课本中一道例题的变式练习探究
初中数学教材例题的变式教学策略探究
教学研究初中数学教材例题的变式教学策略探究□ 艾立伟数学教材是我们组织数学教学活动的基本依据，新课改也重新规定了数学教材的教学地位，提出了要让初中数学教师创新使用教材内容的改革建议，鼓励教师灵活应用数学教材中的理论知识与例题资源。
其中，例题变式是指通过变更例题题目条件与求解方法拓展学生解题思维，培养学生举一反三解题能力的教学策略。
本文将从类比式变式、反向式变式、递进式变式三个方向分析初中数学教师实施课文例题变式拓展训练的方式方法。
有相当一部分初中数学教师对课本有着盲目的依赖，他们通常会一五一十地讲解教材内容，引导学生按部就班地分析课本例题的解题思路。
我们必须要承认的是，虽然初中数学教材中的例题比较经典，但是这些例题通常是对数学概念、数学公式等基础知识的一般提问与解答，对学生的思维能力水平要求较低。
这就导致初中生产生了“一看书就懂，一做题就错”的学习感受。
为了初中生的长远发展，我们应该分析课文例题的变化可能，通过变式拓展训练引导学生全面认识某个数学知识点的考查方向，促使学生在数学学习探索中形成良好的解题能力，为初中生取得中考数学成功做好准备。
一、类比式变式类比，顾名思义，就是同一类问题对比的意思，类比式变式题目则是指利用某个数学知识演绎另外知识的性质而设计的变式题目，应用的是同一种解题思路。
这种课本例题变式是最为常见的，组织起来十分便捷，通过知识迁移与类比思想巩固初中生所学到的数学知识，掌握关于某类知识的解题方法。
这类变式问题的解题难度不大，一般用来巩固学生对某个新知的理解程度，是提升初中生数学学习能力的重要资源。
就如在“分式与分式方程”一课教材中收录了这样一个例题：计算。
本班学生先要根据分数乘法与除法之间的转换关系将等式转化为分数乘法，然后再利用合并同类项知识与通分知识即可完成本题解答。
为了进一步训练本班学生解答分式方程的解题能力，笔者借助这个例题设计了类比式变式题目。
但是，在学生练习过程中，我发现有的学生由于审题不清或马虎、大意等原因出现了解题错误，要么就是看错了x、y的幂次方，要么就是看错了符号等等。
一道课本习题的变式探究
一道课本习题的变式探究
付瑞艳
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()23
【摘要】结合我校微课题《初中数学变式练习设计有效性研究》两年的实践,笔者针对教材例习题进行深挖掘、再创造、广拓展,探寻课本习题潜在的知识内涵,充分发挥其强大的辐射拓展功能,有效提升学生的解题和思维能力,收到了一定效果.下面以一道习题为例,与同仁分享交流.
【总页数】3页(P2-4)
【作者】付瑞艳
【作者单位】湖北省秭归县泄滩乡初级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.习题反思变式探究--从一道课本习题出发进行专题复习的尝试
2.精心选题变式设计促进探究——以一道课本习题变式教学为例
3.挖掘习题内涵探究问题本质——一道课本习题的变式与探究
4.一道课本习题的变式探究
5.课本一道习题的变式及探究
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浅谈初中数学课文例题的变式拓展训练
浅谈初中数学课文例题的变式拓展训练初中数学课文例题的变式拓展训练可以帮助学生巩固基础知识，培养灵活运用数学知识解决问题的能力。
本文将从几个常见的数学知识点入手，列举一些例题，并对其变式拓展进行讨论。
1. 一元一次方程例题：小明买了若干本数学书，已经读了其中的1/3本，并发现还需要读10本才能完全消化这些知识。
问：小明总共买了多少本数学书？解析：设小明总共买了x本数学书，则x的1/3加上10等于x。
解方程：x/3 + 10 = x变式拓展：(1) 若小明买了x本数学书，已经读了其中的2/5本，并发现还需要读15本才能完全消化这些知识，求x的值。
解方程：2x/5 + 15 = x(2) 若小明买了x本数学书，已经读了其中的1/4本，并发现还需要读12本才能完全消化这些知识，求x的值。
解方程：x/4 + 12 = x2. 一元二次方程例题：某人去公园散步，发现公园周围有一长方形花坛，其中一边长为30米，另一边长比已知边长的数值多10米，公园的周长是70米。
问：这个长方形花坛的面积是多少？解析：设长方形花坛的另一边长为x，则有2(x+30)=70。
解方程：2(x+30)=70变式拓展：(1) 某人去公园散步，发现公园周围有一长方形花坛，其中一边长为40米，另一边长比已知边长的数值少5米，公园的周长是90米。
问：这个长方形花坛的面积是多少？解方程：2(x-5)+40=90(2) 某人去公园散步，发现公园周围有一长方形花坛，其中一边长为20米，另一边长比已知边长的数值多3米，公园的周长是65米。
问：这个长方形花坛的面积是多少？解方程：2(x+3)+20=653. 平面图形例题：甲、乙两点距离为15cm，将一根长为30cm的木棒定在甲点，并绕甲点旋转，问：乙点所形成的轨迹是一个什么图形？解析：因为甲点为旋转中心，所以乙点到甲点的距离始终不变，乙点所形成的轨迹是一个以甲点为圆心，半径为15cm的圆。
变式拓展：(1) 甲、乙两点距离为20cm，将一根长为40cm的木棒定在甲点，并绕甲点旋转，问：乙点所形成的轨迹是一个什么图形？解析：乙点所形成的轨迹是一个以甲点为圆心，半径为20cm的圆。
一道课本例题的变式与解法
轴对称的抛物线 ， 这条抛物线是哪个二次 函数的 图象？
容， 加强对这部分 的学习 ， 对学 生具有重 要的教育 价值 ，
有 利于发 展学生 的空 间观念． 另外 ， 次 函数在初 中数 二
学 中 占有 十分重要 的地位 ， 以二次 函数 的图象 和图形 所 变换相结合 ， 合 考查 同学们 分析 、 综 综合 、 概括 、 逻辑 推
ＤＦ ＝
由股理 ＝（ ＝ 勾定得 √ ）（ ＋ ） ， √ ５ ， （ 争 ＝
・
．
． ．
由面积相等可得 ，
ＣＥ —ＡＣ ￣ＢＣ ＡＢ ’ １ 。 ０ 。５ ‘
一 一 — — 。 。
一
Ｄ
．
∞
＝ Ｃ ＋ＤＦ ＝ Ｆ
＋
＝７
图６
点评
此法用相 似三角 形 、 程建 立等 量关 系 ， 方 用
．
＝
，
．
・
ｃ ＃Ｄ ．△ Ｅ Ｏ，． ・
７
．．
— Ｄ Ｆ， Ｏ 丝
．
．
＋（ 一 ＝（ ） ， ８ ） ５
・ ． ．
解得 ，。 ， ＝１ 舍去） ＝７ （ ，
．
ＣＤ ＝ ＣＥ ＝１
．
点评
此法巧妙地利用 方程思 想在构造 的Ｒ △ ） ｔ Ｅ
点评 变式题与课本原题 的 条 件完全相同 ， 问题 由求 Ｂ Ａ Ｃ，Ｄ，
圃， ， 。
一
‘
．
．
‘
．
．
Ｂ Ｄ的长拓展为求 Ｃ Ｄ的长． 线段 Ｂ ，Ｄ， Ｄ 在直 角三 ＣＡ 最 均 角形 中， 比较 容易求 出； 而线段 Ｃ Ｄ是平分 直角的弦 ， 不 在 特殊三角形中 ， 增大 了问题难度 ， 需较 强分析 问题 、 解 决 问题的能力．
例谈一道课本习题的变式与拓展-最新文档
例谈一道课本习题的变式与拓展教材中的例习题都是编者精心挑选、设计的，是知识、技能、思想和方法联系起来的纽带，极具开发价值. 事实上，在变化多端的数学题海中有相当一部分题目都是从原型题中演变过来的，其思维方式和所运用的知识不尽相同. 若不能掌握它们之间的内在联系，只是就题论题，那么题目稍一变脸，学生要么“会而不对，对而不全”，要么无从下手. 因而教师在教学中，应充分挖掘教材中的例题、习题功能，通过变换例习题的背景、改变图形位置、增减题设或结论，在掌握知识的过程中拓宽解题思路，培养应变能力，总结解题的规律和方法，发展学生的思维能力. 本文通过几道课本习题的变式与拓展，谈谈对数学变式教学的认识，仅供参考.原题：已知如图1，△ＡＢＣ，△ＣＤＥ都是等边三角形，且Ａ，Ｃ，Ｅ在同一直线上，度量并比较ＡＤ与ＢＥ的大小. 你能对所得结论说明理由吗？（苏科版八上Ｐ３０第１２题）变式一：图形旋转如图2，△ＣＤＥ绕着点Ｃ转动时，ＢＥ和ＡＤ还相等吗？∠ＤＦＥ的大小是否发生变化？通过图形旋转，表面上看相互各异，但实质是相同的. 可以加深学生对图形的鉴别能力和对图形的本质认识，使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，在推理中简缩思维过程，形成思维跳跃，迅速把握思维方向，培养思维的深刻性.变式二：等边三角形变为等腰三角形已知如图3所示，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，且点Ｂ，Ａ，Ｄ在一条直线上，连接ＢＥ，ＣＤ，Ｍ，Ｎ分别为ＢＥ，ＣＤ的中点. 求证：（1）ＢＥ＝ＣＤ；（2）△ＡＭＮ是等腰三角形.将等边变等腰，一字之变，但面目全非. 在解题过程中要“咬文嚼字”，可培养严密的逻辑思维和思维的变通性，培养学生细心、严谨的学习态度.拓展（1）在图3的基础上，将△ＡＤＥ绕点Ａ旋转１８０°，其他条件不变，得到图4．请直接写出上述两个结论是否仍然成立；在图4中延长ＥＤ交线段ＢＣ于点Ｐ．求证：△ＰＢＤ∽△ＡＭＮ.（2）在旋转过程中，设直线ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｐ，当９０°＜∠ＢＡＣ＜１８０°时，直接写出∠ＣＰＢ与∠ＭＡＮ之间的数量关系.通过研究旋转特殊角时的结论，从不同角度、不同方面揭示题目的本质，使学生能根据情况变化，积极思索，设法找出解决问题的办法，防止并消除呆板和僵化，培养思维的灵活性，激发学生的求知欲. 同时可以使学生领会知识的潜在脉络，提高综合解决问题的能力.变式三：改变背景在直角坐标系中，设点Ｂ在原点Ｏ处，Ｄ（１，０），以ＯＤ为边作等边三角形ＯＤＡ，Ｅ在ｘ轴上，以ＡＥ为边作等边三角形ＡＥＣ，直线ＣＤ交ｙ轴于点Ｓ，当点Ｅ在ｘ轴上运动时，试探究点Ｓ的位置有何变化.将旋转后的图形放到平面直角坐标系中，进行变式设计，让学生通过类比、联想，大胆思考，把学生思维引向更高层次，让学生做到“遇新题，忆旧题，多思考，善联想，多变换，找规律”. 通过“变”来实现知识迁移，激发创造性思维，再由思维激思维，使思维发生“连锁反应”，从而提高学生思维的广阔性.拓展：把正三角形变为正方形如图6，正方形ＣＧＥＦ的对角线ＣＥ与正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ在同一直线上（ＣＧ＞ＢＣ），取ＡＥ的中点Ｍ，连接ＤＭ并延长交ＣＥ于点Ｎ，探究线段ＦＭ，ＤＮ的关系，并加以证明.将正三角形变为正方形，设计结论开放题，打破原有的封闭思维模式，从多角度、多方位、多层次进行思考，展开合理的联想和想象，运用开放的思维方式解决问题，开拓解题思路，克服学生思维狭窄性，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成.总之，高度重视课本，加强课本例习题的探究与拓展，不仅可以激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，让学生从不同的角度去观察问题、分析问题，而且有利于养成良好的思维习惯和品质，从而提高分析问题、解决问题的能力，有利于学生探究意识的形成.。
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感受．
二、 通过变式练 习渗透数学思想方法
数学思想方法是数学知识 的精髓． 中往往将 课本
５ ６
喟吓・
螺
囊
暖ｌ蛋臣ｌ｜■
数学思想方法蕴含 于数学 知识 中． 师要 站在更高 的 设 置不同 的坡 度和难度 ，使 不同水平 的学生都 能参 教 从而激 发他们 的探 索欲 ， 有效 提升数学思 维 层次上理解课 本 、 掘课 本 ， 挖 将灵 活多样 的变式练 习 与其 中 ， 作为一个 有效载体 ，使数 学 的思 想方法渗透 在教学 层 次 ． 的全过程 中． 学生通 过不 断积 累 ， 逐渐 内化为 自己 的
边 形Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ是 ＡＡ Ｃ的 内接矩 形 ，一边在 Ｂ Ｂ Ｃ上 ， 其
的长 ．
图 ８
Ｋ Ｈ
ｃ
余 两个顶点分别 在 Ａ ， ． Ｂ ＡＣ上 若矩形 一边长 为 ３ 求 ，
另一边长 ． ２渗 透 函 数 与 方 程 的 思 想 方 法 ．
这 一变 式 中 ， 了进 行条 件 和 图形 的变 化 外 ， 除
在直线 Ｂ Ｃ上 ， 顶点 Ｄ， Ｇ分别在 边Ａ Ａ Ｂ， Ｃ上 ，矩形 Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ的边
图２
Ａ
顶点 Ｄ， Ｇ分别在 Ａ Ａ Ｂ， Ｃ上． 已
知 ＡＡ Ｃ的边 Ｂ Ｂ Ｃ长 ６ ０厘米 ，
长会变化 吗？为 什么？（ 参见图
３ 图 ４ 、 ）
Ｂ
图３
变式 ４ 上题 中 ，若 Ｂ Ｃ长 为 ｚ Ｈ 长 为 ｈＤ ， Ａ ， Ｇ长 为 口 Ｄ ，Ｅ 长为 ｂ ，写 出 ｚｈ 口ｂ之 间的等 ，， ，
张 蠛
课本是最重要 的教学资料 ，课本 中的例题是 经 决 问题的过程 中发现殊途 同归 ，是对所 学基础知识 过 编者们精 心选择 的问题 ， 有典型性 、 范性 、 具 示 系 的加深和巩 固． ２以 多图一解促基本 图形的巩 固 ． 统性． 把课本 中的例题吃透 ， 可以实现以少胜多 ， 事半
经验和 自觉的意识．
１ 透 分 类 的思 想方 法 ． 渗
变式 １ 如图 ８ ０ ，在直 角 ＡＡ Ｃ中 ，： Ｂ ＝ Ｂ 斜边 Ｃ
１， ２ 如果 ＡＤＧ Ｋ是 ＡＡ Ｃ的 内接 Ｂ
等边 三 角形 ， Ｄ ／Ｂ ， ＝ ， 且 Ｇ ／ Ｃ ＤＧ ４ 变式 ５ 锐角 ＡＡ Ｃ中 ， Ｃ １ ，高 Ａ Ｂ Ｂ ＝２ 日为 ８ 四 求 这个 直 角三 角 形 两 条 直 角 边 ，
量关系式． 图４ 这一过程 中 ， 虽然 图形发生 了变化 ， 同样 可以 但
Ｐ
得 出本 质相 同的关 系式． 这样进行变式 ， 在使学 生熟
悉基本 图形的同时 ，又揭示 了这类基本 图形 中始终
存在的比 例关系， 孚＝ 即： 与 ， 更是帮助学生发现
几
“ ” 变 中的“ 不变 ” 体会数学 问题 的本质 ． ， 在具体教 学
图５
不存 在 ， 说 明理 由 ； 请 若存 在 ， 求 请
本 题融合 了化 归 、 分类 等数学思想 和方法 ， 了 成 道存在性 问题 ． 学生进行分类 、 论 ， 讨 探究 出问题 的
四、 通过变式练 习增强 学习兴趣 。 养探 究精神 培
数形结 合的思想是 研究数学 的一种重要 的思想 出 ＤＧ的长 ．
曩
囊
ห้องสมุดไป่ตู้
■■盈匿垂溜
主持人 ： 闻 李
Ｅｍ ａＩｉ ｕ ｇ ５ ０＠ １ ６．Ｏ ｉＩ ａｎ ｄｅ ２ ：ｃｈ ２ Ｃｒ ｎ
变式训 练是我 国数 学教 育成功 经验 之一 ， 抓住 课本
例 题 进 行 变 式训 练 ， 就抓 住 了变式 训 练 的根 本 ．
课本 中一道例题 的
变 练习棵 究
上（ 与 ， 曰不 重合 ）Ｇ在 Ａ ， Ｃ上． 试 问： 在线段 Ｂ Ｃ上是 否存在一 点 ，
变式 ７ 上题 中 ，当矩形 面
积为 １ 时 ， Ｆ ８ 求 Ｇ的长．
Ｂ Ｅ Ｈ Ｆ Ｃ
使得 ＡＤ Ｍ 为等腰直角三角形？ Ｇ 若
Ｂ
３ ． 渗透数 形结合 的思想方法
还 与 直角 三 角形 的知 识相 关 ，这 就需 要 学 生能 将 所学 的知 识综 合运 用 ．
变式 ６ 如 图 ５ ，在上题 中，若设 Ｄ ＝ ，矩 形 Ｅｘ
ＤＦ Ｅ Ｇ的面积 为 ｓ ，求 ｓ关 于
的函数解析式及定义域 ．
变式 １ 如 图 ９ １ ，已知 ＡＡ Ｃ中 ， Ｂ ：， Ｃ ３ Ｂ Ａ ＝ Ｂ ＝， ５ ｃ 、 １ ， Ｇ／Ｂ ， 点 在 边 Ａ ＝ ／０ Ｄ ／ ＣＤ Ｂ
容、 渗透数 学思想方 法 、 升思维能力 、 提 培养 探究精 条件不变 ， 求矩形 Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ的边长． 神等视角 ， 对例题 的变式练习作些探索．
的边 Ｅ Ｆ在 ＡＡ Ｃ的边 Ｂ Ｂ Ｃ上 ，
变 式 ３ 如 果 改 变 ＡＡ Ｃ Ｂ
Ｅ Ｈ Ｆ ｃ
课本 中的原题是 这样 的 ： 图 １正 方形 Ｄ Ｆ 的形状 ，但保持 边 Ｂ 如 ， ＥＧ Ｃ与高 Ａ Ｈ Ｂ 的长不变 ，矩 形 Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ的边 Ｅ Ｆ
方法 ， 根据数 与形之 间的对应关 系 ， 通过数 与形的相
互转化来解决数学问题． 边形 Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ是 △ＡＢ Ｃ的 内接矩形 ， 边在 Ｂ 一 Ｃ上 ， 其
一
变式 ８ 锐 角 ＡＡ Ｃ中 ， Ｃ １ ，高 Ａ Ｂ Ｂ ＝２ Ｈ为 ８ 四 结果 ， ， 思维能获得提升．
功倍 的效 果． 尤其是对例题进 行适 当的变式 ， 以帮 可
增强学生的学 习兴趣 ， 提高学生的学 习效率．
实质 上很 多几何 图形都具有相 同的本质 ，只有 变式 ２ 如图 ２ 将条件“ ， 正方形 Ｄ Ｆ ” Ｅ Ｇ 改为 “ 矩
助学生更好地理 解例题 ， 拓展学生考虑 问题 的思路 ， 掌握本质 ， 才有解决问题的钥匙． 本文试 图从课本 中的例题 出发 ，就夯实基础 内 形 Ｄ Ｆ 且 Ｄ ：Ｅ ３２ ， 他 Ｅ Ｇ， ＧＤ ＝ ： 其 ”