2020年山东省新高考数学第五次模拟检测试卷 含解析
山东省青岛市2020届高三5月模拟检测数学试题 Word版含解析
山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =I ð（ ）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ，B 化简，再求出U A ð，根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤，{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥，所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>． 故选：B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法，属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i -=(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =，从而可得z =，再根据复数的乘除运算即可求出复数z ，再根据共轭复数的定义，求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i -=得)2i z ==，所以)1422i z i ===+，所以12z i =，所以z的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的模，复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ，()sin ,1b x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b r r ，则sin x =（ ）A.45B.35C.25D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b r r，所以1cos 2sin 0x x +-=，所以cos 2sin 1x x =-，又因为22sin cos 1x x +=，所以22sin (2sin 1)1x x +-=， 即25sin 4sin 0x x -=，解得4sin 5x =或sin 0x =，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以4sin 5x =. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题. 4.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可．【详解】当0x =时，对于A ，()00sin sin20y e e =+=>，故排除A ；对于B ，()00sin 0y e e=-=，故排除B ； 对于C ，()00tan 0y e e=-=，故排除C ；对于D ，()00cos cos20y e e =+=<，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系，可利用从函数图象上的特殊点，排除不合要求的解析式．5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ） A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案.【详解】从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有36个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)， (4,4)，(5,5)，(6,6)，共14个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A. 229x y += B.227x y += C. 225x y +=D.224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点，20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=，则OACV 的面积为（ ）A.B.23C.D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ，可得BO OD =u u u r u u u r ，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得||||BA BC ⋅=u u u r u u u r ，再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u u u r u u u r △即可求出ABC S V .【详解】在ABC V 中，由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r，所以BO OD =u u u r u u u r，所以O 为BD 的中点，所以12AOC ABC S S =△△， 因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r， 所以83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以183123||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △， 所以1233233=AOC S =⨯△. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ） A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m e >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立， 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可， 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==，令()0g x '=，得12x e -=， 当120x e -<<时，()0g x '>；当12x e ->时，()0g x '<， 所以()g x 在12(0)e -，上是单调递增，在12(,)e -+∞上是单调递减， 所以当12max ()()2e g x g e -==， 所以实数m 的取值范围是2e m >. 故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，利用作差法比较即可；对B ，利用不等式的性质判断即可；对C ，利用作差法比较即可；对D ，利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ，因为0a b >>，所以1ab>，所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=， 所以222log ()log ab b >，故A 正确；对B ，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误； 对C ，因为0a b >>，所以10b b a a a --=<，10a b a b b--=<， 所以1b aa b<<，故C 正确； 对D ，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小，不等式的性质及指数函数的单调性，属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=，由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-，联立方程可求出120a =，2d =-，即可判断A ，B 选项，求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即可判断C ，D.【详解】因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即12530a d +=，① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅， 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，整理得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错误； 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 又n *∈N ，所以当10n =或11n =时，n S 取得最大值，故C 正确；令2210n S n n =-+>，解得021n <<，又n *∈N ，所以n 的最大值为20，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等比中项的应用，同时考查等差数列和的最值问题，属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ，B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π，可判断C ；结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论，将函数()f x 的绝对值去掉，再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=++-sin ()x x f x +=，所以()f x 是以π为周期的周期函数，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()223f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π， 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；由于函数()f x 是以π为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可， 不妨取[0,]x π∈，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当32x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π， 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2， 故当[0,]x π∈时，()f x 取得最大值2，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--u u u r ，1(2,0,4)A B =-u u u r ， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ，所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =所以(1,2,1)n =r，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r，故不存在实数λ使得n λm =r u r，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题，则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ，解得22a -≤≤. 答案为：[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数，可求出当0x <时，()f x 的表达式为ln()()x f x x-=，然后根据在一点处的切线方程的求法，即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 当0x <时，则0x ->，所以ln()ln()()()x x f xf x x x--=--=-=-， 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==， 所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=， 所以切线方程是01y x -=+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，在一点处的切线方程的求法，同时考查复合函数的导数，属于中档题.16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若23AB =，则抛物线C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______．【答案】 (1). 28y x = (2). 2．【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，抛物线C 的准线方程为2px =-，则22211AO AD DO =+，即224|3|2p =+-+， 整理得212320p p -+=，解得4p =或8p =，又06p <<，所以4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合， 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线，垂足为F ，则2||||EO EF =， 所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-， 所以当M ，E ，F 三点共线时，EM EF +最小，最小值为3， 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=， 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为：①28y x =；②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，圆中的弦长公式，抛物线中的最值问题，同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈；(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一：选条件①．数列{}1n S a +也为等比数列，可根据其前3项也成等比数列列出方程，再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q，即可求出n a ；方案二：选条件②，可得11n n a S +=+()N n *∈，再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；方案三：选条件③．可得当2n ≥时，1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈，再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；(2)由(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈，代入化简可得()12n b n n =+，利用裂项相消法求和，即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】(1)方案一：选条件①． 因为数列{}1n S a +为等比数列，所以()()()2211131S a S a S a +=++，即()()2121123222a a a a a a +=++， 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =， 所以()()22222q q q+=++，解得2q =或0q =（舍）， 所以1112n n n a a q --==()N n *∈，(2)由（1）得12n n a -=()N n *∈， 所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪， 方案二：(1)选条件②．因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+()N n *∈，所以11n n a S -=+()2n ≥，两式相减得1n n n a a a +-=，12n na a +=()2n ≥， 因为11a =，211112a S a =+=+=，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2). 方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅（i ）所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅（ii ）（i ）－（ii ）得122(1)n n n a na n a +=--，即12n na a +=()2n ≥， 当1n =时，122a a =，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法，裂项相消法求和，属于基础题.18.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC V 为锐角三角形，12c =，求ABC V 面积S 的最大值.【答案】(1)4C π=；（2）)361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-，利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，进而可得cos2cos sin C C C =-，再利用二倍角公式即可求出角C ；(2)由已知可得4C π=，故要求ABC V 面积S 的最大值，只需求出ab 的最大值即可，利用余弦定理可得222144c a b ==+，再利用基本不等式即可求出ab 的最大值. 【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-， 因为()0,A π∈，sin 0A ≠，所以cos2cos sin C C C =-， 所以22cos sin cos sin C C C C -=-， 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=， 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=， 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=， ①若cos sin C C =，则4C π=，②若cos sin 10C C +-=，则sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=， 综上，4C π=或2C π=.（2）因为ABC V 为锐角三角形，所以4C π=，因为(222221442cos 224c a b ab a b ab ab π==+-=+-≥=，即(722ab ≤=（当且仅当a b =等号成立），所以()11sin sin 72236122444S ab C ab π===≤+=，即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面积公式，同时考查三角形中面积的最大值求法，属于基础题.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；6 【解析】 【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ，只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可，可证1D E ⊥底面ABCD ，由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，可得BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，从而可得1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，从而可证出1D E ⊥底面ABCD ；(2) 取AB 的中点F ，以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ，()20,,1n a =-u u r，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出1a =，再求出()11,1,1CA =-u u u r ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又1CD CC C =I ，1,CD CC ⊂平面11DCC D ， 所以BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂底面ABCD ， 所以1D E ⊥底面ABCD ，又1D E ⊂平面11CC D D ， 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD ．(2)取AB 的中点F ，因为E 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，()1,1,0B ，()10,0,D a ，()0,1,0C ，()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ，()1,1,0EB =u u u r ，()10,0,ED a =u u u u r．由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩， 令11x =可得11y =-，10z =，所以()11,1,0n =-u r，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，()1,0,0CB =u u u r ，()10,1,CC a =u u u u r． 由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π， 所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r u r u u r ，解得1a =．所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r，由于()1,1,0A -，()0,1,0C ，()0,1,0D -，()10,0,1D ，所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r， 设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin 323CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值，属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表： 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？ 附：临界值表其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.1a =，0.2b =，0.3c =，平均数9.3x =万次；(2)见解析，有；(3)见解析，1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1，可得0.6a b c ++=，再由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，再结合23c b =解方程即可求出a ，b ，c 的值；利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ；(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数，即可完成22⨯列联表，然后根据22⨯列联表求出观测值k ，查对临界值，即可作出判断；(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，根据二项分布分别求出相应的概率，即可列出分布列并求出数学期望．【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b = 又23c b =，解之得：0.3c =，0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=， 不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关， 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25， 以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0，1，2，3，4所以()400431********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P81256 2764 27128 364 1256ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，利用组中值估计平均数，独立性检验的应用，二项分布及数学期望，属于中档题.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，其左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为43．（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)304r <≤【解析】 【分析】(1)根据离心率为12，四边形1122A B A B 的面积为222a b c =+，即可求出,a b ，进而求出椭圆E 的方程；(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==，可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，可求得34r =；当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ，由根与系数的关系可求出12y y +，12y y ，代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数，利用换元法即可求出r 的取值范围． 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，因为四边形1122A B A B 的面积为1222a b ⨯⨯=又222a b c =+，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆E方程为：22143x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，则1F MN △的周长48a ==，()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，3MN =，11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22243690k y ky k ++-=，所以122643k y y k +=-+，2122943k y y k =-+，112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=，则3t >，r ===， 因为3t >，所以1103t <<，所以304r << 综上可知：304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，同时考查椭圆中的范围问题，对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△，将问题转化为求1MN F S V 的面积问题.22.已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围； （2）求证：122ln x x a +<． 【答案】(1)(),e +∞；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()x f x e ax '=-，令()()xg x f x e ax '==-，利用导数研究函数()g x 的单调性：当0a ≤时，()0xg x e a '=->，此时()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当0a >时，只需()()min ln 0g x g a =<，同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可；(2) 不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x <<，要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，而当(),ln x a ∈-∞时，函数()g x 单调递减，即证()()122ln g x g a x >-，而()()12g x g x =，即证()()222ln g x g a x >-，故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--，利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ，2x设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =．当(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >， 令()2ln a a a ϕ=-()0a >，则()221a a a aϕ-'=-=， 当()0,2a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数； 当()2,a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数； 所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=->所以()0a ϕ>，即2ln a a >，从而ln 2aa a <<，2a e a > 所以()20ag a e a =->，又因为()010g =>，所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞．(2)不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+，则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=， 当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立． 所以函数()p x 在R 上单调递增．由2ln x a >，可得()()2ln 0p x p a >=，即()()222ln 0g x g a x -->， 又因为1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，所以()()12g x g x =， 所以()()122ln g x g a x >-， 又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<， 又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减， 所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，构造函数证明不等式，同时考查极值点偏移问题，属于难题.。
2020届全国大联考高三第五次联考数学(理)试题(解析版)
2．已知全集U
R
，集合
A
x |
x3 x 1
0 ，
B
x | 2 x x2 0
，则
CU A B （ ）
A．{x | 3 x 1} B．{x |1 x 2} C．{x | 3 x 1} D．{x |1 x 2}
【答案】B
【解析】解分式不等式和一元二次不等式得集合 A, B ，然后由集合的运算法则计算．
A． 3
B． 5
C． 6
D． 7
【答案】C
【解析】根据在关于 X 4 对称的区间上概率相等的性质求解．
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【详解】
4， 3， P(X 2) P(X 4 2) P(X 4 2) P(X 6) P(X a) ，a 6 ．
故选：C． 【点睛】
本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量 X 服从正态分
80 240 96 416 ．
故选：B． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．
11．观察下列各式： x y 2 ， x2 y2 4 ， x3 y3 9 ， x4 y4 17 ，
x5 y5 31 ，x6 y6 54 ，x7 y7 92 ， ，根据以上规律，则 x10 y10 （ ）
2a 2
a
b
|a|
18 3
2
20 3
．
故选：C． 【点睛】
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里 绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①
甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远 古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上 语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)(含答案)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020年山东省新高考数学试卷(新高考)含解析
2020年⼭东省新⾼考数学试卷⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．（5分）＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，⼄场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排⽅法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天7．（5分）已知P是边⻓为2的正六边形ABCDEF内的⼀点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．34．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 5．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π 9．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22312．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(11)
2020届新高考数学模拟试题（11）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}A x x =-，则(A N = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．已知i 是虚数单位，1(1)0()a i a R +->∈，复数2z a i =-，则1||(z=)A ．15B ．5C ．5D 3．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2x f x =，则当0x >时，()(f x =)A ．2x-B ．2x-C ．2x--D ．2x4．已知a R ∈，则“01a <<”是“x R ∀∈，2210ax ax ++>”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量(1,1)a = ，(1,3)b =- ，(2,1)c =，且()//a b c λ- ，则(λ=)A ．3B ．3-C ．17D ．17-6．将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则((6f π=)A ．1B ．1-C D ．7．已知,1()(2),1lnx x f x f x k x ⎧=⎨-+<⎩，若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(-∞，1]8．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为()A ．B ．C ．5+D ．3+二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：)cm 如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A ．女生身高的极差为12B ．男生身高的均值较大C ．女生身高的中位数为165D ．男生身高的方差较小10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PE ⊥于M ，过Q 作QN PE ⊥交线段EP 的延长线于点N ，则()A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则()A ．CM 与PN 是异面直线B ．CM PN>C ．平面PAN ⊥平面11BDD B D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：)h 表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：)km 表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设24u x x =++，24v x x =+-，则()A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数13与115的和表示25等．从11111,,,,,234100101⋯这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点(1tan,1tan )1212P ππ+-是α终边上一点，则α的值是．15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D为垂足，且3||||(2FD OF O =为坐标原点），则C 的离心率为．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PC BC ⊥，AB BC ⊥，22AB BC ==，5PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为；三棱锥P ABC -外接球的表面积是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，b =4a c +=，求ABC ∆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知等比数列{}n a 满足1a ，2a ，31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2nn n a S +=．求：（1）n a ，n b ；（2）数列{}n n a b 的前项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD =3AB =，AP =，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ∠=︒，点E 满足2133PE PA PB =+ ．（1）证明：PE DC ⊥；（2）求二面角A PD E --的余弦值．20．（12分）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求1()E X （用p 表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求2()E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．21．（12分）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 过点12A ，F 为C 的右焦点，F的方程为221104x y +-+=．（1）求C 的方程；（2）若直线:(0)l y k x k =->与O 相切，与F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k - 取最大值时，直线l 的方程．22．（12分）已知函数()(2)(0f x ln x a x =+>，0)a >，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线在y 轴上的截距为233ln -．（1）求a ；（2）讨论函数()()2(0)g x f x x x =->和2()()(0)21xh x f x x x =->+的单调性；（3）设125a =，1()n n a f a +=，求证：152120(2)2n n n n a +-<-<．2020届新高考数学模拟试题（11）答案解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}A x x =-，则(A N = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}【解析】 集合{|11}A x x =-，{0A N ∴= ，1}．故选：B ．2．已知i 是虚数单位，1(1)0()a i a R +->∈，复数2z a i =-，则1||(z=)A ．15B ．5C ．55D 【解析】因为：i 是虚数单位，1(1)0()a i a R +->∈，所以：101a a -=⇒=；12z i ∴=-，则1112||||||12(12)(12)5i z i i i +===--+；故选：C ．3．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2x f x =，则当0x >时，()(f x =)A ．2x-B ．2x-C ．2x--D ．2x【解析】0x >时，0x -<，0x < 时，()2x f x =，∴当0x >时()2x f x --=-，()f x 是R 上的奇函数，∴当0x >时，())()2x f x f x -=--=-．故选：C ．4．已知a R ∈，则“01a <<”是“x R ∀∈，2210ax ax ++>”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】“x R ∀∈，2210ax ax ++>”⇔2440a a a >⎧⎨=-<⎩ ，或0a =，10>，解得01a <．∴“01a <<”是“x R ∀∈，2210ax ax ++>”的充分不必要条件．故选：A ．5．已知向量(1,1)a = ，(1,3)b =- ，(2,1)c =，且()//a b c λ- ，则(λ=)A ．3B ．3-C ．17D ．17-【解析】因为(1,13)a b λλλ-=+- ，又因为()//a b c λ-，所以1(1)2(13)710λλλ⨯+-⨯-=-=，解得17λ=，故选：C ．6．将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则((6f π=)A ．1B ．1-CD．【解析】曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到：1()cos 2y f x x =，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到：1()cos()cos 2284y f x x x ππ=--=，所以221()sin )2cos(284f x x x x ππ--=+．设128x t π-=，解得24x t π=+，所以()2cos(2)2cos(2)2sin 2442f t t t t πππ=++=+=-．所以()2sin 2f x x =-．所以3()2()62f π=⨯-=故选：D ．7．已知,1()(2),1lnx x f x f x k x ⎧=⎨-+<⎩，若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(-∞，1]【解析】由,1()(2),1lnx x f x f x k x ⎧=⎨-+<⎩，可得()(2)f x f x =-为关于1x =对称，画出1x 的图象，单调递增的，由对称得(2)f x -的图象单调递减，而(2)f x k -+是(2)f x -的图象上下平行移动得到，()1y f x =-恰有一个零点即是()1f x =的根，所以可得1k ，故选：B ．8．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为()A ．B ．C ．5+D ．3+【解析】因为线1:0l kx y +=恒过定点(0,0)O ，直线2:220l x ky k -+-=恒过定点(2,2)C 且12l l ⊥，故两直线的交点A 在以OC 为直径的圆上，且圆的方程22:(1)(1)2D x y -+-=，要求||AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找一点A ，在22:(2)(3)2E x y +++=上找一点B ，使AB 最大，5=，则||5max AB =+故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：)cm 如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A ．女生身高的极差为12B ．男生身高的均值较大C ．女生身高的中位数为165D ．男生身高的方差较小【解析】A 、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差17316112=-=，故本选项符合题意；B 、男生身高的数据在167~192之间，女生身高数据在161~173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C 、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D 、抽取的学生中，男生身高的数据在167~192之间，女生身高数据在161~173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．故选：AB ．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PE ⊥于M ，过Q 作QN PE ⊥交线段EP 的延长线于点N ，则()A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【解析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得||||PF PE =，即A 正确；PQ 为EPF ∠的外角平分线，所以FPQ NPQ ∠=∠，又//EP FQ ，所以NPQ PQF ∠=∠，所以FPQ PQF ∠=∠，所以||||PF QF =，所以B 正确；连接EF ，由上面可得：PE PF QF ==，//PE FQ ，所以四边形EFQP 为平行四边形，所以EF PQ =，//EF PQ所以EFK PQF QPN ∠=∠=∠，在EFK ∆中，cos KF EF EFK =∠ ，PQN ∆中，cos PN PQ QPN =∠ ，所以FK PN =；所以D 正确；C 中，若PN MF =，而PM PN =，所以M 是PF 的中点，PM PF ⊥，所以PQ FQ =，由上面可知PQF ∆为等边三角形，即60PFQ ∠=︒，而P 为抛物线上任意一点，所以PFQ ∠不一定为60︒，所以C 不正确；故选：ABD ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则()A ．CM 与PN 是异面直线B ．CM PN>C ．平面PAN ⊥平面11BDD B D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形【解析】A ．ANCPM 共面，因此CM 与PN 不是异面直线，不正确；B ．CM AC = ，11PN A N AA AB <===<，因此CM PN >，因此正确．C ．AN BD ⊥ ，1AN BB ⊥，1BD BB B = ，AN ∴⊥平面11BDD B ，∴平面PAN ⊥平面11BDD B ，因此正确；D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面与11C D 相交于点Q ，则//AC PQ ，且PQ AC <，因此一定是等腰梯形，正确．故选：BCD ．12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：)h 表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：)km 表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设u x +，v x ，则()A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h【解析】 u x =+，v x ，∴)4uv x x =+=，∴4v u=，是减函数，故选项A 正确，由题意可知：1235xt -=+，012x ，∴153(12)336)4)36436t x x x x u v =+-=-+=++-+=+-，15436t u v ∴--，故选项B 错误，1235x t -=+，012x ，∴1135t '=-=，令0t '=得，32x =，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0t '<，()t x 单调递减；当3(,12)2x ∈时，0t '>，()t x 单调递增，∴当32x =时，()t x 最小，且最短时间为4415h ，故选项C 正确，当4x =时，8335t =+>，故选项D 错误，故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数13与115的和表示25等．从11111,,,,,234100101⋯这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是12，13，16．（按照从大到小的顺序排列）【解析】1111236++=，∴这三个分数是：111,,236，故答案为：111,,236．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点(1tan,1tan )1212P ππ+-是α终边上一点，则α的值是6π．【解析】 点(1tan,1tan 1212P ππ+-是α终边上一点，21sin 1tancos sin (cos sin )361212121212tan 31tan cos sin (cos sin sin )cos 121212*********ππππππαππππππππ----∴=====+++-，0126ππ<<，可得tan tan 126ππ<=，可得1tan 1012π->->，又02απ<< ，可得012πα<<，6πα∴=．故答案为：6π．15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D为垂足，且|||(FD OF O =为坐标原点），则C 的离心率为2．【解析】如图，F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，FD 与直线by x a =垂直，垂足为D ，3||||2FD OF =，则60DOF ∠=︒，可得tan 60ba=︒=，得223b a=，2c e a∴==．故答案是：2．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PC BC ⊥，AB BC ⊥，22AB BC ==，PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为45︒；三棱锥P ABC -外接球的表面积是．【解析】取PB 的中点O ，AC 的中点D ，连接BD 并延长至点E ，使得BD DE =，连接AE ，PE ，OD ，如图所示：PAB ∆ 和PCB ∆是同斜边的直角三角形，∴三棱锥P ABC -外接球的球心为PB 的中点，又 PB ==，∴三棱锥P ABC -外接球的半径1622R PB ==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为：24()62ππ⨯=，AB BC ⊥ ，∴点D 为ABC ∆的外接圆圆心，OD ∴⊥平面ABC ，又 点D 是BE 的中点，点O 是PB 的中点，PE OD ∴⊥，PE ∴⊥平面ABC ，PAE ∴∠为PA 与平面ABC 所成角的平面角，在Rt OBD ∆中，12OD ==，21PE OD ∴==，在Rt PAB ∆中，PA =，∴在Rt PAE ∆中，2sin2PE PAE PA ∠===，45PAE ∴∠=︒，故答案为：045，6π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足①，b =4a c +=，求ABC ∆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】①cos )sin b C a c B -=”，则由正弦定理，得cos sin )sin sin B C A C B -=．由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =．由0C π<<，得sin 0C ≠．所以sin B B =．又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =．又0B π<<，得23B π=．由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =，所以11sin 4222ABC S ac B ∆==⨯⨯=；②若在横线上填写“22cos a c b C +=”，则由正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C +=，由2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，由0C π<<，得sin 0C ≠，所以1cos 2B =-，又(0,)B π∈，所以23B π=，由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =，所以11sin 422ABC S ac B ∆==⨯⨯；③若在横线上填写“sin sin 2A Cb A +=”，则由正弦定理，得sin sin sin 2A CB A A +=，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以sin 22B BB π-==，所以2sincos 222B B B=，又0B π<<，所以022B π<<，所以cos 02B≠，所以3sin22B =，所以23B π=，即23B π=，由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =，所以11sin 422ABC S ac B ∆==⨯⨯；18．（12分）已知等比数列{}n a 满足1a ，2a ，31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2nn n a S +=．求：（1）n a ，n b ；（2）数列{}n n a b 的前项和n T ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．因为1a ，2a ，31a a -成等差数列，所以21312()a a a a =+-，即232a a =．因为20a ≠，所以222a q a ==．因为134a a a =，所以4132a a q a ===．因此112n n n a a q -==．由题意，2(1)log (1)22n n n a n nS ++==．所以111b S ==，1223b b S +==，从而22b =．所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=．所以1(1)1(1)1n b b n d n n =+-=+-= ．（2）令n n n c a b =，则2n n c n = ．因此123112122232(1)22n n n n T c c c n n -=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+-+ ．又23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+ 两式相减得2311111222222222222(1)2212n nn n n n n n T n n n n +++++--=+++⋯+-=-=--=--- ．所以1(1)22n n T n +=-+ ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD =3AB =，AP =，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ∠=︒，点E 满足2133PE PA PB =+ ．（1）证明：PE DC ⊥；（2）求二面角A PD E --的余弦值．【解答】（1）证明：在Rt PAB ∆中，由勾股定理，得PB =．因为2133PE PA PB =+，AB PB PA =- ，所以222221211211()()0033333333PE AB PA PB PB PA PA PB PA PB =+-=-++=-⨯+⨯+⨯= ，所以PE AB ⊥，因为AD ⊥平面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以PE AD ⊥，又因为PE AB ⊥，AB AD A = ，所以PE ⊥平面ABCD ，又因为DC ⊂平面ABCD ，所以PE DC ⊥；（2）由2133PE PA PB =+，得2EB AE = ．所以点E 是靠近点A 的线段AB 的三等分点．所以113AE AB ==．分别以AB ，AD所在方向为y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(0A ，0，0)，D ，(0E ，1，0)，P ，设平面PDE 的法向量为(m a =，b ，)c，(0,EP ED ==- 由00m EP m ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00b =-+=⎪⎩令1c =，则(0,m =-，设平面APD 的法向量为(n x =，y ，)z，AP =，AD = ，由00n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00y +==⎪⎩，令1x =，则(1,n =，设向量夹角为θ，则cos ||||m nm n θ==-所以二面角A PD E --20．（12分）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求1()E X （用p 表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求2()E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．【解析】（1）由题意1~(20,)X B p ，则盈利的天坑院数的均值1()20E X p =．（2）若投资项目二，则2X 的分布列为：2X 2 1.2-PP1p-盈利的均值2()2 1.2(1) 3.2 1.2E X p p p =--=-．（3）若盈利，则每个天坑院盈利0.240%0.08⨯=（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为11(0.08)0.08()0.0820 1.6E X E X p p ==⨯=（百万元）．2211(0.08)0.08()0.0820(1)0.128(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，222()(2 3.2 1.2)(1.2 3.2 1.2)(1)10.24(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当12(0.08)()E X E X =时，1.6 3.2 1.2p p =-，解得34p =．12(0.08)()D X D X <．故选择项目一．②当12(0.08)()E X E X >时，1.6 3.2 1.2p p >-，解得304p <<．此时选择项一．③当12(0.08)()E X E X <时，1.6 3.2 1.2p p <-，解得34p >．此时选择项二．21．（12分）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C过点12A ，F 为C 的右焦点，F的方程为221104x y +-+=．（1）求C 的方程；（2）若直线:(0)l y k x k =->与O 相切，与F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k - 取最大值时，直线l 的方程．【解析】（1）解：设C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题设知223114a b+=①因为F的标准方程为221(4x y +=，所以F的坐标为，半径12r =．设左焦点为1F ，则1F的坐标为(．由椭圆定义，可得12||||a AF AF =+=由①②解得2a =，1b =．所以C 的方程为2214x y +=．（2）由题设可知，M 在C 外，N 在C 内，P 在F 内，Q 在F 外，在直线l 上的四点满足||||||MP MN NP =-，||||||NQ PQ NP =-．由22(14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y得2222(14)1240k x x k +-+-=因为直线l 过椭圆C 内的右焦点F ，所以该方程的判别式△0>恒成立．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 由韦达定理，得21228314x x k +=+，212212414k x x k -=+．2244||41kPQk+=+又因为F的直径||1MN=，所以23 ||||||||(||||)||||||141 NQ MP PQ NP MN NP PQ MN PQk-=---=-=-=+．(y k x=-可化为0kx y--=．因为l与O相切，所以O的半径R=，所以2223()1kS k Rkππ==+．所以22224222999(||||)()1(41)(1)45145k kNQ MP S kk k k k kkππππ-===++++++．当且仅当2214kk=，即2k=时等号成立．因此，直线l的方程为y x=-．22．（12分）已知函数()(2)(0f x ln x a x=+>，0)a>，曲线()y f x=在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为233ln-．（1）求a；（2）讨论函数()()2(0)g x f x x x=->和2()()(0)21xh x f x xx=->+的单调性；（3）设125a =，1()n n a f a +=，求证：152120(2)2n n n n a +-<-<．【解析】（1）对()(2)f x ln x a =+求导，得2()2f x x a'=+．因此2(1)2f a'=+．又因为f （1）(2)ln a =+，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）处的切线方程为2(2)(1)2y ln a x a-+=-+，即22(2)22y x ln a a a=++-++．由题意，22(2)323ln a ln a +-=-+．显然1a =，适合上式．令2()(2)(0)2a ln a a a ϕ=+->+，求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++，因此ϕ（a ）为增函数：故1a =是唯一解．（2）由（1）可知，()(21)2(0)g x ln x x x =+->，2()(21)(0)21xh x ln x x x =+->+，因为24()202121xg x x x '=-=-<++，所以()()2(0)g x f x x x =->为减函数．因为22224()021(21)(21)xh x x x x '=-=>+++，所以2()()(0)12xh x f x x x=->+为增函数．（3）证明：由125a =，1()(21)n n n a f a ln a +==+，易得152120.225n n n n n n a a a +-><-⇔<由（2）可知，()()2(21)2g x f x x ln x x =-=+-在(0,)+∞上为减函数．因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <．令1(2)n x a n -=，得11()2n n f a a --<，即12n n a a -<．因此，当2n 时，2112122225nn n n n a a a a ---<<<⋯<=．所以152122n n na +-<-成立．下面证明：120na -<．方法一：由（2）可知，22()()(21)2121x xh x f x ln x x x =-=+-++在(0,)+∞上为增函数．因此，当0x >时，()(0)0h x h >=，即2()021xf x x >>+．因此111()2f x x<+，即1112(2)()2f x x-<-．令1(2)n x a n -=，得111112(2)()2n n f a a ---<-，即11112(2)2n n a a --<-．当2n =时，2111111222222() 1.8()5n a a f a ln f -=-=-=-=-．因为11.82ln >>=，所以1201.8ln -<，所以2120a -<．所以，当3n 时，2212211111112(2)(2)(2)0222n n n n a a a a ----<-<-<⋯<-<．所以，当2n 时，120na -<成立．综上所述，当2n 时，1521202n n na +-<-<成立．方法二：2n 时，因为0n a >，所以1112022n n n a a a -<⇔<⇔>．下面用数学归纳法证明：2n 时，12n a >．①当2n =时，2112()(21)(21) 1.85a f a ln a ln ln ==+=⨯+=．而2211.8 1.8 1.8 1.82 3.2422a ln ln =>⇔>⇔>⇔>⇔>，因为3.242>，所以212a >．可见2n =，不等式成立．②假设当(2)n k k =时不等式成立，即12k a >．当1n k =+时，1()(21)n k k k a a f a ln a +===+．因为12k a >，()(21)f x ln x =+是增函数，所以11(21)(21)22k k a ln a ln ln +=+>⨯+=．要证112k a +>，只需证明122ln >．而2212222422ln ln >⇔>⇔>⇔>⇔>，因为42>，所以122ln >．所以112k a +>．可见，1n k =+时不等式成立．由①②可知，当2n 时，12n a >成立．。
2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(五) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析 因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析 与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析 因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析 由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析 设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析 解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析 由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2， 因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析 令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析 由题设得抛物线方程为y 2＝8x ， 设P 点坐标为P (x ，y )， 则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， 所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分 用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分 且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2， 而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值． 解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分 因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。
山东省青岛市2020届高三数学5月模拟检测试题(含解析)
山东省青岛市2020届高三数学5月模拟检测试题（含解析）一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =（ ）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞ D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ，B 化简，再求出UA ，根据交集的定义即可得到答案.【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤，{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥，所以(){|1UA B x x ⋂=<或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>．故选：B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法，属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i =(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =，从而可得z =，再根据复数的乘除运算即可求出复数z ，再根据共轭复数的定义，求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i -=得)2i z ==，所以)1422i z i ===+，所以312z i =-，所以z 的虚部为12-.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的模，复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念，属于基础题. 3.已知向量()1cos ,2a x =+，()sin ,1b x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b ，则sin x =（ ） A.45B.35C.25D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b ，所以1cos 2sin 0x x +-=，所以cos 2sin 1x x =-， 又因为22sin cos 1x x +=，所以22sin (2sin 1)1x x +-=， 即25sin 4sin 0x x -=，解得4sin 5x =或sin 0x =，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以4sin 5x =. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题. 4.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可．【详解】当0x =时，对于A ，()00sin sin20y e e =+=>，故排除A ；对于B ，()00sin 0y e e=-=，故排除B ； 对于C ，()00tan 0y e e=-=，故排除C ；对于D ，()00cos cos20y e e =+=<，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系，可利用从函数图象上的特殊点，排除不合要求的解析式．5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ） A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案. 【详解】从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有36个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)， (4,4)，(5,5)，(6,6)，共14个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ）A. 229x y +=B. 227xy +=C. 225x y +=D.224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227xy +=.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题. 7.已知O 是ABC 内部一点，20OA OB OC ++=，4BA BC ⋅=且6ABC π∠=，则OAC的面积为（ ） A.3 B.23C.23D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=可得1()2BO OA OC =+，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+，可得BO OD =，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=可得83||||BA BC ⋅=，再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出ABCS.【详解】在ABC 中，由20OA OB OC ++=，得22OA OC OB BO +=-=， 所以1()2BO OA OC =+，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+， 所以BO OD =，所以O 为BD 的中点，所以12AOC ABC S S =△△，因为4BA BC ⋅=，所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=，所以83||||3BA BC ⋅=， 所以11||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=△， 所以1233=AOC S =⨯△. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题.8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ）A. m e >B. 2e m >C. 1mD. m >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立， 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可， 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==，令()0g x '=，得12x e -=， 当120x e -<<时，()0g x '>；当12x e ->时，()0g x '<， 所以()g x 在12(0)e -，上是单调递增，在12(,)e -+∞上是单调递减，所以当12max ()()2e g x g e -==， 所以实数m 的取值范围是2e m >. 故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，利用作差法比较即可；对B ，利用不等式的性质判断即可；对C ，利用作差法比较即可；对D ，利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ，因为0a b >>，所以1ab>， 所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=， 所以222log ()log ab b >，故A 正确； 对B ，当0c时，22ac bc >不成立，故B 错误；对C ，因为0a b >>，所以10b b a a a --=<，10a b a b b--=<， 所以1b aa b<<，故C 正确； 对D ，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小，不等式的性质及指数函数的单调性，属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=，由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-，联立方程可求出120a =，2d =-，即可判断A ，B 选项，求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即可判断C ，D.【详解】因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即12530a d +=，① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅， 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，整理得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错误； 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 又n *∈N ，所以当10n =或11n =时，n S 取得最大值，故C 正确；令2210n S n n =-+>，解得021n <<，又n *∈N ，所以n 的最大值为20，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等比中项的应用，同时考查等差数列和的最值问题，属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ，B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π，可判断C ；结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论，将函数()f x 的绝对值去掉，再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=++-sin ()x x f x +=，所以()f x 是以π为周期的周期函数，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭π， 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；由于函数()f x 是以π为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可， 不妨取[0,]x π∈，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当32x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，13()3cos sin 2sin cos 2sin()223f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭π， 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2， 故当[0,]x π∈时，()f x 取得最大值2，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积. 三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题，则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤，解得22a -≤≤.答案为：[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数，可求出当0x <时，()f x 的表达式为ln()()x f x x-=，然后根据在一点处的切线方程的求法，即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 当0x <时，则0x ->，所以ln()ln()()()x x f x f x x x--=--=-=-， 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==， 所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=， 所以切线方程是01y x -=+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，在一点处的切线方程的求法，同时考查复合函数的导数，属于中档题.16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若AB =C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______．【答案】 (1). 28y x = (2). 2． 【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，抛物线C 的准线方程为2px =-，则22211AO AD DO =+，即224(3)|3|2p =+-+， 整理得212320p p -+=，解得4p =或8p =，又06p <<，所以4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合， 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线，垂足为F ，则2||||EO EF =， 所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-， 所以当M ，E ，F 三点共线时，EM EF +最小，最小值为3， 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=， 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为：①28y x =；②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，圆中的弦长公式，抛物线中的最值问题，同时考查数形结合思想和转化与化归思想. 四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈；(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一：选条件①．数列{}1n S a +也为等比数列，可根据其前3项也成等比数列列出方程，再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q ，即可求出na ；方案二：选条件②，可得11n n a S +=+()N n *∈，再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；方案三：选条件③．可得当2n ≥时，1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈，再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；(2)由(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈，代入化简可得()12n b n n =+，利用裂项相消法求和，即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】(1)方案一：选条件①． 因为数列{}1n S a +为等比数列，所以()()()2211131S a S a S a +=++，即()()2121123222a a a a a a +=++， 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =， 所以()()22222q q q+=++，解得2q或0q =（舍），所以1112n n n a a q --==()N n *∈，(2)由（1）得12nn a ()N n *∈，所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪， 方案二：(1)选条件②．因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+()N n *∈，所以11n n a S -=+()2n ≥，两式相减得1n n n a a a +-=，12n na a +=()2n ≥， 因为11a =，211112a S a =+=+=，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2). 方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅（i ）所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅（ii ）（i ）－（ii ）得122(1)n n n a na n a +=--，即12n na a +=()2n ≥， 当1n =时，122a a =，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法，裂项相消法求和，属于基础题.18.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC 为锐角三角形，12c =，求ABC 面积S 的最大值. 【答案】(1)4C π；（2）)361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-，利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，进而可得cos2cos sin C C C =-，再利用二倍角公式即可求出角C ；(2)由已知可得4Cπ，故要求ABC 面积S 的最大值，只需求出ab 的最大值即可，利用余弦定理可得222144c a b ==+，再利用基本不等式即可求出ab 的最大值. 【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-， 因为()0,A π∈，sin 0A ≠，所以cos2cos sin C C C =-， 所以22cos sin cos sin C C C C -=-， 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=， 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=， 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=，①若cos sin C C =，则4Cπ，②若cos sin 10C C +-=，则2sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=， 综上，4Cπ或2C π=.（2）因为ABC 为锐角三角形，所以4C π，因为()222221442cos 222224c a b ab a b ab ab ab ab π==+-=+-≥-=-，即()722222ab ≤=+-（当且仅当a b =等号成立），所以()()1122sin sin 7222362122444S ab C ab ab π===≤⨯+=+，即ABC 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面积公式，同时考查三角形中面积的最大值求法，属于基础题.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；6 【解析】【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ，只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可，可证1D E ⊥底面ABCD ，由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，可得BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，从而可得1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，从而可证出1D E ⊥底面ABCD ；(2) 取AB 的中点F ，以1{,,}EF EC ED 为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-，()20,,1n a =-，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出1a =，再求出()11,1,1CA =-，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，由12sin cos CA n =〈⋅〉θ即可求出答案. 【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形， 所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又1CDCC C =，1,CD CC ⊂平面11DCC D ，所以BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂底面ABCD ， 所以1D E ⊥底面ABCD ，又1D E ⊂平面11CC D D ， 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD ．(2)取AB 的中点F ，因为E 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，()1,1,0B ，()10,0,D a ，()0,1,0C ，()10,2,C a 设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =，()1,1,0EB =，()10,0,ED a =．由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得11y =-，10z =，所以()11,1,0n =-，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =，()1,0,0CB =，()10,1,CC a =．由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，所以()20,,1n a =-由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212cos ,cos32n n n n n n π⋅===⋅，解得1a =．所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-，由于()1,1,0A -，()0,1,0C ，()0,1,0D -，()10,0,1D ，所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则1212sin 32CA n CA n θ⋅===⋅． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值，属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表： 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地 总计试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？ 附：临界值表()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.1a =，0.2b =，0.3c =，平均数9.3x =万次；(2)见解析，有；(3)见解析，1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1，可得0.6a b c ++=，再由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，再结合23c b =解方程即可求出a ，b ，c 的值；利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ；(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数，即可完成22⨯列联表，然后根据22⨯列联表求出观测值k ，查对临界值，即可作出判断；(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，根据二项分布分别求出相应的概率，即可列出分布列并求出数学期望．【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b = 又23c b =，解之得：0.3c =，0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=， 不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关， 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25， 以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0，1，2，3，4所以()400431********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，利用组中值估计平均数，独立性检验的应用，二项分布及数学期望，属于中档题.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，其左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为43．（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)304r <≤ 【解析】 【分析】 (1)根据离心率为12，四边形1122A B A B 的面积为43222a b c =+，即可求出,a b ，进而求出椭圆E 的方程；(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==，可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，可求得34r =；当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ，由根与系数的关系可求出12y y +，12y y ，代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△()2122112142F F y y y y =+-k 的函数，利用换元法即可求出r 的取值范围． 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==， 因为四边形1122A B A B的面积为1222a b ⨯⨯= 又222a b c =+，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆E的方程为：22143x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，则1F MN △的周长48a ==，()111142F MN S F M FN MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，3MN =，11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22243690k y ky k ++-=，所以122643k y y k +=-+，2122943k y y k =-+，112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△ 1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=，则3t >，r ===， 因为3t >，所以1103t <<，所以304r << 综上可知：304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，同时考查椭圆中的范围问题，对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△，将问题转化为求1MNF S的面积问题.22.已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围；（2）求证：122ln x x a +<． 【答案】(1)(),e +∞；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()xf x e ax '=-，令()()xg x f x e ax '==-，利用导数研究函数()g x 的单调性：当0a ≤时，()0xg x e a '=->，此时()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当0a >时，只需()()min ln 0g x g a =<，同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可；(2) 不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x <<，要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，而当(),ln x a ∈-∞时，函数()g x 单调递减，即证()()122ln g x g a x >-，而()()12g x g x =，即证()()222ln g x g a x >-，故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--，利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ，2x设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =．当(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >， 令()2ln a a a ϕ=-()0a >，则()221a a a aϕ-'=-=， 当()0,2a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数； 当()2,a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数； 所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=-> 所以()0a ϕ>，即2ln a a >，从而ln 2aa a <<，2a e a > 所以()20ag a e a =->，又因为()010g =>，所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞．(2)不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+，则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=， 当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立． 所以函数()p x 在R 上单调递增．由2ln x a >，可得()()2ln 0p x p a >=，即()()222ln 0g x g a x -->， 又因为1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，所以()()12g x g x =， 所以()()122ln g x g a x >-， 又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减， 所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，构造函数证明不等式，同时考查极值点偏移问题，属于难题.。
精品解析：2020届山东省青岛市高三5月模拟检测数学试题(解析版)
山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =I ð（ ）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ，B 化简，再求出U A ð，根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤，{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥，所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>． 故选：B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法，属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i =(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =，从而可得z =，再根据复数的乘除运算即可求出复数z ，再根据共轭复数的定义，求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i =得)2i z ==，所以12z i ===，所以3122z i =-，所以z 的虚部为12-.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的模，复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ，()sin ,1b x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b rr ，则sin x =（ ）A.45B.35C.25D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x . 【详解】因为//a b r r，所以1cos 2sin 0x x +-=，所以cos 2sin 1x x =-， 又因为22sin cos 1x x +=，所以22sin (2sin 1)1x x +-=， 即25sin 4sin 0x x -=，解得4sin 5x =或sin 0x =，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以4sin 5x =. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题.4.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e-=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可．【详解】当0x =时，对于A ，()00sin sin20y e e =+=>，故排除A ；对于B ，()00sin 0y e e=-=，故排除B ； 对于C ，()00tan 0y e e=-=，故排除C ；对于D ，()00cos cos20y e e =+=<，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系，可利用从函数图象上的特殊点，排除不合要求的解析式．5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ） A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 【分析】基本事件的总数有6636⨯=种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案.【详解】从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有36个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共14个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C的蒙日圆方程为（ ） A. 229x y += B.227x y += C. 225x y += D. 224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点，20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=，则OAC V 的面积为（ ）A.3B.23C.D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ，可得BO OD =u u u r u u u r ，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ，再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u uu r u u u r △即可求出ABC S V . 【详解】在ABC V 中，由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r，所以BO OD =u u u r u u u r，所以O 为BD 的中点，所以12AOC ABC S S =△△， 因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以83||||BA BC ⋅=u u u r u u u r， 所以183123||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △， 所以133233AOC S =⨯△.故选：A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ） A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立， 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可， 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==，令()0g x '=，得12x e -=， 当120x e -<<时，()0g x '>；当12x e ->时，()0g x '<， 所以()g x 在12(0)e -，上是单调递增，在12(,)e -+∞上是单调递减， 所以当12max ()()2e g x g e -==， 所以实数m 取值范围是2e m >. 故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，利用作差法比较即可；对B ，利用不等式的性质判断即可；对C ，利用作差法比较即可；对D ，利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ，因为0a b >>，所以1ab>， 所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=， 所以222log ()log ab b >，故A 正确；对B ，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误； 对C ，因为0a b >>，所以10b b a a a --=<，10a b a b b--=<， 所以1b aa b<<，故C 正确； 对D ，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小，不等式的性质及指数函数的单调性，属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N*∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=，由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-，联立方程可求出120a =，2d =-，即可判断A ，B 选项，求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即可判断C ，D.【详解】因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即12530a d +=，① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅， 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，整理得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错误； 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 又n *∈N ，所以当10n =或11n =时，n S 取得最大值，故C 正确；令2210n S n n =-+>，解得021n <<，又n *∈N ，所以n 的最大值为20，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等比中项的应用，同时考查等差数列和的最值问题，属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ，B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π，可判断C ；结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论，将函数()f x 的绝对值去掉，再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=+=+-sin ()x x f x =+=，所以()f x 是以π为周期的周期函数，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭π， 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；由于函数()f x 是以π为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可， 不妨取[0,]x π∈，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当32x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π， 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2， 故当[0,]x π∈时，()f x 取得最大值2，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--u u u r ，1(2,0,4)A B =-u u u r ， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ，所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =所以(1,2,1)n =r，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r，故不存在实数λ使得n λm =r u r，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题，则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ，解得22a -≤≤. 答案为：[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数，可求出当0x <时，()f x 的表达式为ln()()x f x x-=，然后根据在一点处的切线方程的求法，即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 当0x <时，则0x ->，所以ln()ln()()()x x f x f x x x--=--=-=-， 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==， 所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=，所以切线方程是01y x -=+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，在一点处的切线方程的求法，同时考查复合函数的导数，属于中档题.16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若23AB =，则抛物线C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______． 【答案】 (1). 28y x = (2). 2． 【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，抛物线C 的准线方程为2px =-，则22211AO AD DO =+，即224(3)|3|2p =+-+， 整理得212320p p -+=，解得4p =或8p =，又06p <<，所以4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合， 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线，垂足为F ，则2||||EO EF =， 所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-，所以当M ，E ，F 三点共线时，EM EF +最小，最小值为3， 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=， 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为：①28y x =；②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，圆中的弦长公式，抛物线中的最值问题，同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈；(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一：选条件①．数列{}1n S a +也为等比数列，可根据其前3项也成等比数列列出方程，再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q ，即可求出n a ；方案二：选条件②，可得11n n a S +=+()N n *∈，再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212aa =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；方案三：选条件③．可得当2n ≥时，1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈，再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；(2)由(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈，代入化简可得()12n b n n =+，利用裂项相消法求和，即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】(1)方案一：选条件①． 因为数列{}1n S a +为等比数列，所以()()()2211131S a S a S a +=++，即()()2121123222a a a a a a +=++， 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =， 所以()()22222q q q+=++，解得2q =或0q =（舍）， 所以1112n n n a a q --==()N n *∈， (2)由（1）得12n n a -=()N n *∈，所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪， 方案二：(1)选条件②．因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+()N n *∈，所以11n n a S -=+()2n ≥，两式相减得1n n n a a a +-=，12n na a +=()2n ≥， 因为11a =，211112a S a =+=+=，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以1112n n n a a q --==()N n *∈ (2)同方案一的(2). 方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅（i ）所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅（ii ）（i ）－（ii ）得122(1)n n n a na n a +=--，即12n na a +=()2n ≥， 当1n =时，122a a =，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈ (2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法，裂项相消法求和，属于基础题.18.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC V 为锐角三角形，12c =，求ABC V 面积S 的最大值. 【答案】(1)4C π=；（2）)361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-，利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，进而可得cos2cos sin C C C =-，再利用二倍角公式即可求出角C ；(2)由已知可得4C π=，故要求ABC V 面积S 的最大值，只需求出ab的最大值即可，利用余弦定理可得222144c a b ==+，再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，因为()0,A π∈，sin 0A ≠，所以cos2cos sin C C C =-， 所以22cos sin cos sin C C C C -=-， 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=， 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=， 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=， ①若cos sin C C =，则4C π=，②若cos sin 10C C +-=，则2sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=， 综上，4C π=或2C π=.（2）因为ABC V 为锐角三角形，所以4C π=，因为()222221442cos 222224c a b ab a b ab ab ab ab π==+-=+-≥-=-，即()722222ab ≤=+-（当且仅当a b =等号成立），所以()()1122sin sin 7222362122444S ab C ab ab π===≤⨯+=+，即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面积公式，同时考查三角形中面积的最大值求法，属于基础题.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；【解析】 【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ，只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可，可证1D E ⊥底面ABCD ，由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，可得BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，从而可得1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，从而可证出1D E ⊥底面ABCD ；(2) 取AB 的中点F ，以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ，()20,,1n a =-u u r ，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出1a =，再求出()11,1,1CA =-u u u r，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又1CD CC C =I ，1,CD CC ⊂平面11DCC D ， 所以BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂底面ABCD ， 所以1D E ⊥底面ABCD ，又1D E ⊂平面11CC D D ， 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD ．(2)取AB 的中点F ，因为E 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，()1,1,0B ，()10,0,D a ，()0,1,0C ，()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ，()1,1,0EB =u u u r ，()10,0,ED a =u u u u r．由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得11y =-，10z =，所以()11,1,0n =-u r，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，()1,0,0CB =u u u r ，()10,1,CC a =u u u u r．由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π， 所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r ur u u r ， 解得1a =．所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r，由于()1,1,0A -，()0,1,0C ，()0,1,0D -，()10,0,1D ，所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r， 设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin 23CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值，属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表： 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地 总计试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？ 附：临界值表()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)0.1a =，0.2b =，0.3c =，平均数9.3x =万次；(2)见解析，有；(3)见解析，1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1，可得0.6a b c ++=，再由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，再结合23c b =解方程即可求出a ，b ，c 的值；利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ；(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数，即可完成22⨯列联表，然后根据22⨯列联表求出观测值k ，查对临界值，即可作出判断；(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，根据二项分布分别求出相应的概率，即可列出分布列并求出数学期望．【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b = 又23c b =，解之得：0.3c =，0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=， 不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关， 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25， 以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0，1，2，3，4所以()40043181044256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，利用组中值估计平均数，独立性检验的应用，二项分布及数学期望，属于中档题.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，其左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为43．（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)304r <≤【解析】 【分析】 (1)根据离心率为12，四边形1122A B A B 的面积为3222a b c =+，即可求出,a b ，进而求出椭圆E 的方程；(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==，可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，可求得34r =；当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ，由根与系数的关系可求出12y y +，12y y ，代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数，利用换元法即可求出r 的取值范围． 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==， 因为四边形1122A BA B 的面积为1222a b ⨯⨯= 又222a b c =+，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆E的方程为：22143x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，则1F MN △的周长48a ==，()111142F MN S F M FN MN r r =++=△，即114F MN r S=△， 当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，3MN =，11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22243690k y ky k ++-=，所以122643k y y k +=-+，2122943k y y k =-+，112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△ 1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=，则3t >，r ===， 因为3t >，所以1103t <<，所以304r <<综上可知：304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，同时考查椭圆中的范围问题，对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△，将问题转化为求1MN F S V 的面积问题. 22.已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围； （2）求证：122ln x x a +<． 【答案】(1)(),e +∞；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()xf x e ax '=-，令()()xg x f x e ax '==-，利用导数研究函数()g x 的单调性：当0a ≤时，()0x g x e a '=->，此时()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当0a >时，只需()()min ln 0g x g a =<，同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可；(2) 不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x <<，要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，而当(),ln x a ∈-∞时，函数()g x 单调递减，即证()()122ln g x g a x >-，而()()12g x g x =，即证()()222ln g x g a x >-，故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--，利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ，2x设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =．当(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >， 令()2ln a a a ϕ=-()0a >，则()221a a a aϕ-'=-=， 当()0,2a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数； 当()2,a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数； 所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=-> 所以()0a ϕ>，即2ln a a >，从而ln 2aa a <<，2a e a > 所以()20ag a e a =->，又因为()010g =>，所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞．(2)不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+，则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=， 当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立． 所以函数()p x 在R 上单调递增．由2ln x a >，可得()()2ln 0p x p a >=，即()()222ln 0g x g a x -->， 又因为1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，所以()()12g x g x =， 所以()()122ln g x g a x >-， 又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<， 又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减， 所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，构造函数证明不等式，同时考查极值点偏移问题，属于难题.。
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
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2020年新高考数学第五次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜14．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．36．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．178．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）二、多项选择题（共4小题）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a ＝．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（结果用区间表示）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ面积取得最大值时，求直线l的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]【分析】先求集合B，再求并集．解：∵B＝{x|x2﹣3x≤0}，∴B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝[﹣2，3]，故选：A．2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜1【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x＜1，故选：C．4．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：1【分析】如图所示，由＝+，可得＝．即可得出△ABP的面积与△ABC的面积之比．解：如图所示，∵＝+，＝．∴△ABP的面积与△ABC的面积之比＝＝．故选：C．5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】求出B的坐标，利用已知条件列出a、c关系，然后求解离心率即可．解：由题意可得A（a，0），双曲线的渐近线方程为：ay±bx＝0，不妨设B点为直线x ＝a与y＝的交点，则B点的坐标（a，b），因为AB⊥FB，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝，解得e＝2．故选：C．6．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则：SD＝，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R＝所以：S＝4π•R2＝4．故选：D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．17【分析】化简函数的解析式，利用数列的和求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．解：f（x）＝sin2x+cos x+1，由，得a n＝2na﹣a+b，{a n}为等差数列，a1+a17＝2a9＝π，y1+y17＝f（a1）+f（a17）＝sin2a1+cos a1+1+sin2a17+cos a17+1＝sin2a1+cos a1+1+sin（2π﹣2a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，数列{y n}的前17项和为2×8+1＝17．故选：D．8．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）【分析】根据所给函数f（x），画出函数图象，根据g（x）＝mx及y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围．解：由题意，画出函数f（x）＝的图象如下图所示：f（x）﹣2g（x）恰有三个零点即f（x）＝2g（x）有三个不同交点，即f（x）＝2mx有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在k OA，k OB之间时，有三个交点即k OA＜2m＜k OB所以﹣可得故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数g（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f（x）＝2sin （x+）的图象．或者先将g（x）＝2sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin（x﹣）的图象，再向左平移个单位，可得可得函数f（x）＝2sin（x+）的图象．故选：AD．10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多【分析】根据扇形统计图，逐一判断选项，得出答案．解：设整个行业人数为1，A，因为互联网行业从业人员中“90后“占56%，故正确；B，互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数为1×0.56×0.396≈0.22＝22%，故正确；C，互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数为1×0.56×0.17≈0.1＞0.03，故错误；D，互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数0.1＜0.41，故错误，故选：AB．11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为【分析】由图象结合最值可求A，结合周期可求ω，然后代入f（）＝2，及|φ|＜，可求φ，从而可求f（x），进而可求g（x），结合正弦函数，余弦函数的性质分别进行判断解：由图象可知，A＝2，＝，∴T＝2π，ω＝1，∴f（x）＝2cos（x+φ），∵f（）＝2cos（+φ）＝2，且|φ|＜，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（x﹣），∵g（x）＝f（x）+f'（x）＝2cos（x﹣）﹣2sin（x﹣）＝2cos（x+），A：由h（x）＝g（x）+2＝0可得cos（x+）＝﹣，则|x1﹣x2|的最小值为＝，故A正确；B：结合余弦函数的性质可知，f（x）的最大值2，故B错误；C：根据导数的几何意义可知，过点P的切线斜率k＝f′（x）＝﹣2sin（x+），不存在斜率为﹣3的切线方程，故C错误；D：令x+＝kπ可得，x＝k，k∈z，故D错误．故选：A．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于A，当点F移动到BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，如图1所示；且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＝＝＜，最大角大于60°，所以A错误；对于选项B，在正方形中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，如图2，根据△A1DE∽△FB1E，可得＝＝2，所以C正确；对于D，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为＝＞，最小角大于30°，所以D错误．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝﹣1．【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，分析可得直线l经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得1+2a+1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心C（1，2），半径r ＝2；又由弦AB的长为4，则直线l经过圆心，则有1+2a+1＝0，解可得a＝﹣1；故答案为：﹣1．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤＝＝＝4，当且仅当a＝2b＝4时，取等号，即当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（0，e）（结果用区间表示）．【分析】由题目要求解的不等式是ef（lnx）﹣xf（1）＜0，由此想到构造函数g（x）＝，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（lnx）＜xf（1），得：＜，即g（lnx）＜g（1），因为函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以lnx＜1．所以不等式的解集是（0，e）．故答案为（0，e）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝12．【分析】根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．解：由题意l1＝，l2＝，l3＝，所以l1+l2+l3＝4π；l8＝8π，即，解得n＝12；故答案为：4π；12．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可．（2）根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．解：（1），…………………………在△ABC中，由正弦定理得，∴．…………………………（2）在△BCM中，由余弦定理得＝，∴12＝4+BC2﹣2BC，解得BC＝4（负值舍去），…………………………∴，…………………………18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．【分析】（1）由题意可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求a n，求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和可得所求和．解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或a n＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*；（2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42，即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d，由（1）可得a1＝3，d＝2，则a n＝2n+1，＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足N（60，122），结合正态分布的对称性即可求得（72，84）内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[61，80]内的概率为，由二项分布即可求得X的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解【解答】解（1）（i）设小明转换后的物理等级分为x，，求得x≈82.64．小明转换后的物理成绩为8；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布N（60，122），所以P（72＜ξ＜84）＝P（60＜ξ＜84）﹣P（60＜ξ＜72）＝P（36＜ξ＜84）＝P（48＜ξ＜72）＝（0.954﹣0.682）＝0.136．所以物理原始分在区间（72，84）的人数为2000×0.136＝272（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61，80]内的概率为，随机抽取4人，则X～B（4，）．P（X＝0）＝（）4＝，P（X＝1）＝C（）3＝，P（X＝2）＝C（）2（）2＝，P（X＝3）＝C（）3（）1＝，P（X＝4）＝（）4＝．X的分布列为X01234P数学期望E（X）＝4×＝．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．【分析】（1）利用面面垂直的性质能证明BV⊥CV．（2）过V作VO⊥AC于O，推导出VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，由此能求出当DV 的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值．解：（1）证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵侧面ACV⊥底面ABC，侧面ACV∩底面ABC＝AC，∴BE⊥面ACV，∵VC⊂面ACV，∴BE⊥CV．（2）解：过V作VO⊥AC于O，∵侧面ACV⊥底面ABC，∠ACV＝45°，∴VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∴OH＝OC sin45°•sin45°＝，∴当DV的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值：cos∠VHO＝＝＝．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，解得b2＝1，a2＝4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1＝m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．解：（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，∴b2＝1，a2＝4，∴椭圆C的方程为+y2＝1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∵直线l与椭圆相切，∴△＝16（4k2+1﹣m2）＝0，即4k2+1＝m2，设P（x1，y1），可得x1＝＝﹣，则y1＝＝，∴|OP|2＝+＝＝＝4﹣又直线l与圆O相切，可得|OQ|＝，则|OQ|2＝＝＝4﹣∴|PQ|＝＝＝，∴S△OPQ＝|PQ|•|OQ|＝•＝•＝•≤，当且仅当k＝1时取等号，此时m2＝1+4＝5，则m＝±，故直线l的方程为y＝x+或y＝x﹣．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．【分析】（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点等价于﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，等价于在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），利用导数得到φ（x）min﹣，所以，从而求得m的取值范围；（2）先求出导函数F'（x）＝lnx﹣mx+1，由题意可得，进而得到＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），利用导数得到h（t）＜h（1）＝0，即．解：（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，即﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，即﹣＝xlnx在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），则φ'（x）＝，∴当x∈（0，e）时，φ（x）为减函数，当x∈（e，+∞）时，φ（x）为增函数，∴φ（x）min＝φ（e）＝﹣，∴，∴m；（2）证明：由已知可得F（x）＝f（x）﹣g（x）＝xlnx﹣，则F'（x）＝lnx﹣mx+1，∵F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，解得：m＝，且m＝，∴＝，即lnx1+lnx2+2＝＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，即证ln（x1x2）＞ln1，即证lnx1+lnx2＞0，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），则h'（t）＝＞0，∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）＝0，即得证，∴x1x2＞1．。