经济概率统计作业参考答案(第三章)

p{X
k} a , p{Y k} b , (k 1,2 ,3), 且
k
k2
X
与Y
相互独立，则
（ D ）。
( A) a 1, b 1；
(B) 11a 49 b 1 ； 6 36
(C) a, b 为任意实数 ；
(D) a 6 , b 36 。 11 49
三、计算
1、一盒子中装有 3 个黑球、2 个白球、2 个红球。在其中任意取四球，以 X 表示取到黑球 的个数，以Y 表示取到红球的个数，求（ X ， Y ）的联合分布列。
1 0 x 1
f
X
(x)
0
其他
fY ( y)
f (x, y)dx
当0
y
2
时，
f Y
( y)
11
0 2
dx
1 2
当 y 0 或 y 2 时， fY ( y) 0
1 / 2
f Y
( y)
0
0 y2 其他
5、已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为：
（x , y） （0，0） （0，1） （1，0） （1，1） （2，0） （2，1）
答案： F(b, c) F(a, c) ， F(, a) F(,0) ， F(,b) F(a,b)
2、设二维随机变量的密度函数为
p(x)
4xy
0
,0 x 1, 0 y 1
,
其他
，
则 p(0 X 0.5)
。
答案： 1 4
3、随机变量 (X ,Y ) 的分布率如下表，则, 应满足的条件是
1/ 6
3
1/12 1/ 6
0
2. 二维随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为：
ce(x y) f (x, y)
0
0 x ,0 y ， 其它
（1）分布函数 F(x, y) ；
（2）计算（ X ,Y ）落在由 x 轴、 y 轴和直线 x y 1所围成的区域内的概率。
xy
解 ：（1 ） F(x, y) P{X x,Y y} f (x, y)dxdy ，显然当 且仅当 0 x ，
进而有 c 1
0 dx x ce y dy 1
（2） P{(x, y) D}
0
dx
x e y dy 1 2
1 1
e
4、一个商店每星期五进货，以备星期六、日 2 天销售，根据多周统计，这 2 天销售件数 X1, X 2
彼此独立, 且有如下表所示分布:
X1
12 13 14
X 2 18 19 20
解：
Y
0
1
2
X
0
0
0
1/35
1
0 6/35 6/35
2
3/35 12/35 3/35
3
2/35 2/35
0
2、甲，乙两人独立地进行两次射击，假设甲命中的概率是 0.2，乙命中的概率是 0.5，以 X 和 Y 分别表示甲、乙的命中次数，求 X 和 Y 的联合分布。 解：
Y
01
2
X
0 0.16 0.32 0.16
0
f
Y
(
y)
4e 4x 0
y0 y0
（3）显然，有
fX
(x)
fY
( y)
20e 5x4 y 0
x 0, y 0 ，即 其它
所以 X 与 Y 相互独立
p 0.2 0.7 0.1
p 0.1 0.8 0.1
求：二天销售总量这个随机变量的分布? 如果进货 32 件, 不够卖的概率是多少? 如果进货
31 件, 够卖的概率是多少?
解：设 X X1 X 2
X
30
31
32
33
34
P 0.02
0.23
0.59
0.15
0.01
P{X 32} 0.16
P{X 31} 0.25
( A) p(X Y ) 1 ； 2
(B) p(X Y) 1；
(C) p(X Y 0) 1 ； 4
(D) p(XY 1) 1 4
8 、 设 随 机 变 量 X 与 Y ， 且 p( X 0,Y 0) 3 , p(X 0) p(Y 0) 4 , 则
7
7
p{max{X ,Y ) 0} ( B ) 。
解：（1）
X2 X1
1
2
p i.
1
1/ 6 1/3 1/ 2
2
1/3 1/ 6 1/ 2
p. j
1/ 2 1/ 2
1
（2）
X1 1
2
P 1/ 2 1/ 2
X2 1
2
P 1/ 2 1/ 2
（3） P{X1
1,
X2
1}
1 6
P{ X 1
1} P{X 2
1} ，X 1 与
X2
不独立
4. 二维随机变量（ X ,Y ）服从区域 D：0 x 1,0 y 2 上的均匀分布，试求：（1）X ,Y
当 x 0 时， f X (x) 0 ；当 x 0 时， f X (x)
20e 5x4 y dy 5e 5x .所以有
0
f
X
(x)
5e 0
5 x
x0 x0
求 fY (y)
当 y 0 时， fY ( y) 0 ；当 y 0 时， fY ( y)
20e 5x4 y dx 4e 4 y .所以有
p
0.10 0.15
0.25
0.20
求：（1） X 的分布；（2） Z X Y 的分布
0.15 0.15
解：（1）
X
0
P 0.10 0.15 0.25
（2）
1 0.25 0.20 0.45
2 0.15 0.15 0.30
Z
P
练习题
0
1
2
4
0.10 0.15 0.25 0.40 0.20 0.15 0.35 0.15
1
dx
1x e x y dy
1(ex e1 )dx 1 2e1
00
0
3. 设有四个球，其中标有数字 1，2 的球各有 2 个，现依次（不放回）从中任取二球，设第
i 次取到球上的数字为 X i (i 1,2) ，求：（1） ( X1, X 2 ) 的分布律；（2） X 1, X 2 的边缘分
布律；（3） X 1 , X 2 是否相互独立？
一、填空题
1、 (X ,Y ) 是二维连续型随机变量，用 (X ,Y ) 的联合分布函数 F(x, y) 表示下列概率：
（1） p(a X b,Y c) ____________________;
（2） p(0 Y a) ____________________;
（3） p(X a,Y b) ____________________.
0 1 2
则当 ( p, q) ( C
-1
1
1/15
p
q
1/5
1/5
3/10
) 时，随机变量 X 与Y 独立。
( A) 1 , 1 ； (B) 1 , 1 ； (C) 1 , 2 ； (D) 2 , 1
5 15
15 5
10 15
15 10
5 、 设 随 机 变 量 X 和 Y 均 服 从 正 态 分 布 ， X ~ N (,42 ),Y ~ N (,52 ) . 记
( A) X Y 服从 N(0,1) ；
(B) X Y 不服从正态分布
(C) X Y 也服从正态分布； (D) X Y ~ 2 (2)
7 、 设 两 个 随 机 变 量 X 与 Y 独 立 同 分 布 ： p( X 1) p(Y 1) 1 ， 2
p( X 1) p(Y 1) = 1 ，则下列各式成立的是：（ A ） 2
( A) 16 ； (B) 5 ； (C) 3 ； (D) 40 。
49
7
7
49
9、 X i 的概率分布为
Xi
1
0
1
p
1
1
1
4
2
4
( i 1,2) ，且满足 p{X1 X 2 0} 1, 则 p{X1 X 2} =（ A ）
( A) 0 ；
(B) 1 ； 4
(C) 1 ； 2
(D) 1。
10 、 已 知
的联合密度函数 f (x) ，（2） X ,Y 的边缘密度函数 f X (x), fY ( y) 。
解：（1） S D 2
f
( x,
y)
1/ 2
0
(x, y) D (x, y) D
（2） f X (x)
f (x, y)dy
当 0 x 1时， f X (x)
21 dy 1
02
当 x 0或 x 1时， f X (x) 0
2/20
6/20
2
3/20
3/20
1/20
求：（1） X Y 概率分布；（2） X Y 概率分布。
解：（1）
X Y 2 0
1
3
P 5 / 20 2 / 20 9 / 20 3/ 20
（2）
XY 2 1 1
2
P 9 / 20 2 / 20 5 / 20 3/ 20
7、已知随机变量 X 和 Y 的联合密度为
第三章 多维随机变量及其分布
作业题 1. 一个袋中有 4 个球，分别标有数字 1、2、2、3，随机从袋中不放回地先后取出 2 个球，
令 X 、Y 分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（ X ，Y ）的联合分布列。 (袋中各
球被取机会相同)。
解：
Y X
1