2012高考文科数学立体几何_(答案详解)

选择题

1.（12年四川卷）如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面

α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上

到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的 一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P 两点 间的球面距离为 （ ）

A. arccos

4R B. 4R π

C. arccos 3R

D. 3

R π 2.（12年广东卷）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )

A. 72π

B. 48π

C. 30π

D. 24π

3.（12年重庆卷）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1

和a 且长为a

的棱与长为

的棱异面，则a 的取值范围是（ ）

A.

B.

C.

D.

4.（12年浙江卷）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） A.1cm 3 B.2cm 3 C.3cm 3 D.6cm

3

图1

C

5.（12年浙江卷）设l 是直线，αβ，是两个不同的平面 （ ）

A.若l ∥α，l ∥β，则α∥β

B. 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β

C. 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β

D. 若α⊥β， l ∥α，则l ⊥β

6.（12年新课标卷）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）

A .6

B .9

C .12

D .18

7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A

．28+ B

．30+ C

．56+ D ．

60+ 8.（12年福建卷）一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）

A ．球

B ．三棱锥

C ．正方体

D ．圆柱 9.（12年湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ）

10.（12年江西卷）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ( )

A B C D

A ．

112

B.5

C.4

D. 92

11.（12年大纲卷）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）

A ．2

B

C

D ．1 12.（12年陕西卷）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）

填空题

1．（12年湖北卷）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

左视图

主视图

俯视图

侧视图

正视图

俯视图

2.（12年四川卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD ，1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.

3.（12年山东卷）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 为线段C B 1上的一点，则三棱锥1DED A -的体积为___________ .

4.（12年安徽卷）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_____.

5.（12年江苏卷）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．

N

A 1

A B C

C 1 A 1 侧（左）视图

正（主）视图 4

俯视图 5 4 2

6.（12年辽宁卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.

7.（12年辽宁卷）已知点P A B C D ，，，，是球O 表面上的点，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD

是边长为.

若PA =，则OAB ?的面积为______________. 8.（12年大纲卷）已知正方形1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1BB ，1CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 ．

9.（12年上海卷）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 10.（12年天津卷）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积 3

m

.

2.（12年山东卷）(本小题满分12分)

如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；

(Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .

3.（12年广东卷）(本小题满分13分)

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，

//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，

且

1

2

DF AB =

，PH 为PAD ?中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2

）若1,1PH AD FC ==

=，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ． 6.（12年新课标卷）（本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，

o 90ACB ∠=，11

2

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的 中点.

(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC

（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

选择题

1.【答案】A

【分析】由已知可知，AOP CBD ⊥面面，∴cos cos cos AOP AOB BOP = ∠∠∠，带入

数据得1cos =

=224AOP ∠，

arccos

4

AP R ∴=. 2. 【答案】C

【分析】几何体是半球与圆锥叠加而成

它的体积为32141

π3π330π233

V =??+??= 3.【答案】：A

【分析】：如图所示，取,E F 分别为,PC AB 的中点，依题意可得PB BC ⊥，所以

G

E

A

B F

C

P

D H

BE ==.在BEF ?中，BF BE <，所以2AB BF =<4. 【答案】C

【分析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132

????=. 5.【答案】B

【分析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则α⊥β．如选项A ：l ∥

α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α时，l ∥β或l β?；选项D ：

若α⊥β，l ∥α时，l ∥β或l ⊥β．

6. 【答案】B

【分析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，底边上高为3的等腰三角形，棱锥的高为3，故其体积为

11

63332

????=9，故选B. 7. 【答案】B 【分析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面

积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：=10=10=10S S S S 后右左底，，，因

此该几何体表面积30S =+，故选B .

8. 【答案】D

【分析】圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；

三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆.

9. 【答案】D

【分析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均相同，原图下面部分应为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C 都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面部分应为中间有条虚线的矩形..

10. 【答案】C

【分析】通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，

其余4，高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为

112122142V sh ??

==?+????= ???

，故选D.

11. 【答案】D

【分析】因为底面的边长为2，高为,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，

1//EO AC ，

则点1C 到平面BDE 的距离等于C 到平面BDE 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH =，故选答案D. 12.【答案】B

【分析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线1AD 可见，所以用实线表示；而割线1B C 不可见，所以用虚线表示．故选B ．

填空题

1. 【答案】12π

【分析】该几何体的左中右均为圆柱体，其中左右圆柱体全等，是底面半径为2，高为1的 圆柱体；中间部分是底面半径为1，高为4的圆柱体，所以所求的体积为：

22π212π14=12πV =???+??.

2. 【答案】o 90

【分析】方法一：连接D 1M ，易得DN ⊥A 1D 1 ，DN ⊥D 1M ，

所以，DN ⊥平面A 1MD 1，又A 1M ?平面A 1MD 1，所以，DN ⊥A 1M ，故夹角为o 90 方法二：以D 为原点，分别以DA ， DC ， DD 1为x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系D —xyz .设正方体边长为2，则D （0，0，0），N （0，2，1），M （0，1，0），A 1（2，0，2）故

1(0,2,1)(2,1,2)

DN MA ==- ， 所以， 1

11

cos ,0DN MA DN MA DN MA <>==

，故DN ⊥A 1M ，所以夹角为o 90.

3. 【答案】

6

1 【分析】求1DED A -的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的底面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找一个底面为定值的三角形，三角形1ADD 的面积为2

1

（为定值），而E 点到底面1ADD 的高恰为正方体的高为1（为定值），因此体积为

6

1. 4. 【答案】56 【分析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的的体积是：

()1

2544562

V =?+??=

5. 【答案】6

【分析】∵长方体底面A B C D 是正方形 ，∴△ABD 中BD cm ，BD 边上的高（它也是四棱锥11A BB D D -的高）

∴四棱锥11A BB D D -的体积为123?

6. 【答案】12π+

【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为

3411112ππ??+??=+

7.

【答案】【分析】点P A B C D O 、、、、为球内接长方体的顶点，

14O OAB ∴?球心为该长方体对角线的中点，

的面积是该长方体对角面面积的，

1

64

OAB AB PA S ?===?=

8. 【答案】3

5

【分析】首先根据已知条件，连接DF ，则由//DF AE 可知1DFD ∠或其补角为异面直线

AE 与1D F 所成的角，设正方体的棱长为2

，则可以求解得到112DF D F DD ===，

再由余弦定理可得22211115543

cos 2255

D F DF D D DFD D F DF +-+-∠=

==??. 9. 【答案】π6

【分析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：

22π2π4π2π6πS rh r =+=+=.

10. 【答案】30

【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的底面为直角梯形的直四棱柱构成的组合体.长方体的体积为24243=??，直四棱柱的体积是6412

)

21(=??+，所以几何体的总体积为30.

2. 【证明】(Ⅰ)设BD 的中点为O ，连接,OC OE , 则由BC CD CO BD =知垂直 又CE BD ⊥，所以BD OCE ⊥平面 所以BD OE ⊥，即OD 是BE 的垂直平分线

BE DE =所以

(Ⅱ)取AB 的中点为N ，连接MN ,DN 因为M 是AE 的中点，，所以//MN BE

O N

M

因为ABD ?是等边三角形，所以DN ⊥AB

由o o 12030BCD CBD ∠=∠=知，所以o 90ABC ∠=，即BC ⊥AB 所以ND //BC

所以平面MND //平面BEC ，故DM //平面BEC

3. 【解】（1）AB ⊥平面PAD ，PH ?面PAD PH AB ?⊥ 又,PH AD AD AB A PH ⊥=?⊥ 面ABCD （2）E 是PB 中点?点E 到面BCF 的距离11

22

h PH =

=

三棱锥E BCF -的体积11111133262BCF V S h FC AD h ?=

?=????=?=

（3）过D 作DG PA G ⊥于，连接EG ，易得EG PAD ⊥面 由AB ⊥平面PAD ?面PAD ⊥面PAB DG ?⊥面PAB E P B E G

P A A B P

是的中点，⊥，⊥ 11

//

,//////22

EG AB DF AB EG DF DG EF ??? 得：EF ⊥平面PAB

6. 【解】（Ⅰ）由题设知1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1CC AC C =∩，∴BC ⊥面11ACC A

又∵1DC ?面11ACC A ，∴1DC BC ⊥，

由题设知0

1145A DC ADC ∠=∠=，∴1CDC ∠=090，即1DC DC ⊥， 又∵DC BC C =∩，∴1DC ⊥面BDC ， ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；

（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+???=1

2

，

由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，

∴11():V V V -=1:1，∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.