全国卷13-17高考真题分类汇编：函数、导数及其应用

全国卷13-17高考真题分类汇编：函数、导数及其应用

一.选择题

1.（2015.Ⅱ理5）设函数21

1log (2),1,()2,1,

x x x f x x -+-

≥?,2(2)(log 12)f f -+=( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

【解析】选C 由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．

2.【2017.Ⅰ理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

【答案】D

【考点】函数的奇偶性、单调性

【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 3. (2014·Ⅱ理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

【解题提示】将函数y=ax-ln （x+1）求导,将x=0代入,利用导数的几何意义求得a. 【解析】选D.因为f(x)=ax-ln(x+1),所以f'(x)=a-

1

1

x +.所以f(0)=0,且f'(0)=2.联立解得a=3.故选D. 4．（2013·Ⅰ文）已知函数f (x )＝?

????

－x 2＋2x ，x ≤0，

ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ( )

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0]

【解析】选D 本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想，利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求．y ＝|f (x )|的图像如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．

5．（2013·大纲卷理）已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.????－1，－12 C ．(－1,0) D .???

?1

2，1 【解析】选B 本题考查函数定义域问题．由－1<2x ＋1<0，解得－1

2

，故函数f (2x ＋1)的定义域为

?

???－1，－12.

6．（2016.III.理6）已知43

2a =，25

4b =，13

25c =，则（ ）

（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A

7、（2016.I 理8）若101a b c >><<，，则（ ）

A ．c c a b <

B ．c c ab ba <

C ．log log b a a c b c <

D ．log log a b c c

<

【答案】C

8.【2017.Ⅰ理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

【答案】D 【解析】试题分析：令235(1)x y z

k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =

∴

22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8

x k y k =?=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32

x k z k =?=<，则25x z <，故选D.

9．（2013·大纲理）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????1

2，＋∞是增函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)

【解析】选D 本题考查函数的单调性等知识．f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在????12，＋∞是增函数，所以f ′(x )≥0在????12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在????12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2

x 3－2，令g ′(x )＝－2

x

3－2＝0，得x ＝－1，当

6、（2016.I 理8）若101a b c >><<，，则（ ）

（A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c < 【答案】C

10. (2014·Ⅱ文11)若函数f (x )=kx-lnx 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A. (,2]-∞- B. (,1]-∞- C. [2,)+∞ D. [1,)+∞

【解题提示】利用函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,可得其导函数f(x)≥0恒成立,分离参数,求得k 的取值范围.

【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f'(x)≥0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-1x ≥0.即k ≥1>1

x

.所以k ∈[1,+∞),选D

11、（2016.I 理7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）

（A ）（B ）（C ）

（D ）

【答案】D 【解析】

()22288 2.80f e =->->，排除A ，()22288 2.71f e =-<-<，排除B

0x >时，()22x f x x e =-

()4x f x x e '=-，当10,4x ??

∈ ???时，()01404f x e '

因此()f x 在10,4??

???

单调递减，排除C

故选D ．

(D)

(C)

(B)(A)

y

4

2

4

π

π

4

2

4

y

y

4

2

4

π

π

4

2

4

y

12.（2015.Ⅱ理10）如图，长方形

ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则(

)y f x =的图像

大致为（ ）

【解析】选B 由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04

x π

≤≤

时，tan PA PB

x +=

+；

当点P 在CD 边上运动时，即3,4

42

x x π

ππ

≤≤

≠时，PA PB +=，当2

x π

=

时，PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即

34

x π

π≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2

x π

=

对称，且

()()42

f f ππ

>，且轨迹非线型，故选B ． 13.（2015.Ⅰ文12）设函数()y f x =的图像与2x a

y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，

则a =( )

（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4

【解析】选C 设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2

x a

y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即

2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.

【解析】由0.6x

y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 14．（2016.II.理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1

x y x

+=

与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则

1

()m

i

i

i x y =+=∑（ ）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B

D

P

C

B O

A x

15.【2017.II 理11】若2x =-是函数21

()(1)x f x x ax e

-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 【答案】A 【解析】

【考点】 函数的极值；函数的单调性

【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。

(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。

16.（2014二理12）设函数函数3sin x

m

π.若存在f(x)的极值点x 0满足2

0x +()2

0f x ????

,则m 的取值范围是( )

A. ()(),66,-∞-+∞U

B. (),4-∞-∪()4,+∞ B. (),2-∞-∪()2,+∞ D. (),1-∞-∪()4,+∞ 【解题提示】利用函数3x

m

π的性质,求得x 0和f(x 0)代入不等式,解不等式,得m 的取值范围.

【解析】选C.因为3sin

x

m

π3即[f(x 0)]2=3,|x 0|≤

2

m ,

所以2

x +[f(x 0

)]2≥

234m +,所以2

4

m +32.故选C. 17.【2017.Ⅲ理11】已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）

A ．12

-

B ．

13

C ．

12

D ．1

【答案】C 【解析】

试题分析：函数的零点满足()

2112x x x x a e e --+-=-+， 设()1

1x x g x e

e

--+=+，则()()211

1

1

1

1

11x x x x x x e g x e

e

e

e e ---+----'=-=-

=，

当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，

设()2

2h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，

【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想

【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 学科@网

18.（2015.Ⅱ理12）设函数'

()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-U

B ．(1,0)(1,)-+∞U

C ．(,1)(1,0)-∞--U

D ．(0,1)(1,)+∞U

【答案】A

19.（2015.Ⅰ理12）设函数()f x =(21)x

e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()

f x 0，

则a 的取值范围是（ ）

(A)[-

32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e

，1）

【解析】设()g x =(21)x

e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-

时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12

x =-时，max [()]g x =1

2

-2e

-，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故

(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得

3

2e

≤a ＜1，故选D.

【答案】D

二、 填空题

20.（2015.Ⅰ文14）已知函数()3

1f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切线过点()2,7，则

a = .

【解析】

试题分析：∵2

()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，

又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴27

3112

a a +-=+-，解得a =1.

【答案】1

21.（2015.Ⅰ理13）若函数f (x )=2

ln()x x a x ++为偶函数，则a =

【答案】1

22．（2013·Ⅰ理）若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________． 【解析】本题考查函数图象的对称性、函数图象的平移、偶函数及函数的极值与最值等知识，意在考查考生综合运用函数知识解答问题的能力、考查考生的运算能力；由函数图象的对称性得相应函数的奇偶性，利用图象平移知识确定函数解析式，再通过求导，研究函数的极值与最值．因为函数f (x )图象关于直线x ＝－2对称，所以函数f (x －2)为偶函数，因为f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )，所以f (x －2)＝[1－(x －2)2][(x －2)2＋a (x －2)＋b ]＝－x 4＋(8－a )x 3＋(6a －b －23)x 2＋(－11a ＋4b ＋28)x ＋(6a －3b －12)为偶函数，所以

????? 8－a ＝0，－11a ＋4b ＋28＝0，所以?????

a ＝8，

b ＝15，

f (x )＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)，所以f ′(x )＝－2x (x 2＋8x ＋15)＋(1－x 2)·(2x ＋8)＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝－4(x 3＋6x 2＋7x －2)＝－4(x ＋2)(x 2＋4x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝－2－5或x ＝－2＋5，且当x ＜－2－5时，f ′(x )＞0；当－2－5＜x ＜－2时，f ′(x )＜0；当－2＜x ＜－2＋5时，f ′(x )＞0；当x ＞－2＋5时，f ′(x )＜0，所以当x ＝－2－5时，f (x )极大值＝16；当x ＝－2＋5时，f (x )极大值＝16.所以函数f (x )的最大值为16. 【答案】16

23．（2013·大纲卷文）设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________. 【解析】本题主要考查抽象函数的求值与周期性．因为f (x )是以2为周期的函数，所以f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1. 【答案】－1

24.【2017.Ⅲ理15】设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.

【答案】1,4??

-

+∞ ???

写成分段函数的形式：()(

))

1

32,021112,0222112,2x x x x g x f x f x x x x -?

+≤????

?=+-=++<≤? ??

???>??

，

函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22????-∞+∞ ??????

三段区间内均单调递增，

且：)

01111,201,12142g -??-

=++>?> ?

??

，

据此x 的取值范围是：1,4??-

+∞ ???

. 25．（2016.II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则

b = ．

【答案】1ln2-

25．（2016.III 理15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)

-处的切线方程是_______________。 【答案】21y x =-- 三、 解答题

26.（2015.Ⅰ文21）（本小题满分12分）设函数()2ln x

f x e a x =-.

（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()2

2ln f x a a a

≥+. 【解析】

试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+∞，

，()2()=20x a

f x e x x

'->. 当0a ≤时,()0f x '>，()f x '没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，a

x

-

单调递增，所以()f x '在()0+∞，

单调递增.又()0f a '>,当b 满足04a b <<

且1

4

b <时，(b)0f '<,故当0a >时，()f x '存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x '在()0+∞，

的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()0f x '<; 当()0+x x ∈∞，

时，()0f x '>.

故()f x 在()

00x ，单调递减，在()0+x ∞，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .

由于0

202=0x a e

x -

，所以00022

()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a

++?. 故当0a >时，2

()2ln

f x a a a

≥+. 27.（2013·Ⅰ文）已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；

(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．

解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值． (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.

由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.

(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)????e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.

从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －

2)． 由k ＜x 1＜0知x 1＞3

4k 显然成立， ∴f (－k )＞f (x 1)． 再证f (k )＜f (x 2)．

同理f (x 2)＝－x 32＋x 22，有f (k )－f (x 2)＝k －－x 32＋x 22＝1

2(k －x 2)＋12(k ＋x 32)＜0， ∴f (k )＜f (x 2)．

综上所述，M ＝f (－k )＝－2k 3－k ，m ＝f (k )＝k . 28.【2017.Ⅲ理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ?

???

?

?+++< ??? ???????

L ，求m 的最小值. 【答案】(1)1a = ； (2)3

【解析】

试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点，列方程解得

1a = ；

(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222n e ?

???

??+

++< ??? ???????

L ，结合231111112222???

???+++> ???????????

可知实数m 的最小值为3

【考点】 导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．学科@网 29（2015.Ⅱ理21）设函数2()mx

f x e

x mx =+-.

(Ⅰ)证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

(Ⅱ)若对于任意x 1,，x 2∈[-1,1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤e -1，求m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-． 【解析】

试题分析：(Ⅰ)先求导函数'()(1)2mx f x m e x =-+，根据m 的范围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需

(1)(0)1,

(1)(0)1,f f e f f e -≤-??

--≤-?

，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．

30．（2013·Ⅰ理）设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线

y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，

且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；

(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．

解：本题主要考查利用导数求解曲线的切线，利用函数的导数研究函数的最值，进而解答不等式恒成立问题，意在考查考生综合运用导数这一重要工具解答函数与不等式问题的综合能力． (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.

而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.

(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．

设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.

(ⅰ)若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0，从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝

2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1

＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．

(ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －

2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．

(ⅲ)若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －

2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]．

31、（2016.III.）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．

（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．

解析：（Ⅰ）'

()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，

'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =

因此，32A a =-． ………4分

当01a <<时，将()f x 变形为2

()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．

令2

()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，

且当14a

t a

-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61

()1488a a a a g a a a

--++=--=-． 令1114a a --<

<，解得13a <-（舍去）

，15

a >．

32、（2016.II.理21）(Ⅰ)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x

-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 【解析】⑴证明：()2e 2

x

x f x x -=

+ ()()()22224e e 222x

x

x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++??

∵当x ∈()()22,-∞--+∞U ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，

()2e 0=12

x

x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>

⑵ ()

()()

24

e 2e x

x a x x ax a g x x ----'=

()

4

e 2e 2x x x x ax a x -++=

()3

22e 2x x x a x x -??

+?+

?+??=

[)01a ∈，

由(1)知，当0x >时，()2e 2

x

x f x x -=?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得

2e 2

t

t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增

()()

()

2

22e 1e

e 1e 22

t t

t

t t t a t t h a t t t -++?-++=

=

=

+ 记()e 2t

k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2

e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??

=∈ ???

，．

33.【2017.Ⅰ理21】已知函数2()(2)x

x f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】

试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，

写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1

(ln )1ln f a a a

-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03

ln(1)n a >-，则

00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3

ln(1)ln a a

->-，因此()f x 在(ln ,)

a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).

【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.

【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()

f x有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a

与其交点的个数，从而求出a的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()

f x有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.学科@网

34．（2013·II理）已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

解：考查利用导数研究函数的单调性以及运用导数方法证明不等式等知识．意在考查考生综合运用知识的能力以及化归与转化的思想．

(1)f′(x)＝e x－

1

x＋m

.

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.

于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －

1x ＋1

. 函数f ′(x )＝e x －

1

x ＋1

在(－1，＋∞)，上单调递增且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2) 证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需证明当m ＝2时，f (x )>0.

当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1

x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－

2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．

当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1

x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，

故f (x )≥f (x 0)＝1

x 0＋2＋x 0＝(x 0＋1)2x 0＋2>0.

综上，当m ≤2时，f (x )>0.

35.【2017.II 理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

(1)求a ；

(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2

202e f x --<<。

【答案】(1)1a =； (2)证明略。 【解析】

（2）由（1）知 ()2

ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--。

设()22ln h x x x =--，则()1'2h x x

=-。 当10,

2x ??∈ ??? 时，()'0h x < ；当1,2x ??

∈+∞ ???

时，()'0h x > ，

所以()h x 在10,2?

? ???

单调递减，在1,2??

+∞

???

单调递增。

【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。学科@网 36.（2016.I 理21）已知函数

有两个零点.

（I ）求a 的取值范围； （II ）设x 1，x 2是

的两个零点，证明：+x 2<2.

解：⑴ 由已知得：()()()()()

'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+

① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =?-=?=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>，

所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增 当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减 即：

故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，

故()()()()()()()2

2

2

212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--

则()0f x =的两根11t =+，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1

x t <或2x t >时，()()2

110a x e x e -+--> 因此，当1x <且1x t <时，()0f x >

又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．

③ 若02

e

a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，

当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()

ln 2220a x e a e a -+<+=，

即()()()

'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()

ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单

调递减；

当1x >时，10x ->，()

ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．

即：

而极大值