2017版数学大一轮复习练习3.4利用导数研究函数的最(极)值.doc
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习 练习 第三章 导数及其应用 专题探究课一 含解析
(建议用时：80分钟)1.已知函数f（x)＝ln x＋x2＋ax（a∈R）.若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围.解法一函数f(x）的定义域为（0,＋∞)，∵f(x）＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x）＝错误!＋2x＋a。
∵函数f(x）在(0,＋∞）上单调递增,∴f′(x)≥0，即错误!＋2x＋a≥0对x∈（0，＋∞)都成立。
∴－a≤错误!＋2x对x∈(0，＋∞)都成立。
∵当x＞0时，错误!＋2x≥2错误!＝2错误!，当且仅当错误!＝2x,即x＝错误!时取等号。
∴－a≤2错误!，即a≥－2错误!。
∴a的取值范围为[－2错误!，＋∞）。
法二函数f(x）的定义域为(0,＋∞)，∴f（x）＝ln x＋x2＋ax,∴f′（x)＝错误!＋2x＋a＝错误!.方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8。
①当Δ≤0，即－2错误!≤a≤2错误!时，2x2＋ax＋1≥0，此时，f′(x）≥0对x∈（0,＋∞）都成立，故函数f（x)在定义域（0,＋∞)上是增函数.②当Δ＞0,即a＜－2错误!或a＞2错误!时，要使函数f（x）在定义域（0，＋∞)上为增函数，只需2x2＋ax＋1≥0对x∈（0，＋∞)都成立.设h(x)＝2x2＋ax＋1,则错误!解得a＞0。
故a＞2错误!.综合①②得a的取值范围为[－2错误!,＋∞).2.（2016·胶州一中模拟）设f（x)＝ax3＋bx＋c(a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直,导函数f′（x）的最小值为－12. (1）求函数f（x）的解析式；(2）求函数f(x）的单调增区间，并求函数f(x)在［－1，3]上的最大值和最小值. 解（1)因为f（x）为奇函数，所以f（－x)＝－f（x)即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c所以c＝0，又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12,所以b＝－12.由题设知f′(1）＝3a＋b＝－6。
高考数学一轮复习导数与函数的极值、最值
(1)当 a> 0 时，f(x)与 g(x)的情况如下：
x (－∞，－4a) －4a －4a，1a
1 a
1a，＋∞
g(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值 递增 极大值 递减
由表可知，f(x)的单调递增区间是－4a，1a，单调递减区间是(－∞， －4a)，1a，＋∞，极大值为 f1a＝a2，极小值为 f(－4a)＝－41.
则下列判断正确的是
()
A．f(x)在x＝－4时取极小值
B．f(x)在x＝－2时取极大值
C．x＝1.5是f(x)的极小值点
D．x＝3是f(x)的极小值点
解析：由导函数f′(x)的图象可得，当x＝－4时，其左边的导数小于零， 右边的导数大于零，所以f(x)在x＝－4时取极小值，所以A正确；当x＝1.5 时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x＝1.5是f(x)的极小 值点，所以C正确；而x＝－2和x＝3，左右两边的导数值同号，所以x＝－ 2和x＝3不是函数的极值点，所以B、D错误，故选A、C. 答案：AC
当 a> 0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝a1，所以当 x∈0，1a时，f′(x)> 0， f(x)单调递增；
当 x∈1a，＋∞时，f′(x)< 0，f(x)单调递减． 综上所述，当 a< 0 时，f(x)在(0，＋∞)单调递增； 当 a> 0 时，f(x)在0，a1单调递增，在1a，＋∞单调递减．
(－1，＋∞)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，符合题意．则 m＋n
＝2＋9＝11.
(2)f′(x)＝22x22x－－x1－a，因为函数 f(x)(a∈R )在(1,2)内不存在极值点， 所以 2x2－x－a＝0 在(1,2)上没有根，即函数 g(x)＝2x2－x－a 在(1,2)上无 零点，由对称轴为 x＝－－14＝14，可知 g(1)＝2×12－1－a≥0 或 g(2)＝2×22 －2－a≤0，解得 a≤1 或 a≥6.
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值 理
课时2 导数与函数的极值、最值题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值、极小值分别是________．答案 f (－2)、f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．解 由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↘↗∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↘↗↘∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.命题点3 已知极值求参数例3 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1)－7 (2)(2，103)解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. (2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 (1)－3 (2)－14解析 (1)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3.(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－a ＋x1＋x ，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0， 得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值， 所以a ＝－14.题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝a x＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________． 答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋cex(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝ax ＋bx－ax 2＋bx ＋cxx2＝－ax 2＋a －b x ＋b －cex.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x>0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g ＝b －c ＝0，g －＝－9a －a －b ＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5ex.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者， 而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.3．利用导数求函数的最值问题典例 (14分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.[4分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.[5分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分] 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[14分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型． (2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．[方法与技巧]1．如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值．4．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小． [失误与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________. 答案 －1ln 2解析 令y ′＝2x＋x ·2xln 2＝0， ∴x ＝－1ln 2.经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x的极小值点．2．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为________． 答案 －1解析 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)． 又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e]时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)＝________. 答案 18解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.6．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173.7．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x<－1.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln2，极小值为2＋6ln 3. 10．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：↘↗所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集是__________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x－1， 求导得到g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x·f (x )>e x＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．12.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为________．答案 ③解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①、④；从适合f ′(x )＝0的点可以排除②.13．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：↗↘从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．14．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2.解a <1<6－a 2，得－5<a <1. 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2. 故实数a 的取值范围是[－2,1)． 15．已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立， 即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e－2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0，当且仅当2e 2x＝2e－2x，即x ＝0时，“＝”成立．故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 当x <x 1时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。
2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用课件 理
考点二 利用导数研究函数的极值 【例2】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值.
解 a 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－x .
2 (1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－x (x＞0)， 因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线 y＝f(x)在点 A(1， f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)， 即 x＋y－2＝0.
2 2
故实数 b
1 的取值范围为－∞，1－e2.
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】 已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0，1]上单调递减且
满足f(0)＝1，f(1)＝0. (1)求a的取值范围. (2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值. 解 (1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，
规律方法 (1)求函数f(x)极值的步骤 ①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； ④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左 正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x) 在x0处取极小值.
(2) 可导函数 y＝f(x) 在点x0 处取得极值的充要条件是 f ′(x0) ＝0，
且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同，应注意，导数为零的点 不一定是极值点.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.
【训练2】 已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
高考数学一轮复习导数与函数的极值、最值
第3讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(3)函数的极大值一定是函数的最大值．()(4)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：选C．设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C ． 函数y ＝x e x 的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在解析：选C ．因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .当x >－1时，y ′>0；当x <－1时，y ′<0，所以当x ＝－1时函数取得最小值，且y min ＝－1e.故选C ．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________．解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax (a >0)，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a用导数解决函数的极值问题(高频考点)用导数解决函数的极值问题是每年高考的亮点，既有选择题，填空题，也有解答题，难度偏大．主要命题角度有：(1)根据图象判断函数的极值； (2)求函数的极值； (3)已知函数的极值求参数．[典例引领]角度一 根据图象判断函数的极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】 由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2<x <1时，0<1－x <3，此时f ′(x )<0；当1<x <2时，－1<1－x <0，此时f ′(x )<0；当x >2时，1－x <－1，此时f ′(x )>0，由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【答案】 D角度二 求函数的极值已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值．(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．【解】 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表．故f (x )极大值 (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a >0时，函数在x ＝1a 处有一个极大值点．角度三 已知函数的极值求参数(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________． (2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时， f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是(2，103)． 【答案】 (1)－7 (2)(2，103)求函数f (x )极值的步骤(1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值．如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．[注意] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[通关练习]设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ≥0)．(1)当a ＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )>0，解得x <13，或x >1；令f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a >0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.利用导数求函数的最值[典例引领]已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值． 【解】 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.①若k <0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k (x －1k )x 2<0， 所以f (x )在[1e，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e＋k －1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. ②若k >0，由k <1e ，得1k >e ，则x －1k <0，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e＋k －1， f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.综上，k <1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[通关练习]已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：因为f ′(x )＝a ＋2xx， 所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得，0<x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln(－a 2)＋2×(－a2)． 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2×⎝⎛⎭⎫－a2≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0. 因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0， 解得－2≤a <0，所以实数a 的取值范围是[－2，0)．函数极值与最值的综合问题[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0.所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者， 而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[通关练习]若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3，0)．答案：[－3，0)利用导数研究函数极值问题的一般流程已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．求函数f (x )在区间[a ，b ]上最值的方法(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表求解．(3)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(小)值点．已知函数f (x )的最值求参数的方法先利用导数将最值用参数表示，再构建方程组求解．[注意] 由f ′(x )＝0得到根x 0.是否在[a ，b ]内不明确时要分情况讨论．1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．1eB ．2e 2C ．0D ．12e解析：选A ．易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得2≥x >1，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是y |x ＝1＝1e，故选A ．2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析：选D.由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289解析：选C ．函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：又f －3. 5．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，4] B ．[2，4] C ．[1，4)D ．[1，2]解析：选C ．因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示：⎩－a ≤－1⎩2≤a ，解得1≤a <4.选C ．6．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)， 当－1<x <0时，f ′(x )>0； 当0<x <1时，f ′(x )<0，所以当x ＝0时，函数取得极大值即最大值， 所以f (x )的最大值为2. 答案：27．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：48．若函数f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(a ＞0)有两个极值点，则a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(x >0)，所以f ′(x )＝ln x －ax ，f ″(x )＝1x －a ＝0，得一阶导函数有极大值点x ＝1a，由于x →0时f ′(x )→－∞；当x →＋∞时，f ′(x )→－∞， 因此原函数要有两个极值点， 只要f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1>0，解得0<a <1e . 答案：⎝⎛⎭⎫0，1e 9．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －bx ，f (1)＝a ＝1，f ′(1)＝2a －b ＝0， 将a ＝1代入2a －b ＝0，解得b ＝2. (2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－2x，令f ′(x )>0，解得x >1，令f ′(x )<0，解得0<x <1， 所以f (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， 所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值． 10．已知函数f (x )＝1＋ln xx.(1)若函数f (x )在区间(a ，a ＋12)上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2)若当x ≥1时，不等式f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 所以x ＝1为f (x )的极大值点，所以a ＜1＜a ＋12，故12＜a ＜1，即正实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(2)当x ≥1时，k ≤(x ＋1)(1＋ln x )x 恒成立，令g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，则g ′(x )＝(1＋ln x ＋1＋1x )x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln xx2. 令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x ≥0，所以h (x )≥h (1)＝1，所以g ′(x )＞0，所以g (x )为[1，＋∞)上的增函数，所以g (x )≥g (1)＝2，故k ≤2.1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A ．因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A ．2．(2018·陕西质量检测(一))设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选D.f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，令f ′(x )＝0得tan x ＝－x ，所以tan 2x 0＝x 20，故(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)＝(1＋tan 2x 0)·2cos 2x 0＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0＝2，选D.3．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π上的解为x ＝π2.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝π12＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为π2. 答案：π24．已知函数f (x )＝ax －ln x ，当x ∈(0，e](e 为自然常数)时，函数f (x )的最小值为3，则a 的值为________．解析：易知a ＞0，由f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ＝0，得x ＝1a ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1a 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－ln 1a.①当0＜1a ≤e 时，由1－ln 1a ＝3，得a ＝e 2，符合题意，②当1a ＞e 时，由a e －ln e ＝3，得a ＝4e ，舍去．答案：e 25．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln(－a2)．当x ∈(－∞，ln(－a 2))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－a2)，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln(－a 2))上单调递减，在(ln(－a2)，＋∞)上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ．从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0.③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln(－a 2)时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a 2)]．从而当且仅当a 2[34－ln(－a 2)]≥0，即a ≥－2e 34时f (x )≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]．。
2017年高考数学(理)一轮复习 专题14 导数在函数研究中的应用(教学案)
专题14 导数在函数研究中的应用（教学案）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．高频考点一 不含参数的函数的单调性 例1、求函数f (x )＝ln xx的单调区间．思维升华 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【变式探究】 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．．高频考点二 含参数的函数的单调性 例2、已知函数f (x )＝ln(e x＋1)－ax (a >0)． (1)若函数y ＝f (x )的导函数是奇函数，求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 解 (1)函数f (x )的定义域为R . 由已知得f ′(x )＝exe x ＋1－a .∵函数y ＝f (x )的导函数是奇函数， ∴f ′(－x )＝－f ′(x )，即e－x e －x ＋1－a ＝－e xe x ＋1＋a ，解得a ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝e xe x ＋1－a ＝1－1e x ＋1－a .①当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立， ∴a ∈，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的范围是∪．高频考点四、用导数解决函数极值问题例4、设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D【变式探究】已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．解 由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：x (－∞，0) 0(0，2a)2a(2a，＋∞)f ′(x)＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：x (－∞，2a)2a(2a，0)0 (0，＋∞)f ′(x)－ 0 ＋ 0 －f (x ) ↘ 极小值↗ 极大值↘∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.【举一反三】(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________. (2)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，52)B ．上的最小值．(2)因为f (x )＝a x＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .【感悟提升】求函数f (x )在上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【变式探究】已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 D解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.高频考点六、函数极值和最值的综合问题 例6、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋cex(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15答案 A解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在上单调递增， ∴当m ∈时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.1.【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >Q ，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 2.【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以12221211121ln(1)ln 1xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞ 【解析】（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)xf x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．5.【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；223322(2)(1)()a ax x f 'x a x x x x --=--+=.当0≤a ， )1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；(1,),()0x f 'x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，3(1)()(a x f 'x x x x -=+. （1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，22321122()()ln (1)x f x f 'x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则()()()()f x f 'x g x h x -=+，由1()0x g 'x x-=≥可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326()x x h'x x --+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减， 因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ， 所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减， 由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，当且仅当2=x 取得等号， 所以3()()(1)(2)2f x f 'xgh ->+=， 即3()()2f x f 'x >+对于任意的]2,1[∈x 恒成立。
高三一轮总复习高效讲义第3章第3节利用导数研究函数的极值、最值课件
5．[易错题]对任意实数 x，不等式 sin x≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围是________； 存在实数 x0，使不等式 sin x0≤a 成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析：对任意实数 x，不等式 sin x≤a 恒成立，则(sin x)max≤a，即 a≥1．存在实数 x0，使不等式 sin x0≤a 成立，则(sin x)min≤a，即 a≥－1．
右附近都是小于零的．
当 a<0 时，由 x>b，fx ≤0，画出 f x 的图象如下图所示： 由图可知 b<a，a<0，故 ab>a2．
当 a>0 时，由 x>b 时，fx >0，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知 b>a，a>0，故 ab>a2． 综上所述，ab>a2 成立． 答案：D
∴f(x)在 x＝2 处取得极小值，∴a＝2． 答案：D
2．如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意知只有在 x＝－1 处 f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 答案：A
3．函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为________． 解析：f′(x)＝1x －1，令 f′(x)＝0 得 x＝1． 当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当 x∈(1，e]时，f′(x)＜0． ∴当 x＝1 时，f(x)取得最大值，且 f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1． 答案：－1
(2)求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端__点__处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值．
2017届高三理科数学一轮复习课件：第三篇 第2节_第五课时 利用导数研究函数零点专题
了受两个极值大小的制约外,还受函数在两个极值点外部函数值的变化制约,在 解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.
第五页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学
【即时训练】 已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=ln xax+1(a∈R). (1)求函数f(x)的解析式;
数学
第五课时 利用导数研究函数零点专题
第一页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学 专题概述 利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一,也是高考考查的热点题型,常作为解答题 的一问出现,难度较大.解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方 程根的问题或函数图象交点问题.
第二页，编辑于星期六：一点 十八分。
a 所以 a=1.
第九页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.
由题设知1-k>0.
当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,
数学
方法一 利用函数图象研究函数零点问题 【例1】 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
解:(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0, 所以当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x<- a 或 x> a ,由 f′(x)<0,解得 - a <x< a , 所以当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,- a ),( a ,+∞),f(x)的 单调减区间为[- a , a ].
2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值(讲) 含解析
【最新考纲解读】内容要求备注A B C导数及其应用利用导数研究函数的单调性与极值√【考点深度剖析】【课前检测训练】(1）f′（x)>0是f（x)为增函数的充要条件。
( )解析错误。
若f′(x)>0，则f(x)为增函数;但f（x)为增函数时，应有f′（x)≥0,如函数y＝x3.(2）函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.（）解析错误。
可能有多个极大值也可能没有极大值。
（3）函数的极大值不一定比极小值大.（)解析正确。
（4）对可导函数f（x)，f′(x0）＝0是x0点为极值点的充要条件。
（)解析错误.例如函数f（x）＝x3，在x＝0处的导数为0,但f(0)不是它的极值。
(5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( ）解析正确.当函数在区间的端点处取得最值时,该最值就不是极值. 1．函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间为_______解析函数y＝错误!x2－ln x的定义域为（0，＋∞),y′＝x－错误!＝错误!，令y′≤0,则可得0<x≤1。
答案（0，1］2．如图是f(x）的导函数f′（x）的图像,则f（x）的极小值点的个数为________。
解析由题意知在x＝－1处f′（－1）＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正。
答案13．已知f(x）＝x3－ax在上的最小值是________。
答案－17 3【经典例题精析】考点1 运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f(x）＝错误!（k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数），曲线y＝f(x）在点(1，f (1））处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x）的单调区间．【答案】(1) k＝1. (2）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1,＋∞)．【1-2】已知f(x）＝x3－ax在上的最小值．【答案】（1）单调递减区间是(－∞，k－1）；单调递增区间是（k －1，＋∞）．(2）（1－k)e.设函数f（x）＝ln x－ax,g（x）＝e x－ax，其中a为实数．若f(x）在(1,＋∞)上是单调减函数，且g（x）在（1,＋∞）上有最小值，求a的取值范围．【答案】(e,＋∞）．综上，a的取值范围为（e，＋∞)．【基础知识】(1）在闭区间上连续的函数f（x)在上必有最大值与最小值．（2)若函数f(x）在上单调递增，则f(a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值；若函数f(x）在上单调递减，则f（a）为函数的最大值,f(b)为函数的最小值．【思想方法】求函数f(x)在上的最大值和最小值的步骤（1)求函数在（a ,b )内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值f (a ），f （b )；（3）将函数f (x )的各极值与f （a ），f （b ）比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．【温馨提醒】极值是函数局部性质，最值是函数整体性质【易错题型大揭秘】1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号．如:已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求a ，b 的值．【分析】()236f x x ax b '=++,由题意得()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即2630310a b a a b -++=⎧⎨+--=⎩,解之得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时,()()22363310f x x x x '=++=+≥恒成立，所以()f x 在1x =-处无极值，舍去．所以2a =,9b =．【易错点】用导数求极值时容易忽视左右两端导函数的符号而致误．。
(新课标)2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及应用 .
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)>0，则f(x)为 增函数；若f′(x)<0，则f(x)为减函数． (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①确定f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③令f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围； ④当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)<0 时，f(x)在相应区间上是减函数．
1 3．(2016· 山东泰安一中月考)函数f(x)＝x＋ 2 在(－∞， x ＋1 ＋∞)上是( ) B．减函数 D．先减后增的函数
A．增函数 C．先增后减的函数
答案 解析 A
－2x x4＋x2＋（x－1）2 f′(x)＝1＋ ＝ ， （x2＋1）2 （x2＋1）2
∵对任意实数x，f′(x)>0恒成立． ∴f(x)在R上是增函数，故选A.
答案 解析 9 9 (1)(－∞，3]∪[2，＋∞) (2)(3，2) (2)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x(x－
2a ≠0， 3 2a 9 可得3<a<2. 3 )．若f(x)在(2，3)上不单调，则有 2a 2< <3， 3
授人以渔
题型一 例1
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函 数，则函数y＝f(x)在区间C 根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在函数
f(x)的图像上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然后随x的增 大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C满足题意．
第2课时 导数的应用(一)——单调性
2016 考纲下载
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系． 2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于 研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点， 往往与不等式结合考查．
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第18课 利用导数研究函数的最(极)值 【自主学习】 (本课时对应学生用书第45~47页)
自主学习 回归教材
1. (选修2-2P31例2改编)函数f(x)=13x3-4x+13的极大值是 ，极小值是 . 【答案】173 -5 【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表： x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 f(-2) ↘ 极小值 f(2) ↗
因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=173；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5. 2. (选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为 .
【答案】5927 【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，则x=-13或x=1.当x<-13或x>1时，f'(x)>0；当-13f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得极小值，当x=-13时，f(x)取得极大值.因为极小值是f(1)=a-1=1，所以a=2，所以f(x)的极大值为f1-3=527+a=5927.
3. (选修2-2P33例2改编)函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为 . 【答案】π
【解析】f'(x)=12+cos x，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x1=2π3，x2=4π3.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：
x 0 20,
3
23 24,33 4
3 4
,2
3
2π
f'(x) + 0 - 0 + f(x) 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ π
由上表可知，函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为π. 4. (选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sin x，x∈[0，2π]的值域为 . 【答案】[0，2π] 【解析】因为y'=1+cos x≥0，所以函数y=x+sin x在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π].
5. (选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点，则实数a= . 【答案】±6 【解析】由y'=9x2-9>0，得x>1或x<-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6. 1. 函数的极值 若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)在点x=x0处取得极大值，记作y极大值=f(x0)；若在x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).
2. 求函数极值的步骤 (1)求导数f'(x). (2)求方程f'(x)=0的所有实数根. (3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化，若f'(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f'(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn
不是函数f(x)的极值点.
3. 函数的最值 若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).
4. 求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间[a，b]上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
【要点导学】 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的极值 例1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由. (1)y=8x3-12x2+6x+1；
(2)y=1-(x-223). 【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关
键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.
【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=12，当x>12时，y'>0；当x<12时，y'>0，所以此函数无极值. (2)当x≠2时，有y'=-23(x-21-3).当x=2时，y'不存在，因此y'在x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y'均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1；无极小值. 【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y'=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
变式 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)，其中a∈R. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值. 【思维引导】(1)求出x=1的导数值即可；(2)利用导数的符号判断单调性，同时考虑极值点. 【解答】(1)当a=0时，f(x)=x2ex，f'(x)=(x2+2x)ex， 故f'(1)=3e，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. (2)f'(x)=[x2+(2+a)x-2a2+4a]ex， 令f'(x)=0，解得x=-2a或x=a-2.
由a≠23知-2a≠a-2. 以下分两种情况讨论.
①若a>23，则-2ax (-∞，-2a) -2a (-2a，a-2) a-2 (a-2，+∞)
f'(x) + 0 — 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(-∞，-2a)和(a-2，+∞)上为增函数，在(-2a，a-2)上为减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a； 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<23，则-2a>a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表： x (-∞，a-2) a-2 (a-2，-2a) -2a (-2a，+∞)
f'(x) + 0 — 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上为增函数，在(a-2，-2a)上为减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a； 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 【精要点评】第(2)问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断f'(x)符号及f(x)的单调性，进而判断出极值点，求极值. 利用导数研究函数的最值 微课4 ● 问题提出 导数在研究函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可以多角度、多层次地考查学生分析问题和解决问题的能力.应用类问题中求最值的问题比较多，这与函数的极值联系紧密.利用导数求函数的最大(小)值，其解题流程是怎样的呢?
● 典型示例 例2 已知函数f(x)=x3-ax2-3x. (1)若函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值. 【思维导图】
【规范解答】(1)由题意知f'(x)=3x2-2ax-3，令f'(x)≥0(x≥2)，得a≤31-2xx.记t(x)=31-2xx，当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min=32×12-2=94，所以实数a的取值范围是9-4，. (2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4，所以f(x)=x3-4x2-3x，f'(x)=3x2-8x-3.令f'(x)=0， 得x1=-13(舍去)，x2=3.当x∈(1，3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，3]上为减函数；当x∈(3，4)时，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上为增函数.所以当x=3时，f(x)有极小值.于是，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(3)=-18，而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6. 【精要点评】(1)若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f'(x)≥0，其逆命题不成立.因为f'(x)≥0包括f'(x)>0与f'(x)=0，当f'(x)>0时，函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f'(x)=0时，f(x)在这个区间内为常函数；同理，若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f'(x)≤0，其逆命题也不成立.(2)使f'(x)=0的离散的点不影响函数的单调性.
● 总结归纳 求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求f(x)在区间(a，b)上的极值；②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
● 题组强化 1.(2015·江苏模拟)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值是 . 【答案】2 【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2(舍去). 当-10；当0所以f(x)的最大值为2.
2.已知a≤1-xx+ln x对任意的x∈122，恒成立，那么实数a的最大值为 . 【答案】0
【解析】设f(x)=1-xx+ln x，则f'(x)=2--1xxx+1x=2-1xx.当x∈112，时，f'(x)<0， 所以函数f(x)在112，上单调递减；当x∈(1，2]时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(1，2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，所以a≤0，即a的最大值为0.