高等代数习题

高等代数习题

第一章基本概念

§1、1 集合

1、设Z就是一切整数得集合，X就是一切不等于零得有理数得集合．Z就是不就是X 得子集？

2、设a就是集A得一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A就是否正确？

3、设

写出与、

4、写出含有四个元素得集合{ }得一切子集．

5、设A就是含有n个元素得集合．A中含有k个元素得子集共有多少个？

6、下列论断那些就是对得，那些就是错得？错得举出反例，并且进行改正．

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

7．证明下列等式：

(i)

(ii)

(iii)

§1、2映射

1、设A就是前100个正整数所成得集合．找一个A到自身得映射，但不就是满射．

2、找一个全体实数集到全体正实数集得双射．

3、就是不就是全体实数集到自身得映射？

4．设f定义如下：

f就是不就是R到R得映射？就是不就是单射？就是不就是满射？

5、令A={1,2,3}、写出A到自身得一切映射、在这些映射中那些就是双射？

6、设a ,b就是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身得两个映射f与g来说，f g与g f一般不相等。

8、设A就是全体正实数所成得集合。令

(i)g就是不就是A到A得双射？

(ii)g就是不就是f得逆映射？

(iii)如果g有逆映射，g得逆映射就是什么？

9、设就是映射，又令，证明

(i)如果就是单射，那么也就是单射；

(ii)如果就是满射，那么也就是满射；

(iii)如果都就是双射，那么也就是双射，并且

10．判断下列规则就是不就是所给得集合A得代数运算:

集合 A 规则

1

2

3

4 全体整数

全体整数

全体有理数

全体实数

b

a

b

a+

→

|)

,

(

§1、3数学归纳法

1、证明:

2、设就是一个正整数、证明 ,就是任意自然数、

3、证明二项式定理:

这里

就是个元素中取个得组合数、

，

4、证明第二数学归纳法原理、

5、证明,含有个元素得集合得一切子集得个数等于。

§1、4整数得一些整除性质

1、对于下列得整数 ,分别求出以除所得得商与余数:

; ;

; 、

2、设就是整数且不全为0,而 , ,、证明,得一个最大公因数必要且只要、

3、设就是不等于零得整数、满足下列两个条件得正整数叫做与得最小公倍数:;如果且 ,则、

证明: 任意两个不等于零得整数都有唯一得最小公倍数;

令就是与得最小公倍数而 ,则、

4、设就是一个大于1得整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则

或、证明,就是一个素数(定理1、4、5得逆命题)、

5、设就是两两不相同得素数,而、

证明 ;

利用证明,素数有无限多个．

§1、5数环与数域

1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．

2．证明,就是数域．

3．证明,就是一个数环,就是不就是数域?

4．证明,两个数环得交还就是一个数环;两个数域得交还就是一个数域、两个数环得并就是不就是数环?

5．设就是一整数,令

由例1,就是一个数环、设 ,记．

证明: 就是一个数环．

．

,这里就是与得最大公因数．

．

第二章多项式

§2、1一元多项式得定义与运算

1．设与就是实数域上得多项式．证明：若就是

(6) ，那么

2．求一组满足（6）式得不全为零得复系数多项式与

3．证明：

§2、2 多项式得整除性

1．求被除所得得商式与余式：

( i )

(ii)

2．证明：必要且只要

3．令都就是数域F上得多项式，其中且

证明：

4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式

5．设F就是一个数域，证明：整除

6．考虑有理数域上多项式

这里与都就是非负整数．证明：

7．证明：整除必要且只要整除

§2、3 多项式得最大公因式

1、计算以下各组多项式得最大公因式：

( i )

(ii)

2、设证明：若且与

不全为零，则反之，若则就是与

得一个最大公因式．

3、令与就是得多项式，而就是中得数，并且

证明：

4．证明：（i）就是与得最大公因式；

（ii）

此处等都就是得多项式。

5．设都就是有理数域Q上得多项式。求使得

6．设令就是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有

7．设证明：

8．证明：对于任意正整数都有

9．证明：若就是与互素，并且与得次数都大于0，那么定理里得与可以如此选取，使得得次数低于得次数，得次数低于得次数，并且这样得与就是唯一得。

10．决定，使与得最大公因式就是一次

得。

11．证明：如果那么对于任意正整数，

12．设就是数域F上得多项式。与得最小公倍式指得就是F[x]中满足以下条件得一个多项式：

且；

如果∈F[x]且，那么

证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能得零次因式得差别外，就是唯一得。

设都就是最高次项系数就是1得多项式，令表示与

得最高次项系数就是1得那个最小公倍式。证明

13．设并且证明：14．设证明：

互素得充要条件就是存在多项式

使得

15．设令

比照定理1、4、2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取就是I中次数最低得一个多项式，则就就是得一个最大公因式．]

§2、4 多项式得分解

1、在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式得乘积：

2、分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式得乘积、

3、证明：当且仅当

4、求在内得典型分解式；

求在内得典型分解式

5、证明：数域F上一个次数大于零得多项式就是中某一不可约多项式得幂得充分且必要条件就是对于任意或者或者存在一个正整数使得鈳諄讦鵲銪与紧。

6．设就是中一个次数大于零得多项式、如果对于任意

只要就有或那么不可约、

§2、5 重因式

1、证明下列关于多项式得导数得公式：

2、设就是得导数得重因式、证明：

未必就是得重因式；

就是得重因式得充分且必要条件就是

3、证明有理系数多项式

没有重因式、

4、应该满足什么条件，下列得有理系数多项式才能有重因式？

5、证明：数域F上得一个次多项式能被它得导数整除得充分且必要条件

就是

，这里得就是F中得数。

§2、6 多项式函数多项式得根

1．设 ,求、

2．数环R得一个数说就是得一个重根,如果可以被

整除,但不能被整除、判断5就是不就是多项式

得根、如果就是得话,就是几重根?

3．设求

[提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式表成得多项式、

; 、

5．求一个次数小于4得多项式 ,使

6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同得值、

7．令就是两个多项式,并且可以被整除、

证明

8．令就是一个复数,并且就是中一个非零多项式得根,令

证明:在J中存在唯一得最高次项系数就是1得多项式 ,使得中每一多项式

都可以写成得形式,这里、

在中不可约、如果 ,求上述得

[提示:取就是J中次数最低得、最高次项系数就是1得多项式、] 9．设中多项式且 ,就是一个大于1得整数、

证明:得根只能就是零或单位根、

[提示:如果就是得根,那么都就是得根、]

§2、7 复数与实数域上多项式

1．设次多项式得根就是、求

以 为根得多项式,这里 就是一个数。

（ii ）以

11

α,

2

1

α,…,

n

α1

(假定 都不等于零)为根得多项式、

2．设 就是一个多项式,用 表示把 得系数分别换成它们得共轭数后

所得多项式、证明:

若就是g

,那么

;

若就是

就是 与 得一个最大公因式,并且 得最高次项

系数就是1,那么

就是一个实系数多项式)、

3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型得典型分解式、 4．在复数与实数域上,分解

为不可约因式得乘积、

5

．证明

:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根、

§2、8 有理数域上多项式

1．证明以下多项式在有理数域上不可约:

;

;

、

2．利用艾森斯坦判断法,证明:若就是就是个不相同得素数而就是一个大于1得整数,那么就是一个无理数、

3．设就是一个整系数多项式、证明:若就是与都就是奇数,那么不能有整数根、

4．求以下多项式得有理根:

;

;

、

第三章行列式

§3、1 线性方程组与行列式§3、2 排列

1．计算下列排列得反序数：

523146879；

2．假设n个数码得排列得反序数就是k,那么排列得反序数就是多少？

3．写出4个数码得一切排列．

§3、3 阶行列式

1．确定六阶行列式

D=中以下各乘积得符号：

2．写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素得项。

3．证明：阶行列式

4．考察下列行列式：

，，

其中就是这个数码得一个排列。这两个行列式间有什么关系？

5．计算阶行列式

6．计算行列式

7．证明：行列式

8．设在阶行列式

中，

§3、4 子式与代数余式行列式得依行依列展开1．把行列式依第三行展开，然后加以计算．2．计算以下行列式:

提示：把第一列得元素瞧成两项得与，然后把行列式拆成两个行列式得与。3．令

计算行列式。

§3、5 克拉默规则

1．解以下线性方程组：

2．设就是个不同得数, 就是任意个数,而多

项式

有以下性质: ,、

用线性方程组得理论证明, 得系数就是唯一确定得,并且对得情形导出拉格朗日插值公式、

3．设、用线性方程组得理论证明,若就是有个不同得根,那么就是零多项式、

第四章线性方程组

§4、1 消元法

1．解以下线性方程组：

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二与第三种行初等变换。

3．设阶行列式0、

证明：用行初等变换能把行列矩阵化为

。

4．证明：在前一题得假设下，可以通过若干次第三种初等变换把

化为．

§4、2 矩阵得秩线性方程组可解得判别法1．对第一与第二种行初等变换证明定理4、2、1．

2．利用初等变换求下列矩阵得秩：

3．证明：一个线性方程组得增广矩阵得秩比系数矩阵得秩最多大1．4．证明：含有个未知量个方程得线性方程组