第3章 平面任意力系
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第03章+平面力系
物系平衡的特点： ① 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态。 ② 每个单体可列3个平衡方程, 整个系统可列3n个方程 （设物系中有n个物体） 在求解静定的物体系的平衡问题时, 可以选每个物体为研 究对象, 列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整个系统 为研究对象, 列出平衡方程，求出部分未知量，再从系统中选 取某些物体作为研究对象, 列出另外的平衡方程，直至求出所 有的未知量为止。
Fy =0 mO (F )=0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
m A (F )=0 mB (F )=0
例3-3 求图示刚架在A、B端所受的约束反力。
解：⑴ 作刚架的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
cos45 å F =0, F 窗 sin45 å F =0, F 窗
x A
y
A
+ F =0 + FB =0
(1)正负号的规定 (2)投影是代数量 (3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别
Fy Fx cos a = , cos b = F F
讨论：力的投影与分量
y
y
y
F
Fy
O
F
F
Fy
F
O
Fx
x
Fy
O
Fx
x
O
Fx
x
Fx
x
分力Fx=？
⑴ 力F在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分 解的分力大小相等。 ⑵ 力F在相互不垂直的轴 x、y‘上的投影与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
例3-5 试计算刚架支座A、B的约束反力。
解：⑴ 取整体为研究对象，列出平衡方程：
å å
å
Fx =0, FAx +10kN - FBx =0
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
建筑力学 第三章
[例] 已知：如图。求梁上分布荷载的合力。 解：荷载分布在一狭长 范围内，如沿构件的轴线分 布，则称为分布荷载。该问 题是一集度按线性变化的
线分布荷载求合力问题。
⒈求合力的大小
而在此微段上的荷载为：
x q 在坐标 x 处取长为 dx 的微段，其集度为： x q l
x dQ qx dx q dx l
x 1 因此，合力Q 的大小为： dQ q dx ql Q l 0 l 2
l
⒉ 求合力作用线的位置
由合力矩定理：M A (Q ) M A (dQ ) 则有：
x Q xc dQ x q dx l 0 l 1 1 2 即： ql xc ql 2 3 2 解得： xc l 3
雨搭 固定端（插入端）约束的构造
车刀
约束反力
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
§3-3-2
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
第三章
平面力系的合成与平衡 引 言
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
平面力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
研究方法：图解法，数解法。
例：起重机的挂钩。
§3-1-1 平面汇交力系合成与平衡的图解法 P29
l
2
§3-4
由于
R
平面一般力系的平衡方程
一、平衡的必要与充分条件 =0 作用于简化中心的合力RO=0，则汇交力系平衡； 则力偶矩MO=0 ，因此附加力偶系也平衡。
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
重庆大学出版社
建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
教案(理论力学C 60学时)第03章 平面任意力系
2．利用节点法求解平面简单桁架的内力
3．利用截面法求解平面简单桁架的内力
4．综合利用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力
1．平面任意力系的平衡条件以及平衡条件的解析表达式即平衡方程
2．平面任意力系的平衡方程的具体运用
平面平行力系的合成与平衡
1．平面平行力系的合成方法
2．平面平行力系的平衡方程及其应用
物体系的平衡•静定和静不定问题的概念
1．静定和静不定问题的概念
2．物系平衡问题（静定）的求解
平面简单桁架的内力计算
1．与桁架有关的一些基本概念以及基本的假设
西华大学教案
章节名称
第三章平面任意力系教学源自数6学时授课方式教师讲授、课堂讨论、习题讲解相结合，黑板与多媒体相结合。
教学目的及要求
要求熟练掌握平面任意力系向作用面内任一点进行简化和平面任意力系的平衡条件和平衡方程；能熟练并正确的利用平面任意力系的平衡方程对单个物体以及物系的平衡进行求解；了解静定和静不定问题的概念；能运用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力。
4、理论力学（第四版）清华大学理论力学教研组高等教育出版社
具体内容
力线平移定理
平面任意力系向已知点的简化主矢与主矩
1．平面任意力系向已知点的简化的方法
2．主矢和主矩的概念，固定端约束
简化结果分析合理矩定理
1．平面任意力系能简化成为的几种结果及合力矩定理
2．平面任意力系平衡时的情形
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
教学手段
采用启发式教学。教师讲授主要知识点；通过课堂提问使学生对重点内容和难点进行积极主动思考；并通过讲解例题的方式，让学生掌握重点内容和知识点及其应用。课后布置相关习题让学生温习课堂所学内容。
参考资料
3．利用截面法求解平面简单桁架的内力
4．综合利用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力
1．平面任意力系的平衡条件以及平衡条件的解析表达式即平衡方程
2．平面任意力系的平衡方程的具体运用
平面平行力系的合成与平衡
1．平面平行力系的合成方法
2．平面平行力系的平衡方程及其应用
物体系的平衡•静定和静不定问题的概念
1．静定和静不定问题的概念
2．物系平衡问题（静定）的求解
平面简单桁架的内力计算
1．与桁架有关的一些基本概念以及基本的假设
西华大学教案
章节名称
第三章平面任意力系教学源自数6学时授课方式教师讲授、课堂讨论、习题讲解相结合，黑板与多媒体相结合。
教学目的及要求
要求熟练掌握平面任意力系向作用面内任一点进行简化和平面任意力系的平衡条件和平衡方程；能熟练并正确的利用平面任意力系的平衡方程对单个物体以及物系的平衡进行求解；了解静定和静不定问题的概念；能运用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力。
4、理论力学（第四版）清华大学理论力学教研组高等教育出版社
具体内容
力线平移定理
平面任意力系向已知点的简化主矢与主矩
1．平面任意力系向已知点的简化的方法
2．主矢和主矩的概念，固定端约束
简化结果分析合理矩定理
1．平面任意力系能简化成为的几种结果及合力矩定理
2．平面任意力系平衡时的情形
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
教学手段
采用启发式教学。教师讲授主要知识点；通过课堂提问使学生对重点内容和难点进行积极主动思考；并通过讲解例题的方式，让学生掌握重点内容和知识点及其应用。课后布置相关习题让学生温习课堂所学内容。
参考资料
南航理论力学习题答案3(1)
第三章平 面 任 意 力 系1．平面力系向点1简化时，主矢R F ′=0，主矩 M 1≠0，如将该力系向另一点2简化，则（ ）。
① RF ′≠0，M 2≠M 1 ② R F ′=0，M 2≠M 1 ③ RF ′≠0，M 2=M 1 ④ R F ′=0，M 2=M 1 正确答案：④2．关于平面力系的主矢与主矩，下列表述正确的是（ ）。
① 主矢的大小、方向与简化中心的选择无关② 主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关③ 当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化的结果为一合力④ 当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简化的结果均不可能为一合力 正确答案：①3．关于平面力系与其平衡方程，下列表述正确的是（ ）。
① 任何平面力系都具有三个独立的平衡方程② 任何平面力系只能列出三个平衡方程③ 在平面力系的平衡方程的基本形式中，两个投影轴必须互相垂直④ 平面力系如果平衡，则该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零 正确答案：④4．平面内一非平衡共点力系和一非平衡共点力偶系最后可能合成的情况是（ ）。
① 一合力偶 ② 一合力③ 相平衡 ④ 无法进一步合成正确答案：②5．某平面平行力系诸力与y 轴平行，如图所示。
已知：F 1=10N ，F 2=4N ，F 3=8N ，F 4=8N ，F 5=10N ，长度单位以cm 计，则力系的简化结果与简化中心的位置（ ）。
① 无关 ② 有关③ 若简化中心选择在x 轴上，与简化中心的位置无关④ 若简化中心选择在y 轴上，与简化中心的位置无关正确答案：①6．图示皮带轮半径为R ，皮带拉力分别为T 1和T 2（二力的大小不变），若皮带的包角为α，则皮带使皮带轮转动的力矩（ ）。
① 包角α越大，转动力矩越大② 包角α越大，转动力矩越小③ 包角α越小，转动力矩越大④ 包角α变大或变小，转动力矩不变正确答案：④7．已知F、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，因此可知（）。
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
第3章-平面与空间一般力系
【解】 土压力 FR 可使挡土墙绕A点倾覆，
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程
第三 章 力系的平衡条 件和平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程 章
受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力， 受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力 ， 作为对工程构件进行强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。 作为对工程构件进行强度设计、 刚度设计与稳定性设计的基础 。 本章将在平面力系简化的基础上， 本章将在平面力系简化的基础上 ， 建立平衡力系的平衡条件 和平衡方程。 和平衡方程。并应用平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由 几个构件所组成的系统的平衡问题， 几个构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在构件上的全部 未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。 未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。 “平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要 平衡”不仅是本章的重要概念， 概念。 对于一个系统，如果整体是平衡的， 概念 。 对于一个系统 ， 如果整体是平衡的 ， 则组成这一系统的 每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是平衡的， 每一个构件也平衡的 。 对于单个构件 ， 如果是平衡的 ， 则构件 的每一个局部也是平衡的。 这就是整体平衡与局部平衡的概念。 的每一个局部也是平衡的 。 这就是整体平衡与局部平衡的概念 。
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(15)=60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力N 组成一力偶。 力NA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有
NB ×0.2 m1 m2 m3 m4 = 0
∴N A = N B =300 N
∴N B =
60 =300N 0.2
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 例 图示结构，已知 ， 、 两点的约束反力。 两点的约束反力
第3章 力系的平衡条件与平衡方程 章
受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力， 受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力 ， 作为对工程构件进行强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。 作为对工程构件进行强度设计、 刚度设计与稳定性设计的基础 。 本章将在平面力系简化的基础上， 本章将在平面力系简化的基础上 ， 建立平衡力系的平衡条件 和平衡方程。 和平衡方程。并应用平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由 几个构件所组成的系统的平衡问题， 几个构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在构件上的全部 未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。 未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。 “平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要 平衡”不仅是本章的重要概念， 概念。 对于一个系统，如果整体是平衡的， 概念 。 对于一个系统 ， 如果整体是平衡的 ， 则组成这一系统的 每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是平衡的， 每一个构件也平衡的 。 对于单个构件 ， 如果是平衡的 ， 则构件 的每一个局部也是平衡的。 这就是整体平衡与局部平衡的概念。 的每一个局部也是平衡的 。 这就是整体平衡与局部平衡的概念 。
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(15)=60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力N 组成一力偶。 力NA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有
NB ×0.2 m1 m2 m3 m4 = 0
∴N A = N B =300 N
∴N B =
60 =300N 0.2
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 例 图示结构，已知 ， 、 两点的约束反力。 两点的约束反力
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。