湖南省长沙市第一中学2019届高三数学下学期模拟卷(一)理(含解析)

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2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期小题专项训练(一)数学(文)试题

专题小题训练一集合.逻辑.复数.算法.向量一．选择题1．与命题“若x＝y，则sin x＝sin y”等价的命题是（）A．若sin x＝sin y，则x＝y B．若x＝y，则sin x≠sin yC．若x≠y，则sin x≠sin y D．若sin x≠sin y，则x≠y2．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣1）垂直，则|+|＝（）A．B．C．D．3．已知集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|1＜log2x≤2，x∈N}，且A∩B＝A，则a的所有可能值组成的集合是（）A．∅B．{}C．{，}D．{，，0}4．已知命题p：∀x∈R，2mx2+mx﹣＜0，命题q：2m+1＞1．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪[0，+∞）B．（﹣3，﹣1]∪[0，+∞）C．（﹣3，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣3，﹣1]∪（0，+∞）5．i为虚数单位，若复数（m+mi）（m+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．0或16．执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．63 B．47C．23 D．77．已知非零向量，满足|+|＝||＝2，||＝1，则+与的夹角为（）A．B．C．D．8．如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，则（）A．S⊊T B．T⊆S C．S＝T D．S≠T9．已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）10．设函数g（x）＝x﹣m﹣log22x，则“函数g（x）在（2，8）上存在零点”是“m∈（1，3）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件11．已知向量，满足：||＝2，＜，＞＝60°，且＝﹣+t（t∈R），则||+|﹣|的最小值为（）A．B．4C．2D．12．在△ABC中，O为外心，已知＝x+y，且2x+y＝1，cos B＝，则＝（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．如图所示的算法中，若输出的结果是31，则判断框中的整数M的值为．14．命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”为假命题，则λ取值范围．15．设集合M＝{（x，y）|y＝x+b}，N＝{（x，y）|y＝4﹣}，当M∩N中的元素个数是2时，则实数b的取值范围是．16．如图所示，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P 是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是．参考答案与试题解析一．选择题1．与命题“若x＝y，则sin x＝sin y”等价的命题是（）A．若sin x＝sin y，则x＝y B．若x＝y，则sin x≠sin yC．若x≠y，则sin x≠sin y D．若sin x≠sin y，则x≠y解：互为逆否命题的两个命题真假性相同，则原命题的等价命题为逆否命题，即若sin x≠sin y，则x≠y，故选：D．2．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣1）垂直，则|+|＝（）A．B．C．D．解：由⊥，得•＝（x+1）×1+2×（﹣1）＝0，解得x＝1；∴+＝（3，1），∴|+|＝＝．故选：A．3．已知集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|1＜log2x≤2，x∈N}，且A∩B＝A，则a的所有可能值组成的集合是（）A．∅B．{}C．{，}D．{，，0}解：∵集合A＝{x|ax﹣1＝0}＝{}，B＝{x|1＜log2x≤2，x∈N}＝{3，4}，且A∩B＝A，∴A⊂B，∴或＝4或不存在，解得a＝或a＝或a＝0，∴a的所有可能值组成的集合是{}．故选：D．4．已知命题p：∀x∈R，2mx2+mx﹣＜0，命题q：2m+1＞1．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪[0，+∞）B．（﹣3，﹣1]∪[0，+∞）C．（﹣3，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣3，﹣1]∪（0，+∞）解：当m＝0时，2mx2+mx﹣＜0等价为﹣＜0，则不等式恒成立，当m≠0时，要使2mx2+mx﹣＜0恒成立，则，即，得﹣3＜m＜0，综上﹣3＜m≤0，即p：﹣3＜m≤0，由2m+1＞1得m+1＞0，得m＞﹣1，即q：m＞﹣1若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假，则，得﹣3＜m≤﹣1，若p假q真，则，即m＞0，综上﹣3＜m≤﹣1或m＞0，即实数m的取值范围是（﹣3，﹣1]∪（0，+∞），故选：D．5．i为虚数单位，若复数（m+mi）（m+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．0或1解：∵复数（m+mi）（m+i）＝（m2﹣m）+（m2+m）i是纯虚数，∴，即m＝1．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．63 B．47 C．23D．7解：模拟执行程序框图，可得n＝7，i＝1不满足条件n是3的倍数，n＝15，i＝2，不满足条件i＞3，执行循环体，满足条件n是3的倍数，n＝11，i＝3，不满足条件i＞3，执行循环体，不满足条件n是3的倍数，n＝23，i＝4，满足条件i＞3，退出循环，输出n的值为23．故选：C．7．已知非零向量，满足|+|＝||＝2，||＝1，则+与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设+与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则（）•（）＝2﹣2由题知⊥∴•＝0，＝∴（+）•（﹣）＝1﹣3＝﹣2∴cosθ＝＝﹣∴θ＝π故选：C．8．如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，则（）A．S⊊T B．T⊆S C．S＝T D．S≠T解：若t∈S，则∃n0∈Z，使3n0﹣2＝t，故t＝3n0﹣2＝3（n0﹣1）+1∈T，故S⊆T；由﹣5∈T，但﹣5∉S，故S⊊T；故选：A．9．已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）解：当≤x≤2时，log2≤f（x）≤log22，﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选：A．10．设函数g（x）＝x﹣m﹣log22x，则“函数g（x）在（2，8）上存在零点”是“m∈（1，3）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件解：g（x）＝x﹣m﹣log22x＝x﹣m﹣log22﹣log2x＝x﹣m﹣1﹣log2x，由g（x）＝0得，log2x＝x﹣m﹣1，作出y＝log2x，和y＝x﹣m﹣1的图象，当m∈（1，3），作出y＝x﹣2和y＝x﹣4，由图象知在直线y＝﹣x+2和y＝﹣x+4之间直线和y＝log2x有交点，此时函数g（x）在（2，8）上存在零点，即必要性成立，若x＝4是函数g（x）在（2，8）上的零点，则g（4）＝4﹣m﹣log28＝0，即4﹣m﹣3＝0，得m＝1，此时m∈（1，3）不成立，即充分性不成立，即“函数g（x）在（2，8）上存在零点”是“m∈（1，3）”的必要不充分条件，故选：B．11．已知向量，满足：||＝2，＜，＞＝60°，且＝﹣+t（t∈R），则||+|﹣|的最小值为（）A．B．4C．2D．解：把看作（2，0），＜，＞＝60°，则t可表示为，点B在直线y＝x上，设C（﹣1，0），D（3，0），∵＝﹣+t，t∈R，∴||＝BC，﹣＝﹣+t，∴|﹣|＝|BD|，则||+|﹣|的最小值可转化为在直线y＝x取一点B，使得BD+BC最小，作点C关于y＝x的对称点C′，则BD+BC最小值即可求出DC′，设C′（x，y），由，解得x＝，y＝﹣，则C′D＝＝，故||+|﹣|的最小值为．故选：A．12．在△ABC中，O为外心，已知＝x+y，且2x+y＝1,cos B＝，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：设CD为⊙O的直径，则＝2＝2x+y•2，延长CA至P，使得＝2，∵2x+y＝1，∴B，D，P三点共线，∵CD是⊙O直径，∴BC⊥BP，延长AO交BC于M，则AM⊥BC，AM∥BP，∴＝|AB|2，＝|BC|2，∴＝（）2，∵cos∠ABC＝sin∠ABM＝＝，∴＝＝，∴＝．故选：A．二．填空题13．如图所示的算法中，若输出的结果是31，则判断框中的整数M的值为4．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S x循环前/1 1第一圈是1+212第二圈是1+21+223第三圈是1+21+22+234第四圈是1+21+22+23+245∵输出的结果是31故继续循环的条件x不能超过4．故M＝4．故答案为：4．14．命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”为假命题，则λ取值范围0≤λ≤4．解：命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”为假命题，则其否定“∀x∈R，使得λx2﹣λx+1≥0成立”为真，①当λ＝0时，1≥0恒成立，即λ＝0满足题意，②当λ≠0时，由题意有：，解得：0＜λ≤4，综合①②得：实数λ取值范围：0≤λ≤4，故实数λ取值范围：0≤λ≤4．15．设集合M＝{（x，y）|y＝x+b}，N＝{（x，y）|y＝4﹣}，当M∩N中的元素个数是2时，则实数b的取值范围是（2﹣2，0]．解：集合M＝{（x，y）|y＝x+b}表示一组斜率为1的直线，集合N＝{（x，y）|y＝4﹣}＝{（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4，2≤y≤4}，它表示圆心为（2，4），半径为2的半圆，如图所示；当M∩N中的元素个数是2时，直线y＝x+b与半圆有2个交点；即直线y＝x+b过点B（4，4）时，b＝0；当直线相切时，圆心C（2，4）到直线x﹣y+b＝0的距离为d＝＝2，解得b＝2﹣2或b＝2+2（不合题意，舍去）；综上，实数b的取值范围是（2﹣2，0]．故答案为：（2﹣2，0]．16．如图所示，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是．解：以C为原点，建立如图所示平面直角坐标系，点P的轨迹方程为x2+y2＝4，点P的坐标为P（2cosθ，2sinθ），（θ∈[π]），A（﹣4，﹣2），B（0，﹣2），＝（﹣4﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ），＝（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ），＝8cosθ+8sinθ+8＝8sin（）+8，θ∈[]，∈[]，当＝，即时，取到最小值8﹣8，当＝，即θ＝π时，取到最大值0．∴的取值范围是[8﹣8，0]．故答案为：[8﹣8，0]．。

湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)

湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|2A x x =<，{}2|21x B x -=>，则()U A B =I ð（）A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|2x x <D ．{}|1x x ≤【答案】C【解析】解不等式221x ->得2x >，则集合{}U 2B x x =≤ð，再与集合A 求交集，即可. 【详解】Q {}{}2212x B x x x -==>∴{}U 2B x x =≤ð ∴(){}U 2A B x x ⋂=<ð故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.2．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 3．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,,0x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，则()3g -=（） A ．3 B ．3-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 的奇偶性求得()g x ，由此求得()3g -. 【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，0x ->，所以()()()()2log 1g x f x f x x ==--=--+，所以()()223log 31log 42g -=-+=-=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数求值，属于基础题. 4．某校高三共有学生1000人，该校高三学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图所示，则该校高三学生在本次考试中数学成绩在[]110,130分的人数为（）A ．30人B ．300人C ．10人D ．100人【答案】B【解析】根据频率分布直方图，求解成绩在[]110,130分的频率为：()100.0200.0100.3⨯+=，再求解成绩在[]110,130分的人数，即可.【详解】由题意可知，成绩在[]110,130分的人数为：()1000100.0200.010300⨯⨯+=人. 故选：B 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于容易题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值满足24x -<≤，则输出y 的值的取值范围是（）A ．[]3,2- B ．[]1,2C ．[)4,0-D ．[)[]4,01,2-U【答案】A【解析】模拟执行条件分支结构程序框图，分别计算函数()()23,2,2y x x =-∈-与[]()2log ,2,4y x x =∈的值域，即可.【详解】由题意可知，()2,2x ∈-时，23y x =-，则[)3,1y ∈-[]2,4x ∈时2log y x =，则[]1,2y ∈综上，输入x 的值满足24x -<≤时，输出y 的值的取值范围是[]3,2- 故选：A 【点睛】本题考查程序框图，以及求函数的值域，属于较易题.6．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为36π，则实数r 的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是一个以半圆为底面的半圆锥，根据圆锥的体积公式，计算即可. 【详解】该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，底面半圆半径为r ，高h =，则体积3211112323r V Sh r π=⨯===⨯⨯，解得：1r =. 故选：A 【点睛】本题考查根据几何体三视图，求几何体体积，属于较易题.7．设单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为2π，122a e e =+ur r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（）A ．5-B ．5C ．13-D ．13【答案】A【解析】根据b r 在a r方向上的投影为cos ,a b b a b a=r rr r r g r ，求解即可.【详解】Q 单位向量1e u r ，2e u u r的夹角为2π ∴121e e ==u r u u r ，120e e =u r u u rg又Q 122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ∴()()()()2212121122223262064a b e e e e e e e e =+-=+-=+-=-r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u rg g ga =====r则cos ,a b b a b a===r r r g r 故选：A 【点睛】本题考查b r 在a r方向上的投影，属于较易题.8．已知变量,x y 满足约束条件0020x y x y x +<⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，则1y x +的取值范围为（）A ．31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由已知得到可行域如图：则1y x+的几何意义表示区域内的点与()0,1-连接的直线斜率，所以与()2,2A --连接的直线斜率最大为12（因为()2,2A --不在可行域内，故等号不成立），与O 连接的直线斜率最小趋于-∞ ，故1y x +的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内（如图）.则该半球体的体积为（）A ．2πB ．4πC ．46πD ．86π【答案】C【解析】由题意可知，半球球心为正方体下底面正方形对角线交点，球心与正方体上底面的顶点连线为该半球的半径，由题意可知正方体棱长为2，再计算半径6r=，即可.【详解】连接正方体下底面对角线，相交于点O，连接OB，则OB为半球体的半径r.Q正方体的体积为8∴2BC=，2OC=∴226r OB BC OC==+=∴半球体积()326463Vππ==.故选：C【点睛】本题考查球体的体积问题，确定球心与半径，是解决本题的关键.属于中档题.10．若3nxx的展开式中所有项系数之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．270 B．180C．90 D．60【答案】C【解析】令1x=，求解5n=，再确定53xx的通项为5523153r rr rrT C x-+-+=⋅⋅，再令523r r-+=，求解即可.【详解】由题意令1x=，得41024n=，即5n=.则3nxx的通项为5553231553r r rrr r rrT C x C xx--+-+=⋅=⋅⋅.令5023r r-+=，解得3r =. 所以展开式中的常数项为3245390T C =⋅=.故选：C 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于中档题.11．设P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上的动点，且1F ，2F 为椭圆C 的焦点，I为12PF F ∆的内心，设点I 和点P 的纵坐标分别为I y ，P y ，若4P I y y =，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B C ．13D 【答案】C【解析】由题意可知，12PF F ∆的周长为22l a c =+，内切圆半径为I y ，边12F F 上高为P y ，利用12121122PF F P I S l y F F y ∆=⨯⨯=⨯⨯，求解3a c =，再根据离心率ce a=，计算即可. 【详解】由题意可知，12PF F ∆的周长为22l a c =+，内切圆半径为I y ，边12F F 上高为P y 则()12121122I I PF F P P S l y F F y a c y c y ∆=⨯⨯=⨯⨯=+= 又因为4P I y y =，所以4a c c +=，即3a c = 所以13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，利用12PF F ∆面积相等，求解a 与c 的关系，是解决本题的关键，属于中档题.12．若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为（） A ．21eB ．22e C ．1eD ．2e【答案】D【解析】不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭两边同时乘以x ，等价变形为()()2211ln ax ax e x x +≥+，利用ln ax ax e =，22ln ln x x =，将不等式变形为()()221ln 1ln axax ee x x +≥+，构造函数()()()1ln 0f t t t t =+>，不等式变形为()()2ax f e f x ≥，利用导数判断函数()f t 在()0,∞+上单调递增，从而确定2ax e x ≥在()0,∞+恒成立，即2ln xa x ≥在()0,∞+恒成立.构造新函数()2ln x g x x=，利用导数求函数()g x 的最大值，确定a 的取值范围，即可. 【详解】由题意可知，不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+. 设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2axf e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2axe x≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,x g x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g xg e e==，即2a e ≥，则实数a 的最小值为2e .故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.二、填空题13．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式.一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.来氏认为“万古之人事，一年之气象也.春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在大圆内随机取一点，则落在黑色区域的概率为______.【答案】49【解析】由对称性可知，黑色区域的面积为大圆面积与小圆面积之差的一半，再根据几何概型概率公式，求解即可. 【详解】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，则2139S ππ=⨯=，221S ππ=⨯=.则黑色区域的面积为()12142S S π⨯-= 所以落在黑色区域的概率为()121144299S S P S ππ⨯-=== 故答案为：49【点睛】本题考查几何概型的概率问题，属于较易题.14．若直线20kx y k -+=和圆22230x y x +--=有公共点，则实数k 的取值范围是______.【答案】55k -≤≤【解析】将22230x y x +--=变形为()2214x y -+=，根据题意可知，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离小于等于半径2.求解即可. 【详解】由题意可知22230x y x +--=，化为()2214x y -+=.圆心为()1,0，半径2r =若使得直线20kx y k -+=和圆22230x y x +--=有公共点2=≤，解得k ≤≤.故答案为：k ≤≤【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于较易题. 15．若函数()()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()()00,0,0x x >成中心对称，则0x 的最小值为______. 【答案】512π【解析】由题意可知，最小正周期T π=，则2ω=，令02,6x k k Z ππ+=∈，求解即可. 【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题意可知22T π=，即T π=. 所以22T πω==，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.因为该函数图象关于点()0,0x 成中心对称所以02,6x k k Z ππ+=∈，即0,122k x k Z ππ=-+∈又因为()00x ∈+∞,，所以当1k =时，()0min 512x π=. 故答案为：512π 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质，属于中档题.16．已知ABC V 中，60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，D 为ABC V 内一点，且满足30DAC DBA ∠=∠=︒，则tan BCD ∠=______．【答案】12【解析】设BCD α∠=，利用正弦定理列方程，化简后得到()sin 245αα=-o ，再利用两角差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得tan BCD ∠.【详解】设BCD α∠=，由正弦定理得：sin sin 30BD CD α=o ，()sin 30sin 45CD AD α=-oo，sin 30sin 45AD BD =oo，三式相乘即得：()sin sin 45sin 30sin 45αα=-oo o ，即()sin 245αα=-o22222αα⎫=-⎪⎪⎭cos sin αα=-，所以2sin cos αα=，1tan 2α=．故答案为：12【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查两角差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a 是单调递增的等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，若11a =，11b =，515S =，3212b S =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n b 的前n 项和为n T ，若()1n n S T λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）n a n =，()1*2n n b n N -=∈；（2）34λ≥. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出方程组()2212545152q d d ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，求解即可. （2）由（1）可知，()12n n n S +=，21nn T =-，不等式()1n n S T λ≤+变形为()112n n n λ++≥，令()()()11,2n n n f n n N *++=∈，根据单调性确定()f n 的最大值，求解λ的取值范围即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为(),0d d >，数列{}n b 的公比为(),0q q >.由题意可知()2325212545152b S q d S d ⎧=+=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1d =，2q =. 所以n a n =，()1*2n n b n N -=∈. （2）由（1）知()12n n n S +=，()11211n n n b q T q -==--若使得()1n n S T λ≤+恒成立则需()1112nn n n n S T λ++≥=+恒成立，即()1max 12n n n λ++⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦ 令()()()11,2n n n f n n N *++=∈ 则()()()()()21121122n n n n n n f n f n ++++++-=-()()2122n n n ++-=，当2n ≥时，()()10f n f n +-≤，即()f n 单调递减. 当1n =时，()()210f f ->所以()()3max 233224f n f ⨯===，即34λ≥. 【点睛】本题考查待定系数法求数列通项公式，以及不等式恒成立，求参数取值范围问题，属于中档题.18．如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且2AB AE ==，将ABE ∆沿BE 折起到A BE '∆，使得AC A D ''=.（1）证明：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若3ED =，求平面A BE '与平面ACD '所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【解析】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC ，由题意可知A M BE '⊥，A N CD '⊥，MN CD ⊥，从而证明CD ⊥平面A MN '，即CD A M '⊥根据线面垂直的判定定理证明A M '⊥平面BCDE ，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以M 为原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面A BE '的法向量()1,1,0n =r，平面'A CD 的法向量(0,1,22m =u r ，再根据cos ,m nm n m n=u r ru r r g u r r g ，计算二面角余弦值，即可. 【详解】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BCQ 2AB AE ==，AC A D ''=∴A M BE '⊥，A N CD '⊥.又Q 在矩形ABCD 中∴MN CD ⊥又Q MN A N N '=I ，MN ⊂平面A MN '，A N '⊂平面A MN '∴CD ⊥平面A MN 'A M '⊂Q 平面A MN '∴CD A M '⊥又Q BE 与CD 为梯形BCDE 的两腰，必相交，CD ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE∴A M '⊥平面BCDE ，又Q A M '⊂平面A BE '∴平面A BE '⊥平面BCDE.（2）∵3ED =，2AB AE == ∴235BC AD AE ED ==+=+=.过点M 作//MF CD ，交BC 与F ，则MF MN ⊥，MA MF '⊥，MA MN '⊥ 以M 为坐标原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则各点坐标为(2A '，()0,4,0N ，()1,4,0C ，()1,1,0B -.设平面A BE '的法向量为()111,,n x y z =r ，则(2MA '=u u u u r ，()1,1,0MB =-u u u r111·20·0n MA z n MB x y ⎧==⎪⎨=-=⎪'⎩u u u u v v u u u v v ，即10z =，11x y =，取11y =，则()1,1,0n =r 设平面'A CD 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则(0,4,2A N '=-u u u u r ，()1,0,0NC =u u u r222·420·0m A N y z m NC x ⎧==⎪⎨=='⎪⎩u u u u v v u u uv v ，即20x =，2222z y =，取11y =，则(0,1,22m =u r ， ∴22cos ,6111832m n m n m n====+⨯+u r ru r r g u r r g即平面A BE '与平面ACD '所成锐二面角的余弦值为26.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题. 19．已知动圆M 与y 轴相切，且与圆N ：2240x y x +-=外切；（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 过定点()3,0，且与轨迹E 交于A 、B 两点，与圆N 交于C 、D 两点，若点N 到直线l 的距离为d ，求AB dCD⋅的最小值．【答案】（1）()280y x x =≥和()00y x =< （2）2【解析】（1）设(),M x y ，根据两圆外切的条件列方程，化简后求得M 的轨迹E 的方程.（2）设出直线l 的方程，利用直线和抛物线相交的弦长公式、直线和圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式，求得,,AB CD d ，由此求得AB dCD⋅的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得AB dCD⋅的最小值.【详解】圆()22:24N x y -+=，圆心为()2,0，半径为2.（1）设(),M x y ，则()2222x x y +=-+x 的符号可知，动圆圆心M 轨迹方程E 为()280y x x =≥和()00y x =<．（2）注意到若直线平行于x 轴，则直线与抛物线没有两个交点，因此可设l ：3x my =+．联立238x my y x=+⎧⎨=⎩，得28240y my --=，得128y y m +=，1224y y =-．故2222164964164AB m m m m =++=++又圆心到直线l 的距离21d m =+，从而222342421mCD d m+=-=+．从而()()222644434m m AB dCDm++⋅=+，令2343t m=+≥，则()()31AB dt t CDt⋅++=．34t t=++．令()()33f t t t t=+≥，则()f t 在[)3,+∞上单调递增，即()8f t ≥．因此当3t =时，即0m =时AB dCD⋅取最小值22．【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查直线和抛物线、直线和圆的位置关系，考查动点轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题.20．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x （百万元）与收益y （百万元）的数据统计如下：科技投入x 2 4 6 8 10 12 收益y 5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线2bx y c =⋅的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：其中2log i i z y =，6116i i z z ==∑.（1）（i ）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程（保留一位小数）；（ii ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中2log 5 2.3≈）（2）乙认为样本点分布在二次曲线2y mx n =+的周围，并计算得回归方程为20.9212.0y x =-，以及该回归模型的相关指数20.94R =，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程µµvu αβ=+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-，相关指数：()()221211ni i i n ii v vR v v ==-=--∑∑$.【答案】（1）（i ）0.512x y +=（ii ）科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好.【解析】（1）（i ）令22log log z y bx c ==+，2log a c =，则z bx a =+，根据最小二乘估计0.5b≈$，$1a =，则0.51z x =+，从而确定y 关于x 的回归方程即可. （ii ）令0.512200x +≥，解得x 的取值范围即可.（2）先计算甲建立的回归模型的残差，$()621298.5i i i y y =-=∑，再计算甲模型的相关指数20.98R =，与乙模型的相关指数比较大小，即可. 【详解】（1）（i ）2468101276x +++++==，令22log log z y bx c ==+；令2log a c =，则z bx a =+.根据最小二乘估计可知：()()()6162134.70.570iii i i x x zzbx x==--==≈-∑∑$ 从而$ 4.50.571az bx =-=-⨯=$，故回归方程为0.51z x =+，即0.512x y +=.（ii ）设0.512200x +≥，解得20.51log 200x +≥，即244log 513.2x ≥+≈ 故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿. （2）甲建立的回归模型的残差：则$()621298.5i i i y y =-=∑，从而2298.5110.020.980.9412730.4R =-≈-=>，即甲建立的回归模型拟合效果更好. 【点睛】本题考查求回归方程以及相关指数，属于较难的题. 21．已知()axf x xe =.（1）试求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x e e >.【答案】（1）当12a ≥-时()2max 2af x e =；当12a <-时()max 1e f x a=-；（2）证明见解析.【解析】（1）先求导数()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，然后对a 分类讨论，判断单调性，求解即可.（2）由题意可知，1a =-，则()()1xf x x e -'=-，从而确定()f x 单调性，再根据()f x 的正负，确定其函数的大致图像，从而确定有1201x x <<<，要证21x x ee >，只需证211ln x x >-，只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<，构造函数()()()1ln ,0,1t h t e t t -=+∈，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，即可. 【详解】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立. 所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增. 则()f x 的最大值为()()2max 22af x f e ==；当0a <时，令10ax +=，即1x a=- 当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x '>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增. 当1,2x a ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max 11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增. 则()f x 的最大值为()()2max 22af x f e==；综上所述：当12a ≥-时()()2max 22af x f e ==；当12a <-时()max 11f a ea f x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. （2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1xf x x e -'=-.当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(),1-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减. 又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；要证21x x ee >，只需证211ln x x >-；又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x xx x x e e x e eex ---<--==只需证()1111ln 1,01x ex x -+<<<设()()()1ln ,0,1th t et t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知，()()11f t f e≤=. 则1ttee-≤，即110t te --≥. 所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增. 所以()()11h t h <=. 从而不等式21x x ee >得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值以及证明不等式，属于难题.22．已知直线1C ：()4tan y x α=+（α为直线的倾斜角），曲线2C ：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）若直线1C 的倾斜角为4π，且与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1C ：4cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：221169x y +=；（2）722AB =【解析】（1）1C 表示过点()4,0-，倾斜角为α的直线，根据直线参数方程直接写出，其参数方程. 椭圆2C 直接化为普通方程，即可.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 整理得2257220t t -=，设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，根据直线参数方程t 的几何意义，求解12AB t t =-，即可.【详解】（1）1C ：4cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：221169x y +=. （2）直线l 的参数方程为24222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将其代入曲线2C 整理可得：2257220t t -=设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，则10t =，272225t =，所以1272225A tt B -==. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，以及根据直线参数方程t 的几何意义，求弦长，属于中档题.23．设函数()2124f x x x =-++-.（1）画出()y f x =的图象；（2）设()2f x ≤的解集为A ，若{}|3A x x a x ⊆-+≤，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）13a ≤≤. 【解析】（1）在平面直角坐标系中画出分段函数()34,2,2134,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩，即可.（2）由题意可知{}22A x x =-≤≤，求解绝对值不等式3x a x -+≤的解集为32a x x ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，()3a ≤，若使得{}|3A x x a x ⊆-+≤成立，则需322a +≥成立，求解即可.【详解】（1）()34,2,2134,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩图象如下图.（2）由图象可知，()2f x ≤的解集{}22A x x =-≤≤，因为2,,x a x a x a x a x a -≥⎧-+=⎨<⎩所以若3a >，则当x a ≥时，223x a x x a a a a -+=-≥-=>；当x a <时，3x a x a -+=>，故不等式3x a x -+≤无解；若3a ≤，则当x a ≥时，23x a x x a -+=-≤，解得32a a x +≤≤；当x a <时，3x a x a -+=≤恒成立. 故不等式3x a x -+≤的解集为32a x x ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭若使得{}|3A x x a x ⊆-+≤成立，即3|2a A x x +⎧⎫⊆≤⎨⎬⎩⎭成立则需322a +≥，即1a ≥. 综上所述：13a ≤≤.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及含绝对值不等式的求解，属于中档题.。

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]

长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且．　12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。

2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷数学试题(含解析)

长沙市一中2024届高考最后一卷数学试卷本试卷总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若复数满足，则可以为（）A.B.C.D.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（）A.6B.8C.10D.126.地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（）（参考数据：）A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级{}2,{|ln 1}M xx N x x ==<∣…M N ⋂=[)2,e []2,1-[)0,2(]0,2z i z z =z 1i +1i -12i +12i-X ()2,Nμσ(2)(2)0.3,0P X k P X k k <-=>+=>(22)P X k <+=…:0l kx y -+=22:1O x y +=1k <l P P O ABCD 24AC BD ==P 2222||||||||PA PB PC PD +++ 0lg lg M A A =-M A 0A lg20.3≈7.已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若，则的离心率为（）B.2D.8.已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（）B.3C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最大值为2B.函数的图象关于直线对称C.不等式的解集为D.若在区间上单调递增，则的取值范围是10.某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（）A.乙组同学恰好命中2次的概率为B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率C.甲组同学命中次数的方差为D.乙组同学命中次数的数学期望为11.设无穷数列的前项和为，且.若存在，使成立，则（）A.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()()12,0,,0,F c F c P -C 12PF F 2212,3PF PF c ⋅=C 1111ABCD A B C D -2,M 1CC P DP BM ⊥11D P =P 2π()π,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x ()f x ()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ()32f x >()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤⎥⎝⎦2125,,,32561330232615{}n a n n S 212n n n a a a +++=*k ∈N 12k k k S S S ++>>1n k a a +…B.C.不等式的解集为D.对任意给定的实数，总存在，当时，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则不等式的解集为__________.13.已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为__________.14.在直三棱柱中，是棱上一点，平面将直三棱柱分成体积相等的两部分.若四点均在球的球面上，则球的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若是边上的一点，且平分，求的长.16.（15分）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.17.（15分）如图，在四棱台中，，.1n k S S +…0n S <{}*23n n k ∈+N ∣…p *0n ∈N 0n n >n a p<()321,1,1,x x x f x x ⎧+-⎪=>…()()224f x f x +<--2222:1(0)x y C a b a b+=>>12C C ,A B 12AB =C 111ABC A B C -14,AC BC AB AA E ====1CC 1AB E 111ABC A B C -11,,,A B A E O O ABC ,,A B C ,,a b c 2,4a b ==cos 2cos cos B A c C +=C D AB CD 1,cos 9ACB ACB ∠∠=-CD {}n c 2211n n n n n c c c kc c +++-=*,n k ∈N {}n c {}n a 1245515,,32816a a a a ==={}n a 1,,1,n n n a n b b n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数{}n b n n S 1111ABCD A B C D -AD ∥1,,2,3,4BC AB DD CD AD BC ⊥===30ADB ∠=（1）证明：平面平面；（2）若，四棱台，求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，（1）求的方程；（2）在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.19.（17分）已知函数.（1）求的最小值；（2）设函数，讨论零点的个数.长沙市一中2024届高考最后一卷选择题答案速查一､单选题1.D 【解析】因为，所以.2.B 【解析】设，则.由，得，所以，只有选项B11ADD A ⊥ABCD 1AA AD ⊥1111ABCD A B C D -112B C =ABCD 11CDD C 2:2(0)C y px p =>()0,2D l C ,A B l 135AB =C AB ,A B E DA AE DBEB=E ()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-∈R ()f x ()()()h x f x g x =-()h x []()2,2,0,e M N =-=(]0,2M N ⋂=()i ,z a b a b =+∈R i za b -i z z =i i a b b a -=-+0a b +=符合要求.3.A 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得，所以.4.B 【解析】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆1，解得，即，所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件.5.C 【解析】设与的交点为，由，得，同理可得，所以，当点与点重合时，等号成立.6.B 【解析】 6.4.7.B 【解析】不妨设点在第一象限内，为坐标原点，由.，得.由，得点到，所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为的离心率.8.D 【解析】如图，分别取的中点，连接.易知，，且，所以平面.由，得点在平面内.由，得点在以为球心，半径为1的球面上，因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆.连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为，则由得，且，则，因此动点(2)(2)P X k P X k <-=>+2μ=(22)0.50.30.2P X k <+=-=…l P P O l O 11k -<<()1,1k ∈-k <l P P O AC BD O PA PO OA =+222||||||2PA PO OA PO OA =++⋅ 222222222||||||2,||||||2,||||||2PB PO OB PO OB PC PO OC PO OC PD PO OD PO OD=++⋅=++⋅=++⋅ 2222||||||||PA PB PC PD +++=2222224||||||||||2()4||1010PO OA OB OC OD PO OA OB OC OD PO +++++⋅+++=+ …P O ()100002lg5000lg0.002lglg 4lg2lg2372lg221000M =-=-=---=-≈P O ()121PF PF PO OF ⋅=+()2222||3PO OF OP c c +=-=2OP c =12PF F 2P x C 60 C 2e =====1111,A D B C ,E F ,,DE EF CF BM CF ⊥BM CD ⊥CF CD C ⋂=BM ⊥CDEF DP BM ⊥P CDEF 11D P =P 1D P CDEF 1D CDEF DF 1D DEF h DEF 1D r 1D DEF V -=三棱锥1-F DED V 三棱锥1112332DEF h S ⋅=⨯⨯⨯ 21⨯122DEF S =⨯= h =r ==P二､多选题9.BCD 【解析】，故A 错误；令，得，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；不等式可化为，则，解得，因此原不等式的解集为，故C 正确；由，，解得.由在区间上单调递增，可得，解得，故D 正确.10.BCD 【解析】设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，故A 错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则.因为，故B 正确；因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，故，故C 正确；设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为0，，所以，()f x πππ,32x k k ω+=+∈Z 1ππ,6x k k ω⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ()32f x >πsin 3x ω⎛⎫+> ⎪⎝⎭ππ2π2π2π,333k x k k ω+<+<+∈Z ()61π2π,3k k x k ωω+<<∈Z ()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z πππ2π2π232k x k ω-++……k ∈Z 5ππ2π2π66,k k x k ωω-+∈Z ……()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ5ππ,,2266ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦103ω<…M ()125125125911125625625620P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ()223214C 339P N ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭94209>23X 23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()233D X =⨯⨯1233=Y Y 1,2,3125112(0)111,(1)12562025P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-===⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5125125111(11162562563⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭，故，故D 正确.11.BCD 【解析】由，得.由题意知是等差数列，公差，所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，故A 错误､D正确；因为当时，；当时，，所以的最大值为，故B 正确；因为1），，所以当时，；当时，，故C 正确.三､填空题12. 【解析】由题意知在上单调递增.设，则在上也单调递增.又，所以原不等式可化为，所以原不等式的解集为.13.7 【解析】由，得，从而，所以椭圆的方程可化为，直线的方程为.联立得，则.设，则，所以，得，所以的焦距为.14.【解析】如图，连接.因为，所以，所以，所以，因此，即为的中点.取的中点的中点，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，所以平面，则平面.因为是的外心，且的外接圆半径，三棱锥的高.设球()()()912512,3202566P Y P M P Y =====⨯⨯=()119126012320320615E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=12k k k S S S ++>>21120,0,0k k k k a a a a +++++<>>{}n a 210k k d a a ++=-<{}n a 1a n n a 1n k +…0n a >2n k +…0n a <n S 1k S +21(2k S k +=+()12320,230k k k a S k a +++>=+<()()()122221222102k k k k a a S k k a a +++++=⨯+=+⋅+>22n k +…0n S >23n k +…0n S <(),4∞-()f x R ()()()24g x f x f x =++-()g x R ()()()460312g f f =+=-=()()4g x g <(),4∞-1e 2=2a c =b =C 22234120x y c +-=AB y x c =+222,34120,y x c x y c =+⎧⎨+-=⎩227880x cx c +-=222Δ644782880c c c =+⨯⨯=>()()1122,,,A x y B x y 2121288,77x x c x x c +=-=-24127c AB ====72c =C 27c =500π311,B C AC 1111113ABCBB ABC ABC A B C V V V --==三棱锥三棱锥三棱柱111116ACEB ABCA B C V V =三棱锥三棱柱112ABCB A CEB V V -=三棱锥三棱锥112BCB CEB S S = 112BB CE CC ==E 1CC 1AB ,M AB N ,,ME MN CN 112MN CE BB ==MN ∥CE MNCE ME ∥CN AC BC =CN AB ⊥CN ⊥11ABB A ME ⊥11ABB A M 11AA B 11AA B 3r MA ===11E AA B -1h ME CN ====的半径为，则，则5，所以球的体积.四､解答题15.解：（1）由题意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以.又，所以.因为，所以.（2）由，得，解得.由，得，即，所以.O R 222()r h R R +-=222r h R h+==O 34500ππ33V R ==2cos 4cos B A +=2cos c C cos cos 2cos a B b A c C +=sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=()sin 2sin cos A B C C +=()sin sin A B C +=sin 2sin cos C C C =sin 0C ≠1cos 2C =()0,πC ∈π3C =1cos 9ACB ∠=-212cos129ACB ∠-=-2cos 23ACB ∠=ABC ADC BDC S S S =+ 11sin sin 222ACB ab ACB b CD ∠∠=⋅+1sin 22ACB a CD ∠⋅⋅()2cos 2ACBab a b CD ∠=+22242cos1632249ACBab CD a b ∠⨯⨯⨯===++16.解：（1）由为“比差等数列”，得，从而.设，则，所以数列为等差数列.因为，所以为常数列，因此，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，因此.（2）当为偶数时，；当为奇数时，.综上，17.（1）证明：因为，所以.在中，由正弦定理，{}n a 2211n n n n n a a a ka a +++-=211n n n na a k a a +++-=1n n na d a +=1n n d d k +-={}n d 52141433,22a a d d a a ===={}n d 132n d d ==132n na a +={}n a 583215382n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭n ()()121311312222n n n n n n S b b b b b b a a a --=+++=++++=++++ 22591849321192422214nn n nn n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎣⎦=⨯+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-n ()11111313153133311112222821222n n n nn n n n n n n S S b b ++-++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+--+=+--⨯-=⨯+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1333,,122231,.22n n nn n S nn ⎧-⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数AD ∥BC 30DBC ADB ∠∠== BCD得，所以，所以，则由勾股定理，得.在中，由余弦定理，得.因为，所以，即.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知四棱台的下底面面积因为，所以上底面面积设四棱台的高为，则四棱台的体积为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直.sin sin CD BCDBC BDC∠∠=sinsin 1BC DBCBDC CD∠∠==90BDC ∠= BD ==ABD AB ==222AB AD BD +=90BAD ∠= AB AD ⊥111,,,AB DD AD DD D AD DD ⊥⋂=⊂11ADD A AB ⊥11ADD A AB ⊂ABCD 11ADD A ⊥ABCD 1111ABCD A B C D -113222ABD BCD S S S =+=+⨯⨯=1112B C BC =S '=1111ABCD A B C D -h 1111ABCD A B C D -()13h S S ='2h =11ADD A ⊥1,ABCD AA ⊥AD 11ADD A ⋂ABCD AD =1AA ⊥ABCD 1,,AB AD AA以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以.设平面的法向量为，则即令，得所以平面的一个法向量为.由题可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面.18.解：（1）设.A 1,,AB AD AA x y z 13(0,3,0),4,0),0,,22DCD ⎛⎫ ⎪⎝⎭)130,,2,2DD DC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 11CDD C (),,n x y z =10,0,n DD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 320,20.y z y ⎧-+=⎪+=1x =y z ==11CDD C 1,n ⎛= ⎝ABCD ()0,0,1m =ABCD 11CDD C θ||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅== ABCD 11CDD C ()()1122,,,A x y B x y若直线的倾斜角为，则直线的方程为.联立得，则，且，所以因为，故的方程为.（2）存在，定直线为.由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为.联立得.由，得且，.不妨设，则，过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图，则，l 135 l 2y x =-+22,2,y x y px =-+⎧⎨=⎩()24240x p x -++=22Δ(42)164160p p p =+-=+>121242,4x x p x x +=+=AB ==AB =6p =C 212y x =3y x =AB l ()20y kx k =+≠212,2,y x y kx ⎧=⎨=+⎩()2241240k x k x +-+=220,Δ(412)160k k k ≠=-->32k <0k ≠1212221244,k x x x x k k -+==()1200,,x x E x y <1020x x x <<<,,A E B y 111,,A E B 1112DA AA x DB BB x ==.因为，所以，整理得，所以.代入直线的方程得.因为，所以点恒在直线上.19.解：（1）的定义域为1，则当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为.（2）.令，得.令，则与有相同的零点，且.令，0120AEx x EBx x -=-DA AEDBEB =011220x x x x x x -=-()120122x x x x x =+12012223x x x x x k==+-l 026233y k k k=⋅+=--003y x =E 3y x =()f x (),(f x x =+'R )e x 1x <-()0f x '<1x >-()0f x '>()f x (),1∞--()1,∞-+()f x ()111ef -=--()e ln 1x h x x x mx =-+-()0h x =ln 1e 0x x m x+-+=()ln 1e x x k x m x+=-+()h x ()k x ()()2221ln 1e ln e x x x x x k x x x'-++=-=()2e ln xr x x x =+则.因为当时，，所以在区间上单调递增.又，所以，使，且当时，，即；当时，，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为.由，得，即.令，则在区间上单调递增.因为，所以，则，所以，从而，即()()212e x r x x x x =++'0x >()0r x '>()r x ()0,∞+()12e 1e 10,1e 0e r r -⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00r x =()00,x x ∈()0r x <()0k x '<()0,x x ∞∈+()0r x >()0k x '>()k x ()00,x ()0,x ∞+()k x ()0000ln 1e x x k x m x +=-+()00r x =0200e ln 0xx x +=001ln 001e ln e x xx x =()()1x f x ϕ=+()x ϕ()0,∞+011e x <<01ln 0x >()001ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭00ln x x =-00ln x x =-001e ,x x =所以的最小值，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，因为，当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，所以有两个零点.综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.()k x ()0000ln1e 1x x k x m m x +=-+=+1m >-()k x 1m =-()k x 1m <-()00k x <x ()k x ∞+x ∞+()k x ∞+()k x 1m >-()h x 1m =-()h x 1m <-()h x。

2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第八次月考数学(文)试题(解析版)

炎德·英才大联考长沙市一中2019届三月考试卷（八）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ,集合{}2|30?A x x x =-->，{}|1?B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为A. {}|0?x x > B. {}|3 1 x x -<<- C. {}|30 x x -<< D. {}| 1 x x <-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再求A∩B 得解.【详解】∵{}{}23030A x x x x x =-->=-<<，{}1B x x =<-，图中阴影部分表示的集合为A∩B， ∴{}31A B x x ⋂=-<<-. 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，考查韦恩图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.()sin 255-︒=（） A.624B. 624-C.624D.264【答案】C 【解析】【分析】可利用诱导公式，考虑加上360︒，再结合正弦的和角公式运算即可【详解】()()1sin 255sin105sin 75sin 453022224︒︒︒︒︒-===+=⨯+⨯=，故选：C .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，属于基础题3.设复数z 满足()211i z i +=-（i 为虚数单位），则z i +=（）A. 2-C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】由已知条件先计算出z 的值，然后再计算z i + 【详解】由已知()211i z i +=-，则()22111112221ii z i i i i --===--+++11222z i i ∴+=-+==, 故选B【点睛】本题考查了求复数的模，还要运用复数的乘、除法运算，较为基础．4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线21x y ++=0垂直，则双曲线C 的离心率为（） A. 2【答案】B 【解析】【分析】根据直线垂直关系，可以找到,a b 关系，将其转化为离心率即可. 【详解】由于渐近线和直线210x y ++=垂直，故渐近线的斜率2ba=.所以双曲线的离心率为e === 故选：B .【点睛】本题考查由,a b 关系式推出双曲线离心率，属基础题.5.已知函数,(0),()(2),(0),x e x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…则(3)f -=（） A. e - B. 1C. eD. 1-【答案】C 【解析】【分析】观察可知，()(3)1f f -=，代入对应区间表达式求解即可【详解】由题知()()(3)11f f f -=-=，()11f e e ==，故选：C【点睛】本题考查分段函数的求值，属于基础题6.已知向量,a b 不共线，且3=+u u u r PQ a b ，42=-+u u u rQR a b ，64=+u u u rRS a b ，则共线的三点是（） A. ,,P Q R B. ,,P R SC. ,,P Q SD. ,,Q R S【答案】C 【解析】【分析】需结合观察法，对四个选项进行排除，经检验C 相符合题意【详解】已知向量,a b 不共线，且3=+u u u r PQ a b ，42=-+u u u r QR a b ，64=+u u u rRS a b ，由42=-+u u u r QR a b ，得42=-u u u r RQ a b ，则262(3)2-=+=+=u u u r u u u r u u u r RS RQ a b a b PQ ，即2=u u u r u u u rQS PQ ，所以,,P Q S 三点共线，,,A B D 中对应点经检验均不符合题意，舍去故选：C .【点睛】本题考查三点共线的向量求法，可简记为：若,,A B C 三点共线，则AB AC λ=u u u r u u u r（表达方式不唯一），属于基础题7.若函数()()sin f x x πϖ=-+3sin 2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为（） A. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. ()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间. 详解：()sin()3sin()2f x x x ππωω=-++sin 3cos 2sin()3x x x πωωω=+=+，根据题中条件满足()12,f x =- ()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+，从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A.323π B.643π C. 32π D.6423π 【答案】D 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为2r =，由棱柱高为4，可得22OO =，故外接球半径为222222R =+=故外接球的体积为342(22)33V π=⨯=．选D ．点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．9.已知椭圆2221(0)25x y m m +=>与双曲线2221(0)7x ny n -=>有相同的焦点，则m n +的最大值是（）A. 3B. 32C. 6D. 9【答案】C 【解析】【分析】由题可得22257-=+m n ，则2218+=m n ，结合基本不等式公式2222m n m n ++≤即可求解【详解】由题意可知：225<m ，则05m <<，由标准方程可知焦点坐标分别为：2(25,0)±-m ，2(7,0)±+n ，由题意可知：22257-=+m n ，据此有：2218+=m n ，而22262++=m n m n …，当且仅当3m n ==时等号取到，综上可得：m n +的最大值是6. 故选：C【点睛】本题考查圆锥曲线共焦点的判断，基本不等式的应用，属于基础题10.执行如图所示的程序框图，如果输入的 1.8a =，则输出的S =（）（其中[]a 表示不超过a 的最大整数，如[0,3]0=，[2,3]3-=-）A. 8-B. 6C. 15D. 32-【答案】C 【解析】【分析】根据循环结构框图，直到6i =时，输出对应的S 即可【详解】如果输入的 1.8a =，0S =，1i =.执行第一次循环时：011S =+=，1 3.6 2.6=-=-a ，2i =；执行第二次循环时：1(3)2=+-=-S ，1 5.2 6.2=+=a ，3i =；执行第三次循环时：264=-+=S ，112.411.4=-=-a ，4i =；执行第四次循环时：4(12)8=+-=-S ，122.823.8=+=a ，5i =；执行第五次循环时：82315=-+=S ，147.646.6=-=-a ，6i =；此时6i <不成立，输出15S =. 故选：C .【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题11.已知实数,x y 满足约束条件0,24,22,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，如果目标函数为z x ay =+的最大值为16，则实数a 的值为（） A. 11 B. 26C. 11或26D. 11或9-【答案】D 【解析】【分析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为11=-+y x z a a，目标函数z x ay =+的最大值只需直线的截距最大，再分类讨论a 的具体情况即可【详解】如图，当0a >，10a-<时，（1）1102-<-<a ，即2a >时，最优解44,33⎛⎫⎪⎝⎭A ，441633=+=z a ，11a =符合题意；（2）112-<-a ，即2a <时，最优解为13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，13162=+=z a ，26a =，不符舍去；当0a <，10a->时，（3）101a<-<，即1a <-时，最优解为C(2,2)--，2216=--=z a ，9a =-，符合；（4）11a ->，即10a -<<时，最优解为13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，13162=+=z a ，26a =，不符舍去；综上：实数a 的值为11或9-，故选：D .【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值，数形结合思想，分类讨论是解题的关键，属于中档题12.已知函数3()f x x ax =+，2()=+g x x bx ，0a b <<，当()()0''⋅f x g x …在区间I 时成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致，若()f x 和()g x 在区间(,)a b 上的单调性一致，则实数a 的最小值为（）A. 3-B. 12-C. 13-D. 2-【答案】C 【解析】【分析】需分别对()(),f x g x 求导，由()()0''⋅f x g x …得()23(2)0++x a x b …，由()0,,a b x a b <<∈，可判断只需求230x a +„，分离参数结合恒成立问题即可求解；【详解】由()f x 和()g x 在区间(,)a b 上的单调性一致，即()23(2)0++x a x b …在区间(,)a b 上成立，()0,,a b x a b <<∈Q ，20x b ∴+<，230∴+x a „，即23-a x „恒成立，得23-a a „，解得103a -<„.故a 的最小值为13- 故选：C【点睛】本题考查导数新定义，恒成立问题的转化，属于中档题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7：30，8：00，8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率是_____．【答案】25【解析】【分析】求出等待时间不多于10分钟的时间长度，利用几何概型的概率计算公式求解即可．【详解】设某人到达时间为x ，当x 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，等待时间不超过10分钟，所以所求的概率P 1010220305+==+．故答案为25．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．14.某中学开展了丰富多彩的社团文化活动，甲，乙，丙三位同学在被问到是否参加过①街舞社，②动漫社，③器乐社这三个社团时，甲说：我参加过的社团比乙多，但没有参加过动漫社；乙说：我没有参加过器乐社；丙说：我们三个人都参加过同一个社团，由此判断乙参加过的社团序号为_____. 【答案】① 【解析】【分析】通过三人说的话判断可知，甲参加的应为街舞社和乐器社；乙参加的应为街舞社；丙至少参加了街舞社，也可通过假设乙参加的为某社团，通过推出矛盾的方式排除假设，最终得到合理答案【详解】设乙参加过的社团为街舞社，则经检验，甲，乙，丙三位同学都可能同时成立，即乙参加过街舞社；设乙参加过的社团为动漫社，则经检验，丙同学说的是谎话，即乙没有参加过动漫社；设乙参加过的社团为器乐社，则经检验，乙同学说的是假话，即乙没有参加过器乐社；综合可得：乙参加过的社团为街舞社. 故答案为：①【点睛】本题考查合情推理，假设→论证→矛盾→排除假设，为基本解题思路，属于基础题 15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，面积为()22213+-a c b ，且C ∠为钝角，则ca 的取值范围是______. 【答案】5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】通过正弦的面积公式和余弦定理可推出4tan 3B =，3cos 5B =，由正弦定理可得()sin A B c sinC sinAcosB cosAsinBa sinA sinA sinA++====cos B +sin B 141355tanA tanA ⨯=⨯+，结合诱导公式分析tan A 的范围，计算可得答案．【详解】根据题意，由余弦定理可知：a 2+c 2﹣b 2＝2ac cos B ，则S 12=ac sin B 13=（a 2+c 2﹣b 2）13=⨯2ac cos B ，变形可得sin B 43=cos B ，则tan B 43=，又由B 锐角，则sin B 45=，cos B 35=，()sin A B c sinC sinAcosB cosAsinBa sinA sinA sinA++====cos B +sin B 141355tanA tanA ⨯=⨯+，又由A ＝π﹣（B +C ）＝（π﹣C ）﹣B ，且C 为钝角，则A 2π≤-B ，则tan A ≤tan （2π-B ）34=，则44355353c a ≥⨯+=，即c a 的取值范围是（53，+∞）；故答案为：5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理边角互化及三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题16.已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________．【答案】4 【解析】 ∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-.又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为4.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 为等差数列，33a =，77a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b （1）求{}n a 、{}n b 的通项公式（2）若nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】（1）n a n =，()2,*nn b n N =∈；（2）222n n +-. 【解析】【分析】(1)利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项、公差，即可求出{}n a 的通项公式，由数列{}n b 的前n 项和22n n S b =-，可求出数列{}n b 的首项和公比，从而可得数列{}n b 的通项公式；(2)由错位相减法即可求出数列的前n 项和.【详解】（1）∵数列{}n a 为等差数列，33a =，77a =，设公差为d ． ∴112367a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴()111n a n n =+-⨯=．*n N ∈∵数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-， ∴11122b S b ==-，解得1b ，当2n ≥时，由22n n S b =-及1122n n S b --=-，两式相减，得()1222,*n n n b n N -=⋅=∈，∴12n n b b -=，∴{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴()1222,*n n n b n N -=⋅=∈．（2）∵2n n n n a nc b ==， ∴数列{}n c 的前n 项和：212...222n n nT =+++，① 231112 (2222)n n nT +=+++，② ①﹣②，得：23111111...222222n n n nT +=++++-1111221212n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- 1212n n ++=-，∴222n n n T +=-．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，以及数列的求和，属于基础题型.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CC ⊥底面ABC ，,,D E F 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点.（1）证明：//BF 平面1A DE ；（2）若12AC BC CC ===，求点F 到平面1A DE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】【分析】（1）连接1C E ，通过求证四边形1BFC E 为平行四边形，得出1//BF EC ，再通过中位线关系求证11//DE AC ，说明11,A C ，,E D 四点共面，即可求证；（2）通过作FH 1C E ⊥交于点H ，求证FH 为点F 到平面1A DE 的距离即可，再结合几何关系求解；也可通过转化法，利用（1）的结论，点F 到平面1A DE 的距离等于点B 到平面1A DE 的距离h ，再结合等体积法即可求解；【详解】（1）法一：连1C E ，,D E Q 分别是棱,AB BC 的中点，//DE AC ∴.又在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，11//∴DE AC ，11,∴A C ，,E D 四点共面.,E F Q 分别是棱11⋅BC B C 的中点，∴四边形1BFC E 为平行四边形，1//∴BF EC .又1EC ⊂平面11A DEC ，BF ⊄平面11A DEC ，//BF ∴平面1A DE . 法二：取11A B 中点G ，连接BG 、FG .,,D E F Q 分别是棱11,,AB BC B C 的中点，11//∴FG AC ，//DE AC .在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，//FG DE ∴，又DE ⊂平面1A DE ，FG ⊄平面1A DE ，//FG ∴平面1A DE .1=Q AG DB ，1//AG DB ，∴四边形1AGBD 为平行四边形，1//∴A D BG . 又1A D ⊂平面1A DE ，BG ⊄平面1A DE ，//BG ∴平面1A DE .=Q I FG BG G ，且FG ⊂平面BGF ，BG ⊂平面BGF ，∴平面//BGF 平面1A DE ，又BF ⊂平面BGF ，//BF ∴平面1A DE . （2）法一：1CC ⊥Q 底面ABC ，90ACB ︒∠=，AC ∴⊥平面11BCC B ，又//DE AC ，DE ∴⊥平面11BCC B ，又DE ⊂平面11A DEC ，∴平面11⊥A DEC 平面11BCC B ，平面11I A C ED 平面111=BCC B C E . 过点F 作1⊥FH C E 于H ，则FH ⊥平面11AC ED ，即FH 为所求点F 到平面1A DE 的距离. 在1V Rt FC H 中，1125sin 55FH C F FC H =⋅∠==. 法二：由（1）知//BF 平面1A DE ，∴点F 到平面1A DE 的距离等于点B 到平面1A DE 的距离h . 由11--=B A A DE DE B V V 得111151123232⨯=⨯⨯⨯⨯h ，得25h =故点F到平面1A DE的距离为25.【点睛】本题考查线面平行的证明，点面距离的求解，属于中档题19.BIM指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BIM数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI指数有影响.身高较矮身高较高合计体重较轻体重较重合计（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 cm x166 167 160 173 178 169 158 173身高()kg y57 58 53 61 66 57 50 66体重()根据最小二乘法思想与公式求得线性回归方程为$0.8 75.9y x.利用已经求得的线性回归方程，请完善=-下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）2R；编号 1 2 3 4 5 6 7 8②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg .请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. 【参考公式】$()()221211ni i i ni i y y R y y==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x xx nx====---⋅==--∑∑∑∑，$a y bx =-$，µ$i i ie y bx a =--$，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.【参考数据】8178880n i nx y==∑，821226112i n x ==∑，168x =，58.5=y ，()821226i i y y=-=∑.【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）①残差表见解析，0.91；②$0.67555.9y x =- 【解析】【分析】（1）根据散点图对出对应数据即可；（2）将编号为6,7,8的数据代入残差公式计算即可；先计算出$()21nii i yy =-∑，再代入$()()221211ni i i ni i y y R y y==-=--∑∑计算；重新计算线性回归方程就是纠正数据中的错误，受影响的有81n ni xy =∑，y ，纠正完后，再继续结合最小二乘法公式计算即可【详解】（1）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响.（2）①，对编号为6的数据：6570.816975.9 2.3e =-⨯+=-$，对编号为7的数据：7500.815875.90.5e =-⨯+=-$，对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=$，完成残差表如下所示：$()2222222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2ni i i y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()2212121.2110.91226==-=-=-≈-∑∑Ni i i ni i y y R y y. 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91. ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496==-⨯=∑i ii x y，又821226112i i x ==∑，168=x ，57.5=y ，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii ii x y x ybxx==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-，所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查最小二乘法公式的相关应用，残差分析，独立性检验，综合性强，数据量大，对处理信息和数据要求高，属于中档题20.已知C e 过点(0,1)A ，圆心C 在抛物线22x y =上运动，若MN 为C e 在x 轴上截得的弦，设1||=AM t ，2||=AN t .（1）当C 运动时，||MN 是否变化？证明你的结论.（2）求1212+t t t t 的最大值，并求出此时C e 方程. 【答案】（1）不变，证明见解析；（2）222(2)(1)2±+-=x y 【解析】【分析】（1）弦长M N MN x x =-=()11,C x y ，表示出圆的方程：()()22211-+-=x x y y AC ，联立直线0y =，可得关于,M N x x 的一元二次方程，由韦达定理可表示出弦长，再结合抛物线方程代换纵坐标，即可求证；（2）由||2MN =可设(1,0)-M x ，(1,0)+N x ，则1=t 2=t ，化简2211212122t t t t t t t t +∴+== 【详解】（1）设()11,C x y ，C e 方程为()()22211-+-=x x y y AC ，()()()222211111∴-+-=+-x x y y x y 与0y =联立.得2112210-+-=x x x y .||∴==MN ()12,Q C x y 在抛物线上，2112∴=x y ，代入||MN ，得||2==MN 为定值.||MN ∴不变.（2）由（1）可设(1,0)-M x 、(1,0)+N x ，1=t 2=t ，222211212122t t t t t t t t +∴+=====当x =x =1y =，即圆心为：()，r=C 方程为22((1)2±+-=x y .【点睛】本题综合考查了圆，抛物线，弦长，两点间距离公式，不等式等知识，计算能力与转化能力，属于中档题21.已知函数12()4-=+x f x eax ，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+.（1）求实数a b 、的值；（2）0x >且1x ≠时，证明：曲线()y f x =的图象恒在切线1y bx =+的上方；（3）证明：不等式：12432ln 0----x xe x x x ….【答案】（1）1a =-，2b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先表示出导数公式1()42'-=+x f x e ax ，结合导数的几何意义建立斜率的等量关系，再结合曲线过切点，即可求解；（2）由（1）的结论可将所求问题转化为当0x >且1x ≠时，12421-->+x e x x ，构造函数12()421-=---x g x e x x ，则1()422'-=--x g x e x ，无法判断正负，考虑再次求导：1()42''-=-x g x e ，结合零点存在定理可判断()gx ''单增，必定存在0(0,1)x ∈，使得()00''=g x ，倒推出()g x '在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，又结合端点值4(0)20'=-<g e，(1)0g '=，可得()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)0g x g ∴==，进而得证；（3）将所证不等式同除x 得122ln 430----x x ex x …，由（2）的结论进行放缩，可得2ln 213++xx x…，即证2ln 0--≥x x x ，再次构造函数2()ln ϕ=--x x x x ，结合导数求出函数最值，即可求证；【详解】（1）1()42'-=+x f x eax ，由曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+知：(1)42,(1)41,f a b f a b =+=⎧⎨=+=+'⎩解得1a =-，2b =. （2）由题意只需证：当0x >且1x ≠时，12421-->+x e x x ；设12()421-=---x g x ex x ，则1()422'-=--x g x e x ，1()42''-=-x g x e ，易知()n g x 在(0,)+∞单调递增；且(1)20''=>g ，4(0)20''=-<g e，∴必定存在0(0,1)x ∈，使得()00''=g x ，则()g x '在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，其中4(0)20'=-<g e， (1)0g '=，即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)0g x g ∴==，即当0x >且1x ≠时，()0>g x 成立；所以当0x >且1x ≠时，曲线()y f x =的图象在切线1y bx =+的上方.（3）要证：13432ln 0----x xe x x x …，只需证122ln 430----x x ex x…. 由（2）知0x >时，12421--+x e x x …. 故只需证2ln 213++x x x…，即证2ln 0--≥x x x ，设2()ln ϕ=--x x x x ，则2121(21)(1)()21ϕ'--+-=--==x x x x x x x x x ，易知()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，()(1)0ϕϕ∴=x …；即不等式：13432ln 0----x xe x x x …成立.【点睛】本题考查由导数的几何意义求参数值，构造函数法，利用导数证明不等式恒成立问题，二次求导法，放缩法在导数中的应用，属于难题22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:cos 3ρθ=C ，曲线2:4cos 02πρθθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭C „. （1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，13=u u u r u u u r OQ QP ，求动点P 的极坐标方程.【答案】（1）6π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）16cos ρθ=，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由1C 与2C 都为极坐标方程特点可知，直接联立即可求解；（2）由13=u u u r u u u r OQ QP 可知，,,O Q P 三点共线，且4OQ OP =，设(,)P ρθ，()00,θQ p 且004cos ρθ=，00,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则0014ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，，通过代换即可求出点P 的极坐标方程【详解】（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos θ=，02πθ<…，6πθ∴=，ρ=∴所求交点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）设(,)P ρθ，()00,Q ρθ且004cos ρθ=，00,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由已知13=u u u r u u u r OQ QP ，即可求出0014ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，， 14cos 4ρθ∴=，点P 的极坐标方程为16cos ρθ=，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查两曲线极坐标的求解，由三点共线和代换法求解具体曲线极坐标方程，属于中档题 23.已知2(2)f x ax x =--+．（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{|5}3x x -≤≤；（2）1或1- 【解析】【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根据绝对值三角不等式化为()14a x +≤恒成立，或()144a x -+≤恒成立，再根据恒成立含义得实数a 的取值.【详解】（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，()()2221x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，()()2221x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，()()2221x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤.（2）∵224x ax +--≤恒成立，而()221x ax a x +--≤+，或()2214x ax a x +--≤-+，故只需()14a x +≤恒成立，或()144a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。

2021届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学(理)试题Word版含解析

2021届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y xB x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( )A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i【答案】A【解析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果.【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限，∴2z i =-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题.3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<， 01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题.4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( )A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.【详解】 33cos 155a ba b θ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a 【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>，所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+，∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln x xx -+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果.【详解】∵()(33)ln x x f x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠， ()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D.【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i > 【答案】C 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】程序的功能是计算3571sin 3sin 5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )A ．50种B ．60种C ．70种D ．90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( )A ．函数()g x 的最小正周期是2πB ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值是1 【答案】C 【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误；【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=，即函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( )A ．-1B ．0C ．1D ．3 【答案】B【解析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可．【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ，根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =，故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-，因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a =故选B.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题: ①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+； ③函数()f x 是偶函数； ④函数()f x 是周期函数；⑤函数()f x 的图象是两条平行直线其中真命题的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤．【详解】由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1f f x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确；∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数，∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有f x Tf x ，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( )A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π 【答案】A【解析】三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．【详解】如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为36，则OG ＝66∴四面体A BCD -的外接球的半径R 2222615()()6212OG BG =+=+=∴球O 的表面积为＝2554(123ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,)2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____ 【答案】14【解析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可．【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3，又函数()f x 为奇函数，所以2111111()()()()22224f f f =-=-==，故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____【答案】4【解析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可.【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+.∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=，故答案为4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第七次月考数学(文)试题(含答案)

情况，
满足取出的 2 个数之和为 5 的有 1和 4 、2 和 3 两种情况，所以概率为 p
2
1 ，故选 C．
63
点评：
本题考查的是概率的计算，可以先通过计算出所有的可能的总数，再计算出满足题目条
件的总数，两数相除即可得出概率．
4．若双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线为 x 4y 0 ，则实数 m （
22
1z
由图可知，当直线 y= x﹣ 过点 A（﹣ 1， 1）时，直线在
22
y 轴上的截距最小，
z 有最大值为﹣ 3．
故答案为﹣ 3
点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法 .
15．已知函数 f ( x) sin x 3cos x 在 x 处取最小值，则 sin _________.
x2 x y 0 则 z x 2 y 的最大值为 ______． xy20
答案： 3
分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
详解：由 x， y 满足约束条件
x 2, x y 0, 作出可行域如图， x y 2 0,
1z
化目标函数 z=x ﹣ 2y 为 y= x﹣ ，
的面积为 3 ，则
abc
的值为 (
)
sin A sin B sinC
A． 2 39 3
B． 39 3
C． 2 3 3
D． 2 13 3
答案： A
根据面积可求得 c 4 ，然后根据余弦定理得到 a 13 ，再由正弦定理的变形可得所
求的值．解：
∵ ABC 的面积为 3 ， A 60 ,b 1，

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试(一模)试题理(含解析)

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题理（含解析）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。

【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。

4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。

【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。

湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考卷(六)数学试题及答案

长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A. B. C.D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-2. 已知复数满足，为虚数单位，则（）z ()1i 1i z -=+i z =A. B. C. D. i 11i 22+1i +3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（）()1,0E A. B. C. D. 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,14. 若，且，则（） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A. B. C. D. 2-3--5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()(()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l 1.1，则（）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.76. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（）A. B. C. D.12π16π18π20π7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅（）A. B. C. D. 18-116-116188. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （） A. B. C. D. 133********二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.12. 已知，为正实数，且，则（）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项．n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABCA cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度．19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，． P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．P AB C --21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值．N OM ON ⋅ 22. 已知函数，． ()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值；1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值．()f x xa a长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A.B. C. D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-【答案】A【解析】【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】,{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- 所以.{}2,1M N =- 故选：A.2. 已知复数满足，为虚数单位，则（）z ()1i 1i z -=+i z =A.B. C. D. i 11i 22+1i +【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的，即可求解. 1i 1i z +==-【详解】， 1i 1i z +===+-故选：B3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（）()1,0E A. B. C. D.15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,1【答案】C【解析】【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知方程，由与的交点可得D ，求坐标即可.GH GH BC【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,,F E ,AC BC ,G H 连接，交于，则D 点即为所求，如图，GH BCD因为所在直线方程为，，设，AC 3y x =+(1,0)F -()G x y ,则，解得，即， 132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩3,2x y =-=(3,2)G -由所在直线方程为，，同理可得，BC 3y x =-+(1,0)E (3,2)H 所以直线方程为，由解得， GH 2y =32y x y =-+⎧⎨=⎩(1,2)D 故选：C4. 若，且，则（） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A.B. C. D. 2-3--【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为，所以， ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭tan 1α<-由，得，即， 23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭21cos sin 22αα+=-222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+所以，即，解得 212tan 11tan 2αα+=-+2tan 4tan 30αα++=或(舍).tan 3α=-tan 1α=-故选：C.5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l1.1，则（）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【解析】【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作l y 答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速l y 度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和， 1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为， 1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解得l ˆ1.1y x a=+ˆ4 1.13a =⨯+， ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则， 1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（）A.B. C. D. 12π16π18π20π【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，设底面的外心为，外接球的球心为，PA ⊥ABC ABC A G O 为的中点，可得四边形为平行四边形，所以，在中，由余弦定理及正弦定理D PA ODAG 1OG =ABC 可求，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.AG 【详解】因为，，平面,PA AB ⊥PA AC ⊥,,AB AC A AB AC =⊂ ABC 所以平面.PA ⊥ABC设底面的外心为，外接球的球心为，则平面，所以. ABC A G O OG ⊥ABC //PA OG 设为的中点，DPA因为，所以.OP OA =DO PA ⊥因为平面，平面,PA ⊥ABC AG ⊂ABC 所以，所以.PA ⊥AG //OD AG 因此四边形为平行四边形，所以. ODAG 112OG AD PA ===因为，，120BAC ∠=︒2AB AC ==所以,BC ===由正弦定理，得. 242AG AG ==⇒=所以该外接球的半径满足,R )()2225R OG AG =+=故该外接球的表面积为.24π20πS R ==故选:D.7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅ （）A.B. C. D. 18-116-11618【答案】A【解析】【详解】首先设与所成角为，根据题意得到OA BC θ，再根据()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 求解即可. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥-【点睛】如图所示：设与所成角为，OA BCθ因为， ()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 因为，112cos 2BC BCO BC OC ∠== 所以 211cos 22AC BC BC BC θ⋅=- 因为，当时，等号成立. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥- 0θ= 因为，所以当时，取得最小值为， 02BC ≤≤ 12BC = 21122BC BC - 18-所以当时，取得最小值为. 12BC = AC BC ⋅ 18-故选：A8. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （）A. B. C. D. 133********【答案】B【解析】【分析】由是奇函数，是偶函数，求出，再根据()2f x x +()f x x -()2f x x x =-，作出函数的图象即可求解. ()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()g x【详解】因为是奇函数，是偶函数， ()2f x x +()f x x -所以，解得，()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩()2f x x x =-由， ()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩当时，则，所以， ()1,2x ∈()10,1x -∈()()()2121gx g x f x =-=-同理：当时，，()2,3x ∈()()()()214242g x g x g x f x =-=-=-以此类推，可以得到的图象如下：()gx由此可得，当时，，()4,5x ∈()()164g x f x =-由，得，解得或， ()3g x ≤()()16453x x --≤174x ≤194x ≥又因为对任意的，恒成立，[]0,x m ∈(3g x ≤所以，所以实数的最大值为. 1704m <≤m 174故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间上单调递增 ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】由，得，再根据函数在区间上有且仅有条对称轴，[]0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []0,π3可得，可求出的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ． 5ππ7ππ242ω≤+<ω【详解】由，得， []0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为函数在区间上有且仅有条对称轴，()f x []0,π3所以，解得，故A 正确； 5ππ7ππ242ω≤+<91344ω≤<对于B ，，， (0,π)x ∈ ∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，在区间上有且仅有个不同的零点； π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()f x (0,π)2当时，在区间上有且仅有个不同的零点，故B 错误； π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x (0,π)3对于C ，周期，由，则， 2πT ω=91344ω≤<414139ω<≤， ∴8π8π139T <≤又，所以的最小正周期可能是，故C 正确； 84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 4π5对于D ，，， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭又，， 91344ω≤<∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭所以在区间上一定单调递增，故D 正确． ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ACD.10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到，进而求出1A y =A x =从而得到的面积，B 正确；由得到，，表达出AOF A 0OA OB ⋅=4A B x x =-4A B y y =，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，由焦半径公式得到，结合余弦定理，基本不等式得到的最小值. ,AF a BF b ==2a b DE +=AB DE【详解】的焦点为，准线方程为，故A 错误； 22x y =F ⎛ ⎝12y =-由焦半径公式可知：，解得， 1322A AF y =+=1A y =故，故 222A A x y ==A x =所以的面积为，B 正确； AOF A 111222A OF x ⋅=⨯=若，则，即，解得：， 0OA OB ⋅= 0A B A B x x y y +=22104A B A B x x x x +=4A B x x =-则，4A B y y =故 ()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+，32264A B A B x x y y =+⋅=故，当且仅当时，等号成立，C 错误；8OA OB ⋅≥A B A B x y y x =过点作⊥l 于点，过点B 作⊥l 于点，A 1AA 1A 1BB 1B设，所以， ,AF a BF b ==2a b DE +=因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab =+-∠=++=+-， ()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭所以. AB ≥故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设的交点为，显然是、的中点，,AC BD O O AC BD 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，ABCD A α= C α2O α1又到平面的距离为，B α1所以平面，即平面，即A 正确；//BO α//BD α设平面，ABCD l α= 所以，//BD l 因为是正方形，所以，ABCD AC BD ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，因为平面，1AA BD ⊥11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂1A AC 所以平面，因此有平面，而，BD ⊥1A AC l ⊥1A AC l ⊂α所以平面平面，因此选项B 正确；1A AC ⊥α设到平面的距离为，1B αd 因为平面，是正方形，点，B 到的距离分别为，1，11AA B B A α= 11AA B B 1A α3所以有， 31422d d +=⇒=设正方体的棱长为，1111ABCD A B CD -a设直线与所成角为，所以， 1AB αβ14sin AB β===设直线与所成角为，所以， 1AA αγ133sin AA aγ==因为，因此选项C 不正确；3>sin sin βγβγ<⇒<因为平面平面，平面平面，1A AC ⊥α1A AC ⋂A α=所以在平面的射影与共线，1,C A α,E F A显然，如图所示：1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥由，11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠， 111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=由， 2212249cos sin 112ECA A AF a a a ∠+∠=⇒+=⇒=因此选项D 正确，故选：ABD 12. 已知，为正实数，且，则（）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为，26ab a b ++=所以，62ab a b ab =++≥+当且仅当时取等号，2a b =令，则有，0t =>260t +-≤解得，又因为， t -≤≤0t =>所以，即0t <≤0<≤的最大值为2，故A 选项正确；ab 对于B ：因为，26ab a b ++=所以， ()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤⨯++当且仅当时取等号，2a b =令，则有，20t a b =+>28480t t +-≥解得或（舍去），4t ≥t 12≤-即，所以的最小值为4，24a b +≥2a b +故B 选项错误；对于C ：因为，26ab a b ++=所以， 12111888b b a ++==++所以，81221119888111a b b b +++≥=+++=++当且仅当，即时等式成立， 2118b b +=+3b =所以的最小值为，故C 选项正确； 1211a b +++98对于D ：当，时，， 14a =225b =()4.150,3a b -=∉所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 【答案】2-【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上()00,x y 即可得解.【详解】设切点为，()00,x y ， 1y x '=-则，所以， 0011x x y x ==-=-'01x =所以切点为，()1,a 又切线为，10x y ++=所以，解得.110a ++=2a =-故答案为：.2-14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【解析】【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有种方案.36C 20=故答案为：20. 15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210,0x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b【解析】【分析】作出图象，设的内切圆的圆心为，易知在的平分线上，过分别作OAB A M M AOB ∠Ox M 于，于，则有四边形为正方形，则，MN OA ⊥N MT AB ⊥T MTAN 2||||3b NA MN ==2||3b ON a =-，由，可得，由斜率公式即可得答案. tan MNb AOF ON a∠==2a b =【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知，其中为点到渐近线的距离，， AF d b ===d (c,0)F b y x a =||OF c =所以， ||OA a ===设的内切圆的圆心为，OAB A M 则在的平分线上，M AOB ∠Ox 过分别作于，于，M MN OA ⊥N MT AB ⊥T 又因为于，FA OA ⊥A 所以四边形为正方形，MTAN所以， 2||||3b NA MN ==所以， 2||||||3b ON OA NA a =-=-又因为， 2||3tan 2||3bMN b AOF b ON aa ∠===-所以， 2233a b a =-，2a b =所以，22225c a b b =+=所以， c =所以. c e a ===. 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P 所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】 16π3+【解析】【分析】根据图形与，建立直角坐标系，画出图形，()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程，中， ()()22cos sin 4x y θθ-+-=0πθ≤≤令，则有， 0x =222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=所以，其中， 12sin y yθ=-0πθ≤≤所以，所以， []sin 0,1θ∈[]12sin 0,2y y θ=-∈解得，1y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦所以，，，， (A ()0,3E ()0,1G -(0,D 令，则有，0θ=()2214x y -+=所以，，()1,0C ()3,0N 令，则有πθ=()2214x y ++=所以，. ()1,0B -()3,0M -由，，易得与线段()3,0M -()3,0N ()0,3E A MEN MN 组成的图形为的上半圆，229x y +=由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由的上半圆减去上半圆 229x y +=()2214x y -+=与上半圆相交的部分形成， ()2214x y ++=即与线段组成的面积，设为. A BACBC S 水滴上部由，，三点易得 (A ()1,0B -()1,0C 为边长为2的等边三角形，ABC A所以 212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=-A 弓形所以，4π23ABC AnC S S S =+=A 弓形水滴上部设第一、二象限的阴影面积为， 1S 则. 19π9π4π19π2236S S =-=-+=+水滴上部由，，易得与线段 ()1,0B -()1,0C ()0,1G -A BGCBC 组成的图形为的下半圆， 221x y +=设在第三象限中的阴影面积为， 2S 则有， 2π4MOD MpD S S S =+-A 弓形由图知11322MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=A ，，11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯=A 2π3MBD ∠=所以，214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=A 弓形所以，2π4ππ13π43412MOD MpD S S S =+-=+-=A 弓形所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：. 1219π13π16π226123S S S ⎛=+=⨯=+ ⎝故答案为：. 16π3+【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项． n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由等比中项得，进而由递推式计算出，并得到，得数列()214n n a S +=11a =12n n a a --=是等差数列，进而可求解；{}n a (2)由，从第二项开始放缩即可证明. ()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-【小问1详解】∵是4与的等比中项，∴①． 1n a +n S ()214n n a S +=当时，，∴． 1n =()2111144a S a +==11a =当时，②，2n ≥()21114n n a S --+=由①-②得，， ()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=∴， ()()1120n n n n a a a a ----+=∵，∴，0n a >12n n a a --=∴数列是首项为l ，公差为2的等差数列， {}n a ∴的通项公式． {}n a 21n a n =-【小问2详解】由（1）得，2111a =当时，，2n ≥()222111111444121n a n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪--⎝⎭-∴ 22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度．【答案】（1） π3A =（2） AN =【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；（2）根据题意，可得，再结合三角形()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】由题意知中，， ABC A cos sin a C C b c +=+由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C，()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++， sin cos sin sin A C A C C =+∵，()0,πC ∈∴， sin 0C ≠cos 1A A -=∴，∴， π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，， ()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以，即． ππ=66A -π3A =【小问2详解】如下图所示，在中，为中线，ABC A AM∴， 2AM AB AC =+∴，()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ∴． 2212b c bc ++=∵， ABC S =△1sin 2bc A ==3bc =∴，b c +==∵， ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴． ()1πsin 26b c AN AN =+=AN =19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=【答案】（1）甲被录用的概率为，乙被录用的概率为2332p p -2333p p -（2）不存在；理由见解析【解析】【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构ξ造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可. 【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为，得， X ()~3,X B p 则甲被录用的概率为，()2232313C 132P pp p p p =-+=-乙被录用的概率为． ()222332C 133P p p p p =-=-【小问2详解】的可能取值为0，1，2，ξ则，()()()12011P P P ξ==--， ()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==∴ ()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦，23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=设，()()321101230f p p p p +=<<-则．()23024f p p p '=-∴当时，单调递减，405p <<()f p 当时，单调递增，415p <<()f p 又，，，()03f =()11f =4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭所以不存在的值，使得.p 0p ()00f p =20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小． P AB C --【答案】（1）证明见解析（2）6π【解析】【分析】(1) 分别取，的中点，，连接，，，证明出，可得AB CD E F PE EF PF PC PD =，由此可证得结论成立；PAD PBC ≌△△(2)先根据条件推出为二面角的平面角，设，建立空间直角坐标系，利用PEF ∠P AB C --PEF α∠=空间向量法结合基本不等式求出直线与平面所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即PA PCD 可求解. 【小问1详解】分别取，的中点，，连接，，， AB CD E F PE EF PF ∵，为的中点，∴．PA PB =E AB PE AB ⊥∵四边形为正方形，则且，∴． ABCD AB CD ∥AB CD =CD PE ⊥∵，分别为，的中点，∴，∴，E F AB CD EF AD ∥EF CD ⊥∵，∴平面．EF PE E ⋂=CD ⊥PEF∵平面，∴． PF ⊂PEF CD PF ⊥在中，PCD A ∵为的中点，，∴． F CD CD PF ⊥PC PD =又∵，，∴， PA PB =AD BC =PAD PBC ≌△△从而可得． PAD PBC ∠=∠【小问2详解】由（1）可知，，PE AB ⊥EF AB ⊥∴为二面角的平面角，且，PEF ∠P AB C --PE ==以点为坐标原点，，所在直线分别为x ，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，E EB EFy设，其中，PEF α∠=0απ<<则，，，，，，()1,0,0A -()1,0,0B ()1,2,0C ()1,2,0D -()0,2,0F ()P αα，，．()AP αα= ()2,0,0DC =u u ur()FP αα=- 设平面的法向量为，PCD (),n x y z =由，即，取， 00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩y α=则，，∴，2z α=-0x=(),2n αα=-cos ,n AP n AP n AP⋅<>==⋅==令，(77t α-=∈-+则， cos α=则，cos ,n AP <>==≤=当且仅当时，即当时，等号成立．1t =cos α=6πα=所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角为．PA PCD P AB C --6π21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值． N OM ON ⋅【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中垂线性质，可知，得动点P 的轨迹以，F 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=C 为焦点的椭圆；（2）将直线与曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案. l Γ【小问1详解】圆：，圆心为，半径为4，C ()22116x y -+=)1,0因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以， PD PF =所以， 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以，F 为焦点的椭圆， C 则，，.242a a =⇒=221c c =⇒=2223b a c =-=故轨迹方程为：．22143x y +=【小问2详解】依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，将其与方程联立：l l ()0x my t m =+≠Γ，消去x 得. 22143x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463120m y mty t +++-=方程判别式，设，，则，()2248430m t+->()11,A x y ()22,B x y ()22,B x y '-由韦达定理有，，122634mt y y m -+=+212231234t y y m -=+则直线的方程为，AB '()121112y y y y x x x x +-=--令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y yy x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++，则，得.2312426t m t mt t -=⋅+=-40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴．即为定值4．44OM ON t t ⋅=⋅= OM ON ⋅ 22. 已知函数，．()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值； 1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值． ()f x xa a 【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间1a =()()F x f x x =-()()()121e x x x x F x --=-'()F x '的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；()F x ()()F x f x x =-（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时()≥f x a x ()0f x ax -≥()()()121e x x xx F x --=-'构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.()1ex g x x -=-1x =()ln g ax x -ln 1ax x -=【小问1详解】当时，令，，1a =()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=()0,x ∈∞则，()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x x F xx x ------+-'==-⋅-+-=令，，则，()1ex g x x -=-x ∈R ()1e 1x g x -'=-易知在上单调递增，且，()g x 'R ()10g '=∴当时，，在区间上单调递减，且，()0,1x ∈()0g x '<()g x ()0,1()()110e x g x x g -=->=当时，，在区间上单调递增，且，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞()()110e x g x x g -=->=∴当时，，在区间上单调递减， ()0,1x ∈()()()121e 0x x x F x x --'=-<()F x ()0,1当时，，在区间上单调递增，()1,x ∈+∞()()()121e 0x x x F xx --'=->()F x ()1,+∞当时，取得极小值，也是最小值，，1x =()F x ()()11mine 1ln1101F x F -==+-=∴当时，函数的最小值为. 1a =()f x x -0【小问2详解】由已知，的定义域为， ()f x ()0,∞+若函数的最小值为，则有，∴，， ()f x x a ()≥f x a x()f x ax ≥()0f x ax -≥令，即的最小值为，()()h x f x ax =-()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=0由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，1x =()1ex g x x -=-()10g =∴当且仅当时，取得最小值， ln 1ax x -=()ln g ax x -0又∵，()()()l 1l 1n 1n n e e ln ln ln ee ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=+-=∴只需令有解，即有解， ln 1ax x -=ln 1x a x+=令，，则， ()ln 1x H x x+=()0,x ∈+∞()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-当时，，在区间上单调递增， ()0,1x ∈()2ln 0xH x x '=->()H x ()0,1当时，，在区间上单调递减， ()1,x ∈+∞()2ln 0xH x x'=-<()H x ()1,+∞∴， ()()ln 111x a H x H x+==≤=综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为. ()f x xa a 1【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.()1ex g x x -=-()()ln g ax x h x -=。

2019届高三下学期一模考试数学(理)试题含答案

石嘴山三中2019届第一次模拟考试(理科)数学能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，集合，，则A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题命题q:，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.4．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的A．2 B．3 C．5 D．45．关于函数，下列叙述正确的是A．关于直线对称B ．关于点对称C ．最小正周期D ．图象可由的图像向左平移个单位得到6．函数x x x x f sin ||)(在的图象大致为A ．B ．C ．D ．7. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 138．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则A ．90 B．60 C ．45 D ．309．已知数列的首项为，第2项为，前项和为，当整数时，恒成立，则等于A ．B ．C ．D ．10.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是A. 24B.16C. 8D. 12。

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- 1 - 长沙市一中2019届高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|(1)(2)0}Axxx1,0,1,2,3B，，则A∩B＝（） A. 1,0,1 B. 1,0,1,2 C. 0,1,2 D. 0,1,2,3

【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【详解】由已知得{|(1)(2)0}{|12}Axxxxx，所以{1,0,1,2}ABI，故选B. 【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．

2.已知i为虚数单位，复数z满足(12)(1)(2)izii，则z（） A. 105 B. 22 C. 2 D. 10 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则求解z，再由模的计算公式即可得出．

【详解】由题意得，(1)(2)(3)(12)112(12)(12)iiiiziiii， - 2 -

221(1)2z.

故选C. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

3.已知6cos()46，则sin2的值为（） A. 13 B. 23 C. 33 D. 35 【答案】B 【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．

【详解】因为21cos22cos421sin2126，所以322sin，故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．

4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 22 【答案】B 【解析】分析】 - 3 -

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．

5.若非零向量ar、br满足24,(2)0ababarrrrr，则ar在br方向上的投影为（） A. 4 B. 8 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】【分析】先由数量积的运算律计算得到8abvv，再利用投影公式计算即可得出结果．

【详解】由2(2)20abaaabrrrrrr得22822aaabrrrr，

从而a在b方向上的投影为842abbrrr，故选A. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．

6.形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（） - 4 -

A. 161 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】A 【解析】【分析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率. 【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件1A，2A，由题意知，1A，2A相互独立，

且22121(42)34416PA，213PA，所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为1212311()()()16316PAAPAPA.

故选A. 【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.

7.若函数()3sincos(0)fxxx，且()2,()0,ff的最小值是2，则()fx的单调递增区间是（）

A. 5[2,2]()66kkkz B. 2[2,2]()33kkkz C. [,]()36kkkz D. 5[,]()1212kkkz 【答案】B 【解析】【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．

【详解】()3sincosfxxx2sin6x，因为()2f，k1-，所以的最小值为42T， - 5 -

所以T=2，1，令22262kxk，kZ，解得22233kxk，kZ，所以()fx的单调增区间为2[2,2]()33kkkz 故选B. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是求得ω，属于基础题．

8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（） A. 1．5尺 B. 2．5尺 C. 3．5尺 D. 4．5尺【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得959Sa，14743aaaa，可得5a，4a，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列{}na，

nS是其前n项和，

则19959985.52aaSa，所以59.5a，由题知1474331.5aaaa，所以410.5a，所以公差541daa，所以12572.5aad，故选B. 【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9.平面直角坐标系xOy中，动点P到圆22(2)1xy上的点的最小距离与其到直线1x的距离相等，则P点的轨迹方程是（） - 6 -

A. 28yx B. yx82 C. 24yx D. 24xy 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C，动点P到直线的距离为d，根据题意得：1PCd，可得1PCd，即：动点P到圆2221xy上的点的最小距离与其到直线2x的距离

相等，根据抛物线的定义，动点P的轨迹为以2,0为焦点，以2x为准线的抛物线，设

方程为22ypx，则22p，4p，所以抛物线方程为：28yx，选A．考点：抛物线定义．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点P到圆2221xy上的点的最小距离与其到直线1x的距离相等，可转化为动点P到圆2221xy上的点的最小距离与其到直线2x的距离相等，从而利用抛物线的定义进

行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用．

10.已如定点P(1,9)，动点Q(,)xy在线性约束条件360200xyxyy所表示的平面区域内，则直线PQ的斜率k的取值范围为（） A. [1,7] B. [7.1] C. ),7[]1,( D. [9,1][7,)U 【答案】C 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得BPk，APk数形结合可得结论．【详解】不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分， - 7 -

直线20xy与直线360xy的交点为(4,6)A，直线20xy与y轴的交点为(0,2)B，只需求出过p的直线经过可行域内的点A或B时的斜率， 92710BPk，96114APk

，所以结合图象可得7k或1k，

故选C. 【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，考查了简单的转化思想和数形结合的思想，属于基础题．

11.已知三棱锥ABCP的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为3，以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（） A. 3 B. 23 C. 43 D. 56 【答案】B 【解析】【分析】画出图，根据弧长公式求解【详解】如图所示，RtPAC，RtPAB为等腰直角三角形，且3APABAC. 以顶点P为球心，以2为半径作一个球与RtPAC的PC，AC分别交于M，N，

得cos32APN，6APN，所以12NPM，所以¼2126MN，同理¼6GH，¼122HN，