一道利用动量定理解答的问题引发的思考

1 一道利用动量定理解答的问题引发的思考 一、问题的提出 问题 把一物体以20m/s的初速度竖直向上抛出，当物体落回抛出点时速度大小为10m/s，物体在运动过程中所受空气阻力与速率成正比，试求从抛出到落回原处所用时间。 当问题给出后，几乎所有学生都迷茫、困惑，貌似简单，但都感到无从下手。 解析 物体做变加速直线运动，物体运动图线可近似表示为如图1所示形式。 在v—t图上，位移等于图线与横轴所围的面积。物体上升过程的位移大小为图中“曲边”三角形AOB的面积，下落过程中回到抛出点的位移大小为“曲边”三角形CDB的面积。因为物体落回原处的下落高度与上升高度相等，所以图中的“曲边”三角形AOB的面积和“曲边”

三角形CDB的面积相等。根据题设vf得出，物体在上升阶段所受空气阻力冲量与物体下落阶段所受空气阻力冲量大小相等，方向相反。整体运动过程中，空气阻力对物体作用的合冲量为零。 研究物体： 抛出时为初态，落回时为末态，取向下为正，由动量定理得：

)(0mvmvmgt

可求得运动时间 gvvt0=3s 二、引发的思考 当学生拿到问题后为什么茫然、困惑？为什么几乎所有学生都没有思路不能进行解答？原因到底是什么？ 经过思考之后，我们弄清楚了—— 学生之所以不能进入状态的原因，是不能准确地还原物理过程，选用恰当的物理规律进行解答。 物理、物理——就是依“物”论“理”。 物——物理现象、物理过程；理——规律、原理。 所以分析过程——了解现象——还原物理模型——把握规律——准确运用规律是正确解答物理问题的前提。只有正确的选用规律，才能进入状态进行准确的解答。 力作用于物体的效果有三：瞬时效果、时间累积效果、空间累积效果。描述时间累积效果的动量定理是力学中非常重要的规律。 在教学中发现，学生能记住规律，也能理解规律，往往不能把握在什么时候该用什么规律，所以教学过程中必须培养学生这方面的能力，使之练就一双慧眼。

三、剖析—感悟 在教学过程中，教师要通过创设情境、构建认知联系和冲突等方式激发学生的推理、分析、鉴别等思维活动，造成强烈的问题意识，同时给学生提供丰富的信息资源、处理信息的工具以及适当的帮助和支持，激活学生原有的相关知识经验，促进知 2

识经验的“生长”。 例1 如图2所示，足够长的金属导轨MN和PQ与电阻R相连，平行地放在水平桌面上，质量为m的金属杆ab可以无摩擦的沿导轨运动。导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L ，

磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面。现给金属杆ab一个瞬时冲量0I ，使ab杆向右滑行。求杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？

剖析过程

给金属棒ab一个瞬时冲量0I ，金属棒ab获得一个初速度在导轨上滑动，从而切割磁感线产生感应电动势，电路中产生感应电流，金属杆ab受到安培力作用，做减速运动，减速的结果使产生的感应电动势减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，所以金属棒ab是做加速度减小的减速运动，最终停止运动。 选用规律 金属棒ab的运动是变加速运动，所以运动学公式不能应用；线框运动过程中所受外力（安培力）是变力，这种变力不是与位移成线性关系的，无法获得其空间累积效果，即不能求得安培力做的功，所以也无法利用能量关系求解；因此我们唯一可以利用的就是时间累积规律——动量定理。 解析 设金属棒ab从开始运动到停止所用的时间为t，从开始运动到停下滑行的距离为x ,

应用动量定理有：

00ILtIB

而REI tBLxE 解得：220LBRIx 例2 如图3所示（俯视图）有界的匀强磁场方向垂直水平面向下，在磁场的左侧有一个矩形线框abcd以初速度1v 滑入磁场，已知线框的

宽度比磁场宽度窄，滑出磁场时的速度为2v ，则线框完全滑入磁场中时的速度v （ ） A． )2121vvv（ B．)2121vvv（

C． )2121vvv（ D．无法判断 剖析过程 首先，线框的一边滑入磁场，切割磁感线，线框中产生感应电流，受到安培力作用，线框做减速运动，减速的结果使产生的感应电动势减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，所以线框进入磁场的过程是做加速度减小的减速运动，当线框完全进入磁场中做匀速运动。同理，当线框滑出磁场时也是做加速度减小的减速运动。 选用规律 线框滑入、滑出磁场都是变加速运动，所以运动学公式不能应用；线框运动过程中所 3

受外力（安培力）是变力，这种变力不是与位移成线性关系的，无法获得其空间累积效果，即不能求得安培力做的功，所以也无法利用能量关系求解；因此我们唯一可以利用的就是时间累积规律——动量定理。

解析 设线框ab边长为1L ,bc边长为2L，对线框从ab边进入磁场场到cd边进入磁场的

过程应用动量定理： 11mvmvtLIB

而REI tLBLE21 求得：121mvmvRLBL 同理可求得线框滑出磁场的过程中：mvmvRLBL221 由此推知： mvmvmvmv21 因此： )2121vvv（ 故正确的选项为A 四、归纳总结 教学过程中，不仅要让学生认识规律，认知规律，更要懂得利用规律。那么描述力作用的时间累积效果的动量定理到底都在哪些情况下应用呢？ 能利用动量定理解答的问题很多，一般情况下，涉及F—v—t的问题用动量定理进行处理比较简捷，但下列几种情况下必须利用动量定理解答。 （1）瞬时冲击过程。 例3 质量为60kg的撑杆跳运动员越过5m高的横杆后落在垫子上，如果运动员与垫子的作用时间为1s，则垫子对运动员的平均作用力多大？

解析 运动员落到垫子上的瞬间速度大小smghv/102 取竖直向上为正方向，对运动员应用动量定理： )(0)(mvtmgF

代入数值求得：NF1200 （2）连续介质的连续作用。 如风力、水力的冲击问题

例4 如图4所示，一水龙头以0.7kg/s的流量将水注入案秤上的空杯中，已知杯的质量为0.5kg，注水10s时，案秤的示数为82N。求此时水流至杯中水面的速度。（2/10smg）

解析 案秤的示数即为杯底对案秤的压力。它包括静压力和动压力两部分，静压力由杯和杯中水的重力产生，大小等于杯和杯中水重力之和；动压力由水流的冲击形成，设静压力大小为1N，杯和水质 4

量分别为1m、2m ，则 gmmN)(211 gktm)(1 0N1)107.05.0( 75N 设动压力大小为2N ，在极短的一小段时间Δt内，流入杯中水的质量为Δm，这些水以速度v流入杯中，并在Δt内速度减小到零，选这一小部分水为研究对象，它注入水杯瞬间受到的重力Δmg，杯中水对它的反冲力'2N（方向向上），选向上方向为正运用动量定理，有

)(0)'(2mvtmgN 在冲击问题中，由于作用时间极短，所以 Nmg，故上式近似的可简化为

vtmN'2，其中skgktm/7.0

为水的流量。

而N2和'2N是一对作用力与反作用力，且 N1＋N2＝82N 联立求得：smv/10

（3）求电磁感应中的位移问题时。 例5 如图5所示，水平固定的光滑平行轨道轨道由两部分组成，导轨电阻不计，左端部

分宽度为L,右端部分宽度为2L,轨道足够长且处在竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中，两根质量均为m电阻分别为R、r长度与导轨等宽的的金属棒P、Q分别置于左右两部分的轨道上且与轨道垂直，现给P施以作用时间极短的瞬

时冲量，使其获得初速度0v，当两根金属棒稳定运动时金属棒P在左端导轨上滑动的距离为S ,则在此过程中右端导轨上的金属棒滑动的距离是多少？ 解析 当金属棒P、Q 产生的感应电动势大小相等时，电路中电流为零，P、Q稳定做匀

速运动，设此时它们的速度分别为1v、2v，则有：

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vLBBLv

用t表示电路有电流存在的时间，对两个金属棒分别应用动量定理有： 01mvmvLtIB

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mvtLIB 5

而rREI tSLBBLSEx2

解得：金属棒Q滑动的距离220582LBrRmvSSx）（ （4）所涉及的问题无法利用牛顿定律、运动规律及能量观点解答时。

例6 如图6—甲所示，ab、cd是两根相互平行电阻不计的倾斜导轨，倾角为θ，两端连有阻值均为R的导体ac和bd，导轨处于与导轨平面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m，长度为L,电阻

为r的金属棒MN以一定的初速度0v从紧挨ac处上滑，不计空气阻力和摩擦阻力，如果金属棒MN在没有达到bd时速度就已经减为0，并又滑回底端，若往返所用时间为t ，求金属棒MN从开始运动到回到出发点的过程中产生的焦耳热。

解析 金属棒在导轨上滑动的过程中，受到的安培力为BILF安 ，而rRBLvI2，得到：

rRvLBF2

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安 即vF安

金属棒在轨道上滑动的过程中，重力沿斜面向下的分力不变，安培力的方向与运动方向相反，安培力的大小与速度大小成正比，所以金属棒上滑时速度减小，安培力减小，合力减小，做加速度减小的减速运动，到最高点后反向下滑，速度增大，安培力增大合力减小，做加速度减小的加速运动，其v—t图像如图6—乙所示， 在v—t图上，位移等于图线与横轴所围的面积。金属棒上滑过程的位移大小为图中“曲边”三角形AOB的面积，下滑过程中回到出发点的位移大小为“曲边”三角形CDB的面积。因为金属棒滑回原处的下滑位移大小与上滑位移大小相等，所以图中的“曲边”三角形AOB的面积和“曲

边”三角形CDB的面积相等。由vF安得出，金属棒在上滑阶段所受安培力冲量与下滑阶段所受空安培力冲量大小相等，方向相反。整体运动过程中，安培力对金属棒作用的合冲量为零。 对金属棒应用动量定理， 取沿轨道向下为正：