泸溪一中2017届高三理科数学优生辅导资料八
泸溪一中高一优生数学专题辅导第一讲
泸溪一中高一优生数学专题辅导第一讲：函数及其表示考点分析：1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．复习指导：正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理：1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．一个方法：求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．两个防范：(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．三个要素：函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测：1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)2．(2014江西)若f(x)＝1log 12＋，则f(x)的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u ，g(v)＝ 1＋v 1－vD ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x24．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )．A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 5．函数y ＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f(x)＝|x －2|－1－； (2)f(x)＝＋－x2－3x ＋4.求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－x －12的定义域； (2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求函数f(x)的解析式．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．(2)已知f(x)＋2f(1x )＝2x ＋1，求f(x)．考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎨⎧ 21－x ，x≤1，1－log2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)【训练3】 (2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为________．阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】 研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】► 求函数y ＝log 13(x2－3x)的单调区间．【试一试】 求函数f(x)＝log2(x2－2x －3)的单调区间．。
系统集成2017高考数学理一轮总复习教案：第八章 直线和圆的方程 Word版含解析
第八章直线和圆的方程高考导航考纲要求备考策略1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.9.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式.直线与圆的方程是解析几何的基础，也是高考的热点，一般以选择、填空题的形式考查直线与圆的有关简单计算，属于中、低档题，以解答的形式考查圆与圆锥曲线等知识结合的综合题，属中、高档题.复习时采用以下应对策略：1.抓好“三基”，把握重点，重视中、低档题的复习，提高选择、填空题的正确率.2.在解答有关直线问题时，要注意斜率存在的条件，在设直线方程或判断两直线的位置关系时不要忘了讨论斜率不存在的情况，正确选择合适的直线方程解决各种直线问题.3.在解答有关圆的问题时，首先要明确圆的圆心与半径，数形结合，利用圆的有关几何性质进行解答.4.直线与圆的位置关系在每年的高考中都有重点考查，解决有关直线与圆的问题的基本方法是将直线与圆的方程组成方程组消元，化为一元二次方程，然后灵活运用判别式与韦达定理解题，同时要善于利用直线与圆的几何知识解题.5.对于本章的复习要注意培养用坐标法分析问题的观点，养成自觉运用运动变化的观点解决问题的能力，加强与函数、方程、不等式、三角函数、平面几何等知识的联系，善于运用函数的观点解决有关直线与圆的问题.知识网络8.1 直线与方程考点诠释重点：直线的倾斜角与斜率的概念，直线方程的几种形式及其求法.难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，直线方程的五种形式之间的相互转化，直线方程的应用.典例精析题型一 直线的倾斜角 【例1】直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 【思路分析】先求斜率的范围，再求倾斜角的范围. 【解析】D.k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又k ＝tan α，0≤α＜π且α≠π2，所以l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π .故选D. 【方法归纳】当斜率表达式中含有字母又需要求直线的倾斜角的范围时，应先求斜率的范围，再结合正切函数的图象来解决倾斜角的范围问题.【举一反三】1.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( B )A.[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 【解析】设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1].又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.故选B.题型二 直线的斜率【例2】已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.【思路分析】画出直角坐标系，标出A ，B ，P 点，数形结合，求出直线l 的斜率的范围.【解析】如图所示，直线P A 的斜率k P A ＝2－(－3)－1－(－2)＝5.直线PB 的斜率k PB ＝0－23－(－1)＝－12.当直线l 绕着点P 由P A 旋转到与y 轴平行的位置PC 时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)；当直线l 绕着点P 由PC 旋转到PB 的位置时，它的斜率变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 所以直线l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞). 【方法归纳】当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围.【举一反三】2.点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，y ＋1x ＋1的取值范围是( C )A.⎣⎡⎦⎤－16，2B.⎣⎡⎦⎤0，53C.⎣⎡⎦⎤－16，53D.[2,4] 【解析】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率.因为点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， 所以设该线段为AB ，且A (2,4)，B (5，－2).因为k NA ＝53，k NB ＝－16.所以－16≤y ＋1x ＋1≤53.所以y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎡⎦⎤－16，53，故选C. 题型三 求直线的方程【例3】(1)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 .(2)直线l 经过点P (3,2)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点.若△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是 .【思路分析】用待定系数法求.【解析】(1)y ＝2x 或x ＋y －3＝0.当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点()1，2，所以k ＝2，即直线方程为y ＝2x .当直线不过原点时，可设直线的截距式方程为x a ＋y a ＝1，又直线过点()1，2，所以1a ＋2a ＝1， 所以a ＝3，即直线方程为x ＋y －3＝0.综上，直线方程为y ＝2x 或x ＋y －3＝0.(2)2x ＋3y －12＝0.设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0).则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12，解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.【方法归纳】求直线方程的方法 1.直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程.选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.2.待定系数法(1)设所求直线方程的某种形式； (2)由条件建立关于待求参数的方程(组)； (3)解这个方程(组)求出参数；(4)把参数的值代入所设直线方程中.【举一反三】3.△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程.【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程：y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为2x －y ＋2＝0.题型四 直线方程与最值问题 【例4】过点P (2,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点，点O 为坐标原点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程.【思路分析】先设出直线l 的直线方程，再求出A ，B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值.【解析】设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由于点P 在直线上，所以2a ＋1b＝1.所以2a ·1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 22＝14，当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，1a ·1b 取最大值18， 即S △AOB ＝12ab 取最小值4，所以所求的直线方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.【方法归纳】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【举一反三】4.已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的一个动点，则点P 到直线l ：y ＝x －2的距离的最小值为( B )A.1B.2C.22D.3【解析】设点P (x 0，y 0)，由题知y ′＝2x －1x ，过点P 的切线斜率为k ＝2x 0－1x 0.由题知点P 到l 的距离最小时，过点P 的切线与l 平行.所以k ＝2x 0－1x 0＝1，所以x 0＝1或－12(舍去).所以P (1,1)，所以点P 到直线l 的距离为d ＝22＝ 2.故选B.体验高考(2014四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是 .【解析】5.易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |时取“＝”).【举一反三】(2013新课标)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( B )A.(0,1]B.⎝⎛⎭⎫1－22，12C.⎝⎛⎭⎫1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 【解析】如图1，①若a ＝0，设y ＝b 0(0＜b 0＜1)，S △CEF ＝12S △ABC ＝12，即(1－b 0)2＝12，b 0＝1－22.又a ＞0，所以b ＞1－22.②a ＞0时，如图2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝－x ＋1，得交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1， 直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点为N ⎝⎛⎭⎫－ba ，0， |MN |＝(a ＋b )2(a 2＋1)a 2(a ＋1)2，点(1,0)到y ＝ax ＋b 的距离d ＝|a ＋b |a 2＋1，由12|MN |·d ＝12，得|a ＋b |·a 2＋1a (a ＋1)·|a ＋b |a 2＋1＝(a ＋b )2a 2＋a ＝1， 整理得b 2＋2ab －a ＝0，所以a ＝b 21－2b ＞0，所以b ＜12，综上可得1－22＜b ＜12.8.2 两条直线的位置关系考点诠释重点：判断两条直线的位置关系，求点到直线的距离. 难点：判断两条直线平行或垂直时，要考虑两条直线中有一条斜率不存在或两条直线斜率均不存在的情况，会解决有关对称的问题.典例精析题型一 两直线交点问题【例1】过点A (0,1)作直线，使其被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰被点A 所平分，求此直线的方程.【思路分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已知直线l 过点A (0,1)，故只需再求出直线的斜率即可.【解析】解法一：过点A 且与x 轴垂直的直线不合题意.所以设所求的直线方程为y ＝kx ＋1，与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，得x M ＝73k －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，得x N ＝7k ＋2.因为点A 平分线段MN ， 所以x M ＋x N ＝2x A .所以73k －1＋7k ＋2＝0⇒k ＝－14，所以所求直线方程为x ＋4y －4＝0.解法二：设所求直线与l 1，l 2分别交于两点M ，N ， 因为点N 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设N (t,8－2t )，因为点A (0,1)是线段MN 的中点， 由中点坐标公式得M (－t,2t －6). 因为点M 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 所以－t －3(2t －6)＋10＝0， 解得t ＝4，所以M (－4,2)，N (4,0)， 所以所求直线方程为x ＋4y －4＝0.【方法归纳】求与两已知直线的交点有关的问题，可有以下两种解法 (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，再根据其他条件求解； (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点，则过l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l 2)，设出方程后再利用其他条件求解.【举一反三】1.根据下列条件，分别求直线方程. (1)经过点A (3,0)且与直线2x ＋y －5＝0垂直；(2)求经过直线x －y －1＝0与2x ＋y －2＝0的交点，且平行于直线x ＋2y －3＝0的直线方程.【解析】 (1)与直线2x ＋y －5＝0垂直的直线的斜率为12，又直线经过点A (3,0)，所以直线的方程为y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0.(2)因为直线x －y －1＝0与2x ＋y －2＝0的交点为(1,0)，与直线x ＋2y －3＝0平行的直线的斜率为－12，所以所求的直线方程为y ＝－12(x －1)，即x ＋2y －1＝0.题型二 两直线的位置关系问题 【例2】已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值.(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.【思路分析】根据垂直或平行，再结合已知条件列方程组求解. 【解析】(1)由已知可得l 2的斜率存在，所以k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.因为l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾).所以此种情况不存在，所以k 2≠0，即k 1，k 2都存在.因为k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1， 即ab (1－a )＝－1.①又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)因为l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在，且k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.所以a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.【方法归纳】两直线的位置关系问题的解题策略(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.(2)在运用直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 或B 为零时的特殊情况.【举一反三】2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0).点P (0，p )是线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 均为非零实数，设直线BP ，CP 分别与边AC ，AB 交于点E ，F .某同学已正确求得直线OE 的方程为⎝⎛⎭⎫1b －1c x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0，则直线OF 的方程为【解析】由截距式可得直线AB ：x b ＋y a ＝1，直线CP ：x c ＋yp ＝1，两式相减得⎝⎛⎭⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故所求直线OF 的方程为⎝⎛⎭⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.题型三 点到直线的距离 【例3】已知点P (2，－1).(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？【思路分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式求导数即可. 【解析】(1)①当l 的斜率k 不存在时显然成立，所以l 的方程为x ＝2； ②当l 的斜率k 存在时，设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k 2＝2，所以k ＝34，所以l ：3x －4y －10＝0.故所求直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图(图略)可得过点P 且与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.【方法归纳】运用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般形式.求最值的问题可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【举一反三】3.已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，求过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程.【解析】解法一：设所求直线方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点P 1，P 2到直线的距离相等得||2k －3＋k ＋2k 2＋1＝||－4k －5＋k ＋2k 2＋1.化简得||3k －1＝||－3k －3，则有3k－1＝－3k －3或3k －1＝3k ＋3，解得k ＝－13或方程无解.方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为x ＝－1，它与P 1，P 2的距离都是3.所以所求直线方程为y －2＝－13 (x ＋1)或x ＝－1，即x ＋3y －5＝0或x ＝－1.解法二：设所求直线为l ，由于l 过点A 且与P 1，P 2距离相等，所以l 有两种情况，如图：①当P 1，P 2在l 的同侧时，有l ∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；②当P 1，P 2在l 的异侧时，l 必过P 1，P 2的中点(－1,4)，此时l 的方程为x ＝－1. 所以所求直线的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 题型四 对称问题【例4】已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A.x －2y ＋1＝0B.x －2y －1＝0C.x ＋y －1＝0D.x ＋2y －1＝0【思路分析】本题考查直线与直线的对称问题，解题的关键是将问题转化为求对称点的问题.【解析】B.l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上.又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)，(－1，－1)为l 2上的两点， 可得l 2方程为x －2y －1＝0.故选B. 【方法归纳】对称问题的解题策略解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解.【举一反三】4.已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程.【解析】(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)， 则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l . 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，x 0－22＋2·y 0－12－2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫25，195.(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任意一点P (x ，y )关于l 的对称点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立.由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0.即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P (x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y ，将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0. 所以直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.体验高考(2015广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0【解析】A.切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，故可设切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，结合题意可得|c |5＝5，解得c ＝±5，故选A.【举一反三】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由l 1∥l 2，得a (a ＋1)＝2，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.8.3 圆的方程考点诠释重点：圆的标准方程与一般方程.难点：圆的方程的求法，垂径定理的应用.典例精析题型一 求圆的方程【例1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上. (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值.【思路分析】由几何性质知圆心在y ＝x 2－6x ＋1与x 轴两个交点的连线的垂直平分线上，故可设圆心为(3，t )，由半径列关系式可求出圆心坐标.【解析】(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0).故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 由已知得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【方法归纳】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【举一反三】1.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( C )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0，得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，所以该直线恒过点(－1,2)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 题型二 与圆有关的最值问题【例2】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.【思路分析】根据代数式的几何意义，借助平面几何知识数形结合求解.【解析】(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.【方法归纳】与圆有关的最值问题的求解策略 (1)求形如t ＝y －bx －a 的最值转化为求动直线斜率的最值；(2)求形如t ＝ax ＋by 的最值转化为求动直线截距的最值；(3)求形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值转化为求动点到定点距离平方的最值.【举一反三】2.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3). (1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值.【解析】(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8. 所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 所以|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝n －3m ＋2，即kx －y ＋2k ＋3＝0.因为直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.题型三 圆的方程的应用【例3】有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A 地每公里的运费是B 地每公里运费的3倍.已知A ，B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P 地居民选择A 地或B 地购货总费用相等时，点P 所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？【思路分析】根据题意建立平面直角坐标系，列出方程求得点P 的轨迹方程是圆的方程，利用数学知识解答实际问题.【解析】如图，以A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，因为|AB |＝10， 所以A (－5,0)，B (5,0).设P (x ，y )，P 到A ，B 两地购物的运费分别是3a 元/公里，a 元/公里.当由P 地到A ，B 两地购物费用相等时，有价格＋A 地运费＝价格＋B 地运费， 所以3a ·(x ＋5)2＋y 2＝a ·(x －5)2＋y 2.化简整理，得⎝⎛⎭⎫x ＋2542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1542. (1)当点P 在以⎝⎛⎭⎫－254，0为圆心，154为半径的圆上时，居民到A 地或B 地购货总费用相等. (2)当点P 在上述圆内时，因为⎝⎛⎭⎫x ＋2542＋y 2<⎝⎛⎭⎫1542， 所以[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8<0.所以3(x ＋5)2＋y 2<(x －5)2＋y 2.故此时到A 地购物合算.(3)当点P 在上述圆外时，因为⎝⎛⎭⎫x ＋2542＋y 2>⎝⎛⎭⎫1542， 所以[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8>0.所以3(x ＋5)2＋y 2>(x －5)2＋y 2.故此时到B 地购物合算.【方法归纳】审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可简化运算过程，所得方程也较简单.【举一反三】3.设有一个半径为3 km 的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进.A 出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B 相遇.设A ，B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问两人在何处相遇？【解析】以村落中心为原点，A ，B 开始前进方向分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.设A ，B 两人速度分别为3v km/h ，v km/h.设A 出发x 0小时后，在点P 处改变前进方向，又经y 0小时在点Q 处与B 相遇，则P ，Q 两点的坐标分别是(3vx 0,0)，(0，v (x 0＋y 0)).如图，因为|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2， 所以(3vx 0)2＋[v (x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2， 化简得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0. 又x 0＋y 0>0，所以5x 0＝4y 0.①又k PQ ＝－x 0＋y 03x 0，②由①②得k PQ ＝－34.当直线y ＝－34x ＋b 与圆x 2＋y 2＝9相切时，有4|b |32＋42＝3，所以b ＝154(b >0).因此，A 和B 相遇的地点是村落中心正北154km 处.体验高考(2015新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【解析】⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254.由题意可得圆经过椭圆的上、下两个顶点和右顶点，即经过点(0,2)，(0，－2)和(4,0)，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，D ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－4，D ＝－3，故该圆的方程为x 2＋y 2－3x －4＝0，化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254.【举一反三】(2015重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴.过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( C )A.2B.42C.6D.210【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2.由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1， 所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40， 所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系考点诠释重点：直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断，有关圆的切线与弦的综合问题. 难点：直线与圆相切、相交的有关问题，有关圆的弦长、中点弦问题及综合问题.典例精析题型一 直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R ). (1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；(2)与l 平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？【思路分析】(1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m ；(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.【解析】(1)证明：配方得(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m ，y ＝m －1，消去m 得l ：x －3y －3＝0，则不论m 为何值，圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上.(2)设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10，因为圆的半径为r ＝5，所以当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交； 当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离.【方法归纳】直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组的解的个数.【举一反三】1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( C ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能【解析】由题意知，直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )恒过点(1，－2)，而12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，所以圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为相交，故选C. 题型二 圆与圆的位置关系【例2】圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1). (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程.【思路分析】先求出两圆半径r 1，r 2，圆心距|O 1O 2|，再利用外切的条件列方程即可求得.两圆的公共弦方程由两圆方程相减可得.【解析】(1)设圆O 2的半径为r 2，由于两圆外切， 所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)， 故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 所以圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.【方法归纳】圆与圆的位置关系由圆心距和两半径的和以及差的绝对值来确定.求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可.【举一反三】2.两圆()x －22＋()y －12＝4与()x ＋12＋()y －22＝9的公切线有 条( B )A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为()2，1，()－1，2，半径分别为2,3，所以圆心距为()2＋12＋()1－22＝10，因为3－2<10<3＋2，所以两圆相交，公切线有2条.题型三 圆的弦长、中点弦的问题【例3】直线l 经过点P (5,5)，其斜率为k (k ∈R ).l 与圆x 2＋y 2＝25相交，交点分别为A ，B .(1)若|AB |＝45，求k 的值；(2)若|AB |＜27，求k 的取值范围； (3)若OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求k .【思路分析】写出直线l 的方程，结合图形利用圆的几何性质，建立相应的关系式求k . 【解析】直线l 的方程为：y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5(1－k )＝0.设圆x 2＋y 2＝25的圆心O 到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则d ＝|5(1－k )|k 2＋1.所以|AB |＝2·r 2－d 2＝225－25(1－k )2k 2＋1＝10·2k k 2＋1.(1)因为|AB |＝45，所以10·2k k 2＋1＝45，解得k ＝12或k ＝2.(2)因为|AB |＜27，所以10·2k k 2＋1＜27，即7·k 2＋1＞52k .两边平方，得7(k 2＋1)＞50k ＞0.所以k ＞7或0＜k ＜17.(3)因为OA ⊥OB ，所以△OAB 为等腰直角三角形.所以d ＝522，即|5(1－k )|k 2＋1＝522.解得k ＝2＋3或k ＝2－ 3.【举一反三】3.已知圆M ：()x ＋12＋y 2＝1，圆N ：()x －12＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .【解析】(1)由已知得圆M 的圆心为M ()－1，0，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N ()1，0，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P ()x ，y ，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以||PM ＋||PN ＝()R ＋r 1＋()r 2－R ＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1()x ≠－2.(2)对于曲线C 上任意一点P ()x ，y ，由于||PM －||PN ＝2R －2≤2，所以R ≤2， 当且仅当圆P 的圆心为()2，0时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为()x －22＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得||AB ＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则||QP ||QM ＝Rr 1，可求得Q ()－4，0， 所以可设l ：y ＝k ()x ＋4.由l 与圆M 相切得||3k 1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，整理得7x 2＋8x －8＝0，Δ＝288＞0.所以||AB ＝1＋k 2||x 1－x 2＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知||AB ＝187.综上，||AB ＝23或||AB ＝187.【例4】已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求圆C 内过点P 的弦的中点的轨迹方程.【思路分析】(1)设出直线l 的斜率k ，然后利用弦心距的性质求出弦心距，列方程求出斜率k ，也要考虑到斜率不存在的情况；(2)设出中点D (x ，y )，利用CD ⊥PD 列方程得点D 的轨迹方程.【解析】(1)如图，AB ＝43，D 是AB 的中点，则AD ＝23，AC ＝4， 在Rt △ADC 中，可得CD ＝2. 设所求直线的斜率为k ， 则直线的方程为 y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线的距离公式|－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意， 此时直线l 的方程为x ＝0.所以所求直线为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设圆C 上过点P 的弦的中点为D (x ，y )， 因为CD ⊥PD ，所以＝0，即(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.【方法归纳】在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21 ＋y 21 ＝r 2，x 22＋y 22 ＝r 2，得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【举一反三】4.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 x ＋y －3＝0 .【解析】设圆心为(a,0)，由题意知圆C 的半径r ＝|a －1|，圆心到直线x －y －1＝0的距。
2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 理 北师大版
第1课时 直线及其方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角和斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0°.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°.(2)当直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)时，直线斜率可以表示为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其中x 1≠x 2. 2．直线的方程3.过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，2(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 4．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[基础自测]1．(教材改编题)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝0－23－0＝－23. 答案：C2．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<120°，则直线l 的斜率k 的范围是( ) A ．－3＜k ≤0 B ．k ＞－ 3 C ．k ≥0或k ＜－ 3 D ．k ≥0或k ＜－33解析：0°≤α＜90°时，k ≥0；90°＜α＜180°时，k ＜0；90°＜α＜120°时，k ＜－ 3. 答案：C3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：直线的两点式方程为y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0.答案：B4．(2016·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AC ＝k AB ，即a －35－4＝5－36－4.解得a ＝4. 答案：45．(2016·广东佛山模拟)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是________．解析：如图，满足条件的直线有l 1与l 2两种情况，其中l 1的倾斜角为45°，l 2的倾斜角为135°，所以，它们的方程分别为y ＝x －6，y ＝－x －6.答案：y ＝x －6或y ＝－x －6考点一 直线的倾斜角与斜率[例1] 直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3审题视点 先求斜率的范围，再求倾斜角的范围．解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.故选B.答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．1．(2016·开封调研)设A (－1,2)，B (3,1)，若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2解析：如图所示，直线y ＝kx 过定点O (0,0)，k OA ＝－2，k OB ＝13.若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则直线OA 逆时针旋转(斜率增大)到OB 都是满足条件的直线．数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13.故选C. 答案：C2．(2016·成都七中模拟)已知函数f (x )＝a sin x －b ·cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，又倾角范围为[0，π)，故其倾斜角为3π4，选D.答案：D考点二 求直线方程[例2] (1)求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；(2)过点A (8,6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y ＝34x ，求直线l 1，l 3的方程；(3)若一直线被直线4x ＋y ＋6＝0和3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程． 审题视点 根据已知条件，选择合适的直线方程的形式，(1)题采用待定系数法求解，(2)(3)题可采用直接法求解． 解 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. (2)设直线l 2的倾斜角为α，则tan α＝34.于是tan α＝2tana21－tan2α2＝34.令tan α2＝m ，则8m ＝3(1－m 2)，即3m 2＋8m －3＝0，解得m ＝13或m ＝－3(舍)，∴tan α2＝13，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， 所以所求直线l 1的方程为y －6＝13(x －8)，即x －3y ＋10＝0，l 3的方程为y －6＝247(x －8)，即24x －7y －150＝0.(3)设所求直线与直线4x ＋y ＋6＝0相交于A ，与直线3x －5y －6＝0相交于B ， 设A (a ，－4a －6)，则由中点坐标公式知B (－a,4a ＋6)， 将B (－a,4a ＋6)代入3x －5y －6＝0得．3(－a )－5(4a ＋6)－6＝0，得a ＝－3623，从而求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3623，623，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3623，－623，所以所求直线方程为y ＝－16x .求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．1．(2016·合肥调研)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：(1)若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.(2)若直线不过原点，设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 2．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5； 解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求． 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.∴⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.考点三 直线方程的应用[例3] 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题视点 先设出AB 所在的直线方程，再求A 、B 两点的坐标，写出表示△ABO 的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值． 解 法一：由题可设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1，b ＝2a a －3且a ＞3，b ＞2. 从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a2a －3.故有S △ABO ＝a －2＋a －＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2a －9a －3＋6＝12， 当且仅当a －3＝9a －3， 即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4，∴此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：由题可设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，代入P (3,2)，得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时，等号成立，S △ABO 取最小值12，此时k ＝－b a ＝－23，∴此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，则有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，S △ABO 取最小值12.此时，直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如图所示，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N .设θ＝∠PAM ＝∠BPN 显然θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则S △ABO ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋292tan θ·2tan θ＝12， 当且仅当92tan θ＝2tan θ，即tan θ＝23时，S △ABO 取最小值12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.(1)利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．(2)以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决．1．(2015·福州模拟)已知直线l 1的倾斜角为3π4，直线l 2经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 2垂直，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：依题意知：直线l 1的斜率k 1＝tan 3π4＝－1，又因为直线l 1与直线l 2垂直，直线l 2的斜率k 2＝2＋13－a ，所以k 2＝2＋13－a ＝1，解得a ＝0.答案：C2. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又m30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．与直线方程有关的创新命题[典例] 在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解题指南存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形．解析①正确．例如y＝3x＋2，当x是整数时，y是无理数，(x，y)不是整点；②不正确，如y＝2x－2过整点(1,0)；③设y＝kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y＝kx知对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④不正确，如y＝1 3x＋12，当x为整数时，y不是整数，此直线不经过无穷多个整点；⑤正确，如直线y＝3x，只经过整点(0,0)．答案①③⑤阅卷点评本题呈现形式比较新颖，以斜截式方程为载体，但实质上还是考查了整点的概念．此类新概念题目经常会从几个不同的角度考查学生对知识或新信息的理解和把握，进而考查学生学习和应用新知识并结合原有知识解题的能力．创新点评本题有三处创新点：(1)本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；(2)考查内容的创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；(3)考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式．备考建议解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握确定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练．◆一条规律求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．◆两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，则应对斜率存在与不存在加以讨论． (2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 答案：D2．(2016·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－AB x －C B. ∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0， ∴其斜率k ＝－A B＜0， 又y 轴上的截距b ＝－C B＞0， ∴直线过第一、二、四象限． 答案：C3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x－1)．答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________． 解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0 ∵k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．(2014·高考广东卷)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝e－5x(－5x )′＝－5e －5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.答案：5x ＋y －3＝06．(2016·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π7．(2016·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解：(1)设C (x ，y )． ∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5， 又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)．由截距式得MN 的方程为x 1＋y－52＝1即5x －2y －5＝0.8. (2016·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.[B 级 能力突破]1．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：取特殊值法或排除法，可知A 正确． 答案：A2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 其中sin α∈[－1,1]． 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.答案：B3．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝α＋2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．若过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a 的取值范围是________．解析：过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的斜率k ＝a －10＋3＝a －13，又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3，所以k ＝a －13≥3或k ＝a －13≤－3，解得：a ≥4或a ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________． 解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)，∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝06．(2015·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π7．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两条直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)设两条直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2时，α1＝α2，从而有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.这是对于不重合的直线l 1，l 2而言的．如果l 1与l 2是否重合不能确定时，k 1＝k 2时，可以得到l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(2)若两条直线都有斜率，且l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若l 1的斜率为0，当l 1⊥l 2时，l 2的斜率不存在，其倾斜角为90°.2．两条直线的交点坐标已知两条直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当满足条件A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交，其交点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求得，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数解，则两直线重合．3．距离公式 (1)两点间距离公式两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离①点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.②点P (x 0，y 0)到x 轴的距离为d ＝|y 0|；点P (x 0，y 0)到y 轴的距离为d ＝|x 0|；点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离是d ＝|y 0－a |；点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离是d ＝|x 0－b |.(3)两条平行线间的距离两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0和l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[基础自测]1．(教材改编题)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43 C ．2 D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3. 答案：D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析：d ＝|－5|12＋22＝ 5.答案：D3．(2016·铜川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将(1,0)点代入得1＋m ＝0解得m ＝－1.故所求直线方程为x －2y －1＝0. 答案：A4．平行线：l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 解：6x －4y ＋3＝0⇔3x －2y ＋32＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝13213＝132.答案：1325．(2016·合肥调研)斜率为2，且与直线2x ＋y －4＝0的交点恰好在x 轴上的直线方程是________． 解析：∵2x ＋y －4＝0与x 轴的交点坐标为(2,0)． ∴所求直线的方程为y ＝2(x －2)即2x －y －4＝0. 答案：2x －y －4＝0考点一 两条直线的平行与垂直[例1] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 审题视点 根据两条直线的位置关系列方程(组)求解． 解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1，∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(与上述结论矛盾)． ∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1、k 2都存在， ∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.在运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为零时的特殊情况．求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．1．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行， ∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0. 又所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|m |1＋4＝5， 解得m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 答案：A2．(2016·河南天一联考)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4D. 2解析：若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，此时，两直线方程为y ＝－ab ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ， 所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．所以选B.答案：B考点二 两条直线的交点与距离问题[例2] 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是710 5.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．审题视点 (1)由l 1与l 2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a 的方程，解方程即可得出a 的值；(2)由点P (x 0，y 0)满足②③条件可得出关于x 0、y 0的方程组，解方程组，即可求出点P 的坐标，注意验证是否适合条件①. 解 (1)l 2即2x －y －12＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a ＞0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，且|C －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪C ＋125，即C ＝132或C ＝116，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去；由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．(1)挖掘题目的隐含条件，题目隐含l 1∥l 2，故第(2)问中满足②的条件转化为“P 点在直线l ′：2x －y ＋C ＝0”上；(2)第(2)问属存在型开放问题，解决的方法可概括为“假设——推理——否定(肯定)假设——得出结论”，即假设存在型开放问题的结论成立，以此为基础进行演绎推理，若出现矛盾，则否定假设，得出相反结论；若推出合理结果，说明假设正确．1．(2016·湖南衡阳模拟)若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2B.1a 2－1b 2＝1p2C.1a2＋1p2＝1b2D.1a 2p2＝1b2解析：由题意设直线方程为x a ＋y b＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p2，故选A.答案：A2．(2016·山西忻州检测)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b a －＝0，4a 2＋b2＝|b |a －2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.答案：0或83考点三 对称问题[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 审题视点 借助平面几何知识找出代数关系．解 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32， 解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.求直线m 关于l 的对称直线m ′时，因m 与l 相交，先求交点，除了交点之外，我们可以再在m 上任选一点，求出其关于l 的对称点，利用两点式求出直线m ′的方程；若m 与l 平行，我们必须在m 上任取两点，求出其关于直线l 的对称点，用两点式求出直线m ′的方程，也可利用m ∥l ∥m ′这一性质，求出一个对称点的坐标，用点斜式求出m ′的方程．1．(2016·秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 |k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝02．(2016·北京东城期末)如图所示，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F<k FD，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)新定义下的直线方程问题[典例] 在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；②设P为直线5x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．解题指南①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．解析①由[OP]＝1，根据新定义得：|x|＋|y|＝1，上式可化为：y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y ＝x－1(0≤x≤1)，画出图像如图所示：根据图形得到：四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确； ②当点P 为⎝⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0＜1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误； 所以正确的结论有：①. 答案 ①创新点评 (1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查．(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同． 备考建议 解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点： (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值； (3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何．◆一条规律在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接做出结论． 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.(2)l 1与l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1.(3)l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2＝A 2C 1.(4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. ◆三种对称(1)点关于点的对称．点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．课时规范训练 A 级 基础演练]1．(2016·株洲模拟)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：由点到直线的距离公式得距离为|1＋1＋1|1＋－2＝322. 答案：C2．(2016·枣庄三中月考)若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个解析：三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案：C3．(2016·宁夏银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．3或－1解析：由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a，即a ＝－1.故选C. 答案：C4．(2015·黄石模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：∵点P 在y 轴上，∴设P (0，y )，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－－＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P (0,3)．答案：D5．(2016·武汉模拟)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，当l 1与l 2相交于点P (m ，－1)时，m ，n 的值分别为________、________.解析：∵m 2－8＋n ＝0,2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7. 答案：1 76．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：求出定点A ，B 的坐标，并注意已知两直线互相垂直． ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．答案：57．已知直线l 1经过点A (2，a )，B (a －1,3)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－3，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．解：设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，若a ＝3，则k 1不存在，k 2＝－34，则l 1与l 2既不平行，也不垂直．因此a ≠3，k 1＝a －33－a ＝－1，k 2＝a ＋2－2－3－1＝－a4.(1)∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2. ∴－1＝－a4.∴a ＝4. (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. ∴(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1.∴a ＝－4.8．过点P (－1,2)引一直线，两点A (2,3)，B (－4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程．解：法一：当斜率不存在时，过点P (－1,2)的直线方程为：x ＝－1，A (2,3)到x ＝－1的距离等于3，且B (－4,5)到x ＝－1的距离也等于3，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，过点P (－1,2)的直线方程为：y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， 依题设知：|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解上式得：k ＝－13，所以，所求直线方程为：x ＋3y －5＝0； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P (－1,2)与AB 平行的直线，另一条是过点P 及AB 中点的直线．因为A (2,3)，B (－4,5)，所以k AB ＝3－52＋4＝－13，因此，过点P 与AB 平行的直线的方程为：y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；又因为A (2,3)，B (－4,5)的中点坐标D (－1,4)， 所以过点P 及AB 中点的直线方程为x ＝－1； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.[B 级 能力突破]1．(2016·浙江台州中学质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2D ．2 3解析：由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b≥2b ·1b＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.答案：B2．(2016·泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，103，直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，。
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用课件 文
(5)若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.( √ )
(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.( × )
答案
2
考点自测
1.( 教材改编 ) 如图，已知平面 α， β，且 α∩β＝ AB， PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，则直线AB与 AB⊥CD CD的位置关系是________. 解析 ∵PC⊥α，∴PC⊥AB，
解析答案
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. 证明 由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.
如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，
又∵AE＝B1G， ∴四边形AEB1G是平行四边形， ∴B1E∥AG. 同理GF∥AD.又∵GF＝AD，
1 3 在 Rt△BAN 中，AN＝AB· cos∠BAC＝2，从而 NC＝AC－AN＝2， PM AN 1 由 MN∥PA，得MC＝NC＝3.
思维升华 解析答案
跟踪训练3
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA ＝AD＝1，AB＝ 3，点 F 是 PD 的中点，点 E 是边 DC 上的任意一点.
⇒m∥n.
其中正确的命题是________.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使点 G1 ， G2 ， G3 重合，记为点 G ，则 垂直 SG与平面EFG的位置关系为________.
易忽略“方向 相同”
线面平行的 性质定理 直线和平面 垂直的判定 定理
a∥α，a⊂β ⇒a∥b α∩β＝b l⊥a，l⊥b
【小初高学习]2017届高三数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.8 曲线与方程开卷速查
![【小初高学习]2017届高三数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.8 曲线与方程开卷速查](https://img.taocdn.com/s3/m/96285a7fa8956bec0875e30a.png)
开卷速查(五十五) 曲线与方程A 级 基础巩固练1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点。
若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析：由已知得|MF |＝|MB |。
由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D 。
答案：D2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |。
∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R ＞|OF |。
∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆。
答案：A3．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4 解析：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y 。
∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x 。
答案：B4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0。
8.1高中理科数学高2020届高2017级一轮全程复习配套课件
的函数值,
由题意,若x>6,则当y=3时,x-3=3,解得x=6,舍去; 若x≤2,则当y=3时,5-x=3,解得x=2, 故输入的x值为2.
考点一
顺序结构与条件结构
【题组练透】
1.如图是给出一个算法的程序框图,该程序框图的功能 是 ( )
A.输出a,b,c三数的最小数 B.输出a,b,c三数的最大数 C.将a,b,c按从小到大排列 D.将a,b,c按从大到小排列
5.如图是一个程序框图.若输入x的值为 1 ,则输出y的
16
值是________.
【解析】由程序框图可知其功能是计算分段函数
x 2 y= ，x 1， 的函数值,所以当输入的x的值为 0 x 1 2＋log 2 x， 1 时,y=2+log 1 =2-4=-2. 2 16 16
【解析】选D.输入x=2.4,则y=2.4,x=[2.4]-1=1>0,
y 所以x= =1.2;y=1.2,x=[1.2]-1=0, 2 所以x= y =0.6;y=0.6,x=[0.6]-1=-1<0, 2
则z=x+y=-1+0.6=-0.4.
3.某班有50名学生,在一次数学考试中,an表示学号为n
提示:(1)√.因为一个程序框图是按照一定的顺序执行,
所以它离不开顺序结构,而有些问题可能不需要条件结
构与循环结构就可以完成,所以此命题正确. (2)×.由算法的定义可知,算法必须在有限步内完成,
所以此命题错误.
(3)√.因为条件结构中满足条件是一个出口,不满足条 件是另一个出口,所以条件结构的出口有两个,但在执 行时,只有一个出口是有效的,是正确的,所以此命题正 确. (4)×. 题错误. 是输入、输出框,不是赋值框.所以此命
2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线及其方程课时规范训练 文 北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何8.1 直线及其方程课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 答案：D2．(2016·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0，又y 轴上的截距b ＝－C B＞0，∴直线过第一、二、四象限．答案：C3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________．解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0∵k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．(2014·高考广东卷)曲线y ＝e－5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.答案：5x ＋y －3＝06．(2016·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π 7．(2016·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解：(1)设C (x ，y )．∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5，又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3. ∴C (－5，－3)． (2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)． 由截距式得MN 的方程为x 1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0. 8. (2016·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， (2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. [B 级 能力突破]1．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：取特殊值法或排除法，可知A 正确．答案：A2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 答案：B 3．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝α＋2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32， 所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．若过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a 的取值范围是________．解析：过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的斜率k ＝a －10＋3＝a －13，又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3， 所以k ＝a －13≥3或k ＝a －13≤－3，解得：a ≥4或a ≤－2.答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0.答案：x －3y －2＝0 6．(2016·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π 7．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1， 所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
2017版高考数学大一轮复习第八章不等式文
第八章不等式【知识网络】
【考情分析】
由上表不难看出，近几年的新课标江苏卷中解一元二次不等式作为一个重要代数解题工具，是考查的热点，多与集合、函数、数列相结合进行考查.线性规划问题也是考查的热点，多与不等式的性质及一些代数式的几何意义结合.对于基本不等式，主要考查内容有用基本不等式求解最值或在代数综合问题中判断多项式的大小关系等.
【备考策略】
不等式既是中学数学的一个重要内容，又是学好数学其他内容的一门工具，在高考中，出现的频率较高.不等式的考查内容以“实际为背景”“函数为背景”居多，利用基本不等式求函数的最值是高考的重点和热点，不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法，而且还考查运算能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力.。
四川省泸县第一中学高2020届高2017级高三下学期第四次月考试理科数学试题及参考答案解析
2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|03}A x Z x =∈,{|(1)(2)0}B x x x =+-≤,则A B =( )A.{0,1,2}B.{1,2}C.{|02}x xD.{|13}x x -≤≤【参考答案】A 【试题解析】化简集合,A B ,再进行交集运算,即可得答案； 【详细解答】{|03}{0,1,2,3}A x Z x =∈=,{|(1)(2)0}{|12}B x x x x x =+-≤=-≤≤,∴{0,1,2}A B ⋂=,故选:A.本题考查集合的交运算和解不等式,考查运算求解能力,属于基础题. 2.若复数cos sin z i αα=+,则当2παπ<<时,复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】B 【试题解析】根据角的范围,结合复数的几何意义,即可判断出点的符号,进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限. 【详细解答】复数cos sin z i αα=+,在复平面内对应的点为()cos ,sin αα, 当2παπ<<时,cos 0,sin 0αα<>,所以对应点的坐标位于第二象限,故选:B.本题考查了复数的几何意义,三角函数符号的判断,属于基础题. 3.已知向量(1,2)a =,(4,1)b λ=-,且a b ⊥,则λ=( ) A.12B.14C.1D.2【参考答案】A 【试题解析】根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得λ的值.【详细解答】由于向量(1,2)a =,(4,1)b λ=-,且a b ⊥,所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选:A本小题主要考查向量垂直的坐标表示,属于基础题.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[]110,120内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为( ) A.4B.3C.2D.1【参考答案】C 【试题解析】利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可．【详细解答】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[]110,120内,②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确． 故选C ．本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题． 5.当0a >时,函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是( )A. B.C. D.【参考答案】B 【试题解析】由()0f x =,解得20x ax -=,即0x =或x a =,0,a >∴函数()f x 有两个零点,,A C ∴,不正确,设1a =,则()()()()22,'1xxf x x x e f x x x e =-∴=+-,由()()2'10xf x x x e =+->,解得15x -+>或15x --<由()()2'10xf x x e =-<,解得:1515x ---+<<,即1x =-是函数的一个极大值点,D ∴不成立,排除D ,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.6.已知,m n 是两条不重合的直线,,αβ是两个不重合的平面,下列命题正确的是( ) A.若m α,m β,n α,n β,则αβ∥ B.若m n ,m α⊥,n β⊥,则αβ∥C.若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D.若m n ⊥,m α,n β⊥,则αβ⊥ 【参考答案】B 【试题解析】根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.【详细解答】A 选项,若m α,m β,n α,n β,则αβ∥或α与β相交；故A 错； B 选项,若m n ,m α⊥,则n α⊥,又n β⊥,,αβ是两个不重合的平面,则αβ∥,故B 正确； C 选项,若m n ⊥,m α⊂,则n ⊂α或n α或n 与α相交,又n β⊂,,αβ是两个不重合的平面,则αβ∥或α与β相交；故C 错；D 选项,若m n ⊥,m α,则n ⊂α或n α或n 与α相交,又n β⊥,,αβ是两个不重合的平面,则αβ∥或α与β相交；故D 错； 故选B本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23S =,410S =,则6S =( ) A.21B.22C.11D.12【参考答案】A 【试题解析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出6S 的值. 【详细解答】解:由{}n a 为等差数列,可知24264,,S S S S S --也成等差数列, 所以()422642S S S S S -=+- ,即()62103310S ⨯-=+-,解得621S =. 故选:A.本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.8.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则cos2α等于( )A.19B.79-C.23-D.13【参考答案】B 【试题解析】先由三角函数的定义求出sin α,再由二倍角公式可求cos2α.【详细解答】解:角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=,2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭,故选:B考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.9.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为 A.48B.72C.90D.96【参考答案】D 【试题解析】因甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时,共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时,共有44A =24种选择方案．综上所述,所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96点睛:本题以选择学生参加比赛为载体,考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识,属于基础题．10.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),以点P (,0b )为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若90MPN ∠=︒,则C 的离心率为( )【参考答案】A【试题解析】求出双曲线的一条渐近线方程,利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点,且90MPN ∠=︒,则列出方程,求解离心率． 【详细解答】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ,因为90MPN ∠=︒,所以圆心P 到0bx ay -=的距离为222b c ==,即2222c a -=,因为1ce a=>,所以解得e = 故选A ．本题考查双曲线的简单性质的应用,考查了转化思想以及计算能力,属于中档题．对于离心率求解问题,关键是建立关于,a c 的齐次方程,主要有两个思考方向,一方面,可以从几何的角度,结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面,可以从代数的角度,结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,过正方体中两条异面直线AB ,11A D 的中点,P Q 作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为( )A.1D.1【参考答案】C 【试题解析】连结并延长PO ,交对棱C 1D 1于R ,则R 为对棱的中点,取MN 的中点H ,则OH ⊥MN ,推导出OH ∥RQ ,且OH ＝12RQ ＝2,由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详细解答】如图,MN 为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO ,交对棱C 1D 1于R ,则R 为对棱的中点,取MN 的中点H ,则OH ⊥MN , ∴OH ∥RQ ,且OH ＝12RQ ＝22, ∴MH 22OM OH -22212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2,∴MN ＝22MH =故选:C ．本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．12.若函数()ln f x x x h =-++,在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ,b ,c 均存在以()f a ,f b ,()f c 为边长的三角形,则实数h 的取值范围是( ) A.11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C.11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D.()3,e -+∞【参考答案】D 【试题解析】 分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得h 的取值范围.【详细解答】()f x 的定义域为()0,∞+,()'111x f x x x-=-+=,所以()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在()1,e 上递增,()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值,()1ln111f h h =-++=+,1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭,()ln 1f e e e h e h =-++=-+,()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ,b ,c 均存在以()f a ,f b ,()f c 为边长的三角形,则需()()()f a f b f c +>恒成立,且()10f >,也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦,也即当1a b ==、c e =时,()()21e f f >成立, 即()211h e h +>-+,且()10f >,解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞.故选:D本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,属于中档题.第II 卷 非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数3()(21)3f x x t x =+-+的图象在点(1,(1))f --处的切线平行于x 轴,则t=________.【参考答案】1- 【试题解析】求函数的导数,可得切线斜率,由切线平行x 轴,得到斜率为0,可得t 值.【详细解答】()()2321,f x x t =+-' 可得函数在x=-1处的切线斜率为2+2t,由切线平行于x 轴,可得()1220,f t -=+='解得t=-1, 故答案为-1本题考查导数的几何意义的应用,属于基础题.14.已知a ,b ,c 分别为ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,若1cos 4B =-,6a =,ABC的面积为,则sin A 的值等于________.【试题解析】根据三角形的面积公式,求得4c =,利用余弦定理求得8b =,再根据正弦定理,即可求解sin A 的值,得到答案.【详细解答】在ABC ∆中,因为1cos 4B =-,所以sin B ===又由ABC ∆的面积为且6a =,所以11sin 622S ac B c ==⨯⨯=,解得4c =, 由余弦定理可得2222212cos 64264644b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,解得8b =,又由正弦定理得6,sin sin sin sin 8a b a A B A B b ==⨯==. 本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,余弦定理在解三角形中的综合应用,其中解答中熟记三角恒等变换的公式,以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键,着重考查了转化思想与运算、求解能力,属于基础题．15.学校艺术节对同一类的A ,B ,C ,D 四件参赛作品,只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说:“B 作品获得一等奖”； 丙说:“A ,D 两项作品未获得一等奖”； 丁说:“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是______. 【参考答案】B 【试题解析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”,故假设A B C D 、、、分别为一等奖,然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性,即可得出结果． 【详细解答】若A 为一等奖,则甲、丙、丁的说法均错误,不满足题意； 若B 为一等奖,则乙、丙的说法正确,甲、丁的说法错误,满足题意；若C 为一等奖,则甲、丙、丁的说法均正确,不满足题意； 若D 为一等奖,则乙、丙、丁的说法均错误,不满足题意； 综上所述,故B 获得一等奖．本题属于信息题,可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案,在做本题的时候,可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．16.若过点()2,0M()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ,与C 的一个交点为A ,若BM MA =,则a =____． 【参考答案】8 【试题解析】由直线方程为2)y x =-与准线:al x 4=-得出点B 坐标,再由BM MA =可得,点M 为线段AB 的中点,由此求出点A 的坐标,代入抛物线方程得出a 的值.【详细解答】解:抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=-过点()2,0M2)y x =-,联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,解得,交点B坐标为(a 4-, 设A 点坐标为00(,)x y , 因为BM MA =,所以点M 为线段AB 的中点,所以00()442402a x y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩,解得)()a a 8A 444++,将)()a a 8A 444++代入抛物线方程,即()2aa 44=+, 因为0a >, 解得8a =.本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识,解决几何问题时,往往可以转化为代数问题来进行研究,考查了数形结合的思想.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =,求m ．【参考答案】(Ⅰ)2nn a =或()2nn a =--(Ⅱ)12【试题解析】(1)先设数列{}n a 的公比为q ,根据题中条件求出公比,即可得出通项公式； (2)根据(1)的结果,由等比数列的求和公式,即可求出结果. 【详细解答】(1)设数列{}n a 的公比为q ,2754a q a ∴==, 2q ∴=±,2n n a ∴=或(2)n n a =--.(2)2q时,()2122212612n n nS -==-=-,解得6n =； 2q =-时,()21(2)21(2)126123n nnS --⎡⎤==--=⎣⎦+,n 无正整数解；综上所述6n =.本题主要考查等比数列,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于基础题型.18.万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全22⨯列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为ξ,求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式:()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++ 【参考答案】(1)列联表见解析,有把握；(2)分布列见解析,23. 【试题解析】(1)根据频率分布直方图补全22⨯列联表,求出2 2.778 2.706k ≈>,从而有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,则抽中男教工:406460⨯=人,抽中女教工:206260⨯=人,从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望． 【详细解答】解:(1)由题意得下表:2k 的观测值为2100(800400)252.706604060409-=>⨯⨯⨯ 所以有90%的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关. (2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工, 所以的可能取值为0,1,2.且()2426C C 620155P ξ====,()114226CC C 8115P ξ===,()22261215C P C ξ===, 所以的分布列为()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题．19.如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 是菱形,其对角线的交点为O ,且116,AB AC AB BC ==⊥．(1)求证:AO ⊥平面11BB C C ；(2)设160B BC ∠=︒,若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒,求二面角111A B C B --的正弦值． 【参考答案】(1)见解析；25. 【试题解析】(1)根据菱形的特征和题中条件得到1B C ⊥平面1ABC ,结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；(2)建立空间直角坐标系,利用向量知识求解即可．【详细解答】(1)证明:∵四边形11BB C C 是菱形,11B C BC ⊥∴,11,,AB B C AB BC B ⊥⋂=1B C ∴⊥平面1ABCAO ⊂平面1ABC , 1B C AO ∴⊥又1,AB AC O =是1BC 的中点,1AO BC ∴⊥,又11B C BC O =AO ∴⊥平面11BB C C(2)11//AB A B∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角．AO ⊥平面11BB C C ,∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠,即45ABO ∠=︒． 因为16AB AC ==,则在等腰直角三角形1ABC 中123BC =, 所以13,tan301BO CO BO BO ===⋅︒=． 在Rt ABO 中,由45ABO ∠=︒得3AO BO ==,以O 为原点,分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则113),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)A B B C - 所以1111(3,0,3),(3,1,0)A B AB BC ==-=-- 设平面111A B C 的一个法向量为1(,,)n x y z =,则111133030n A B x z n B C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩,可得1(1,3,1)n =-, 取平面11BB C C 的一个法向量为2(0,0,1)n =, 则1212125cos ,5||||5n n n n n n ⋅〈〉===,所以二面角111A B C B --25． (注:问题(2)可以转化为求二面角1A BC B --的正弦值,求出3AO BO ==,在Rt OBC 中,过点O 作BC 的垂线,垂足为H ,连接AH ,则AHO ∠就是所求二面角平面角的补角,先求出3OH =,再求出152AH =,最后在Rt AOH 中求出2sin 55AHO ∠=．)本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解,属于中档题．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ,过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长,且1F 与短轴两端点的连线相互垂直. (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆222:O x y a +=上存在两点M ,N ,椭圆C 上存在两个点,P Q 满足:1,,M N F 三点共线,1,,P Q F 三点共线,且0PQ MN ⋅=,求四边形PMQN 面积的取值范围.【参考答案】(1)2212x y +=；(2)【试题解析】(1)又题意知,a =,a =及222a b c =+即可求得a b c 、、,从而得椭圆方程.(2)分三种情况:直线MN 斜率不存在时,MN 的斜率为0时,MN 的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立方程组,用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【详细解答】(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知,b c =,∵过点1F 且与x .22ba∴=又222a b c =+,解得1a b c ===.∴椭圆C 的方程为2212x y +=(2)由(1)可知圆O 的方程为222x y +=,(i )当直线MN 的斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,此时||2,||PMQN MN PQ S ===四边形(ii )当直线MN 的斜率为零时,|||2PMQN MN PQ S ===四边形.(iii )当直线MN 的斜率存在且不等于零时,设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立222x y +=,得2222(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>,设,M N 的横坐标分别为,M N x x ,则222222,11M N M N k k x x x x k k -+=⋅=++.所以||M NMN x=-=(注:||MN的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.)由PQ MN⊥可得直线PQ的方程为1(1)(0)y x kk=--≠,联立椭圆C的方程消去y,得222(2)4220(0)k x x k+-+-=∆>设,P Q的横坐标为,P Qx x,则222422,22p pQ Qkx x x xk k-+=⋅=++.22)||2kPQk+∴==+1||||2PMQNS MN PQ===四边形2110,12222PMQNSk<<<<∴<<+四边形综上,由(i)(ii)(ⅲ)得PMQNS四边形的取值范围是.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用a b c、、的关系,确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组,应用一元二次方程根与系数,得到目标函数解析式,运用函数知识求解；本题是难题.21.已知函数()21222f x x x mlnx=-++,m R∈．(Ⅰ)当1m<时,讨论函数()fx的单调性；(Ⅱ)若函数()f x有两个极值点1x,2x,且12x x<,求证()1211f xx≤<．【参考答案】(1)函数在(1上单调递减；在(0,1和()1∞+上单调递增．(2)见证明【试题解析】()1首先求得导函数,然后分类讨论确定函数的单调性即可；()2首先确定1x ,2x 的范围,化简()12f x x 的表达式为()111122x x lnx -+．构造函数()()()12,0,12h t t tlnt t =-+∈,利用导数求得函数的最小值,并由极限证得()1h t <,由此证得不等式成立.【详细解答】解:()()21122,(0)2f x x x mlnx x =-++>, ()222m x x mf x x x x-+∴=-='+, 令()22g x x x m =-+,1m <,440m ∴=->,令()’0f x =则1x =,当10≤,即0m ≤时,令()’0f x <则(0,1x ∈；令()’0f x >则()1x ∞∈++．此时函数在(0,1+上单调递减；在()1∞++上单调递增．当10>,即01m <<时,令()’0f x <,则(1x ∈；令()’0f x >则(()0,11x ∞∈-⋃++,此时函数在(1上单调递减；在(0,1-和()1∞++上单调递增．()2由()1知,若()f x 有两个极值点,则01m <<且()()1210,1,11,2x x ==,又1x ,2x 是220x x m -+=的两个根,则212112,2x x m x x +==-,()()()2211111111121122212222x x x x lnx f x x x lnx x x -++-∴==-+-,令()()()12,0,12h t t tlnt t =-+∈,则()12h t lnt +'=, 令()’0h t <,则t ⎛∈ ⎝,令()’0h t >,则t ⎫∈⎪⎭,所以()h t在⎛ ⎝上单调递减；在⎫⎪⎭上单调递增． ()1h t h ∴≥=()()110,12h t h t ；=→→,()1h t ∴<,得证．本题主要考查导函数研究函数的单调性,导函数研究函数的极值,利用导数证明不等式的方法等知识,属于中等题．(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线l 的cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=,a 0>(l)设t 为参数,若12y t =-,求直线l 的参数方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于P ,Q 设M(0,1)-,且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅,求实数a 的值.【参考答案】(1)212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)；(2)1【试题解析】(1)由直线l 的极坐标方程为cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求得1xy -=,进而由1y=-+,代入上式得x =,得到直线的参数方程； (2)根据极坐标与直角坐标的互化,求得222x y ax +=,将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立,利用根据与系数的关系,列出方程,即可求解.【详细解答】(1)直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=, 因为t 为参数,若12y=-+,代入上式得2x =,所以直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)(2)由2(0)acos a ρθ=>,得22cos (0)a a ρρθ=>,由cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得222x y ax += (0)a > 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立,得)2110t a t ++=.(*)则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+,121t t =,设点P ,Q 分别对应参数1t ,2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =,2MQ t =,12PQ t t =-, 由题设得212124t t t t -=.则有()212128t t t t +=,得1a =或3a =-. 因0a >,所以1a =本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,以及普通方程与参数方程的互化,以及直线参数方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.23.已知函数()212f x x x =++-. (1)求()f x 的最小值m ；(2)若a ,b ,c 均为正实数,且满足a b c m ++=,求证: 2223b c aa b c++≥.【参考答案】(1)3；(2)证明见解析 【试题解析】(1)由题意根据1x <-、12x -≤<、2x ≥分类讨论,求出函数()f x 的取值范围,即可得解；(2)由题意结合基本不等式可得()()2222b c a a b c a b c a b c+++++≥++,即可得证.【详细解答】(1)当1x <-时, ()()()212f x x x =-+--()33,x =-∈+∞；当12x -≤<时, ()()()212f x x x =+--[)43,6x =+∈；当2x ≥时,()()()212f x x x =++-[]36,x =∈+∞；综上,()f x 的最小值3m =；(2)证明:因为a ,b ,c 均为正实数,且满足3a b c ++=, 所以()222b c a a b c a b c +++++222b c a a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2≥=()2a b c ++,当且仅当1a b c ===时,等号成立, 所以222b c a a b c a b c ++≥++即2223b c a a b c++≥. 本题考查了绝对值函数最值的求解,考查了利用基本不等式及综合法证明不等式,关键是对于条件做合理转化,属于中档题.。
2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第八章第二节 空间几何体的表面积与体积
第三十七页，编辑于星期六：一点 十二分。
结束
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(四十一)” (单击进入电子文档)
第三十八页，编辑于星期六：一点 十二分。
第三十九页，编辑于星期六：一点 十二分。
第二十一页，编辑于星期六：一点 十二分。
解(：2)由(1)题证意明知：D连E结⊥平EO面，COBAB.1，且由(1)知DE∥AO， ∵∴∴E，AAOOO⊥⊥分平B别C面，为CBBB1C1，，BC 的中点， ∴∴EOA∥C＝BBA1B，. 且 EO＝12BB1. 又∵∴DBCACA∥是⊥B底平B1面面，圆A且AO1DB的A1B直＝，径12B，B1得，CA⊥AB，且AA1⊥CA， ∴即DACA綊为E四O棱，锥CABB1A1的高．
解析：如图，取AB的中点为F，连结SF，过点O作OG⊥
SF，则∠OSG为SO与侧面所成的角，
且tan∠OSG＝OSOF＝
2 2.
设AB＝2a，则SO＝ 2a，
所以13×4a2× 2a＝136，得a＝ 2. 延长SO交外接球于E，则EB⊥SB，
由OB2＝SO·OE得4＝2·(2R－2)，
所以R＝2，S＝4π×22＝16π.
第二十四页，编辑于星期六：一点 十二分。
解：((21))因证为明P：D∥因E为FA，BA∥BC⊥DE，FC，D所⊥以AADB，⊥APDD＝. CD＝2AB＝ 2，F又为ACBD⊥的A中D，点A，D∩PD＝D，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA. 所以又四P边A⊥形AADB，FDA为B∩矩A形D，＝AAB，⊥所B以F.PA⊥平面ABCD. 因又为AB因D∥为EC＝SD△E，BCCD，所＝所以12×以AB2D×⊥C2E⊥＝FE.2F，. E到平面BCD的距离h＝a2， 因为所BF以∩VBE-PFE＝D＝FV，B-EDC＝VE-BCD＝13×2×a2＝a3∈ 所又以AB2A1⊂B55⊥平，平面21面A51B5BEE，，F所所. 以以a平∈面25A5B，E2⊥5平15面. BEF.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泸溪一中2017届高三理科数学优生辅导资料八
一选择题：
1.已知偶函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（x）=
，则函数g（x）=4f（x）﹣log7（|x|+1）的零点
个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O
为顶点的角θ，使得
θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ
为
曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确
界角”，已知曲线M：y=，（其中e为自然对数的底数），
O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（ ）
A． B． C． D．
3.对一切实数m，抛物线22222(1)mymxmxm所不通过的点的区域在
圆222410xyxy内或边界上的整点（横、纵坐标均为整数的点）
有( )
A．9个 B．8个 C.5个 D．4个
4.函数()fx满足条件：对于函数()fx的零点0x，当00()()0,()[()()]0axbxabfafb成
立时，恒有20abx或02abx，则称函数()fx为“好函数”．则下列三个
函数：①()|lg|fxx，②()|cos|(0)fxxx，③()|22|xfx，为“好函数”
的个数有( )
A．0个 B．1个 C.2个 D．3个
5.如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（ ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 二、填空题： 6.已知数列{}na是首项为1，公比为12的等比数列，令12nnSaaa，211222311()()()nnnnnnnTaaaaaaaaaaaa．若对一切正整数n，都有2nnTcS，则c的取值范围是________________． 7.已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是________________．
三.解答题
8.
如图，设点,AB的坐标分别为(3,0)，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它
们的斜率之积为23．
（I）求点P的轨迹方程；
（II）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于,AB的两点，且满足//APOM，
//BPON，求证：MON
的面积为定值．
B
A
P
O
x
y
9.已知双曲线222210,0xyabab过点(1,1)A，它的焦点F在其渐近线上
的射影记为M，且OFM△（O为原点）的面积为24．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦,ABAC，设直线AB，直线AC的斜率
分别为12,kk，且12111kk恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．