函数值域(直接法,分离常数法
值域常见方法总结
值域常见方法总结一、单调性法例1、求函数y x =的值域。
例2、求函数y =的值域。
二、反解法：先反求出关于x 的表达式，利用求已知函数的反函数的定义域解不等式，从而求出值域。
例3、求函323-+=x x y 的值域。
例4、求函数1251+-=x y 的值域。
三、分离常数法：例5、求11+-=e ex x y 的值域。
例6、求函数2332x y x +=-的四、 基本不等式法：要注意“一定，二正，三相等”，利用重要不等式ab b a 2≥+，()+∈R b a ,求出函数的最值而得出值域的方法。
此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。
例7、求函数2302++-=x x x y 的值域。
例8、函数)2(log log 2x x y x +=的值域。
例9、求228x x y -=的值域。
五、换元法（一定要注意新元的取值范围）1、 x 的次数有梯次的，常换成二次的。
2、若是其次的，常进行三角换元。
例10、求函数y x = 例11、求x x y 312+-=的值域。
六、数形结合法1、 当题目是比值的形式，常采用求斜率k 的范围来求值域。
2、 利用点到直线的距离或点到点的距离来结合图形来求值域。
例12：求函数31y x x =--+的值域。
例13、求x x y sin 1cos 3-+=的值域。
例14、求5sin 4sin cos 2cos 22+-+-=x x x x y 的值域。
七、导数法：高次函数和混合函数常用导数法来做。
例15、求255345+---=x x x y 在区间[]4,2-上最大值和最小值。
例16、求)1ln(2+-=x x y 的值域。
八、一次分函数 形如ax by cx d +=+0,d c x c ⎛⎫≠≠- ⎪⎝⎭ 例17、求132-+=x x y 的值域。
函数的值域
的函数就可以将 cx＋d设为 t，将原来函数中的 x 都用 t 来表示，就可以得到一个关于 t 的二次函 数，然后再求值域就方便很多。但是要注意新的 自变量 t 的取值范围。 ②f[g(x)]符合函数求值域，可以设 t＝g(x)，同样 是将原来的复合函数变成一个关于 t 的简单函数 在求解。同样要注意 t 的取值范围。
式。 首先，求值域的方法有：1、观察法，这个方法适
合比较简单的函数，或者有的函数变形后变成了 9、导数法，
一个简单形式的函数，我们都可以用观察法直接 10、分离常数法。
得出答案。
x－1 例 1． 15．函数 y＝ x 的值域是（ ）
2、配方法，这个方法适合二次函数或二次函数类
型的函数求值域。
A．[﹣ ， ] B．[0， ]
函数的值域
a2x＋a－2x＝t2－2；若令 1－x＋ 1＋x＝t，就有
函数的值域，也就是函数值的取值范围．与求函 数定义域的方法相比，求值域的方法要多很多，
t2－2 1－x2＝ 2 ． ④其他形式的换元法请在以后的学习中总结。
题目的类型也是多种多样，有的题目可以同时用 4、图象法，对于能够画出图象进行分析的题，我
x22x1－x2－ x1x2
x12x2－x1 中，分子＜0 ，分母＞ 0，
∴
x22x1－x2－ x1x2
x12x2－x1＜0，也就是 f(x1)－f(x2)
＜0，所以原函数在区间[1，2)一个单调递增的函
数，同理易知当 x∈[2，＋∞)时，函数单调递减。 所以当 x＝2 时，函数有最大值，最大值为 12，当 x＝1 时有最小值，最小值为 0．所以值域就是[0， 12]。 方法五：求导法。利用导数的知识来判断函数的
x－1 y＝ x ＝
函数定义域值域方法总结打印版1
函数定义域、值域求法总结一、函数的定义域❖ 基本方法：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠1、一般函数定义域求法例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=211)(2、复合函数定义域的求法例2 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7 已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域练习：1 、已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
[2,25-）2 、已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域3 、若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （）Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 、已知函数()11x f x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ） Ａ．AB B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法 （4）配方法（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法（9）复合函数法 （10）不等式法1、 直接法例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1)② ）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ 求函数y =3+x 32-的值域例2 求下列函数的最大值、最小值与值域（二次函数在区间上的值域(最值)）：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,——————开口、对称轴、定义域2、单调性法例3 求函数y=4x －x 31-(x ≤1/3)的值域。
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
函数值域定义域方法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）y=tanx 中x ≠k π+π/2； ( 5 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；练习：1、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 法二：换元法(下题讲)例4 求函数x x y -+=12 的值域例7 求13+--=x x y 的值域例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫⎝⎛= 的值域例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 例11 求函数21+-=x x y 的值域小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ； 例12 求函数133+=x xy 的值域例14 求函数34252+-=x x y 的值域 例15 函数11++=xx y 的值域复合函数单调性一、 函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).2.反比例函数y=x k(k ≠0). 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 三、复合函数单调性相关定理规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
高中数学必修一第二章：函数.第一节：值域
高中数学（人教B 版）必修一：第二章 函数2.1.1 函数函数的值域一.值域：在函数y=f(x)中，由所有函数值构成的集合：{y |y=f(x)，y ∈A}，叫做这个函数的值域。
值域即因变量y 的取值范围，是函数的象的集合。
二.基本函数的值域： ①.一次函数y=kx+b [ y ∈R 或（-∞，+∞) ]②.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0） ( , +∞)③.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0） (-∞, ) ④.反比例函数y= [ y ≠0或（-∞，0) ∪（0，+∞)] 二.求函数的值域的方法：方法一.观察法：例一：求函数y= 的值域.例二：求函数y= 的值域.规律总结：当x ≥2时， = 。
当x ≤2时， = 。
当x ≥-2时， = 。
当x ≤-2时， = 。
方法二.分离常数法：——适用于分式。
例三：求函数y= 的值域.4a 4ac-b 2 4a 4ac-b 2 k x 1 1 x 2+1 x 2-1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x-1 x+1例四：求函数y= 的值域.方法三.反表示法：用y 表示f(x).——适用于形如y= 的函数。
例五：求函数y= 的值域.方法四.二次函数配方法：配方、画图、截断——适用于形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c 的函数。
例六：求函数y=x 2-4x+5的值域.方法五.换元法：——适用于带根号且根号下为一次式的函数。
例七：求函数y=x+ 的值域.方法六.判别式法：——适用于二次分式函数。
例八：求函数y= 的值域.x 2-1 x 2+1 af(x)+b cf(x)+d 2x-1 x+1 2x+1 x 2-3x+4 x +3x+4。
分离常数法在数学解题中的应用
分离常数法在数学解题中的应用分离常数就是把分子分母中都有的未知数的数学式子变成只有分子或者只有分母有的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
通过这样的变形可以使式子简化并解决实际问题。
下面通过举例介绍分离常数法在数学解题中的应用。
1求函数值域例1：求函数y=■的值域解：y=■=■=1-■∵x■+1≥0∴-2≤■＜0从而-1≤y＜1所以函数y=■的值域是y∈[-1,1)例2：求函数y=■的值域解：y=■=■-1+■∵-1＜sinx≤1∴y≥0∴函数 y=■的值域是y∈[0,+∞)2讨论函数的单调性例3：讨论函数 y=x-■在区间[1,+∞)y=x-■在区间[1,+∞)上的单调性解： y=x-■=■在区间[1,+∞)上，由于x与■是单调增加所以x+■在区间[1,+∞)也是单调增加，从而y=x-■=■在区间[1,+∞)是单调减少的。
例4：讨论函数y=■的单调性解：y=■=■=■=1+■设0＜x1＜x，则1＜10■＜10■，从而0＜10■-1＜10■-1，所以■＞■即f(x1)＜f(x2)∴y=■在(0,+∞)上是单调减少；同理可证y=■在(-∞,0)上也是单调减少。
3求最值例5：求函数y=■(x■＞-1)的最小值解：y=■=■=■=(x+1)+■+5≥２■+5=9当且仅当(x+1)=■，即x=1时取等号所以函数y=■(x■＞-1)的最小值是9。
4数列中的应用例6：求和sn=■+■+■+…+■解：因为■=■=1+■=1+■(■-■)所以sn=[1+■(1-■)]+[1+■(■-■)]+[1+■(■-■)]+…+[1+■(■-■)]=1+1+…+1+■[(1-■)+(■-■)+(■-■)+…+(■-■)]=n+■(1-■)=■。
以上通过6个例子介绍了分离常数法在解数学题中的应用，可以看出，利用分离常数法，可以使复杂问题简单化，繁琐问题简洁化，从而更好更快地解决实际问题。
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.4分离常数参数法讲理
方法四分离（常数）参数法
分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
1分离常数法
分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.
1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有，
，，等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.
例1. 已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由函数为奇函数可得，即，可得．（Ⅱ）分离常数可得，故函数为增函数，再由，可得，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得在时恒成立，令，则有
，根据函数的单调性可得函数的最大值，从而可得实数的取值
范围
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴函数在上单调递增，
又，
∴，
∴．
∴函数的值域为．
（Ⅲ）当时，．
由题意得在时恒成立，
∴在时恒成立．
令，
则有，
∵当时函数为增函数，。
专题04函数的定义域值域的求法
专题04 函数的定义域、值域的求法【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域； ②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域． 3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. 3.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.4.利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx cy dx e++=+：换元→分离常数→a y x x =±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin xa y f a y f x y f x ===：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b =+,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：x x ==③ 极值点坐标：(,-④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),2,a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a >② 函数的零点：x =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞【经典例题】例1【2017山东理】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（ ）（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)例2【2018（ ）D.例3【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】已知函数()()2231,3{2,3x a x a x f x a x --++≤=>（0a >且1a ≠），若()fx 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 550,1,64⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D. ()50,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭例4【2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末】若满足条件：上的值域为的取值范围是（ ）A. （﹣∞，ln2﹣1）B. （﹣∞，ln2﹣1]C. （1﹣ln2，+∞）D. [1﹣ln2，+∞）例5.已知函数22y x x =+在闭区间[],a b 上的值域为[]1,3-，则满足题意的有序实数对(),a b 在坐标平面内所对应点组成图形为（ ）A. B.C. D.例6.（1）函数()1f x =的值域为（ ）A. []3,1-B. [)1,-+∞C. ⎡⎣D. 1⎡⎤-⎣⎦（2）函数()f x =）A. (),1-∞B. (],1-∞C. (]0,1D. []0,1（3）函数()f x =的值域为________例7：（1）函数2224723x x y x x +-=++的值域为（ ）A. 9,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 7,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 7,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）函数sin 1cos 2x y x -=+的值域为_________例8.设且，函数在的最大值是14，求的值．例9【2018届山西省太原市实验中学高三上学期9月月考】已知函数()1(1)1x xa f x a a -=>+ (1)判断函数()f x 的奇偶性. (2)求()f x 的值域.例10【2018届安徽省宿州市汴北三校联考高三上学期期中】已知()2ax bf x x+=是定义在][(),31,b b -∞-⋃-+∞上的奇函数.（1）若()23f =，求,a b 的值;（2）若1-是函数()f x 的一个零点，求函数()f x 在区间[]2,4的值域.【精选精练】1．【2018届二轮同步（高考题）】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A. y ＝xB. y ＝lg xC. y ＝2xD. y2．【2019届高考一轮】已知集合则A∩(∁R B)=( )A. [-3,5]B. (-3,1)C. (-3,1]D. (-3,+∞)3．【2018届安徽合肥八高三上学期期中】函数()ln 3x f x +=( )A. (－3,0)B. (－3,0]C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)D. (－∞，－3)∪(－3,0)4．【2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟】已知集合( ) B.5．已知函数()2xy f =的定义域是[]1,1-，则函数()2log y f x =的定义域是（ ）A. ()0,+∞B. ()0,1C.[]1,2 D. ⎤⎦6．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知函数()1y f x =+的定义域是[]0,3，则()xy f e =的定义域是（ ）A. []0,2ln2B. []1,2ln2C. (],ln3-∞D. (],ln2-∞7．下列四个函数：①y＝3－x ；②y＝2x －1(x>0)；③y＝x 2＋2x －10；④y＝()0{ 1(0)x x x x≤>，其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48．【2018届江西省高三监测】函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称函数()f x 为“成功函数”.若函数()()2xmtmf x log +=（其中0m >，且1m ≠）是“成功函数”，则实数t的取值范围为（ ）A. ()0,+∞B. 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦9．【2018届北京西城31中高三上期中】若__________．10．【2018届南京市、盐城市高三一模】设函数1xx y e a e=+-的值域为A ，若[)0,A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是________．11．【2018届北京市西城区高三期末】已知函数()2,2,{ 1, 3.x x x c f x c x x+-≤≤=<≤ 若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值范围是____． 12．已知函数()f x 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为()f x 的保值区间，若()ln f x x m x =+-的保值区间是[)e,+∞，则m 的值为__________.。
求值域的十种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。
【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。
【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。