高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨(向东来)
叉乘运算公式推导
叉乘运算公式推导叉乘运算，这可是数学中的一个重要概念呢！对于很多同学来说，一听到“叉乘”可能就有点头疼，但别怕，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是叉乘。
简单来讲，叉乘就是向量之间的一种乘法运算，它的结果还是一个向量。
那为啥要研究这个呢？这就好比我们在生活中，有时候要通过不同的方向和力量来解决问题，向量的叉乘就能帮我们弄清楚这些复杂的关系。
咱们来看看叉乘运算的公式是咋推导出来的。
想象一下，我们在一个三维空间里，有两个向量 A 和 B。
为了推导方便，咱们把这两个向量的起点都放在原点。
向量 A 可以表示为 (A₁, A₂, A₃)，向量 B 可以表示为 (B₁, B₂,B₃) 。
那它们的叉乘 C 就等于 (C₁, C₂, C₃) 。
接下来就是关键的推导过程啦！咱们先从二维的情况开始。
假设在平面上有两个向量 a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) ，它们的叉乘的大小等于 x₁ * y₂ - x₂ * y₁。
这个式子是不是看起来有点抽象？别担心，我给您举个例子。
有一次我在公园里散步，看到园丁在规划花坛。
他要把一块长方形的地分成不同的区域，种上不同的花。
这个长方形的两条边就可以看成两个向量，通过计算它们的叉乘，就能知道这个区域的面积大小。
您看，数学在生活中是不是还挺有用的！回到三维的情况，我们可以通过行列式来计算叉乘。
具体来说，C₁ = A₂ * B₃ - A₃ * B₂，C₂ = A₃ * B₁ - A₁ * B₃，C₃ = A₁ *B₂ - A₂ * B₁。
这个推导过程其实是基于向量的几何性质和一些基本的数学原理。
比如说，叉乘的结果向量垂直于原来的两个向量，而且它的大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
在学习叉乘运算公式推导的过程中，可能一开始会觉得有点难，但只要多做几道题，多想想其中的道理，慢慢地就能掌握啦。
就像我们刚开始学走路的时候，可能会摇摇晃晃，但只要坚持不懈，就能走得稳稳当当。
向量叉乘Cross_Product
向量叉乘Cross_Product向量叉乘（Cross Product）在数学和物理学的广阔领域中，向量叉乘是一个极为重要的概念。
它不仅在理论研究中有着深刻的意义，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
首先，我们来理解一下什么是向量。
向量，简单来说，就是既有大小又有方向的量。
比如，一个物体在空间中的运动速度，不仅有快慢（大小），还有方向，这就是一个向量。
而向量叉乘，则是针对两个向量的一种特定运算。
想象一下，在一个三维空间中，有两个向量 A 和 B。
向量叉乘的结果是一个新的向量 C，这个新向量的方向垂直于原来的两个向量 A 和B 所构成的平面。
而且，它的大小与 A 和 B 的长度以及它们之间的夹角有关。
具体来说，向量叉乘的大小等于 A 的长度乘以 B 的长度再乘以它们夹角的正弦值。
如果两个向量平行，那么它们的夹角为 0 度或 180 度，正弦值为 0，所以叉乘的结果就是零向量。
但如果两个向量垂直，夹角为 90 度，正弦值为 1，此时叉乘的结果达到最大值。
那么，向量叉乘在实际中有哪些用途呢？在物理学中，它被广泛用于计算磁场对电流的作用力，也就是洛伦兹力。
当电流在磁场中流动时，通过向量叉乘可以准确地计算出磁场对电流元的作用力的大小和方向。
在计算机图形学中，向量叉乘用于判断物体的朝向和计算表面的法线。
比如，在三维建模和游戏开发中，为了让物体看起来更加真实，需要准确计算光线与物体表面的交互，这就离不开向量叉乘。
再比如，在机器人学中，当机器人需要在复杂的环境中移动和操作时，向量叉乘可以帮助计算关节的运动方向和力的作用效果，从而实现精确的控制。
为了更直观地理解向量叉乘，我们来看一个具体的例子。
假设有一个向量 A ＝（1, 0, 0)，另一个向量 B ＝（0, 1, 0)。
那么它们的叉乘 C等于（0, 0, 1)。
可以看到，新向量 C 的方向垂直于 A 和 B 所构成的平面，即 z 轴正方向。
在计算向量叉乘时，我们可以使用行列式的方法。
向量积的运算公式叉乘
向量积的运算公式叉乘向量积，又称叉乘或向量叉积，是向量运算中的一种重要操作。
它不同于向量的加法和乘法，而是通过向量之间的夹角和长度来定义的。
叉乘的运算结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并遵循右手法则。
在三维空间中，两个非零向量a和b的叉乘可以表示为a × b，结果为一个新的向量c。
这个向量c的长度等于a和b之间夹角的正弦值乘以a和b的长度的乘积。
方向则受到右手法则的支配，即将右手的食指沿着a的方向伸出，中指沿着b的方向伸出，那么拇指的方向就是c的方向。
具体地，设a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)是两个非零向量，它们的叉乘可以用以下公式计算：c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)叉乘运算可以用来求解多个问题。
首先，它可以用来求解两个向量的垂直性。
如果两个向量a和b的叉乘结果为零向量，即a × b = 0，那么a和b是平行或共线的；如果结果不为零向量，那么a和b 是垂直的。
叉乘还可以用来计算平面的法向量。
假设平面上有两个非零向量a 和b，通过叉乘运算可以得到一个垂直于这个平面的向量c。
这个向量c就是该平面的法向量，它可以用来表示平面的方向和倾斜程度。
叉乘还可以用来计算平行四边形的面积。
设平行四边形的两条边分别为a和b，那么平行四边形的面积可以通过计算a和b的叉乘的长度得到。
由于叉乘结果的长度等于a和b之间夹角的正弦值乘以a和b的长度的乘积，所以平行四边形的面积可以表示为：S = |a × b|叉乘还可以用来计算三角形的面积。
设三角形的两条边分别为a和b，那么三角形的面积可以通过计算a和b的叉乘的长度的一半得到。
由于叉乘结果的长度等于a和b之间夹角的正弦值乘以a和b的长度的乘积，所以三角形的面积可以表示为：S = 1/2 |a × b|叉乘还有一些其他的应用。
例如，在物理学中，叉乘可以用来计算磁场的方向和力矩的大小。
向量叉乘公式证明
向量叉乘公式证明向量叉乘，这可是个让不少同学挠头的知识点呢！但别担心，咱们一起来把它拿下。
先来说说啥是向量叉乘。
简单来讲，向量叉乘就是一种运算，能得到一个新的向量。
比如说有两个向量 A 和 B ，它们的叉乘就记为 A×B 。
那向量叉乘公式是咋来的呢？这就得从向量的定义和性质说起啦。
咱们假设向量 A = (a₁, a₂, a₃) ，向量 B = (b₁, b₂, b₃) 。
那它们的叉乘 A×B 等于啥呢？这就得引入行列式啦！A×B 的结果是一个新的向量，其坐标可以通过下面这个三阶行列式来计算：| i j k || a₁ a₂ a₃ || b₁ b₂ b₃ |这里的 i 、 j 、 k 分别是 x 、 y 、 z 轴上的单位向量。
计算这个行列式可得：A×B = (a₂b₃ - a₃b₂) i - (a₁b₃ - a₃b₁) j + (a₁b₂ - a₂b₁) k为了更好地理解这个公式，我给大家讲个小例子。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学一脸迷茫地看着我，问：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我当时灵机一动，指着教室里的吊扇说：“你看，那吊扇转起来的时候，扇叶的运动方向不就可以用向量叉乘来描述嘛！” 同学们一听，眼睛一下子亮了起来。
咱们继续说这个公式的证明。
要证明它，就得从向量的基本运算和几何意义入手。
首先，咱们来看看叉乘的模长。
|A×B| = |A|×|B|×sinθ ，这里的θ 是A 和B 之间的夹角。
然后，咱们再分别计算 A×B 在 x 、 y 、 z 轴上的分量。
通过一系列的代数运算和几何关系的推导，就能得出前面咱们提到的那个公式啦。
在证明的过程中，可不能马虎，每一步都要想得清清楚楚。
其实啊，向量叉乘在很多领域都有大用处。
比如在物理学中，计算力矩、磁场力啥的都离不开它。
想象一下，你在玩陀螺，陀螺旋转的方向和力度，都可以用向量叉乘来解释。
数学基础知识01——向量叉乘
数学基础知识01——向量叉乘⾸先说⼀说向量点乘，向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)
设a和b所在坐标系是正交的，坐标系向量为(i, j)
a•b= x1*x2+y1*y2+ 2*(x1y2+x2y1)*(i•j)
由于向量(i)和(j)相互垂直，所以(i•j) = 0;
故
a•b = x1*x2+y1*y2;
同理，在空间坐标系下，向量a=(x1, y1, z1) 和向量b=(x2, y2, z2)；
a•b = x1*x2+y1*y2+z1*z2;
⽤矩阵计算，可以这样表⽰
然后再说⼀说向量叉乘，在空间中，两个（不平⾏）的向量决定了⼀个平⾯
两向量叉乘，得到的是⼀个向量，⽽这个向量就是这个平⾯的（⼀个）法向量，（即垂直于这个平⾯）设这两个向量为a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)；
通过矩阵可以求得两向量的向量积
该向量设为c=(y1*z2-y2*z1, x2*z1-x1*z2, x1*y2-x2*y1);
向量c点乘向量a和向量b都为0
⽤矩阵来计算，aXb可以表⽰为
我们只需要反过来求得前⾯的矩阵就可以了，这个很简单
好，求出前⾯的矩阵之后，我们以后就可以使⽤矩阵来表⽰叉乘了
aXb = (aX)•(b),
⽽(aX)就是这个3x3的反对称矩阵。
高中数学解向量积的运算和性质的详细分析
高中数学解向量积的运算和性质的详细分析在高中数学中，向量积是一个重要的概念，它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学等其他学科中也起到了重要的作用。
本文将详细分析向量积的运算和性质，以帮助高中学生更好地理解和应用该概念。
一、向量积的定义和运算向量积，又称为叉乘或矢量积，是两个向量的运算，其结果是一个新的向量。
向量积的定义如下：设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b，其运算规则如下：1. 向量积的模等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，即|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b的夹角。
2. 向量积的方向垂直于原来两个向量所在的平面，其方向由右手定则确定。
右手定则的具体规定是：将右手的食指指向a，中指指向b，那么向量积的方向就是由右手的拇指所指的方向。
举例说明：假设有两个向量a=2i+3j和b=4i-5j，我们来计算它们的向量积a×b。
首先，计算向量积的模：|a×b|=|a||b|sinθ=√(2^2+3^2)√(4^2+(-5)^2)sinθ=√13√41sinθ。
然后，确定向量积的方向：根据右手定则，将右手的食指指向a，中指指向b，那么向量积的方向就是由右手的拇指所指的方向。
综上所述，向量积a×b的模为√13√41sinθ，方向由右手定则确定。
二、向量积的性质向量积具有以下几个重要的性质，它们对于解题和理解向量积的运算起到了重要的指导作用。
1. 向量积的交换律：a×b=-(b×a)。
这意味着向量积不满足交换律，其结果的方向相反。
2. 向量积的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
这意味着向量积满足分配律，可以将向量积与向量的和分开计算。
3. 向量积的结合律：a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c。
这个性质是向量积的重要性质之一，它将向量积与点积联系起来，可以用于简化向量积的计算。
平面向量的叉乘及应用
平面向量的叉乘及应用平面向量是数学中常见的概念，我们通常用箭头表示一个平面向量。
平面向量之间有着丰富的数学运算，其中一项重要的运算是叉乘。
本文将介绍平面向量的叉乘运算及其应用。
一、平面向量的叉乘定义首先，我们来回顾平面向量的定义。
平面向量是具有大小和方向的有序数对。
假设有平面向量A和B，分别表示为A = (a1, a2)和B = (b1, b2)。
根据平面向量的定义，我们可以定义两个平面向量的叉乘C 为：C = A × B = a1b2 - a2b1其中，C为叉乘的结果，表示一个新的平面向量。
叉乘的计算公式为a1b2减去a2b1。
平面向量叉乘的结果是一个新的向量，它的大小以及方向都与所计算的向量有关。
接下来，我们将介绍平面向量叉乘的应用。
二、平面向量叉乘的应用1. 判断平行和垂直平面向量的叉乘可以用来判断两个向量是否平行或垂直。
根据叉乘的定义，如果两个平面向量A和B的叉乘结果C等于0，则表示向量A和向量B是平行的。
因此，可以利用叉乘的结果来判断向量的关系。
另外，如果两个向量的叉乘结果C的大小等于|A||B|，则表示向量A和向量B是垂直的，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
这是因为当两个向量垂直时，其叉乘结果的大小为两个向量模的乘积。
2. 计算面积平面向量的叉乘还可以用来计算平行四边形的面积。
当两个向量A和B构成一个平行四边形时，其叉乘结果C的大小等于平行四边形的面积。
这是因为两个向量的叉乘结果C是这个平行四边形的两条对角线的叉乘。
例如，如果有两个向量A = (a1, a2)和B = (b1, b2)，则平行四边形的面积等于|A × B|，其中|A × B|表示向量A × B的模。
3. 求解法向量在几何学和物理学中，我们经常需要求解一个平面的法向量，即与该平面垂直的向量。
平面向量的叉乘可以帮助我们求解法向量。
假设有两个平面向量A和B，其中A表示平面上的一条向量，B表示平面上的另一条向量。
向量的叉乘运算
向量的叉乘运算1 向量叉乘向量叉乘（Vector Cross Product）是数学中的一项运算，它用来表示两个向量相交产生的另一个新的向量。
它可以用来描述交叉积、变换矩阵，以及一些平面的变换。
传统的向量叉乘指一种叫做“左乘右导”的叉乘，这种叉乘认为有两个基本方式：笛卡尔积和极坐标。
2 笛卡尔积叉乘笛卡尔叉乘主要用在施加变换和求力矩阵，它即指叉乘结果为笛卡尔坐标系所表达的矢量。
当两个向量都以笛卡尔坐标值来表示时，向量叉乘作为一种计算方法，用向量的积分来表示：x =[i,j,k]y =[s,t,u]x，y分别表示两个向量，用笛卡尔坐标来表示的时候，x，y的叉乘为：x × y= [i*s, j*t, k*u]3 极坐标叉乘极坐标叉乘也叫场旋，这种叉乘认为是两个向量构成的平面法线的方向，在三维空间中形成相交轴线的夹角，而用极坐标表示就是Δφ和Δρ。
x =[Φ,ρ,z]y =[Φ',ρ',z']用极坐标表示的时候，x，y的叉乘为：x× y = Δρ(-sinΔΦ,cosΔΦ,0)4 向量叉乘的几何意义叉乘有着非常重要的几何意义，这个结果表示相交轴线方向的角度。
向量叉乘可以解决许多三角几何问题，例如计算三角形的面积、求解法向量和计算回转角等，因此向量叉乘非常重要。
5 向量叉乘的法线方向向量叉乘能够获得相交轴线方向的角度，这里说的法线方向是指两个向量A和B在三维空间中所形成的平面的法向量，法向量的方向可以通过确定A,B在三维空间中形成的相交轴线的角度而确定的。
也就是说，通过叉乘的结果就可以确定两个向量在三维空间中形成的法向量的方向。
向量的点乘和叉乘
向量的点乘和叉乘
向量的点乘：（粗体代表向量）
向量的点乘又称为内积，设两个向量为A{x1,2,x3......xn}，B{y1,y2,y3,......yn}，该向量的点乘结果为对应子项的乘积和，也就是x1 * y1 + x2 * y2 + x3 * y3 +.........+ xn * yn，点乘结果为一个数值。
向量点乘的另一种表达式为A * B = |A| * |B| * cos
该形式表明，当两个向量的夹角为90度时，两向量的点乘结果为0，此时两向量互相垂直，或者也可以称为两向量正交（0向量和任何向量都正交）。
从第二种表达式中，还可以发现 |A| * cos 就是A在B 上的投影，那么点乘就是A在B上的投影乘以B的长度，可以理解为用来体现两个向量平行程度的大小，当两向量垂直时，平行度最小，值为0。
向量的叉乘：
向量的叉乘又称为向量的外积，设两个向量为 A{a,b,c}, B{d,e,f}，两向量的叉乘结果为C{b*f - c*e, c*d - a*f, a*e - b*d}，计算结果还是个向量。
向量叉乘的另一种表达式为A* B= |A| * |B| * sin，类似的 |A| * sin 就是A在B垂直方向上的分量，所以两向量的叉乘可以表示两向量的垂直程度，当两个向量平行时，叉乘值为0 ，也就是垂直度最小。
向量叉乘的一个重要性质：
假设A和B的叉乘结果为C，则C向量分别和A，B正交，C的方向可以由右手守则来判定。
用右手食指指向A，中指指向B，此时大拇指的方向就是C的方向。
高中数学公式大全平面向量的叉积与向量共线性的计算公式
高中数学公式大全平面向量的叉积与向量共线性的计算公式高中数学公式大全：平面向量的叉积与向量共线性的计算公式一、叉积的定义在平面解析几何中，我们常常会遇到两个向量的叉积运算。
叉积运算通常用符号"×"表示，它的结果是一个向量。
对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积结果为向量c。
二、叉积的计算公式设有两个向量a=(x₁, y₁)和b=(x₂, y₂)，它们的叉积结果为向量c=(x₃, y₃)。
1. 叉积的计算公式一：x₃ = x₁ * y₂ - x₂ * y₁y₃ = y₁ * x₂ - y₂ * x₁2. 叉积的计算公式二：c = | a * b | * n其中，| a * b |表示向量a与向量b的数量积，n是一个垂直于平面的单位向量。
三、向量共线性的计算公式当两个向量平行或反平行时，可以说它们是共线的。
我们常常需要判断两个向量的共线性。
1. 共线性的判定公式一：向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的叉积等于零。
即，a × b = 02. 共线性的判定公式二：向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的方向向量成比例。
即，a = k * b 或 b = k * a，其中k是一个实数。
四、案例分析现在我们来看一个具体的案例，对以上公式进行应用。
案例一：设有向量a=(1, 2)和向量b=(3, 4)，求它们的叉积c和判断它们的共线性。
1. 叉积的计算：x₃ = 1 * 4 - 3 * 2 = -2y₃ = 2 * 3 - 4 * 1 = 2所以向量c=(-2, 2)。
2. 共线性的判断：a ×b = 1 * 4 - 2 * 3 = -2 ≠ 0说明向量a和向量b不共线。
案例二：设有向量a=(2, -1)和向量b=(4, -2)，求它们的叉积c和判断它们的共线性。
1. 叉积的计算：x₃ = 2 * (-2) - 4 * (-1) = 0y₃ = (-1) * 4 - (-2) * 2 = 0所以向量c=(0, 0)。
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c
b
a
θ
高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探
讨
在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表
示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，
能够提升对向量的理解，方便问题的解决。
1.叉乘的定义【1】
要确定一个向量，需要知道它的模和方向。
如图1，对于给定的向量a和b，规定向量
bac
，满足：
（1）模：babac,sin
（2）方向：向量c的方向垂直于向量a和
b（向量a和b
构成的平面），且符合右手定则：
用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着
手心的方向摆动角度)0(到向量b的
方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。
这里的也就是ba,。
这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数
量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。
给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。
…
2.叉乘的性质
（1）显然有0aa
（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即abba，这是
因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则
一定要将手倒过来才能满足0，也就使得积向量反向。
（3）易得对数乘的结合律，即ab)()(baba
（4）可以证明分配律：cbcacba)(或cabacba)(
3.叉乘的几何意义
如图2，在平面上取点,,baOBOAO，作bababa,sin，由三角形面积
公式sin21abS可知ba表示以OBOA,为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是
图1
k
j
i
z
y
x
O
以OBOA,为两边的平行四边形的面积。CBAOOBOA
即OABCOABSS△2ba
4.叉乘的坐标表示
'
将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标
系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。
要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出
发。给定一组单位正交基底kji,,，为满足运算要求，应使kji,,符
合
右手定则，即建立一个右手系，如图3。这样一来就有
ikjjkikji ijkjikkij
从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。
可设),,(),,,(321321321321bbbbbbaaaaaakjibkjia
则ba)()(321321kjikjibbbaaa
由向量叉乘的分配律可知，
),,()()())()()(122131132332122131132332231332123121231332123121(babababababababababababababababababababababababa
kji
ijikjk
jkikkjijkiji原式
即 ),,(),,(),,(122131132332321321bababababababbbaaa
^
这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。
5.叉乘的实际应用
（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了
极大简化。
【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行四
边形的面积。
【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出ACAB和的夹角，再用
图2
图3
sin21abS
等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求ACAB，即为所求面
积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。
【解答】)1,0,1(AB，)1,3,4(AC
43433)5(3)3,5,3(222ABCDS
ACAB
ACAB
（2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。【2】
如图4，对于给定的直线l和点C，可在l上取点
BA,
，则
@
AB
ACABABC
),(d
这是因为ACAB表示平行四边形ABCD的面积，又等于),(dABCAB•，整理即
可得上式。
【例２】已知点A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点C到直线AB的距离
【解答】)1,0,1(AB，)1,3,4(AC
2
86243
),(d433)5(3)3,5,3(222ABACABABC
ACAB
ACAB
（3）求平面的法向量
由于向量叉乘运算bac中bcac且，由立体几何知识可知，如果选取一个平
面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就
可以作为平面的法向量。正是由于法向量在立体几何中的广
泛应用，这种方法也就可以大展身手。
【例3】ABCD为边长为4的正方形，GC平面ABCD，
GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平面EFG的
距离。
【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应
利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离公
式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF
的法向量。下面列出两种解法，以供比较。
(D)
C
B
A
图４
F
E
D
B
A
G
x
z
y
【解法1】如图5，建立空间直角坐标系（坐标原点为C），则A（4，4，0），B（0，4，
0），D（4，0，0），E（4，2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）。设平面EFG的一个法向量
为0)2,4,2(),,()0,2,2(),,(),,,(••••zyxzyxGFEFzyxnnn则
11112112),(d)3,1,1(3,1133•nnnBFEFGB
zyxzyx，则令
【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.
111121148),(d)12,4,4)2,4,2(),0,2,2(•nnnBFEFGB
GFEFEFGGFEF（的法向量为平面
６.叉乘的物理意义
正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物
理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，
下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为
例作简要说明。
如图6，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强
磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角。
由物理学规律可知sinBILF。
从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不
妨把I理解为矢量I，则sinsinIBLLIBF。又F垂直于B和L所成的平面，
且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故)(BILF
·
这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结
合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。
总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的
视野，令人感受到数学的无穷魅力。
参考文献：
【１】 向量_-_向量叉乘_向量点乘.doc
来自（向东来）
)
图6
θ
I,L
B