2019-2020年高三联考数学理试题 含答案
2019-2020年高三联考数学理试题 含答案
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知{}2 |450 A x x x =--=,{}
2 | 1 B x x ==,则A
B =( )
A .{} 1
B .{} 1 , 1 , 5 -
C . {} 1 -
D .{} 1 , 1 , 5 --
2.设条件p :0≥a ;条件q :02
≥+a a ,那么p 是q 的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x
A .2y x =±
B .x y 2±=
C .x y 2
2
±= D .12y x =±
4.下列命题不正确...
的是 A .如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直;
B .如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行;
C .如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
D .如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直.
5.已知函数()???≤>+=0
,cos 0
,12x x x x x f 则下列结论正确的是 ( )
A.()x f 是偶函数
B. ()x f 的值域为[)+∞-,1
C.()x f 是周期函数
D. ()x f 是增函数
6.在△ABC 中,AB=2,AC=3,1=?,则___BC =.
C. 7.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒
内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( )
A .
14
B .
12
C .
34
D .
78
8.在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空
间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则 ( )
A .平面α与平面β所成的(锐)二面角为0
45 B .平面α与平面β垂直 C .平面α与平面β平行 D .平面α与平面β所成的(锐)二面角
为060
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题(9~13题)
9. 复数
121i
i
+-的值是 . 10.若数列{}n a 满足:1111,()2
n n a a a n N *
+==∈,
其前n 项和为n S ,则
4
4
S a = . 11. 执行如图的程序框图,那么输出S 的值是 .
12. 已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤??
+-≥??-+≥?
所表示的平面区域的面积
为4,则k 的值为__________.
13.将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________
种(用数字作答)
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)
14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线1:C 22x t a
y t
=+??
=-?(t 为参数),
曲线2:C 2cos 22sin x y θ
θ
=??
=+?(θ为参数).若曲线1C 、2C 有公共点,
则实数a 的取值范围____________.
15.(几何证明选讲)如图,点,,A B C 是圆O 上的点,
且2,120AB BC CAB =∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
在平面直角坐标系下,已知(2,0)A ,(0,2)B ,(cos 2,sin 2)C x x ,()f x AB AC =?u u u r u u u r .
(1)求()f x 的表达式和最小正周期; (2)当02
x π
<<
时,求()f x 的值域。
17.(本题满分12分)
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[)50,40,[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率,并补全这个 频率分布直方图;
(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分;
(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人,抽到 的学生成绩在[)60,40记0分,在[)80,60记1分, 在[]100,80记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分, 求ξ的分布列和数学期望.
18.(本题满分14分)
如图,△ABC 内接于圆O,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为 平行四边形,DC ⊥平面ABC ,2AB =,
第17题图
第15题图
已知AE 与平面ABC 所成的角为θ,
且tan 2
θ=. (1)证明:平面ACD ⊥平面ADE ;
(2)记AC x =,()V x 表示三棱锥A -CBE 的体积,求()V x 的表达式; (3)当()V x 取得最大值时,求二面角D -AB -C 的大小. 19.(本题满分14分)
已知数列{}n a 中,13a =,25a =,其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥, 令1
1
n n n b a a +=
?.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若()12x f x -=,求证:()()()121
126
n n T b f b f b f n =+++<(1n ≥).
20.(本题满分14分)
已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()
20,,
点(2,3)A 在椭圆1C
上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程;
(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点
P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.
21.(本题满分14分)
已知函数()e ,x f x x =∈R .
(1) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2
112y x x =
++有唯一公共点. (3) 设a
???
与
()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.
数学(理科)参考答案
一、选择题:(每题5分,共40分)
二、填空题(每题5分,共30分) 9.1322i -
+ 10.15 11.2
1
12.1 13.480
14.22a ≤≤( 或 [2 ) 15.
2
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)
解: 解:(1)(2,2)AB =-uu u r ,(2cos2,sin 2)AC x x =-+u u u r …………1分
∴()f x =(2,2)(cos 22,sin 2)x x -?-42cos 22sin 2x x =-+)44
x π
=-+,
∴()f x )44
x π
=-
+, …………6分 ∴()f x 的最小正周期为ππ
==
2
2T , …………8分 (2)∵02
x π
<<
∴324
4
4x π
π
π-
<-
<
∴1)4
2sin(22≤-<-πx . ∴224)(2+≤ 17.(本题满分12分) (Ⅰ)设分数在[)70,80内的频率为x ,根据频率分布直方图, 则有(0.010.01520.0250.005)101x +?++?+=, 可得0.3x =,所以频率分布直方图如右图所示. ………………4分 (求解频率3分,画图1分) (Ⅱ)平均分为: 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =?+?+?+?+?+?=. …… ……7分 (Ⅲ)学生成绩在[)60,40的有0.256015?=人,在[)80,60的有0.456027?=人, 在[]100,80的有0.36018?=人.并且ξ的可能取值是0,1,2,3,4. …………………………8分 则2152607(0)118C P C ξ===;11152726027(1)118C C P C ξ===; 1121518272 60207 (2)590C C C P C ξ+===; 11271826081(3)295C C P C ξ===;2182 6051 (4)590 C P C ξ===. 所以ξ的分布列为 ………………………………………………………11分 727207815101234 2.1118118590295590 E ξ=? +?+?+?+?= …………………12分 18.(本题满分14分) 解:(1)证明:∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴//CD BE ,//BC DE ------1分 ∵ DC ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ∴DC BC ⊥. ----------2分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C = ∴BC ⊥平面ADC . ∵DE//BC ∴DE ⊥平面ADC ---------------------------------------3分 又∵DE ?平面ADE ∴平面ACD ⊥平面 ADE ----------------4分 (2)∵ DC ⊥平面ABC ∴BE ⊥平面ABC ∴EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角,即EAB ∠ =θ-------------------5分 在R t△ABE 中,由tan BE AB θ= = 2AB =得BE =分 在R t△ABC 中 ∵AC ==02x <<) ∴11 22 ABC S AC BC ? = ?=分 ∴1()3C ABE E ABC ABC V x V V S BE --?===?=(02x <<)-----8分 (3)由(2)知02x << 要()V x 取得最大值,当且仅当=取得最大值, O E D B C A ∵222 2 2 4(4)( )42 x x x x +--≤=------------------------------------------------------9分 当且仅当224x x =- ,即x =“=”成立, ∴当()V x 取得最大值时AC =,这时△ACB 为等腰直角三角形------------10分 解法1:连结CO ,DO ∵AC=BC,DC=DC ∴Rt DCA ?≌Rt DCB ? ∴AD=DB 又∵O 为AB 的中点 ∴,CO AB DO AB ⊥⊥ ∴DOC ∠为二面角D -AB -C 的平面角------------12分 在Rt DCO ?中 ∵1 12 CO AB == ,DC BE == ∴tan DC DOC CO ∠= = ∴DOC ∠= 60 即当()V x 取得最大值时,二面角D -AB -C 为60°.------------------------14分 解法2:以点O 为坐标原定,OB 为x 轴建立空间直角坐标系如图示: 则B(1,0,0),C(0,1,0), , ∴(0,1,3),(1,0,0)OD OB = =, 平面ABC 的法向量CD =,-------------------11分 设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c = 由,m OB m OD ⊥⊥得0,0a b == 令1c =,则 b =∴(0,m =-------------12分 设二面角D -AB -C 的大小为θ ,则1 cos 2 ||||m CD m CD θ?= ==? ∴60θ=,即二面角D -AB -C 的大小为60°.------------------------------------14分 19.(本题满分14分) 解:【解】 (1)由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即() 1123n n n a a n --=+≥ -------2分 ∴()()()112322 n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ -------3分 ()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++ ++++=+≥-----6分 检验知1n =、2时,结论也成立,故21n n a =+. -------7分 (2)由于()()() ()()()()11 111 212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+??=?=?=- ?++++++?? --------9分 故()()()1222 31111111 1122121212122121n n n n T b f b f b f n +?????? ??=++ +=-+-++- ? ? ???++++++???? ???? ---------11分 1111111212212126 n +??=-= ?+++??. ---------14分 20.(本题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22 221x y a b +=()0a b >>, 依题意: 22 2222231, 4.a b a b ?+=???=+? 解得: 22 16, 12. a b ?=??=?? ………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为 22 11612x y +=. ………3分 解法2:设椭圆1C 的方程为22 221x y a b +=()0a b >>, 根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即 4a =, ………1分 ∵2c =, ∴222 12b a c =-=. ………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为 22 11612 x y +=. ………3分 (2)解法1:设点)41, (211x x B ,)41,(222x x C ,则))(4 1,(212212x x x x --=, )4 13,2(2 11x x BA - -=, ∵C B A ,,三点共线, (∴BC BA //. ……4分 ∴() ()()22 2211211 113244 x x x x x x ??-- =-- ???, 化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ………5分 由24x y =,即2 14y x ,= 得y '=12 x . ……6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=- ,即2114 1 2x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 2 224 12x x x y -= . ③ ……………8分 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 2 224 12x x x -, 而21x x ≠,则 )(2 1 21x x x +=. ……………9分 代入②得 214 1 x x y = , ……………10分 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为 3-=x y . ………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点 P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, …12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点 P 有两个. …………14分 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即2 14y x ,= 得y '=12 x . …………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2 11 1x x x y y -= -, 即21112 1 2x y x x y -+= . ………5分 ∵2 1141x y = , ∴112 y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101 02 y x x y -= . ① ……6分 同理, 202 02 y x x y -= . ② ………7分 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002 . ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x x y -= 002 , ………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点 P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点 P 有两个. ……14分 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为() 23y k x =-+, 由()2234y k x x y ,, ?=-+??=??消去y ,得2 48120x kx k -+-=. ……4分 设()() 1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ………5分 由24x y =,即2 14y x ,= 得y '=12 x . ………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -= -,即21112 1 2x y x x y -+=.…7分 ∵2 1141x y = , ∴211124 x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2 22124 x y x x = -. ……………8分 由2 1 1222124 124 x y x x x y x x ,, ?=-??? ?=-??解得121222234x x x k x x y k ,.?+==????==-?? ∴() 223P k k ,-. ………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+, ∴点P 在椭圆22 111612 x y C : +=上. ………11分 ∴ () () 2 2 223116 12 k k -+ =. 化简得2 71230k k --=.(*) …………12分 由() 2 124732280Δ=-??-=>, ………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ………14分 21.(本题满分14分) 解:(1) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'. 1(1)g'x 1 (x)g'==?= k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 。。。。。。3分 (2) 证明曲线y=f(x)与曲线12 12 ++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121 121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ,,且的导数因 此, 单调递增 时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =?>>=?<< 0)(,0)0(')('===≥=?x R x h y h x h y 个零点上单调递增,最多有一在所以 所以,曲线y=f(x)与曲线12 12 ++= x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 。。。。。8分 (3) 设 ) (2) ()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -??--+?+-= ---+ a a b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ?-??--++-=-??--+?+-=-) (2)2()2()(2)2()2( 令x x x e x e x x g x e x x x g ?-+=?-++=>?-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则. )上单调递增 ,在(的导函数∞+>?=?-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在,因此 0)(),0(>+∞x g 上所以在. ,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>?-++=>且时,当 0) (2)2()2(>?-??--++-∴-a a b e a b e a b a b 所以a b a f b f b f a f -->+) ()(2)()(,