三维可压缩mhd方程大解的时间衰减率
高维BBM-Burgers方程解的衰减估计
1 引言
本文研究了多维空间 Benjamin-Bona-Mahony-Burgers 方程
ut +
n
(u2)xj = δ
n
uxj xj t +
nN
( (−1)l+1γl∂x2jl u), x ∈ Rn, t > 0 ,
j=1
u(x, 0) = u0(x)
j=1
j=1 l=1
(1.1)
解的
基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (11571092).
作者简介: 徐红梅 (1973–), 女, 湖北英山, 副教授, 主要研究方向: 偏微分方程理论及其应用.
1050
数学杂志
Vol. 38
本文安排如下, 在第二节中给出一些准备工作, 如方程 (1.1) 的解的存在性结论, 解的表 达式等. 第三节, 用能量估计、时频分解等工具给出解的衰减估计.
j=1
j=1
1, 作光滑截断函数 χ0(η) =
|η| ≤ 1 并令 χ(t, ξ) = χ0((1 + t)|ξ|2). 定义时频算子
0, |η| > 2.
χ(t, D), 它的特征 χ(t, ξ). 令 uL(x, t) = χ(t, D)u(x, t), 则对 uL(x, t) 有下述估计.
j=1 l=1
j=1
若令
G = e−
N l=1
γl
n j=1
ξj2l
1+δ|ξ|2
t
,
H=
1
1 + δ|ξ|2
G
,
(2.1)
则
n
t
u(ξ, t) = Gu0 −
广义磁流体方程组轴对称解的正则准则
广义磁流体方程组轴对称解的正则准则
李凤萍, 原保全
(河南理工大学 数学与信息科学学院, 河南焦作 454000)
摘 要: 利用能量法研究广义磁流体方程组的轴对称弱解在三维空间中的正则性, 得 到了用方位角分量控制的正则准则, 该准则表明方位角分量起主导作用. 关键词: 正则准则; 轴对称解; 弱解 中图分类号: O175.2 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2010)03-0319-07
§1 引 言
考虑三维不可压广义磁流体(GMHD)方程组 1 S ∂u 2α 2 ∂t + Re Λ u + (u · ∇)u − S (b · ∇)b + ∇(p + 2 |b| ) = f, ∂b + 1 Λ2β b + (u · ∇)b − (b · ∇)u = 0,
∂t Rm (1) divu = 0, divb = 0, u(x, 0) = u0 (x), b(x, 0) = b0 (x). 这里u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)), b(x, t) = (b1 (x, t), b2 (x, t), b3 (x, t)), p(x, t)分别是 流体在(x, t) ∈ R3 × [0, ∞)处的速度向量, 磁场向量, 压力; f 为外力; u0 (x)和b0 (x)是初始速度 和初始磁场. Re , Rm , M 分别为流体的雷诺数, 磁雷诺数和Hartman数, 且S = M 2 /(Re Rm ). 1 1 算子Λ (−∆) 2 . 不失一般性, 为表述简单, 不妨设 R1 = R = 1, S = 1和f = 0. 其中p代 m e S 2 表p + 2 |b| . 本文讨论α = β < 1的情形. 研究广义磁流体方程组是非常有意义的. 当α = β = 1, b = 0时, (1)是著名的NavierStokes方程; 当α = β = 1时, (1)是经典的磁流体(MHD)方程组. 当α, β → 1时，(1)的解分别收 敛于上述两方程组的解. 我们相信研究广义磁流体方程组能提高对Navier-Stokes方程和磁流体 方程组的认识. 许多学者研究了Navier-Stokes方程和磁流体方程组的正则性，参阅[1-14]. 对于广义磁流体 方程组也有类似的结果，参阅[15-17]. 本文研究GMHD方程组轴对称解的正则性. 首先回顾直角坐标系与柱坐标系之间的联系 x1 = rcosθ, x2 = rsinθ, x3 = x3 , (2) 其中θ ∈ [0, 2π ), r ∈ [0, +∞). 那么，广义磁流体方程组的轴对称解可以表示为 u(x, t) = ur (r, x3 , t)er + uθ (r, x3 , t)eθ + u3 (r, x3 , t)e3 , (3) b(x, t) = br (r, x3 , t)er + bθ (r, x3 , t)eθ + b3 (r, x3 , t)e3 , (4)
可压缩磁流体动力方程解的正则性
（２ １） ．
基金项 目：江苏省 自然科学基金 （ Ｋ２ ０ １ １ 资助 Ｂ ０７０ ）
５４ ９
数
学
物
理
学
报
Ｖ １０ ｏ． Ａ ３
Ｆｎ和 Ｙ ｆ 证 明了存 在时刻 ＞０及 问题 （． 的唯一 局部强解 （，， 满足 ａ ｕ。 】 １） １ Ｐ乱日）
０ ＜ ｍ ２ Ｍ ＜ 。 。
，
Ｖ ， ∈ （． ］ ） ｐ ［ ； ， ０
（・） １ ３
（， ∈ （ ， ］ ｎＨ。 ｎＬ （， ； ，， 日） ［ ； “ ０ 月 ） ２ｏ Ｗ ） （ｔＨｔ∈Ｌ 。０ ； ｎＬ （， ； ） 乱， ） 。（， Ｌ ） ０ Ｈ ．
１ 引 言
设 Ｑ Ｃ ｉ３ 有界 区域 且具 有光 滑边 界 ａ 首 先考 虑定 义在 （， ×Ｑ上 的三维 等熵 是 ｆ （ Ｑ． ０ ∞） 磁 流体 动力 （ Ｄ） ＭＨ 方程 ［１ １ ９３ ４ ，－ ］
ｅｐ＋ｄｖｐ ｐ ） ｐ一＃ ￣ ） ｉ（ｕ ｐ ＋Ｖ Ａｕ一（ ＋＃Ｖｄｖ ） ｉｕ＝ ｃｒ ×Ｈ ｕｌ Ｈ
下面 的条件
０ Ｐ Ｍ ＜。，Ｖ ｏ Ｌ ，３ ｑ ６ ０ ｏ 明 ｎ ＜ｍ ｏ 。 ｐ∈ ｑ ＜ ， ， ∈ Ｈ 日，
收 稿 日期 ： ０ ９０ —７ 修订 日期 ： ０ ００ —５ ２ ０ —３０ ； ２ １ —１２
Ｅ— ａ ｌ ｗｗｕ＠ ｓ ｕ．ｄｕ． ｎ ｍ ｉ：ｈ ｅ ｅ ｃ
．
ｅＴ） ∞． （ ＝
这 里 ： ：Ｍ （ ， 。 是乘子 空间 ． Ｈ Ｌ ） 注 １１ 在 （．） 中定义 的 西（ 与磁 场 Ｈ 无关 ，这说 明在解 的正则性 中磁场所 起的 ． １ 式 ４ ） 控制 作用 比密度和速度 要小 ．
第3章-磁流体--力学方程
第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。
§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1） (,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f t ααα=⎰ （3-2）231(,)(,)()(,,)22r r vv r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r vq E B f t I t tm αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3)首先定义等离子体矩方程： 将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分， （1） ()()v v v v f g d g fd g t tt∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3）()()()[]()v v v vv vv v v v vq f qE f g E d g d mm qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
3.磁流体稳定性
3. 磁流体稳定性3.1 能量原理无论是磁流体不稳定性还是以后我们要研究的微观不稳定性，都是对特定的平衡而言：即某一模式的任意小扰动对一个特定的平衡来说，是增长的还是衰减的。
如果是增长的，就说：这一平衡对于该扰动是不稳定的；反之则说：这一平衡对于该扰动是稳定的。
基本方法研究磁流体（MHD ）稳定性有两种基本方法： （1）简正模方法对一组变量 {}(,,)f t x y 来说，如果{}1(,,)f t x y 是对其平衡{}0(,)f t x 的扰动（微扰）模式，且可以写成(){}{}1(,,)()exp f t f i t ω=⋅-x y y k x 的形式；那么在Im()0ω>时，我们说这平衡是不稳定的，其不稳定性的增长率是Im()0i γωω≡=>.对这组变量做展开{}{}{}01(,,)(,)(,,)...f t f t f t =++x y x x y ，我们可以把非线性项写成形式00100111...fg f g f g f g f g =++++ 。
(III-1)这里主导解即为平衡解00f g ；而由一阶方程可以求解扰动量1001f g f g +。
这种方法类似于研究等离子体波时用Fourier 变换来得到色散关系。
但是，如果等离子体有很明显的非均匀性质且磁场位形是复杂的，简正模方法常常是不适用的。
（2）能量原理方法这种方法可以普遍使用于磁流体（MHD ）稳定性研究，特别是理想（ideal ）磁流体静态平衡的稳定性研究。
在等离子体中，总能量ε 是守恒的，有：.K W const ε=+=，0K W δεδδ=+=。
因此，如果a ） 00W K δδ<⇒>，则等离子体是不稳定的，因为势能的减少提供了足够的自由能来驱动等离子体的运动（0K δ>）；b ） 00W K δδ>⇒<。
则等离子体是稳定的，因为势能的增加需要吸收自由能从而阻尼等离子体的运动（0K δ<）。
4.1 一级动力学反应模型
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 解答（续） 而根据测量结果，有 dx dt t 1950 4.09 dx dt t t 6.68
0
所以 x(1950) x(t0 ) 4.09 6.68 ，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121(1950t0 ) 4.09 6.68 解得 t0 2104.3 (年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
4.1.2 碳-14测年法
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子. 放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素. 放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.
4.1.4 海拔与大气压
为什么攀登珠穆朗玛峰的登山运动员需要携带 氧气瓶呢？ 人体从大气吸入氧气的能力主要依赖于大气压. 当大气压低于 0.65 105 Pa ， 人体吸入的氧气就会显著 下降. 地球海拔 6000 米以上的地区没有永久性居民， 人类在海拔更高的地方仅能短暂生存，这都是因为大 气压随着海拔增高而下降.
4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年， 所以根据(4.1.3) 式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服 0.000121t t0 从公式 (4.1.4) x(t ) x0e x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) . 例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出 的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的 古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算 古莲籽生活的年代.
衰减率计算公式
衰减率计算公式衰减率是指某一物理量随着时间、距离或其他因素的变化而减少的速率。
在许多领域，衰减率的计算是非常重要的，比如在放射性衰变、声音传播、光的衰减等等。
衰减率的计算公式可以帮助我们更好地理解和预测这些现象的变化规律。
放射性衰变是一个常见的现象，它是指放射性物质由于放射性衰变而逐渐减少的过程。
放射性衰变的速率可以用衰减率来描述，通常用半衰期来表示。
半衰期是指放射性物质衰变到原来数量的一半所需要的时间。
衰减率的计算公式可以表示为：\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \]其中，\( N(t) \) 是时间 t 时的放射性物质数量，\( N_0 \) 是初始数量，\( \lambda \) 是衰减常数，t 是时间。
在声学领域，声音在传播过程中也会发生衰减。
声音的衰减率可以用以下公式来计算：\[ L = L_0 10 \times \log_{10}(\frac{r}{r_0}) \]其中，L 是声音的衰减量，\( L_0 \) 是声音的初始强度，r 是距离，\( r_0 \) 是参考距离。
在光学领域，光在传播过程中也会发生衰减。
光的衰减率可以用以下公式来计算：\[ I = I_0 \times e^{-\alpha x} \]其中，I 是光的强度，\( I_0 \) 是初始强度，\( \alpha \) 是衰减系数，x 是光传播的距离。
衰减率的计算公式可以帮助我们更好地理解和预测各种现象的变化规律。
通过对衰减率的研究，我们可以更好地控制和利用这些现象，比如在医学影像学中利用放射性衰变来进行影像诊断，或者在通信领域中利用声音和光的衰减率来设计更有效的传输系统。
此外，衰减率的计算公式也可以用于工程和科学研究中的模拟和预测。
通过对衰减率的计算，我们可以更好地理解和预测各种现象的变化规律，从而为工程设计和科学研究提供更准确的数据和依据。
总之，衰减率的计算公式是许多领域中非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和预测各种现象的变化规律。
三维磁微极流体方程组弱解的压力正则性准则
三维磁微极流体方程组弱解的压力正则性准则三维磁微极流体方程组弱解的压力正则性准则，是指在三维磁微极流体模型中，压力变成一种带有紧张运动学和旋转能量质量流体方程组的弱解时，满足一定条件的压力正则性准则。
三维磁微极流体模型是基于MHD方程和微极流体方程组发展而来，它是一种用于描述带有磁场和电荷分布的不可压缩性流体模型。
在这一模型中，由MHD方程引出的Magneto-hydro static（MHS）方程和普朗特方程共同描述电离质流体各项物理量的变化。
如此，在地球磁场对非电离质来说可忽略不计的情况下，它更为完善地描述了电离质在地磁场作用下的运动。
根据三维磁微极流体模型，弱解的压力正则性准则采用乘子解的概念，以及Pearson-Finn自由度的要求，引入压力的常数项，约束条件的结构法，用于构建旋转能量和紧张运动学流体方程，从而探寻地质流体方程组的稳定解。
压力正则性准则的第一个条件是采用Pearson-Finn自由度，它规定了弱解的自由度，并将其转变为地质流体方程组的平稳解。
此外，弱解压力正则性准则还要求弱解在空间上和时间上都要满足Pearson-Finn自由度，以及满足以下弱解条件：1、流体对能量的响应得满足能量守恒定律；2、普朗特方程得满足相应条件；3、每个空间点上的压力都要满足紧张运动学原理；4、即便在有旋转能量和紧张运动学的流体中，局部总压力也应该守恒；5、由此得出的压力应该要满足与它有关的压力正则性条件，以保证压力正则性。
当满足以上正则性准则时，压力将根据空间和时间的变化而保持一致的正则性，这样就可以得到稳定的解，进而在三维磁微极流体模型中得出更为准确的解。
三维磁微极流体方程组弱解的压力正则性准则，是地质模型研究中很重要的一环，能够有效解决空间及时间变化下的稳定解。
这种正则性解法也使得地质模型的精确性能得到明显的改善，因此在地质模型研究中三维磁微极流体方程组弱解的压力正则性准则具有重要的作用。
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三维可压缩MHD方程是描述等离子体运动和磁场演化的重要方程之一，其在天体物理、核聚变和等离子体物理等领域具有广泛的应用。
在研究MHD方程的解的性质时，时间衰减率是一个重要的参数，它描述了系统的稳定性和衰减速度。
本文将围绕三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率展开讨论。
一、三维可压缩MHD方程简介
三维可压缩MHD方程可以写成如下形式：
1. 质量守恒方程
2. 动量守恒方程
3. 能量守恒方程
4. 磁场演化方程
5. 电荷守恒方程
这些方程描述了等离子体的流体性质和磁场演化，其中包括了压力、密度、速度、磁场强度等重要物理量。
二、大解的概念
在三维可压缩MHD方程中，大解是指近似解或精确解，它可以帮助我们理解物理系统的性质和演化规律。
大解的性质和行为对于研究系统的稳定性和动力学演化具有重要意义。
三、时间衰减率的定义
时间衰减率描述了大解在时间上的衰减速度，它是一个重要的参数。
时间衰减率可以用来评估系统的稳定性和响应能力，也可以用来判断系统是否趋于平衡态。
四、三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率的研究现状
目前关于三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率的研究已经取得了一些重要的成果。
通过数值模拟和理论分析，一些研究者发现了三维可压缩MHD方程的大解具有较快的时间衰减率。
这些发现对于我们理解等离子体系统的演化和动力学行为具有重要的意义。
五、未来的研究方向
未来的研究可以从以下几个方面进行：
1. 进一步探索三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率的一般性质和规律。
2. 发展更加精确的数值模拟方法和理论分析技术，以便更准确地研究时间衰减率。
3. 探索时间衰减率与系统参数之间的关系，寻找影响时间衰减率的因素。
4. 将时间衰减率的研究应用到实际问题中，例如天体物理、核聚变和等离子体物理等领域。
六、结论
三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率是一个重要的研究课题，它对于我们理解物理系统的稳定性和演化规律具有重要意义。
未来的研
究将进一步深化我们对时间衰减率的理解，为相关领域的应用和发展提供重要的理论基础。
七、三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率的影响因素
三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率受到多种因素的影响，其中包括等离子体参数、外部驱动力和边界条件等。
在研究这些影响因素时，我们可以更深入地理解时间衰减率的特性以及等离子体系统的稳定性。
1. 等离子体参数
等离子体参数包括密度、温度、磁场强度等，它们会直接影响到时间衰减率的大小和演化规律。
在高密度、高温度、高磁场强度的等离子体环境中，时间衰减率可能会更大，系统的稳定性也可能会更好。
研究不同等离子体参数下时间衰减率的变化规律，对于理解等离子体系统的动力学性质至关重要。
2. 外部驱动力
外部驱动力指的是外部对等离子体系统施加的力或扰动，如电磁波、加热等。
这些外部驱动力会对系统的稳定性和时间衰减率产生重要影响。
研究外部驱动力与时间衰减率的关系，不仅有助于理解等离子体系统的响应能力，还可以为等离子体控制和应用提供重要参考。
3. 边界条件
在实际物理系统中，边界条件对于等离子体系统的行为和时间衰减率
也具有重要影响。
合理的边界条件可以使得系统的时间衰减率更为稳定或者有利于特定的应用。
研究不同边界条件下时间衰减率的变化规律，有助于我们更好地设计和优化等离子体实验或应用场景。
影响三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率的因素是多方面的，深入研究这些因素对于我们理解等离子体系统的演化规律和稳定性具有重要意义。
未来的研究可以进一步探索这些影响因素，以期更全面地把握三维可压缩MHD方程大解时间衰减率的特性。
八、三维可压缩MHD方程大解时间衰减率的意义
研究三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率具有重要的理论和应用意义。
对时间衰减率的研究能够帮助我们更深入地理解等离子体系统的动力学性质和稳定性。
时间衰减率的大小和规律会直接影响到等离子体系统的应用，例如在天体物理、核聚变和等离子体控制实验中，对其稳定性和响应速度有着重要的影响。
深入研究三维可压缩MHD 方程大解的时间衰减率对于提高等离子体系统的稳定性、控制性能以及相关领域的发展具有重要的现实意义。
九、研究展望
未来的研究可以在以下几个方面进行拓展：
1. 进一步提升数值模拟方法和理论分析技术，精确地描绘三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率的特性。
2. 将时间衰减率的研究与实际问题相结合，例如结合天体物理、核聚
变和等离子体控制实验，来评估时间衰减率对于具体应用的影响。
3. 探索时间衰减率与其他相关物理量之间的关系，寻找更精确、更全面的描述时间衰减率的方法。
4. 拓展时间衰减率的研究范围，探索在其他相关物理方程中时间衰减率的性质和特性。
总体而言，三维可压缩MHD方程大解的时间衰减率是一个具有重要研究意义和应用前景的课题。
未来的研究将继续深化我们对时间衰减率的理解，有助于推动等离子体物理和相关领域的发展。