因此，有许多学者及数学家都在致力于研究错位重排公式，以探索它能提供的更多功能和更好的性能，从而提高数学计算的质量和效率。
此外，也有许多数学家正在研究新的重排公式，期望能够发现更多解决复杂数学问题的办法，以及希望能够让计算任务更加容易地完成。
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完全错位排列公式
完全错位排列是一种有趣的排列方式，它可以让字母、数字等元素
按照一定的规则排列组合，形成新的组合方式。
完全错位排列的公式
如下：
n! * (1/2! - 1/3! + 1/4! - … + (-1)^n-1 / n!)
其中，n为元素的总数。
完全错位排列的应用很广泛，可以用于密码学、数学、计算机科学等
领域。
在生活中，我们也可以利用完全错位排列来创建有趣的游戏和
谜题。
比如，我们可以创建一个谜题，让玩家猜测某个单词的完全错
位排列。
除了完全错位排列，还有很多其他的排列方式，比如全排列、部分排列、循环排列等等。
每种排列方式都有自己的特点和应用场景，我们
可以根据具体需求选择合适的排列方式。
在中文写作中，我们也可以利用排列方式来增强文章的表现力和趣味性。
比如，我们可以使用倒叙、押韵、交叉等等手法，将文字组合成
不同的形式，创造出独特的效果。
这些手法需要灵活运用，并结合具
体语境来使用，才能发挥最佳的效果。
总之，完全错位排列是一种有趣的排列方式，不仅可以用于理论研究，
也可以用于实际应用。
在中文写作中，我们也可以借鉴其思想，创造出更有趣和富有表现力的文章。