03等差数列的定义与通项
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案第一章：等差数列的概念引入1.1 等差数列的定义1.1.1 引导学生回顾自然数的排列，引入等差数列的概念。
1.1.2 通过具体例子，让学生理解等差数列的含义。
1.1.3 引导学生总结等差数列的特点。
1.2 等差数列的表示方法1.2.1 介绍等差数列的表示方法，引导学生理解首项、末项、公差等概念。
1.2.2 通过示例，让学生学会用符号表示等差数列。
1.2.3 让学生尝试自己表示一些等差数列，并判断其是否正确。
第二章：等差数列的性质2.1 等差数列的通项公式2.1.1 引导学生探究等差数列的通项公式。
2.1.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的通项公式。
2.1.3 让学生运用通项公式计算等差数列的特定项。
2.2 等差数列的求和公式2.2.1 引导学生探究等差数列的求和公式。
2.2.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的求和公式。
2.2.3 让学生运用求和公式计算等差数列的前n项和。
第三章：等差数列的通项公式的应用3.1 求等差数列的特定项3.1.1 让学生运用通项公式求解等差数列的特定项。
3.1.2 提供一些练习题，让学生巩固求特定项的方法。
3.2 求等差数列的前n项和3.2.1 让学生运用求和公式求解等差数列的前n项和。
3.2.2 提供一些练习题，让学生巩固求前n项和的方法。
第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系4.1.1 引导学生理解等差数列与函数的关系。
4.1.2 提供一些示例，让学生学会如何将等差数列问题转化为函数问题。
4.2 等差数列在实际问题中的应用4.2.1 提供一些实际问题，让学生运用等差数列的知识解决问题。
4.2.2 引导学生思考等差数列在其他领域的应用，如数学建模、数据处理等。
第五章：总结与拓展5.1 等差数列的定义与通项公式的总结5.1.1 与学生一起总结等差数列的定义与通项公式的关键点。
5.1.2 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑惑。
等差数列复习课课件(公开课)
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列和等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式
定义：等比数列的求和公式是指将等比数列中的所有项加起来所得到的和。
公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) 其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
应用：等比数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在解决贷款还款 问题、计算复利、解决几何级数增长问题等方面。
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列， 其相邻两项的差相等
应用：等差数列的求和公式在数学、 物理、工程等领域有广泛的应用
添加标题
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求和公式：Sn=n/2*(a1+an)
添加标题
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推导过程：通过倒序相加法、裂项 相消法等技巧推导得到等差数列的 求和公式
求和公式的应用
计算等差数列的和 解决与等差数列相关的数学问题 应用于物理、化学等其他领域 拓展到等比数列的求和公式
统计学：在统计学中， 等差数列和等比数列 常用于描述数据分布、 抽样调查和概率计算 等方面。
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等差数列和等比数列 的求和公式与应用
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汇报
02
等比数列的求 和公式
03
等差数列与等 比数列的应用 实例
01 等差数列的求和公式
等差数列的定义
等差数列：每 一项与它的前 一项的差等于 同一个常数的
02 等比数列的求和公式
等比数列的定义
等比数列：每一项 与它的前一项的比 值都等于同一个常 数的数列
首项：a1
公比：q
通项公式： an=a1*q^(n-1)
等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等 公式：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比 推导：由等比数列的定义和性质推导得出 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
第四章 数列(课件)-高二数学上学期期末考点(人教A版2019)
满足
a1
0
，且有
an1 2
2
an
n
.
(1)证明：数列an 2n是等比数列；
【详解】（1）
an1 2
2
an
n
，即
an1
2an
2n
2
，
所以 ， an1 2n 1 2an 2n 2 2 n 1 2an 4n 2
an 2n
an 2n
an 2n
又 a1 2 2 ，所以an 2n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.
1 an 1
1 b1 a1 1 1
bn1 bn 1
所以数列bn是以1为首项，1 为公差的等差数列，
所以
bn
n
，所以 an
n 1 n
.
3 典型例题讲与练
考点清单02：证明数列是等差（等比）数列 【考试题型1】证明数列是等差（等比）数列
【典例 2】（2023 上·全国·高三校联考开学考试）已知数列an
【详 解】（ 1）因 为 a1
2
，且 an1
2
1 an
，
当n
1 时， a2
2
1 a1
3 2
，
当n
2 时， a3
2
1 a2
4
3.
（2）因为 an1
2
1 an
，
所以 ， an1 1 1
1 an
an 1 an
两边同时取倒数有：
1 an1 1
an an 1
an 11 an 1
1
1 an 1
，
令 ，有 ， ， bn
2 知识回归
知识点 13：累乘法（叠乘法）
若数 列 an 满足
等差数列及其通项公式
在其他问题中的应用
运动员比赛排名
在一些体育比赛中，运动员的得分或成绩按照一定规则构成等差数列。通过等差数列的 通项公式和求和公式，可以快速地计算出运动员的总得分或总成绩，从而确定比赛排名
。
音乐会座位安排
在音乐会的座位安排中，通常按照等差数列的方式排列座位，使得观众能够均匀地分布 在演出场地中。利用等差数列的性质，可以方便地计算出任意排数的座位数量和总座位
公差d>0的等差数列，各项逐渐增大 。
公差d=0的等差数列，各项均为常数 。
递减等差数列
公差d<0的等差数列，各项逐渐减小 。
02
等差数列的通项公式
通项公式的推导
等差数列的定义
等差数列是一种常见数列，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常 数被称为公差。
通项公式的推导过程
等差数列的通项公式可以通过等差数列的定义推导出来。假设等差数列的首项 为a1，公差为d，则第n项an可以表示为an=a1+(n-1)d。
05
等差数列在实际问题 中的应用
在物理问题中的应用
自由落体运动
自由落体运动中，物体下落的距离与 时间的平方成正比，因此可以构成等 差数列。通过等差数列的通项公式， 可以方便地求出物体在任意时刻的下 落距离。
匀变速直线运动
在匀变速直线运动中，物体的速度随 时间均匀变化，因此速度与时间的关 系可以构成等差数列。利用等差数列 的性质，可以求出物体在任意时刻的 速度和位移。
在经济问题中的应用
等额本息贷款
在等额本息贷款中，每个月还款金额相同，但每月还款中本金和利息的比例不同。通过等差数列的求和公式，可 以计算出贷款期限内总共需要还款的金额。
折旧计算
在固定资产折旧计算中，通常采用直线折旧法，即每年折旧金额相同。利用等差数列的性质，可以方便地计算出 资产在任意时刻的账面价值和累计折旧额。
等差数列的概念+课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
2
= ，
1
数列{ }是首项为，公差为 的等差数列．
2
定义法
1
−2
.
方法归纳
等差数列的证明与判定的方法
(1) 定义法：
+1 − = ( ∈ ∗ ) 或 − −1 = ( ≥ 2, ∈ ∗ ) ⇔ { }是等差数列
(2) 定义变形法：
验证是否满足 +1 − = − −1 ( ≥ 2, ∈ ∗ )
40-38=2，42-40=2，…，48-46=2.
就是每一项与它的前一项的差都等于2
如果用{ }表示数列 ①，那么有
− = ， − = ，…，
− = .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
新知讲解
38，40，42，44，46，48
25，24，23，22，21.
①
③
1，1，1，1，⋯
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
数列②~④也有这样的取值规律.
对于②， − = ， − = ，…，
②
− = .
即每一项与它的前一项的差都等于0
对于③， − = −， − = −，…， − = −.
在平面直角坐标系中画出 = + 1 − 的图象
在这条直线上描出点 1, 1 ， 2, 2 ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
新知讲解
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的
斜率为
，在y轴上的截距为
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加
《等差数列的概念及其通项公式(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
各级的宽度构成的数列是特殊的数列吗？
是等差数列
如何计算？
根据等差数列的定义计算即可.
一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.
所以=33+7=40(cm)，=40+7=47(cm)，=47+7=54(cm)，=54+7=61(cm)，=61+7=68(cm).因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm.
已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．
(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．令2n3>0，得n>，即n≥2.所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.
B
若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是( ) A．26 B．29 C．39 D．52
解：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.
（1）2，，6；（2）；（3）.
4
数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？
设中间这个数是，则，整理得．
如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的等差中项.如果是与的等差中项，那么，所以．
条件：如果，，成等差数列.结论：那么叫做与的等差中项.满足的关系式：2.
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等差中项.
等差数列的通项公式与求和公式
等差数列的通项公式与求和公式等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是一个常见的数学概念，它指的是一个数列中的每个相邻的元素之间都有相同的差值。
通项公式是求解等差数列中任意一项的公式，而求和公式则是用于计算等差数列中前n项和的公式。
在本文中，我们将详细介绍等差数列的通项公式与求和公式，并提供一些相关的例子和推导过程。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以表示为：An = A1 + (n-1)d其中，An表示等差数列中的第n个数，A1是等差数列的首项，d 是等差数列中的公差，n表示数列中的项数。
利用这个通项公式，我们可以轻松地求解等差数列中任意一项的数值。
下面是一个例子：例子1：求解公差为3，首项为2的等差数列中的第7项。
根据通项公式，我们可以得到An = A1 + (n-1)d。
代入已知的值，即可求解：A7 = 2 + (7-1)3 = 2 + 18 = 20因此，公差为3，首项为2的等差数列中的第7项为20。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，Sn表示等差数列前n项和，A1是等差数列的首项，An是等差数列的第n项，n表示数列中的项数。
利用这个求和公式，我们可以迅速地计算等差数列前n项的和。
下面是一个例子：例子2：计算公差为4，首项为3的等差数列的前10项和。
根据求和公式，我们可以得到Sn = (n/2)(A1 + An)。
代入已知的值，即可计算：S10 = (10/2)(3 + A10)为了求解A10，我们需要使用通项公式：A10 = A1 + (10-1)d。
代入公差d=4，首项A1=3，得到：A10 = 3 + (10-1)4 = 3 + 36 = 39将A10的值代入求和公式，即可计算出前10项的和：S10 = (10/2)(3 + 39) = 5(42) = 210因此，公差为4，首项为3的等差数列的前10项和为210。
高中新教材数学人课件选择性必修时等差数列的性质及应用
等差数列与约束条件的结合
将等差数列的性质与线性规划的约束条件相结合，可以简化问题的求解过程， 提高求解效率。
经济学领域应用举例
等差数列在分期付款中的应用
在分期付款中，每期付款金额相同，形
A
例题 1
已知等差数列 ${ a_n }$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1 = 2, S_4 = 20$，求 $a_4$ 和 $S_6$。
C
例题 2
已知等差数列 ${ a_n }$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_3 + a_7 = 10, S_{13} = 130$，求首项 $a_1$ 和公差 $d$。
针对学生自我评价报告的反馈
教师应根据学生的自我评价报告，对学生的学习情况进行点评，肯定学生的优点和进步，指出存在的问题和不足，并 提出改进的建议和措施。
对等差数列知识点的补充和拓展
教师可以根据学生的实际情况和需求，对等差数列相关知识点进行补充和拓展，例如引入一些复杂的等差数列问题， 让学生了解更多的解题技巧和方法。
解析
由 $S_4 = 20$ 可得 $frac{4}{2} [2 times 2 + (4-1)d] = 20$，解得 $d = 2$。因此 ，$a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3 times 2 = 8$ ，$S_6 = frac{6}{2} [2 times 2 + (6-1) times 2] = 42$。
06 总结回顾与课堂互动环节
关键知识点总结回顾
等差数列的定义及通项公式
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数的一种数列。其通项公式为an=a1+(n-1)d， 其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列与等比数列的区别
等差数列与等比数列的区别等差数列与等比数列是数学中两种常见的数列形式，它们在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将详细介绍等差数列与等比数列的定义、性质和区别。
一、等差数列的定义和性质：等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母d表示公差，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。
等差数列有以下几个性质：1. 公差d的性质：等差数列中任意两项的差值都是公差d，即an -an-1 = d。
2. 通项公式：等差数列的通项公式是根据首项和公差的值计算出每一项的表达式，即an = a + (n - 1)d。
3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1)d)进行计算。
二、等比数列的定义和性质：等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列，即每一项等于前一项乘以同一个非零常数。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a * r^(n-1)。
等比数列有以下几个性质：1. 公比r的性质：等比数列中任意两项的比值都是公比r，即an / an-1 = r。
2. 通项公式：等比数列的通项公式是根据首项和公比的值计算出每一项的表达式，即an = a * r^(n-1)。
3. 求和公式：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)进行计算。
三、等差数列与等比数列的区别：1. 定义：等差数列中每一项与前一项的差值相等，而等比数列中每一项与前一项的比值相等。
2. 性质：等差数列的公差是常数，等比数列的公比是常数。
3. 增长速度：等差数列的增长速度是线性的，等比数列的增长速度是指数的。
4. 前n项和：等差数列的前n项和的求和公式是关于n的一次多项式，等比数列的前n项和的求和公式是关于n的一个分式。
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教案·学案 姓名 时间
身恭谨则远耻辱，用节省则免饥寒
7
03等差数列的定义与通项公式
〖教学目的〗1、理解等差数列的概念；2、掌握等差数的通项公式（两个）
〖教学重点〗掌握等差数列通项公式（两个）
〖教学难点〗通项公式的灵活应用
〖双语教学〗等差数列 arithmetic sequence 公差common difference 等差中项arithmetic mean
一、预习自测（阅读课本P36~P38）
1、如果一个数列从第 项起， 项与 项的 等于 ，
那么这个数列就叫等差数列. 叫等差数列的公差.通常用字母 表示.
数列一定是等差数列.
2、如果数列na是一个公差为d的等差数列，那么 （定义的式子表达）
3、①数列1，3，5，7，9，11，13的公差是 ；②数列0，5，10，15，20，25，30
的公差是 ；③数列2，－1，－4，－7的公差是 ；④等差数列a，a，a，…的公差是 .
4、判断下列数列是不是等差数列：
（1）0，1，3，5，7，9，11；（ ） （2）1，1，1，1，1，1，1；（ ）
（3）2，1，2，1，2，1，2；（ ） （4）2，1，0，－1，－2，－3.（ ）
5、公差为d的等差数列na的通项公式是 .
6、①等差数列8，5，2，…，的第20项等于 ；②等差数列－5，－9，－13，…
的第 项是－401.
二、自主学习：
1、1,,,nnaad中“知三求一” （应用方程的思想）
例1（1）已知{an}为等差数列，若a1＝3，d＝1.5，an＝21，则n＝ ；
（2）已知{an}为等差数列，若a10＝52，23d，则a3＝ .
2、定义的应用
例2 已知数列{an}的前n项和是Sn＝3n2－n，求证{an}为等差数列，并求出它的公差.（如何证
明数列是等差数列）
3、广义通项公式：nmaa .
例3 在等差数列{an}中
①若a59＝70，a80＝112，则a101＝ ；
②若ap＝q，aq＝p（p≠q），则ap+q＝ ；
③若a12＝23，a42＝143， an＝263，则n＝ .
三、疑惑不懂记录处：
教案·学案 姓名 时间
身恭谨则远耻辱，用节省则免饥寒
8
三、作业 A组：1、2000是等差数列4，6，8，…的第……………………………………（ ）项
（A）998 （B）999 （C）1000 （D）1001
2、等差数列0，－132，－7，…的第n＋1项是………………………………………………（ ）
（A）－72n （B）－712n （C）－712n （D）－72n+1
3、等差数列{an}中，1515754aaa，，则a2＝…………………………………………（ ）
（A）－3 （B）0 （C）1 （D）2
4、等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数n＝ .
5、在等差数列72，68，64，…中从第 项开始，各项均为负值.
6、若等差数列{an}中，已知52020,35aa，则a100＝ .
7、已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是，请说明是第
几项；若不是，请说明理由.
8、若数列{an}的通项公式是31lg105nna，求证：此数列是等差数列（如何证明数列是等
差数列）.
9、设{an}是等差数列.（Ⅰ）已知a1＝1，求公差d，使a1a3＋a2a3最小；（Ⅱ）已知a7＝9，求
公差d，使a1a2最小（函数的思想）.
B组：10、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它
的公差是 .
11、在数列{an}中，122211nnaaa，，则a101＝ .
12、数列{an}中，21161nnnaaaa，，请用不完全归纳法猜测an.
〖教学后记〗